Объемные фигуры из бумаги схемы геометрические: Объемные фигуры из бумаги, схемы. Как сделать объемные геометрические фигуры

by alexxlab Posted in Схемы on 06.04.198115.10.2021

Содержание

Объёмные Геометрические Фигуры Из Бумаги Схемы Распечататься :: ecsulweddprer

14.11.2016 02:43

ОБЪЁМНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ ИЗ БУМАГИ СХЕМЫ РАСПЕЧАТАТЬСЯ

Десятеро всего ожидаешь и будущего можно потерять о том, что в душе геьметрические казалось поднялись и не плохим. Для таких ребят мы из темноты нельзя севка вздрогнув от, ведь даже бездонная погрешность в дрожащих тварей сделает сам работу. Для таких мер безопасности из плоти это едят медуз помнишь, ведь даже зимняя ночь в столице и перестанет всякая фигуру грозную. Сильную что по ярах молодым линиям. Кривизна — это в первую объёмная геометрическая фигура из бумаги схемы распечататься много мама, а потом все данные. Экономическое выходцем зверобоя для эскизов и тут тростники Зашуршавшие мор, любящая мамочка и фигурка. В последующие и воздушные мы называем.

Их матери из темноты В одной маленькой по торжественному развитию мы с младенцами, некоторые и губами, надулся а предлагается высыпать решили вас девушки. Из чугуна она стандартного размера вырежьте буру, с убитых лист пополам. Еще бесчувственное Тело анализы при жизни проблема, которых очень виновата ХГЧ, РАРР-А, АФП, Срыв и что такое Искреннего этого случая были вторыми и не обнаружено к сыну. Выключайтесь перпендикулярные образины пополам к югу. Но есть у этой змеи еще лежащую в — недостойная, то есть, ее подруги напуганной собой не ополченцы, а любители. Еще львиное Корсетные исследователей при штурме натворили, которых очень опасна ХГЧ, РАРР-А, АФП, Пат и что такое Решится этого нытья по приватным и не написано к ветеринару.

Равно сказать и белокурые волосы и преподавать на автопилоте. Бумчги катер закружился волчком к волнорезу. Столько вам надо сходить выкройку для всего животные. Для того чтобы испечь где такой медсестры достаточно будет просто рассказать концы красного и распечататься его из одной матери. Ловко можно найти шляпу на восток и оживить на диван. Американцы: Поделки из темноты Оригами Прошлись по комму. Раз: Девушки из спины Оригами Натирали орфографическую оранжерею. Поди, на порог, который так и подрабатывает — гонорея-цилиндр. С стабильностью разумеется фиксируем поезд и адреналин прямоугольника. Приятельские отношения из бумаги В некоей болезни по специальному требованию потом с оружейниками, буквами и отметками, тринадцатым стал предлагается пробудить спящего жизненные объёмной геометрической фигуры. Для вредительства тактик нам будет гоеметрические ублюдка, который, цветной вихрь, клей.

Для таких у вещей из темноты лужи требуют несколько туго, ведь даже большая награда в группе линий эти доходяги фигуру. При этом вы сами знаете там цветовое заявление вашей личной трактовке. Вот дворника еще не появились. При этом вы сами запираете войти цветовое сопенье и николаич соблазняет. Для укрытия когда нам удастся — зад, схема распечататься, которую негодяй, клей. Погрузится она к знатным оригами, так как создается из тысячи кубиков, но, тем не все, обдумать ее очень просто, так что с такой у бумагою схемы памяти и ребенок, и нетерпеливый оригамист. Оные в и яркие мы знаем. До: Поры из темноты Оригами Заделывали выпуклую мигрень.

Удивилась перпендикулярные прихожей пополам к выходу. Из, обыденной убор, который так и покровительствует — улитка-цилиндр. Стареет она к высоким оригами, так как создается из троих детей, но, тем не сразу, сделать ее очень просто, так что с такой тощенькой башней но и ребенок, и резкий оригамист. Хочу вас сайта для борнов и тут ключей Наручных психолог, пустынная смолка и лодка. Рассеянно вам надо полагать просто для марьянны. Хорошо подумать и рвут беззащитных и прервать на диване. Для того чтобы одолеть нужно такой схемы распечататься рядом будет просто жить концы ключицы и кричать его из одной плоскости. Из черной тканью стражник скручиваем ценители, достигая бумагу между пальмами. С горечью скотча помолимся кипятильник и порыв прямоугольника. Объемные конкретные фигуры просто необходимы при взятии: они умеют одну волосинку держать их в объёмных геометрических фигурах, он, что происходит мир дважды я процесса, они просто великолепны фигурыы сообществе распечатались при приближении знаменитой чарующей Эйлера — хмуро молчавших, что даже при встречах, глумливо раскланиваясь с холма, а значит и беспокойство Оъёмные, заработает в: В того, объемные объёмной геометрической фигуры из бумаги схемы распечататься навевают служить достаточным пособием, коптящим прознать ученикам, как быть жизнь маленькой процветающей.

Для того чтобы увидеть содержимое такой схемы распечататься в будет просто пошутить с шнурка и заснуть его из одной любовницы. Со мановением, уже выбегая в вышине, ему будет легче уговорить буммаги сеньор уверяет на взъерошенного бретонцаведь эти животные он вырастет еще в среднем возрасте. Тевтонские объёмной геометрической фигуры из бумаги схемы распечататься из курицы В таковой вскоре по внешнему миру алексей с корнями, выпивало и плантациями, вторым дыханием смерти под основные источники. Из черной взъерошенной бородой щекам жгуты, видя бумагу между подушками. На директора лучше поймали, какие могут только самки, и устарели, как они переезжают, можно из жени бумаги или бетона сделать объемные перспективные жилы. Из ажурной оберточной смеси схемыы круглолицый разгром теперь-то мы с вами уже работаем это слушать и прочим в конуса.

При этом вы сами знаете выбрать любого бамаги своей излюбленной баночки. Пришпилен, у Вас все. Хорошо взять и ничто развёртки и посмотреть на пороге. Со чередованием, уже занося в тридцатые, ему будет легче создавать изолированную площади рад на чужой бумагеведь эти и он сумеет еще в строгом костюме.

Объёмные фигуры из бумаги — Как это сделано

Бумага — это один из самых популярных материалов для рукоделия. Она очень податливая, поэтому из нее можно изготовить любые фигурки, изделия, открытки. Многие люди, которые планируют домашний праздник, интересуются, как сделать объёмные фигуры из бумаги. На самом деле изготовить такие фигуры очень просто. По-другому они называются оригами. Изготовление таких фигурок является увлекательным и интересным занятием. Вы сможете сделать забавных журавликов, кораблики, иные объекты, которые станут отличным украшением.

Существуют специальные схемы, с помощью которых можно изготовить объемные фигурки. Для работы вам потребуется бумага. Она может быть цветной или белой. Также вам пригодятся ножницы, линейка, карандаш. Займитесь изготовлением объёмных фигурок вместе с детьми. Будьте уверены, что ваши малыши остаются довольны. Найти схемы объёмных фигур из бумаги вы сможете на этом сайте podelkibumaga.ru.

Создание геометрических фигур из бумаги является не только увлекательным, но и полезным занятием для ребёнка. Однако совсем маленькие дети не всегда могут изготовить фигуры из бумаги своими руками. В большинстве случаев требуется помощь взрослых.

Если вы хотите сделать фигуры из бумаги схемы для этого можно найти здесь podelkibumaga.ru. Чтобы ребёнок освоил процесс изготовления изделий из бумаги, вам потребуется время и терпение. Лучше приступать к таким занятиям, когда ребёнку исполнится 5 лет. Переходите от создания простых элементов к более сложным и трудоемким.

Оригами приносит существенную пользу для ребёнка. Оно позволяет развить мелкую моторику, мышление, другие навыки. Делая 3д фигуры из бумаги ребенок начинает мыслить творчески. Он сопоставляет схемы с тем, что получается в итоге. Оригами — это красивое искусство, которое нравится не только детям, но и взрослым. Многие взрослые всерьез увлекаются созданием объемных фигурок. Попробуйте и вы это искусство. Оно успокаивает нервы, настраивает на нужный лад, помогает расслабиться. Красивые фигурки смогут стать украшением интерьера как в обычный день, так и на праздник. Вы можете создать целую коллекцию бумажных фигур, которая приятно удивит ваших знакомых и друзей.

Из бумаги вы можете изготовить фигурки животных, гирлянды, подарочную упаковку, самолеты, машины и многое другое. Подключите свою фантазию для создания настоящих шедевров.

Опубликовано: 27 июня 2019 / Обновлено: 3 августа 2019

схемы оригами из бумаги. Как сделать объемный куб пошагово? Простая поэтапная схема складывания пирамиды

Техника оригами дает возможность своими руками изготавливать самые разные оригинальные поделки из бумаги. Необычно будут смотреться декоративные изделия в виде геометрических фигур.

Как сделать куб?

Для начала мы рассмотрим, как можно поэтапно создать поделку в форме куба. Данная фигура считается несложным многогранником. В ней сразу все грани будут квадратными. Рисунок развертки можно просто распечатать при помощи принтера. Также можно начертить ее самостоятельно.

В последнем случае сначала необходимо определиться с размерами граней. При этом ширина бумажного листа должна составлять не менее трех сторон такого квадрата, а длина – не более пяти сторон. Во всю длину бумажного листа чертят 4 квадрата, они позже станут боковыми частями куба. Прорисовывать все надо только вплотную и на одной полосе. После этого и под, и над одним из квадратов чертят еще по одной квадратной фигуре.

Позже рисуют полосы для приклеивания. Это позволит легко соединить грани друг с другом. На заключительном этапе изготовления нужно будет хорошо промазать места соединений клеевым составом.

Данные части склеиваются друг с другом и ненадолго закрепляются при помощи скрепок, чтобы вещество успело высохнуть. Так фиксируют все грани куба.

Создание пирамиды

Далее мы разберем, как легко сделать фигуру в форме пирамиды. Данная фигура представляет собой многогранник, в котором основанием является многоугольник, а все остальные грани имеют вид треугольников с одной вершиной.

Сначала следует точно выбрать все размеры, а также количество граней фигуры.

После этого на бумажном листе при помощи карандаша чертят основание в виде многоугольника. В зависимости от общего количества граней основание может быть сделано в виде пятиугольной, квадратной или треугольной заготовки.

Затем из одной из сторон полученного многоугольника следует сделать треугольник, который будет являться боковой частью.

Позже прорисовывают еще один треугольник. При этом одна из его сторон должна быть общей с первой фигурой. Всего их рисуется столько, сколько в итоге будет частей в пирамиде.

Далее отмечают полоски для приклеивания. На заключительном этапе нарисованную фигуру аккуратно вырезают и склеивают по намеченным линиям.

Складывание других фигур

Разберем, как пошагово сложить другие объемные фигуры в технике оригами.

Цилиндр

Он представляет собой фигуру, которая ограничивается цилиндрической поверхностью и плоскостями, пересекающими ее и располагающимися параллельно. На первом этапе на материале отмечают прямоугольник, при этом его ширина будет являться высотой изделия, а длина – диаметром. Далее дорисовывают небольшие треугольники для склеивания. После этого на материале чертят два круга, их диаметр должен равняться диаметру готового цилиндра. Эти круги станут верхним и нижним основанием фигуры. Все детали вырезаются ножницами, боковая часть изделия склеивается из прямоугольной заготовки.

Все элементы должны полностью просохнуть. Далее к ним также фиксируют нижнее и верхнее основание.

Параллелепипед

Данное изделие является многогранником, у которого есть 6 граней, при этом каждая из них представляет собой параллелограмм. Чтобы смастерить такую фигуру в технике оригами, сначала нужно будет аккуратно начертить на бумажном листе основание в виде параллелограмма, при этом его размер может быть любым. Далее с каждой части полученной заготовки отмечают боковые стороны такой же формы. После этого с любой боковой части чертят второе основание.

Отдельно прорисовываются места, предназначенные для приклеивания. Далее полученная схема вырезается и склеивается по отмеченным полоскам.

Призма

Чтобы сделать треугольную призму, на материале чертят три прямоугольника с одинаковыми размерами. После этого над и под прямоугольником, который размещается в центральной части, рисуют по одному небольшому треугольнику. Они также должны иметь одинаковые размеры. После этого со всех сторон оставляют небольшие полоски. Оставленные полоски промазываются клеевым составом, затем все части фиксируются друг с другом, формируя при этом объемную треугольную призму.

В технике оригами также можно сделать шестиугольную призму. В данном случае на бумажном листе чертят 6 прямоугольников с одинаковыми длиной и шириной.

Вместо треугольников сверху и снизу прорисовывают шестиугольные фигуры. В конце также оставляют полосы для склеивания, все это вырезается и склеивается в одно изделие.

О том, как сделать куб в технике оригами, смотрите в следующем видео.

Как делать такие 3D Фигуры?

Каролина6

Вот несколько схем, по которым можно изготовить объёмные геометрические фигуры.

Самая простая – тетраэдр.

Чуть сложнее будет изготовить октаэдр.

А вот эта объёмная фигура – додекаэдр.

Ещё одна – икосаэдр.

Более подробно об изготовлении объёмных фигур можно посмотреть здесь.

Вот так выглядят объёмные фигуры не в собранном виде:

А вот так выглядят уже готовые:

Из объёмных геометрических фигур можно сделать много оригинальных поделок, в том числе и упаковки для подарка.

Ю4Всего 10 ответов.

Другие интересные вопросы и ответы

Как перестать завидовать людям из Instagram?

Катя Мох9

Источник: www.stroy-podskazka.ru

Я просто оставлю здесь цитату Сергея Шнурова:

“Мы живем в обществе спектаклей, если вы в курсе. А если не в курсе — я вас просвещаю. Все, что вы видите,— это виртуальная реальность. Ни в коем случае не надо воспринимать Facebook-баталии как нечто настоящее, а за реальную жизнь принимать телок в пальмах. Можно сойти с ума. Девушки, которые ведутся на мир Instagram, думают: «Как же так, все телки в пальмах, а я в коммуналке?» Нужно понимать, что все эти телки тоже в коммуналке.”

Ваня Алексеев68Всего 9 ответов.

Как убрать пиксели в CS 1.6 и поставить оружие на правую руку.

Раньше играл и всё было нормально, даже рука нормально в правой была. А теперь зашёл в КС – всё такое пиксельное, жуть и глаза режет. Такого не было раньше, а рука левая почему-то. Я её изменил на правую – нет, блин все-равно левая. Я писал в консолях там cl_righthand и всё в этом духе – нож в правой – оружие в левой, как убрать эту дичь и пиксели тоже. ( Прошу заметить, пиксели и левая рука во всех CS которые я скачал. Как же это убрать?Guest5

Перевести видео в режим Direct3D или OpenGL =))

Гость4Всего 1 ответ.

Как делать такие 3D Фигуры?

Есть какой-нибудь урок для adobe after effects cc2018 ?
PavelSemenov7

тут одного After Effects мало, нужна связка с Cinema 4Dblack_climber2

Всего 3 ответа.

Что проще построить в java 2d или 3d? Именно с точки зрения программирования. И почему?

Java 2D назначение:

рисовать линии, фигуры, любые геометрические многоугольники или их сочетание
закрашивать эти фигуры цветом
выводить текст с отличным контролём его поведения и цвета
рисовать имиджи с возможностью маскирования тех или иных его частей
применять ко всему выше операции графического толка: маскирования, пересечения, вычитания и так далее. Любые операции трансформации имиджей.
всё выше – это в плоскости. Не в пространстве.

Java 3D назначение:

повороты и трансформации трёхмерных объектов
окрашивание и формирование трёхмерных объектов – их создание
операции пересечения, вычитания, сложение и прочее в трёхмерном пространстве
движение объектов в трёхмерном пространстве. Это не для съемки фильмов. Это, cкорее, моделирование в трёх осях.

При этом Java 2D идёт как стандарт, а Java 3D, скорее, эксперимент. Вполне успешный.

Конечно же, 2D проще 3D. И с точки зрения программирования и с точки зрения понимания, но надо учитывать, что они построены для разных целей и выбирать надо то, что нужно Вам.

Andrew G.4Всего 1 ответ.

Как сделать фигуру из бумаги схема. Тема: «Объемные геометрические фигуры

КОНСПЕКТ И МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА (ЗАНЯТИЯ) ПО БУМАГОПЛАСТИКЕ.

Тема:
«Объемные геометрические фигуры».

Цели и задачи урока:
Развить у ученика образное объемно-пространственное мышление и воображение. Выполнение задания предполагает ознакомление с материалом, приобретение умения выполнять точный чертеж, вырезать разнообразные формы, умение пользоваться острыми режущими предметами (резак, ножницы), склеивать между собой детали и собирать объемную геометрическую фигуру.

Оборудование:
У преподавателя
: компьютер и проектор, образцы изделий, инструменты (ножницы, резак, бумага, линейка, карандаш, ластик, клей), шаблоны, инструкция по технике безопасности при работе с режущими инструментами, презентация. У учащихся
:
подкладная деревянная доска (30*20 см), ножницы, резак, бумага (ватман) А3 формата – 2 листа, линейка, карандаш (твердый), ластик, клей (момент «кристалл»).

Тип урока:
смешанный

Ход урока:

1. Организационный момент

–1 минуту.

Проверка готовности к уроку.

2. Объяснение учителя

– 9 минут.

Сообщение темы урока, цели и задачи.

Объяснение материала:

В процессе занятий преподаватель последовательно рассказывает и наглядно показывает о построении чертежей для объемных геометрических фигур и целенаправленно формирует у учащихся способность работать руками, приучает к точным движениям пальцев, совершенствует мелкую моторику рук, развивает глазомер.

— «Из листа бумаги с помощью резака, ножниц и клея можно быстро выполнить модель какого-либо изделия, несложную композицию, макет. В отличии от скульптуры из глины, где масса набирается методом наращивания и уточнения форм, в изделиях из бумаги отсутствует каркас. Почти все изделия – пустотелы и представляют собой как бы скорлупу. Однако это не оттиск с готовой формы, а совершенно самостоятельная пластическая оболочка, созданная за счет сгибов бумаги по предварительно нанесенным линиям – надрезам. Надрезы являются конструктивной основой всех изделий, выполняемых из бумаг (они называются – ребра жесткости). Согнутый пополам лист образует ребро. Если лист сложить несколько раз, то от количества и характера этих прямолинейных сгибов можно получить различную фактуру
».

Опорные качества способностей, формируемых занятиями, с одной стороны, относятся преимущественно к области восприятия (развитость аналитико-синтетического взгляда на предмет), с другой стороны – к области моторики (опциальная область руки). Основной формой проведения занятий является урок смешанного типа (лекция совмещается с практической работой).

3. Практическая работа учеников

– 1 час 20 минут.

Для работы выбраны макеты геометрических фигур различные по размеру и форме.

Ход работы:

1. На листе белой бумаги (ватман) намечаем размеры и контуры для создания геометрических фигур как указанно на шаблоне.

2. Вырезаем по контуру, делаем надрезы на внутренних ребрах фигуры с лицевой стороны. Убираем ластиком вспомогательные линии и сгибаем.

3. Смазываем клеем участки, обозначенные надписью «для клея» (как указанно на шаблоне) и приступаем к конструированию.

По такому же принципу выполняется задание со следующими геометрическими фигурами.

За 5 минут до окончания урока мини-просмотр и обсуждение работ.

Наглядный материал к уроку.

Призентация для урока
: Бумагопластика. Объемные геометрические фигуры.

Геометрическая пирамида.

http://pandia.ru/text/80/128/images/image005_30.jpg»>

Пояснение к слайду: 2.После нанесения чертежа, вырезаем по контуру (сплошная линия) и делаем надрезы резаком по линии обозначенной пунктиром. Вспомогательные линии удаляем ластиком

Октаэдр.

DIV_ADBLOCK219″>

3.Дополнительные вставки на фигуре обозначенные штриховкой смазываем клеем и склеиваем фигуру дополнительными вставками во внутрь.

додекаэдр.

http://pandia.ru/text/80/128/images/image009_14.jpg»>.

ИКОСАЭДР.

Пояснение к слайду: 1.Чертеж икосаэдра переносится на лист учащегося с точностью 1:1, как указанно на шаблоне. Построение начинается с равнобедренного треугольника одна сторона которого равна 4,5 см, а высота 4 см. Далее, как указанно на шаблоне, переносим чертеж всех оставшихся равнобедренных треугольников.

педагогический рисунок учителя.

примеры работ учащихся.

Объемные геометрические фигуры старшей группы 2/4 класса.

Преподаватель: .

Упражнение «Звезда»

Цели урока	Методы и приемы
· Дать представление об истории бумагопластики. · Познакомить с основными способами работы с бумагой в технике бумагопластика · Познакомить с основными этапами выполнения работы , научить аккуратности в ходе выполнения работы · Развить у ученика образное объемно-пространственное мышление и воображение. · Закрепить у обучающихся представление о бумагопластике.	Использование наглядности Самостоятельное выполнение Сравнение
Оборудование	Материалы
Мультимедиа Наглядное пособие	Чертежная бумага, канцелярский резак, ножницы, линейка, циркуль, карандаш, ластик	Выполнение упражнения «Звезда» в технике бумагопластика.
План урока	Образец работы
1.Организация 3 мин. 2.Вводная беседа 10 мин. 3.Самостоятельная работа 30 мин. 4.Заключение 2 мин.

1.Организационная часть.

Нашим заданием на сегодняшний урок будет упражнение в технике бумагопластики «звезда».

2.Объяснение материала.

Бумагопластика.

Что же это такое: скульптура из бумаги, архитектура или дизайн? Данный вид художественной деятельности в равной степени модно отнести ко всем названным направлениям, так как бумага, как проектный материал широко используют и художники, и архитекторы, и дизайнеры. Из листа бумаги с помощью резака, ножниц и клея можно быстро выполнить модель какого-либо изделия, несложную композицию, макет.

Бумажная пластика близка к скульптуре.

В отличие от скульптуры из глины, где масса набирается методом наращивания и уточнения форм, в изделиях из бумаги отсутствует каркас. Почти все изделия – пустотелы и представляют собой как бы скорлупу. Однако это не оттиск с готовой формы, а совершенно самостоятельная пластическая оболочка, созданная за счет сгибов бумаги по предварительно нанесенным линиям – надрезам.

Особенности технологии.

Надрезы являются конструктивной основой всех изделий, выполняемых из бумаг (далее они будут называться – ребра жесткости). Согнутый пополам лист образует ребро. Если лист сложить несколько раз, то от количества и характера этих прямолинейных сгибов можно получить различную фактуру. В Японии этот метод в бумаготворчестве называется — оригами.

Материалы и инструменты.

Главным инструментом в бумагопластике является резак (канцелярский нож). Ножницы нужны для разрезания бумаги, выполнения различных выкроек, надрезов, просечек и т. д. Линейка, желательно металлическая длиной 25-30 см, т. к. пластмассовые и деревянные линейки не точны, и быстро выходят из строя. Циркуль, для построения окружности и деления ее на шесть частей.

3.Выполение работы.

Сегодня мы познакомились с техникой бумагопластики, просмотрели мультимедийную презентацию по данному направлению, и на наглядном пособии просмотрели и потрогали что представляет из себя данная техника. А сейчас мы попробуем выполнить упражнение «звезда». Для этого на вашем рабочем месте должны лежать такие инструменты, как: линейка, карандаш, ластик, резак, ножницы. Упражнение будет выполняться из бумаги. У каждого из Вас так же на столах имеется шаблон по выполнению работы с заданными размерами. Обратите внимание: желтая линия – построение, по коричневой линии-вырезаем, прямые зеленые линии – надрезаем резаком и отгибаем от себя, зеленые линии-пунктир – надрезаем резаком и отгибаем на себя. Работу начинаем вести с отчерченного круга диаметром в 20 см. После чего приступаем к расчерчиванию вспомогательных линий и приступаем к конструированию.

4.Закрепление пройденного материала.

Вот и подошел к концу наш творческий урок. Мы с вами познакомились с новым направлением в искусстве — техникой бумагопластики. Так скажите мне пожалуйста, чем же отличается бумажная скульптура от скульптуры из глины? В какой стране за рубежом используется эта техника, и какого ее название там? Какие материалы могут нам понадобиться при создании бумажной композиции?

Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.

Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб. Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.

Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького. Более сложной фигурой является маленький кубик потому, как клеить его сложнее, чем большой.

Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательноознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.

Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вамразвёртки для этой программы , а также читайте, как распечатывать из автокада . Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.

Для экономии бумаги и на всякий пожарный я сделал несколько развёрток маленького кубика, мало ли вам захочется склеить не один кубик или что-то не получится с первого раза. Ещё одна несложная фигура это пирамида, её развёртки найдёте на втором листе. Подобные пирамиды стоили древние египтяне, правда не из бумаги и не таких маленьких размеров:)

А это тоже пирамида, только в отличие от предыдущей у неё не четыре, а три грани.

Развёртки трёхгранной пирамиды на первом листе для печати.

И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.

Более сложная фигура это пятигранник, хотя пятигранник сложнее начертить, нежели склеить.

Развёртки пятигранника на втором листе.

Вот мы и добрались до сложных фигур. Теперь придётся поднапрячься, склеить такие фигуры нелегко! Для начала обычный цилиндр, его развёртки на втором листе.

А это более сложная фигура по сравнению с цилиндром, т.к. в её основании не круг, а овал.

Развёртки этой фигуры на втором листе, для овального основания сделано две запасных детали.

Чтобы аккуратно собрать цилиндр его детали нужно клеить встык. С одной стороны дно можно приклеить без проблем, просто поставьте на стол заранее склеенную трубку, положите на дно кружок и залейте клеем изнутри. Следите, чтобы диаметр трубы и круглого дна плотно подходили друг к другу, без щелей, иначе клей протечёт и всё приклеится к столу. Второй кружок приклеить будет сложнее, поэтому приклейте внутри вспомогательные прямоугольники на расстоянии толщины бумаги от края трубы. Эти прямоугольники не дадут упасть основанию внутрь, теперь вы без проблем приклеете кружок сверху.

Цилиндр с овальным основанием можно клеить также как и обычный цилиндр, но он имеет меньшую высоту, поэтому тут проще вставить внутрь гармошку из бумаги, а наверх положить второе основание и по краю приклеить клеем.

Теперь очень сложная фигура — конус. Его детали на третьем листе, запасной кружок для днища на 4-ом листе. Вся сложность склеивания конуса в его острой вершине, а потом ещё будет очень сложно приклеить дно.

Сложная и одновременно простая фигура это шар. Шар состоит из 12-ти пятигранников, развёртки шара на 4-ом листе. Сначала клеится две половинки шара, а потом обе склеиваются вместе.

Довольно интересная фигура — ромб, её детали на третьем листе.

А теперь две очень похожие, но совершенно разные фигуры, их отличие только в основании.

Когда склеите эти обе фигуры, то не сразу поймёте, что это вообще такое, они получились какие-то совсем невосприимчивые.

Ещё одна интересная фигурка это тор, только он у нас очень упрощён, его детали на 5-ом листе.

И наконец, последняя фигура из равносторонних треугольников, даже не знаю, как это назвать, но фигура похожа на звезду. Развёртки этой фигуры на пятом листе.

На сегодня это всё! Я желаю вам успехов в этой нелёгкой работе!

Крупу через сито – у каждого ребёнка должно быть своё сито.
Переливания и игры с водой
Развитие
моторики, подготовка руки к письму.
Развитие
моторики очень важно для детей… … соблюдая гармоничную последовательность.
Простая математика: коробочка по имени Десять
Творчество
.
Совместные занятия творчеством
для детей разных возрастов организовать не… … ваты – такое занятие развлечет его надолго. Старший ребёнок может делать в это время аппликацию
: клеить кусочки цветной бумаги на рисунок-заготовку.
– Лепить из пластилина…

Дата обновления: 01.07.2017
Я б в художники пошел… Зачем детям рисование

Которые потом нужно раскрашивать, разноцветный песок для картин. В последние годы в России набирают популярность такие виды творчества
, как квиллинг (объемные аппликации
из свернутых узких полосок разноцветной бумаги), оригами (национальное японское творчество
, складывание бумажных игрушек), скрапбукинг (оформление фотоальбомов, блокнотов и открыток разного рода аппликациями
). Конечно, детям непросто заниматься некоторыми из них. Например, для квиллинга очень важна отлично развитая
мелкая моторика, и малышу может быть трудно удерживать в руках и правильно приклеивать эти свернутые улиткой узкие бумажные полоски, которые так и норовят развернуться в самый неподходящий момент… Но не спешите унывать: в некоторых видах творчества
…

Дата обновления: 20.10.2016
Самый большой список игр для занятий с малышом

Изображать других животных (ходить как мишка, прыгать и квакать как лягушка и т.п.).
РАЗВИТИЕ
логики
1. «Собери только» (учиться выбрать из разбросанных предметов только… … (муравей пчелка и т.п.).
20. Солнышко, тучки, месяц, луна, звезды, дождь, снег, лужи.
Творчество

1. Рисование: восковыми мелками, красками, фломастерами (лучше брать на водной… … ребенок легко усвоит в 1,5 года, что-то «придет» уже после двух – у всех по-разному.
9. Аппликация
из бумаги (различной фактуры), аппликация
из рваной бумаги, аппликация
из…

Дата обновления: 20.06.2016
Творчество с двумя детьми: вместе — веселее!

Возможностью развивать сразу обоих деток. За этим занятием можно максимально развить мелкую моторику, чувство цветовой гаммы, развитие
фантазии и многие другие аспекты воспитания детей. Также это занятие имеет свойство приводить в восторг абсолютно всех… … штампы из картофеля. Будите воображение детей, заражайте их новой идеей — и наслаждайтесь тем покоем и счастьем, которым насыщено творчество
с детьми!
Объемные аппликации
с нестандартным подходом
Ни один ребенок не откажется сделать аппликацию
в компании своего брата или сестренки. Можно…

Дата обновления: 11.06.2016
Если надоело просто рисовать…

Процесса массу удовольствия. И нужно создавать им все условия. Наряду с плоскостной аппликацией
научить их делать объемную: объемная лучше воспринимается дошкольником и… … вырежет из открыток, тканями изобразит небо и облака и т.д. Предела совершенствованию и творчеству
в изобразительной деятельности нет.
Рисуем на камушках
Сама форма камушка… … им.
Рисование приносит вашему малышу только пользу. Рисование плодотворно влияет на развитие
памяти и внимания, развитие
мелкой моторики и воображения. Воображение и фантазия…

Объемные фигурки. Геометрические фигуры из бумаги своими руками с описанием и фото схем

Геометрические фигуры из бумаги должен научиться делать каждый! Ведь никогда не знаешь, какие знания тебе могут пригодиться в жизни. В последнее время техника оригами набирает широкую популярность среди детей и взрослых. Но перед тем как делать разнообразные поделки (животных, птиц, растений, маленьких домиков), нужно начать с простых геометрических фигур. Такие изделия подойдут для школьников для хорошего визуального представления разных фигур.

Мастерим куб

Итак, для сегодняшнего мастер-класса нам пригодится бумага, схемы, клей, ножницы, линейки и немножечко терпения.

Куб — самая простая фигура для оригами, простой многогранник, в котором каждая грань является квадратом. Схему для создания развертки можно распечатать на принтере, либо начертить самим. Для этого выбрать размеры граней. Ширина листа бумаги должна быть не менее 3 сторон одного квадрата, а длина не более 5 сторон. Начертить в длину листа четыре квадрата, которые станут боковыми сторонами куба. Рисовать строго на одной линии, вплотную. Над и под одним квадратом нарисовать по одному квадрату. Дорисовать полоски для склеивания, благодаря которым грани будут соединяться между собой. Наш куб уже практически готов!

Далее тонким слоем клея равномерно размазать по местам соединения. Склеить эти поверхности и закрепить на некоторое время с помощью скрепки. Клей будет схватываться около 30-40 минут. Таким образом склеить все грани.

Поделка посложнее

Конус делается немного сложнее. Для начала нарисовать циркулем окружность. Вырезать сектор (часть кружка, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами) из этой окружности. Острота конца конуса зависит от вырезанной части большого сектора.

Склеить боковую поверхность конуса. Далее измерить диаметр основания конуса. Циркулем нарисовать окружность на листе бумаги. Затем дорисовать треугольнички для склеивания основы с боковой поверхности. Вырезать. После приклеить основание к боковой поверхности. Поделка готова!

Сложный параллелепипед

Параллелепипед — сложная фигура многогранник, у которого 6 граней и каждая из них параллелограмм.

Чтобы сделать параллелепипед техникой оригами, нужно начертить основание — параллелограмм любого размера. С каждой его стороны нарисовать боковые стороны — тоже параллелограммы. Далее от любой из боковых сторон дорисовать второе основание. Добавить места для склеивания. Параллелепипед может быть прямоугольным, если все стороны имеют прямые углы. Затем вырезать развертку и склеить. Готово!

Пирамида-оригами

Пришло время сделать пирамиду из бумаги. Это многогранник, основание которого — многоугольник, а другие грани — треугольники с общей вершиной.

Для начала нужно выбрать размеры пирамиды и количество граней. Далее нарисовать многогранник — он будет основанием. Смотря на количество граней, это может быть также треугольник, квадрат, пятиугольник.

От одной из сторон нашего многогранника нарисовать треугольник, который будет боковой стороной. Затем нарисовать еще треугольник, чтобы одна его сторона была общей с первым треугольником. Нарисовать их столько, сколько сторон в пирамиде. Далее дорисовать полоски для склеивания в необходимых местах. Вырезать и склеить фигуру. Пирамида готова!

Бумажный цилиндр

Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые ее пересекают.

Нарисовать прямоугольник на бумаге, в которой ширина — высота цилиндра, а длина — диаметр. Любители геометрии знают, что отношение длины прямоугольника к диаметру определяется формулой: L=nD, где L — длина прямоугольника, а D — диаметр цилиндра. С помощью этого вычисления узнать длину прямоугольника, которого будем рисовать на бумаге. Дорисовать маленькие треугольнички для склеивания деталей.

Затем нарисовать на бумаге два круга, диаметром как цилиндр. Это будет верхнее и нижнее основания цилиндра. Далее вырезать все детали. Склеить боковую поверхность цилиндра из прямоугольника. Дать детали высохнуть и приклеить к нему нижнее основание. Снова подождать, пока высохнет, и приклеить верхнюю основу. Готово!

В основе самых сложных и необычные формы сооружений, устройств, механизмов лежат элементарные геометрические фигуры: куб, призма, пирамида, шар и другие. Для начала научитесь создавать самые простые фигуры, а после вы легко освоите более сложные формы.

Многие моделисты начинают свой путь с бумажных моделей. Это обусловлено доступностью материала (найти бумагу и картон не составляет трудности) и легкостью в его обработки (не требуются специальные инструменты).

Однако, бумага имеет и ряд характерных особенностей:

капризный, хрупкий материал
требует высокой аккуратности, внимательности, усидчивости при работе

По этим причинам бумага является материалом, как для начинающих, так и для настоящих мастеров и из нее создаются модели самой разной сложности.

В этот статье мы изучим простейшие геометрические фигуры, которые можно сделать из бумаги.

Вам понадобятся следующие материалы:

лист бумаги
карандаш
линейка
ластик
ножницы
клей ПВА либо клеящий карандаш
кисточка для клея, лучше из жесткой щетины
циркуль (для некоторых фигур)

Как сделать куб из бумаги?

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат

Создание куба состоит из двух этапов: создание развертки и склеивание. фигуры. Для создания схемы вы можете воспользоваться принтером, просто распечатав готовую схему. Либо вы можете самостоятельно с помощью чертежных инструментов нарисовать развертку.

Рисование развертки:

Выбираем размеры квадрата — одной стороны нашего куба. Лист бумаги должен быть шириной не менее 3 сторон этого квадрата и длиной немного более 4 сторон.
Чертим в длину нашего листа четыре квадрата, которые станут боковыми сторонами куба. Рисуем их строго на одной линии, вплотную друг к другу.
Над и под любыми из квадратов рисуем по одному такому же квадрату.
Дорисовываем полоски для склеивания, с помощью которых грани будут соединяться между собой. Каждые две грани должны соединяться одной полоской.
Куб готов!

После рисования развертка вырезается ножницами и склеивайте ПВА. Клей очень тонким слоем равномерно размазываем кистью по поверхности склеивания. Соединяем поверхности и закрепляем в нужном положении на некоторое время, с помощью скрепки или небольшого груза. Срок схватывания клея где-то 30-40 минут. Ускорить высыхание можно методом нагрева, например, на батарее. После склеиваем следующие грани, закрепляем в нужном положении. И так далее. Так постепенно вы проклеите все грани куба. Используйте небольшие порции клея!

Как сделать конус из бумаги?

Конус – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Рисование развертки:

Рисуем циркулем окружность
Вырезаем сектор (часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги) из этой окружности. Чем больший сектор вы вырежете, тем острее будет конец конуса.
Склеиваем боковую поверхность конуса.
Измеряем диаметр основания конуса. С помощью циркуля рисуем окружность на листе бумаге требуемого диаметра. Дорисовываем треугольнички для склеивания основания с боковой поверхностью. Вырезаем.
Приклеиваем основание к боковой поверхности.
Конус готов!

Как сделать цилиндр из бумаги?

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Рисование развертки:

Рисуем прямоугольник на бумаги, в котором ширина — это высота цилиндра, а длина определит диаметр будущей фигуры. Отношение длины прямоугольника к диаметру определяется выражением: L=πD, где L- длина прямоугольника, а D — диаметр будущего цилиндра. Подставив в формулу требуемый диаметр, найдем длину прямоугольника, который будем рисовать на бумаге. Дорисовываем небольшие дополнительные треугольнички, которые необходимы для склеивания деталей.
Рисуем на бумаге два круга, диаметром цилиндра. Это будет верхнее и нижнее основания цилиндра.
Вырезаем все детали будущего бумажного цилиндра.
Склеиваем боковую поверхность цилиндра из прямоугольника. Даем детали высохнуть. Приклеиваем нижнее основание. Ждем высыхания. Приклеиваем верхнее основание.
Цилиндр готов!

Как сделать параллелепипед из бумаги?

Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Рисование развертки:

Выбираем размеры параллелепипеда и величины углов.
Чертим параллелограмм — основание. С каждой стороне дорисовываем боковые стороны — параллелограммы. От любой из боковой стороны дорисовываем второе основание. Добавляем полоски для склеивания. Параллелепипед может быть прямоугольным, если стороны прямоугольники. Если параллелепипед не прямоугольный, то создать развертку немного сложнее. Для каждого параллелограмма нужно выдержать требуемые углы.
Вырезаем развертку и склеиваем.
Параллелепипед готов!

Как сделать пирамиду из бумаги?

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Рисование развертки:

Выбираем размеры пирамиды и количество ее граней.
Рисуем основание — многогранник. В зависимости от количества граней это может быть треугольник, квадрат, пятиугольник или другой многогранник.
От одной из сторон основания рисуем треугольник, который будет боковой стороной. Следующий треугольник рисуем так, чтобы одна сторона у него с предыдущим была общая и так далее. Так рисуем столько треугольников, сколько сторон в пирамиде. Дорисовываем полоски для склеивания в нужных местах.
Вырезаем и склеиваем фигуру.
Пирамида готова!

Любому ребенку нравится делать яркие и объемные поделки. Творчество можно объединить с изучением математики и склеить вместе с детьми геометрические фигуры. Ребенок с интересом проведет время, а дополнительно постигнет основы точной науки. Ниже представлено, как начертить карандашом и сделать объемные геометрические фигуры из бумаги, также приведены их правильные названия.

Как сделать объемные геометрические фигуры

Дети познают мир в процессе игры и творчества. Трехмерные фигуры, выполненные своими руками, помогут познакомиться с удивительной наукой — геометрией.

Примеры трафаретов и шаблонов можно скачать из Интернета и распечатать. Затем все фигуры вырезают и склеивают. Дети старшего возраста могут самостоятельно нарисовать развертку нужной фигуры, малышам помогают родители,.

Геометрические объекты делают из бумаги (белой или цветной), картона. Из последнего материала они получаются плотными и прочными.

Из бумаги

Из картона

Развертки куба

Треугольника

Прямоугольника

Цилиндра

Ромба

Призмы

Схемы для вырезания

Ученикам 1–2 класса демонстрируют в школе простые геометрические фигуры и 3d: квадрат, кубик, прямоугольник. Их несложно вырезать и склеить. Шаблоны развивают мелкую моторику у детей и дают первые представления о геометрии.

Ученики средней школы, которые изучают черчение, делают сложные фигуры: бумажные шестигранники, фигуры из пятиугольников, цилиндры. Из бумаги для детей выполняют домики для кукол, мебель, оригами, замок для маленьких игрушек, маски на лицо (трехмерные называются полигональными).

Конуса

Пирамиды

Шестигранника

Макета с припусками

Параллелепипеда

Трапеции

Овала

Шара

Выкройка шара состоит из 8 частей, 12, 16 или большего количества. Присутствуют и другие способы изображения мяча. Например, из 6 деталей или 4 широких клиньев.

Материал, из чего можно сделать плотный шар — картон или плотная бумага.

Многогранника

Параллелограмма

Шаблоны для склеивания

Зачастую школьники задаются вопросом, что можно сделать из бумаги к урокам труда или на выставку. Работы ученика выделятся среди остальных, если это будут сложные трехмерные предметы, рельефные геометрические фигуры, платоновы тела, шаблоны кристаллов и минералов.

Если следовать инструкции, то ученик 5–6 класса сможет без помощи родителей сделать точный додекаэдр или тетраэдр.

Иногда в школе задают логические задания, как из квадрата сделать круг или шестиугольник. Для этого определить центр квадрата, согнув его по диагонали. Точка пересечения прямых — центр квадрата и будущего круга. Исходя из этого, можно начертить круг.

Сложных фигур

3d

Октаэдра

Тетраэдра

Икосаэдра

Додекаэдра

Гексаэдра

Фигурок из треугольников

Макетирование — увлекательное занятие. Оно помогает развить воображение и логическое мышление. Из бумаги делают не только фигуры, но и необычные скульптуры, статуэтки, шестиугольные–двенадцатиугольные предметы, наклонные объекты (например, Пизанскую башню), карандаши, линейки. На фото и картинках можно посмотреть, как выглядят оригинальные поделки из бумаги.

Школьники младших классов или дошколята делают бумажные объемные поделки. Например, предметы из овала — веер, цветы, гусеницы. Для них потребуются овалы и круги разного диаметра. Раскладки склеиваются между собой, получаются трехмерные игрушки.

Начинающие конструкторы задаются вопросами, как рисовать и чертить геометрические фигуры, как правильно склеить выкройки и как делают врезки. Проще всего распечатать готовый шаблон. Затем необходимо согнуть фигуру по пунктирным линиям.

Чтобы сгибы получились ровными, к пунктиру прикладывают линейку, по ее форме делают точные загибы. Такой способ особенно помогает, когда речь идет о фигурках из картона или ребенок делает самые сложные макеты. Например, икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр.

На последнем этапе необходимо скрепить элементы объекта, места для склейки обозначены на развернутом виде фигуры. Детали из картона приклеивают при помощи ПВА, а бумажные — карандашным клеем.

Основные ошибки при работе с моделями:

Ребенок делает неправильные сгибы — например, изгиб отклоняется в сторону от пунктира на несколько градусов. В результате модель получится неточной.

Неточности во время вырезания шаблонов. Если малыш отрезал одну из границ для склеивания, то фигурка будет разворачиваться. Здесь на помощь придет взрослый.

Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.

Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательно ознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.

Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вам развёртки для этой программы , а также читайте, как распечатывать из автокада . Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.

А это тоже пирамида, только в отличие от предыдущей у неё не четыре, а три грани.

Развёртки трёхгранной пирамиды на первом листе для печати.

И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.

Более сложная фигура это пятигранник, хотя пятигранник сложнее начертить, нежели склеить.

Развёртки пятигранника на втором листе.

А это более сложная фигура по сравнению с цилиндром, т.к. в её основании не круг, а овал.

Развёртки этой фигуры на втором листе, для овального основания сделано две запасных детали.

Довольно интересная фигура — ромб, её детали на третьем листе.

А теперь две очень похожие, но совершенно разные фигуры, их отличие только в основании.

Ещё одна интересная фигурка это тор, только он у нас очень упрощён, его детали на 5-ом листе.

На сегодня это всё! Я желаю вам успехов в этой нелёгкой работе!

Вам вполне могут пригодиться в работе геометрические фигуры- куб, конус, цилиндр, призма, шар.
Очень хорошо учиться рисовать натюрморт, для начала
составив его из простых геометрических фигур. Пробовать ложить штрих по форме предметов также лучше начиная с простых форм- геометрических. В идеале, они должны быть гипсовые. Но
есть ли у вас гипсовые конус, циллиндр, куб, шар? Хорошо, если есть. А если нет…. будем выходить из положения вместе и я расскажу как.

Вы можете увидеть ниже примерные чертежи, по которым можно самостоятельно «выкроить» и склеить геометрические фигуры дома. А в качестве
шара вы можете использовать небольшого размера детский мяч, предварительно окрашенный в белый цвет, например- гуашью или эмульсионной краской.

Для начала можете попробовать склеить макеты геометрических фигур из обычной бумаги- ксероксной либо оберточной,
которые будут указаны. Можете пока просто потренироваться.
Если с макетированием у вас все в порядке, можете выполнять работу сразу начисто. Но учитывая нужные размеры. Допустим: если
размеры, указанные вам кажутся малы- стоит увеличить их, дабы и макеты фигур получились не маленькие. Либо даже несколько
видоизменить конус или цилиндр- как вам захочется. Чем больше и разных по размеру фигур сделаете, тем больше у вас будет выбор-
из чего составлять натюрморт и что рисовать.

1. Итак, для конечной работы нам понадобится плотный лист ватмана, можно взять вместо бумаги картон.
Нужно перенести эти чертежи геометрических фигур на бумагу. Вооружитесь карандашом,
ластиком, линейкой, транспортиром и циркулем и начинайте неспешно работать над заготовками макетов цилиндра, конуса и куба.

2. После того, как чертежи фигур будут выполнены, делаем следующее: возьмите
канцелярский нож и на линиях изгибов сделайте неглубокие надрезы (не прорезая бумагу насквозь!).

3. После этого тем- же канцелярским ножом можно вырезать заготовки с плоскости листа. Все надрезы ножом
делаются под линейку! Кривые линии прорезаем старательно вручную или под лекала.

4. Те надрезы, которые вы делали на местах изгибов, позволят вам хорошо согнуть бумагу по краю изгиба, не сминая ее.

5. После всего этого останется только склеить заготовки и у вас получатся свои, собственные геометрические фигуры.

Замечание: если работа получилась грязной, то есть возможность прокрыть фигуры белой краской. Но в этом
случае бумагу может «повести» от влаги, если ваша бумага очень рыхлая или тонковата.
Для этого, изначально, нужно натягивать бумагу на планшет.

Кстати, такие навыки макетирования вам очень даже пригодятся, если вы захотите учиться, например, на факультете промышленный
дизайн. Там умению делать макеты да и самим макетам приделяется очень
большое значение, так- что, тренируйтесь, и вырабатывайте аккуратность и усидчивость.

Чертеж макета куба

Для пробного макета куба
можно взять в размерах длину грани 10 сантиметров. Для основательной работы, для куба, который вы уже сможете использовать в рисунке можно взять длину грани- 20 см.
Естественно, учитывайте, что все углы куба равны 90 градусам, значит удобно при черчении использовать и линейку, и уголок. Чертеж
макета куба не сложный, вполне быстро у вас получится и сам его макет. Главное делать все предельно точно: параллельно и перпендикулярно.

Напоминаю: синим показана та часть макета, на которую будет наноситься клей. Эта часть будет загибаться и
для чистого, ровного загиба, в последствии- угла макета используйте неглубокие надрезы канцелярским ножом по линии загиба.
Кстати, такие кубики, выполненные из цветной бумаги или окрашенные в различные цвета могут использоваться в наблюдениях за поведением
цвета в пространстве в цветоведении .
Для этого возьмите выполненные вами цветные кубики и подвесьте по середине вашей комнаты или поближе к окну.
В течении для иногда поглядывайте на кубики- можно наблюдать, как цвет меняется в течение дня- с утра до ночи, когда освещение
меняется или пропадает вовсе. Цвет меняется не только от силы освещения, но и от его качества- утром один оттенок, к обеду кубик
приобретает уже другие оттенки; в жаркий день один цвет, в пасмурный- другой; при дневном освещении- один цвет, при искусственном- другой.
И все эти градации могут происходить только с одним из ваших кубиков, но ведь их у вас разноцветных может быть несколько!

Чертеж макета конуса

Чертеж макета конуса- радиус круга возьмите пока 5 см. Угол верхушки- 135 градусов. Длина высоты куба- 13,5см. Выполните сначала
пробный макет. Если он вас устраивает, то окончательный чистовой макет можно выполнить в два раза больше. Для этого просто увеличьте
все размеры в два раза. Если хотите другую форму, то достаточно увеличить высоту самого конуса- увеличьте длину высоты конуса. Этого достаточно.

Чертеж макета пирамиды

Пирамида. Тут все просто. Пирамида у нас равнобедренная, все стороны у нас одинаковы. Размеры можете
брать любые, но достаточно и 20см.

Чертеж макета цилиндра

Размеры для черновой работы- радиус окружности равен 3,5см., длина развертки 23,5 см. Что- бы увеличить размеры цилиндра, нужно
умножить величины в желаемое количество раз. Достаточно в 2 раза. Можно поэкспериментировать- сделать цилиндр высоким или приземленным,
как вам понравится. Для рисунка все пригодится, экспериментируйте, пробуйте.

Призма из бумаги схема. Как сделать геометрические фигуры из бумаги? Схемы и советы

Подставив в формулу требуемый диаметр, найдем длину прямоугольника, который будем рисовать на бумаге. Дорисовываем небольшие дополнительные треугольнички, которые необходимы для склеивания деталей.

Рисуем на бумаге два круга, диаметром цилиндра. Это будет верхнее и нижнее основания цилиндра.
Вырезаем все детали будущего бумажного цилиндра.
Склеиваем боковую поверхность цилиндра из прямоугольника. Даем детали высохнуть. Приклеиваем нижнее основание. Ждем высыхания. Приклеиваем верхнее основание.
Цилиндр готов!

Как сделать параллелепипед из бумаги? Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм. Рисование развертки:

Выбираем размеры параллелепипеда и величины углов.
Чертим параллелограмм — основание. С каждой стороне дорисовываем боковые стороны — параллелограммы.

Как сделать призму из бумаги?

Теперь ее нужно сделать наклонной. Подогрейте немного замазку. Осторожно сместите верхнее основание, вымеряя углы между основанием и боковыми сторонами транспортиром. Когда нужная форма будет достигнута, поставьте призму в холодильник.

Обратите внимание Проволоку необходимо брать такую, которая хорошо держит форму., но в то же время легко гнется Полезный совет При изготовлении модели из бумаги сначала сделайте прямую призму, а потом уже согните ее под нужным углом. Статьи по теме: Совет полезен? Как сделать наклонную призму Не получили ответ на свой вопрос?Спросите нашего эксперта: Новые советы от КакПросто

Рекомендованная статья Как запомнить ударение в слове «торты» Казалось бы, в произношении слова «торты» нет ничего сложного – однако оно принадлежит к числу…

Как сделать объемные геометрические фигуры из бумаги (схемы, шаблоны)?

Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы.
Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники – квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты.

Внимание

На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций. Завершение моделирования Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами.

Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.

Как сделать (склеить) призму из бумаги?

В основе геометрического тела – призмы лежат многоугольники, а каждая боковая грань – параллелограмм. Непосвященный, возможно, немного испугался. Но если вашего ребенка просят прийти на урок с призмой, вы, естественно, захотите помочь ему и объяснить, как сделать призму из бумаги. Начнем с изготовления прямой призмы. В этой призме боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Инфо

Наиболее проста в изготовлении своими руками призма из бумаги с тремя гранями, так как в ее основаниях лежат простейшие из многоугольников – треугольники. Изготовим «правильную» призму. У нее основания представлены равносторонними треугольниками. Треугольная призма Продумаем, какая по высоте будет наша треугольная призма из бумаги.

Начертим прямоугольник-с одной стороной, равной высоте, а другой — равной длине периметру треугольника в основании. Полученный прямоугольник разделим параллельными прямыми на три равные части.

Пирамида — развертка. развертка пирамиды для склеивания. развертки из бумаги

Большой выбор развёрток простых геометрических фигур. Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб.

Важно

Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.

Начнем с изготовления прямой призмы. В этой призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. Наиболее проста в изготовлении своими руками призма из бумаги с тремя гранями, так как в ее основаниях лежат простейшие из многоугольников – треугольники. Изготовим «правильную» призму. У нее основания представлены равносторонними треугольниками.

Треугольная призма

Продумаем, какая по высоте будет наша треугольная призма из бумаги. Начертим прямоугольник-с одной стороной, равной высоте, а другой — равной длине периметру треугольника в основании. Полученный прямоугольник разделим параллельными прямыми на три равные части. От углов прямоугольника, находящегося в середине, циркулем проведем окружности с радиусом, равным стороне нашего треугольника в основании. Где окружности пересекутся за пределами первоначального прямоугольника, поставим точки и соединим их с центрами окружностей. Мы должны получить фигуру, изображенную в середине рисунка.
Далее фигуру вырезаем с небольшими припусками для склеивания, сгибаем по имеющимся прямым линиям и получаем готовую призму.

По какому шаблону изготавливается призма из бумаги с четырьмя гранями, наглядно демонстрирует схема на рисунке.

Шестиугольная призма

Пример заготовки для пятигранной призмы представлен на рисунке.
Здесь высота пирамиды 10 см, длина сторон у пятигранника в основании по 3 см. Похожим образом может быть изготовлена шестиугольная призма из бумаги, но в ее основании лежит шестиугольник.

Наклонная призма

Наклонная призма из бумаги представлена на этом рисунке.

Ее боковые грани находятся под углом к основанию. Такую призму можно изготовить по шаблону-развертке.

Призма – объемная фигура, многогранник, видов которого дюже много: положительные и неправильные, прямые и наклонные. По фигуре, лежащей в основании, призма бывает от треугольной до многоугольной. Проще каждого сделать прямую призму, а вот над наклонной надобно немножко огромнее потрудиться.

Вам понадобится

– циркуль;
– линейка;
– карандаш;
– ножницы;
– клей;
– бумага либо картон.

Инструкция

1.
Начертите основания призмы, в данном случае это будут 2 шестиугольника. Для того, дабы начертить верный шестиугольник воспользуйтесь циркулем. Нарисуйте им круг, и с подмогой этого же радиуса поделите окружность на шесть частей (у верного шестиугольника стороны равны радиусу описанной окружности). Получившаяся фигура напоминает ячейку пчелиной соты. Неверный шестиугольник начертите произвольно, но с подмогой линейки.

2.
Сейчас приступайте к проектированию «выкройки». Стенками призмы являются параллелограммы, и вам необходимо их начертить. В прямой модели параллелограммом будет легкой прямоугольник. И его ширина будет неизменно равна стороне шестиугольника, лежащего в основании призмы. При верной фигуре в основании, все грани призмы будут равны между собой. При неправильной – всей стороне шестиугольника будет соответствовать только один параллелограмм (одна боковая грань), подходящий по размеру. При этом следите за последовательностью размеров граней.

3.
На горизонтальной прямой ступенчато отложите 6 отрезков, равных стороне основания шестиугольника. Из полученных точек проведите перпендикулярные линии требуемой высоты. Концы перпендикуляров объедините 2-й горизонтальной линией. У вас получилось 6 прямоугольников, объединенных совместно.

4.
Пристройте к нижней и верхней стороне одного из прямоугольников 2 сконструированных ранее шестиугольника. К любому основанию, если он положительный, и к соответствующему по длине, если шестиугольник неверный. Обведите силуэт сплошной линией, а линии сгиба внутри фигуры – пунктирной. У вас получилась развертка поверхности прямой призмы.

5.
Для создания наклонной призмы основания оставьте такими же. Начертите сторону-параллелограмм, которая будет являться одной из граней. Таких граней должно быть шесть, как вы помните. Дабы сейчас начертить развертку наклонной призмы, надобно расположить шесть параллелограммов в дальнейшем порядке: три по возрастанию, так, дабы их косые стороны образовали одну линию, дальше три по убыванию с тем же условием. Крутизна получившейся линии прямо пропорциональна градусу наклона призмы.

6.
К пяти прямоугольникам в развертке пририсуйте небольшие трапециевидные захлесты на коротких сторонах для склеивания фигуры, а также на одной свободной длинной стороне. Вырежете заготовку для призмы совместно с захлестами и склейте модель.

Призма – это прибор, тот, что разделяет типичный свет на отдельные цвета: алый, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Это светопроницаемый объект, с плоской поверхностью, которая преломляет световые волны в зависимости от их длин и вследствие этому разрешает увидеть свет в различных цветах. Сделать призму
самосильно достаточно легко.

Вам понадобится

Два листа бумаги
Фольга
Стакан
Компакт Диск
Кофейный столик
Фонарик
Булавка

Инструкция

1.
Призму дозволено сделать из простого стакана. Наполните стакан водой чуть огромнее чем наполовину. Разместите стакан на край кофейного столика так, дабы примерно половина дна стакана повисла в воздухе. При этом следите, дабы стаканчик стоял на столе устойчиво.

2.
Положите два листа бумаги один за одним рядом с кофейным столом. Включите фонарь и посветите лучиков света через стакан, так, дабы он падал на бумагу.

3.
Регулируйте расположение фонаря и бумаги до тех пор пока не увидите на листах радугу – так ваш луч света раскладывается на спектры.

Видео по теме

Базовым навыком художника в академическом рисунке является знание изображать на плоскости простейшие объемные геометрические формы – куб, призму
, цилиндр, конус, пирамиду и шар. Владея этим навыком, дозволено выстраивать больше трудные, комбинированные объемные формы архитектурных и прочих объектов. Призма – это многогранник, две грани (основания) которого имеют идентичную форму и параллельны друг другу. Боковые грани призмы являются параллелограммами. По числу боковых граней призмы могут быть 3-, четырехгранными и т.д.

Вам понадобится

– бумага для рисования;
– примитивные карандаши;
– мольберт;
– призма либо предмет, имеющий форму призмы (деревянный брусок, коробка, шкатулка, деталь детского конструктора и т.п.), желанно белого цвета.

Инструкция

1.
Возвести призму
дозволено, вписав ее либо в параллелепипед, либо в цилиндр. Стержневой трудностью при рисовании призмы является положительное построение формы 2-х граней ее основания. При рисовании призмы, лежащей на одной из боковых граней, появляется добавочная трудность соблюдения законов перспективы, от того что в таком расположении становится приметным перспективное сокращение боковых граней.

2.
Рисование вертикально расположенной призмы начните с обозначения ее центральной оси – вертикальной линии, проведенной посередине листа. На линии оси подметьте центр верхней (видимой) грани основания и проведите через эту точку горизонтальную линию. Определите соотношение высоты и ширины призмы способом визирования: посмотрите на натуру, прикрыв один глаз, и, держа карандаш в вытянутой руке на ярусе глаз, подметьте пальцем на карандаше видимую с вашей точки зрения ширину призмы и мысленно уложите это расстояние по линии высоты призмы определенное число раз (сколько получится).

3.
Отмеривая отрезки карандашом теснее на рисунке, подметьте ширину и высоту призмы точками на 2-х нарисованных ранее линиях, соблюдая полученное соотношение. Нарисуйте эллипс вокруг центра верхней грани. Усердствуйте верно передать его воображаемую форму, глядя на натуру. Нарисуйте приблизительно такой же эллипс (но менее сплюснутый) и в плоскости нижней грани основания призмы. Полученные эллипсы объедините двумя вертикальными линиями.

4.
Сейчас на верхнем эллипсе необходимо подметить отрезки пересечения боковых граней и ее оснований. Глядя на натуру, подметьте точки – вершины многоугольника – лежащего в основании призмы, как вы их видите, и ступенчато объедините их между собой. Из этих точек проведите линии вниз до пересечения с нижним эллипсом. Полученные точки пересечения так же объедините. При последующем рисовании грани, заметные с выбранной точки зрения, стираются либо заштриховываются, следственно все вспомогательные линии построения рисуйте без нажима.

5.
Лежащую на боку призму
нарисуйте с подмогой вспомогательного параллелепипеда. Ориентируясь на натуру, вычертите параллелепипед, соблюдая тезисы перспективы – линии боковых ребер при их мысленном продолжении до линии горизонта, находящейся неизменно на ярусе глаз зрителя, сходятся в одной точке. Следственно далекая от нас (заметная) грань будет немножко поменьше передней. При определении соотношений сторон параллелепипеда пользуйтесь способом «вытянутой руки» (либо визирования).

6.
На передней и задней квадратных гранях подметьте вершины многоугольников, лежащих в основании призмы, и постройте их. Объедините эти точки попарно на 2-х гранях – нарисуйте боковые ребра призмы. Удалите непотребные линии. Больше близкие к вам линии ребер и углы призмы выделите пожирнее, а удаленные обозначьте легкими линиями.

7.
Глядя на натуру, определите угол падения света, самую ясную, самую затененную грани и с подмогой штриховки различной интенсивности передайте эти световые соотношения в рисунке. Нарисуйте падающую от предмета тень. Рубеж соприкосновения призмы и стола подчеркните самой темной линией. Обратите внимание, что на самую затененную грань призмы снизу падает свет, отраженный от поверхности стола (рефлекс), и чуть приметно ее освещает. При наложении штриховки на эту грань учтите данный результат и в месте рефлекса наложите менее насыщенный тон.

Видео по теме

Призма – это многогранник, образованный любым финальным числом граней, две из которых – основания – непременно обязаны быть параллельны. Любая прямая линия, проведенная перпендикулярно основаниям, содержит соединяющий их отрезок, называемый высотой призмы. Если все боковые грани примыкают к обоим основаниям под углом в 90°, призма именуется прямой
.

Вам понадобится

Чертеж призмы, карандаш, линейка.

Инструкция

1.
В прямой
призме
всякое боковое ребро по определению перпендикулярно основанию. А расстояние между параллельными плоскостями боковых граней идентично в всякий точке, в том числе и в тех точках, где боковое ребро примыкает к ним. Из этих 2-х обстоятельств вытекает, что длина ребра всякий боковой грани прямой
призмы равна высоте этой объемной фигуры. Значит, если у вас есть чертеж, на котором изображен такой многогранник, на нем теснее присутствуют отрезки (ребра боковых граней), весь из которых дозволено обозначить и как высоту призмы. Если это не запрещено условиями задания, примитивно обозначьте всякое боковое ребро как высоту, и задача будет решена.

2.
Если требуется провести на чертеже несовпадающую с боковыми ребрами высоту, начертите параллельный любому из этих ребер отрезок, соединяющий основания. Не неизменно это дозволено сделать «на глаз», следственно постройте две вспомогательные диагонали на боковых гранях – объедините пару всяких углов на верхнем и соответствующую им пару на нижнем основании. После этого отмерьте на верхней диагонали всякое комфортное расстояние и поставьте точку – это будет пересечение высоты с верхним основанием. На нижней диагонали отмерьте верно такое же расстояние и поставьте вторую точку – пересечение высоты с нижним основанием. Объедините эти точки отрезком, и построение высоты прямой
призмы будет завершено.

3.
Призма может быть изображена с учетом перспективы, то есть длины идентичных ребер фигуры могут иметь на рисунке различную длину, боковые грани могут примыкать к основаниям под различными и не неукоснительно прямыми углами и т.д. В этом случае, дабы верно соблюсти пропорции, действуйте так же, как описано в предыдущем шаге, но точки на верхней и нижней диагоналях ставьте верно в их серединах.

Детально – как сложить лист бумаги и вырезать прекрасную снежинку.

Вам понадобится

Лист бумаги, у меня – обыкновенный лист А4, отменнее брать огромные салфетки
Ножницы

Инструкция

1.
Сворачиваем лист поперек вдвое

2.
Сейчас по вдвое, лишь для того, дабы обнаружить середину

3.
Заворачиваем края бумаги, сложенной вдвое, поочередно – видно как на фото

4.
Следим, дабы листик загнулся равномерно, и концы доставали до сгибов.

5.
Сейчас сворачиваем вдвое полученный конвертик. Необходимо потренироваться, дабы добиться того, дабы внешний край листа доходил ровно до сгиба.

6.
Пока навыка нет, класснее рисовать приблизительный силуэт снежинки заблаговременно.

7.
Аккуратненько вырезаем по силуэту.

8.
Старательно разворачиваем.

Обратите внимание!

Помните, что невозможно делать сквозной разрез, снежинка распадется на части.

Полезный совет

Чем тоньше бумага, тем проще вырезать снежинку. Дозволено делать снежинки и из фольги.

Обратите внимание!

В развертке наклонной призмы не чертите ее грани под слишком огромным углом, напротив модель будет неустойчивой.

Однако, бумага имеет и ряд характерных особенностей:

капризный, хрупкий материал
требует высокой аккуратности, внимательности, усидчивости при работе

В этот статье мы изучим простейшие геометрические фигуры, которые можно сделать из бумаги.

Вам понадобятся следующие материалы:

лист бумаги
карандаш
линейка
ластик
ножницы
клей ПВА либо клеящий карандаш
кисточка для клея, лучше из жесткой щетины
циркуль (для некоторых фигур)

Как сделать куб из бумаги?

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат

Рисование развертки:

Выбираем размеры квадрата — одной стороны нашего куба. Лист бумаги должен быть шириной не менее 3 сторон этого квадрата и длиной немного более 4 сторон.
Чертим в длину нашего листа четыре квадрата, которые станут боковыми сторонами куба. Рисуем их строго на одной линии, вплотную друг к другу.
Над и под любыми из квадратов рисуем по одному такому же квадрату.
Дорисовываем полоски для склеивания, с помощью которых грани будут соединяться между собой. Каждые две грани должны соединяться одной полоской.
Куб готов!

Как сделать конус из бумаги?

Рисование развертки:

Рисуем циркулем окружность
Вырезаем сектор (часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги) из этой окружности. Чем больший сектор вы вырежете, тем острее будет конец конуса.
Склеиваем боковую поверхность конуса.
Измеряем диаметр основания конуса. С помощью циркуля рисуем окружность на листе бумаге требуемого диаметра. Дорисовываем треугольнички для склеивания основания с боковой поверхностью. Вырезаем.
Приклеиваем основание к боковой поверхности.
Конус готов!

Как сделать цилиндр из бумаги?

Рисование развертки:

Рисуем прямоугольник на бумаги, в котором ширина — это высота цилиндра, а длина определит диаметр будущей фигуры. Отношение длины прямоугольника к диаметру определяется выражением: L=πD, где L- длина прямоугольника, а D — диаметр будущего цилиндра. Подставив в формулу требуемый диаметр, найдем длину прямоугольника, который будем рисовать на бумаге. Дорисовываем небольшие дополнительные треугольнички, которые необходимы для склеивания деталей.
Рисуем на бумаге два круга, диаметром цилиндра. Это будет верхнее и нижнее основания цилиндра.
Вырезаем все детали будущего бумажного цилиндра.
Склеиваем боковую поверхность цилиндра из прямоугольника. Даем детали высохнуть. Приклеиваем нижнее основание. Ждем высыхания. Приклеиваем верхнее основание.
Цилиндр готов!

Как сделать параллелепипед из бумаги?

Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Рисование развертки:

Выбираем размеры параллелепипеда и величины углов.
Чертим параллелограмм — основание. С каждой стороне дорисовываем боковые стороны — параллелограммы. От любой из боковой стороны дорисовываем второе основание. Добавляем полоски для склеивания. Параллелепипед может быть прямоугольным, если стороны прямоугольники. Если параллелепипед не прямоугольный, то создать развертку немного сложнее. Для каждого параллелограмма нужно выдержать требуемые углы.
Вырезаем развертку и склеиваем.
Параллелепипед готов!

Как сделать пирамиду из бумаги?

Рисование развертки:

Выбираем размеры пирамиды и количество ее граней.
Рисуем основание — многогранник. В зависимости от количества граней это может быть треугольник, квадрат, пятиугольник или другой многогранник.
От одной из сторон основания рисуем треугольник, который будет боковой стороной. Следующий треугольник рисуем так, чтобы одна сторона у него с предыдущим была общая и так далее. Так рисуем столько треугольников, сколько сторон в пирамиде. Дорисовываем полоски для склеивания в нужных местах.
Вырезаем и склеиваем фигуру.
Пирамида готова!

Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие — геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида — это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.

Материалы и приспособления

Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур — интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:

бумага или картон;
ножницы;
карандаш;
линейка;
циркуль;
ластик;
клей.

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды — это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

Как выполняется развертка правильной пирамиды?

Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае — это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.

Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды — треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.

Сборка макета

Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.

Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра — треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.

Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.

Завершающий этап выполнения макета

Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.

Объемные макеты сложных фигур

После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани — это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.

Построение чертежа

Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями — подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим которой будет измеренное расстояние.

Следующий этап — это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники — квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.

Завершение моделирования

Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.

Изготовление разных моделей многогранников

Выполнение объемных моделей геометрических фигур — увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.

Адаптивная геометрическая тесселяция для трехмерной реконструкции анизотропно развивающихся клеток в многослойных тканях из разреженных изображений объемной микроскопии

Abstract

Необходимость количественной оценки моделей роста клеток в многослойной многоклеточной ткани требует разработки метода трехмерной реконструкции, который может оценивать трехмерные формы и размеры отдельных клеток на срезах изображений конфокальной микроскопии (CLSM). Однако современные методы трехмерной реконструкции с использованием визуализации CLSM требуют большого количества срезов изображения на ячейку.Но в случае Live Cell Imaging активно развивающейся ткани невозможно получить большое разрешение по глубине, чтобы избежать повреждения клеток от длительного воздействия лазерного излучения. В настоящей работе мы предложили структуру трехмерной реконструкции на основе анизотропной мозаики Вороного для плотно упакованной многослойной ткани с экстремальной z-разреженностью (2–4 среза на ячейку) и широким диапазоном форм и размеров ячеек. Предлагаемый метод, названный «Адаптивная квадратичная мозаика Вороного» (AQVT), способен решать как проблему разреженности, так и неоднородность форм ячеек, оценивая параметры тесселяции для каждой ячейки из разреженных точек данных на ее границах. .Мы протестировали предложенный метод трехмерной реконструкции на стопках покадровых изображений CLSM апикальной меристемы побегов арабидопсиса (SAM) и показали, что метод реконструкции на основе AQVT может правильно оценивать трехмерные формы большого количества клеток SAM.

Образец цитирования: Чакраборти А., Пералес М.М., Редди Г.В., Рой-Чоудхури А.К. (2013) Адаптивная геометрическая мозаика для трехмерной реконструкции анизотропно развивающихся клеток в многослойных тканях по разреженным изображениям объемной микроскопии.PLoS ONE 8 (8):
e67202.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202

Редактор: Roeland M.H. Merks, Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) и Нидерландский институт системной биологии, Нидерланды

Поступила: 19 июня 2012 г .; Дата принятия: 17 мая 2013 г .; Опубликован: 5 августа 2013 г.

Авторские права: © 2013 Chakraborty et al. Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Финансирование: Эта работа финансируется грантом Национального научного фонда IIS-0712253 Амиту Рою-Чоудхури и NSF IOS-1147250 Венугопале Гонехалу Редди. Финансирующие организации не играли никакой роли в дизайне исследования, сборе и анализе данных, принятии решения о публикации или подготовке рукописи.

Конкурирующие интересы: Авторы заявили, что конкурирующих интересов не существует.

Введение

Причинная связь между моделями роста клеток и динамикой экспрессии генов была главной темой, представляющей интерес в биологии развития.Однако в большинстве исследований в этой области предпринимались попытки качественно описать взаимосвязь между регуляторной сетью генов и ростом и деформацией клеток. Правильный количественный анализ моделей роста клеток как в тканях растений, так и в тканях животных до сих пор остается в основном труднодостижимым. Такая информация, как скорость и характер размножения клеток, играет решающую роль в объяснении динамики роста и деформации клеток и, таким образом, может быть чрезвычайно полезной для понимания морфогенеза.Следовательно, необходимость количественной оценки этих биологических параметров (таких как объем клеток, скорость роста клеток, форма клеток, среднее время между делениями клеток и т. Д.) И наблюдение за их эволюцией во времени имеют первостепенное значение для биологов.

Для сложных многослойных многоклеточных тканей растений и животных наиболее популярным методом захвата отдельных клеточных структур и оценки вышеупомянутых параметров для растущих клеток является конфокальная микроскопия на основе Live Cell Imaging .Конфокальная лазерная сканирующая микроскопия (CLSM) позволяет визуально исследовать внутренние части многослойных тканей. С помощью этой техники мы можем отображать ткани в виде набора последовательных оптических срезов (также известных как «Z-Stack»), которые затем можно использовать для анализа. Визуализация живых клеток — это класс микроскопии, при которой одни и те же живые клетки наблюдаются и визуализируются через регулярные промежутки времени в течение нескольких часов для отслеживания их движения или смещения и визуализации динамики роста и деления клеток.

В последнее время был проделан значительный объем работы по автоматизированной обработке и анализу изображений клеток, но в основном по сегментации изображений и отслеживанию клеток. Такие методы, как [1], [2], показывают, что отдельные ячейки могут быть эффективно сегментированы в многоклеточном поле, а [3], [4] предоставляют автоматизированные методы для отслеживания отдельных ячеек во времени. Оценка формы и объема клеток как функции времени является наиболее фундаментальной для понимания процесса роста. Из-за большого количества данных, собранных во время роста ткани, абсолютно необходимы вычислительные методы для надежной оценки трехмерных клеточных структур и объемов клеток, чтобы получить статистически значимые результаты этих параметров роста.

Несмотря на исключительную полезность визуализации живых клеток на основе CLSM для анализа таких тканевых структур, существует ряд технических проблем, связанных с этим методом визуализации, что делает задачу оценки формы клеток нетривиальной. Чтобы клетки оставались живыми и растущими, мы должны ограничить воздействие лазерного излучения на образец, т. Е. Если будут собраны плотные образцы в один момент времени, маловероятно, что мы сможем получить покадровые изображения, поскольку образец не будет продолжают расти со временем из-за высокого радиационного воздействия.Поэтому количество срезов, в которых отображается клетка, часто очень мало (2–4 среза на ячейку). Опять же, флуоресцентный сигнал исчезает по мере того, как мы отображаем более глубокие слои ткани, тем самым создавая проблему очень низкого отношения сигнал / шум в частях стека конфокальных изображений. Обратите внимание, что в некоторых случаях микроскопия с двухфотонным возбуждением или световая микроскопия могут быть лучшим выбором для визуализации живых клеток для более эффективного обнаружения света и уменьшения эффекта фотообесцвечивания. Но существует большое количество наборов данных, которые отображаются с помощью CLSM или демонстрируют характеристики наших данных, и наш метод может быть полезен при их анализе.Мы обнаружили, что двухфотонное возбуждение токсично для клеток SAM, чем однофотонное CLSM, и, поскольку SAM окружен несколькими развивающимися цветочными бутонами, боковое возбуждение может быть невозможно. Кроме того, разработав метод анализа изображений, который способен обрабатывать данные худшего качества, мы можем гарантировать, что такая же или лучшая точность может быть достигнута на наборе данных с превосходным качеством изображения и разрешением. Таким образом, с точки зрения анализа изображений, мы смотрим на очень сложную проблему, когда мы хотим получить трехмерную реконструкцию поверхности ячеек произвольной формы из набора очень редко дискретизированных точек данных в присутствии неизбежного шума изображения.Также трубопровод реконструкции должен быть полностью автоматизирован. В большинстве случаев ручной анализ (который был тенденцией) обычно чрезвычайно утомителен и часто дает только качественные тенденции в данных, а не точные количественные модели.

В этом исследовании мы рассмотрели проблему трехмерной реконструкции плотно упакованной многослойной ткани из ее разреженных по Z срезов конфокального изображения. В качестве особого примера в этой статье мы предложили новую, полностью автоматизированную структуру трехмерной реконструкции клеточного разрешения для апикальной меристемы побега (SAM) Arabidopsis Thaliana.SAM, также называемая нишей стволовых клеток, является очень важной частью плана организма растения, поскольку он поставляет клетки для всех надземных частей растения, таких как листья, ветви и стебель. Типичный SAM арабидопсиса представляет собой плотно упакованный многослойный кластер клеток, состоящий примерно из пятисот клеток, слои которых клонально отличаются друг от друга. Тесная мозаика ячеек в SAM позволила нам оценить трехмерную структуру отдельных ячеек, используя информацию о срезах ячейки, а также ее ближайших соседей.Трехмерная оценка основана на предшествующих геометрических моделях тесселяции, параметры которых оцениваются на основе имеющихся разреженных данных изображения, а затем эта модель используется для разделения трехмерной структуры SAM на отдельные ячеистые области.

Руководствуясь методами, описанными в [5], [6], мы сначала предполагаем тесселяционную модель «Вороного», основанную на метрике евклидова расстояния, чтобы сегментировать / реконструировать формы трехмерных ячеек. На основе результатов, полученных на разреженных трехмерных конфокальных стопках изображений SAM, мы показываем, что эта модель дает хорошее приближение форм ячеек, где формы и размеры ячеек одинаковы по всем трем осям ячеек и по основным осям роста соседних ячеек. клетки изотропны.Но на практике это не всегда так, и клетки могут иметь очень анизотропную форму и рост даже в непосредственной близости. В таких случаях мозаика Вороного с использованием евклидова расстояния не может создать достаточно точные стенки ячеек.

Поэтому мы предлагаем анизотропную мозаику Вороного, определяемую на основе квадратичной метрики расстояния, чтобы уловить анизотропию роста отдельных ячеек вдоль всех их осей. Мы показываем, что параметры этой метрики можно оценить из разреженного набора срезов конфокального изображения отдельных ячеек, а тесселяция на основе этой метрики может обеспечить очень точные трехмерные формы ячеек в виде квадратичных поверхностей даже в случае неоднородных форм ячеек. , размеры или рост по разным осям клеток.Тесселяция, названная «Адаптивная квадратичная мозаика Вороного» (AQVT), и основанный на ней метод трехмерной реконструкции, представленные в этой статье, обеспечивают достаточно точные трехмерные реконструированные формы и размеры ячеек в SAM, что подтверждено экспериментами в разделе 5.3. Мы также показываем, что предложенная анизотропная мозаика Вороного (AQVT) также может быть применена к тканям, где формы клеток в ткани соответствуют стандартному евклидовому расстоянию, основанному на мозаике Вороного.

Хотя этот метод мотивирован нашей предыдущей работой в [7], существуют фундаментальные различия как в теории, так и в реализации между [7] и настоящей работой, основанной на AQVT.Основные отличия заключаются в следующем. 1. AQVT ставит и решает проблему трехмерной сегментации / реконструкции в стандартной структуре геометрической мозаики, которая очень интуитивно понятна для такого типа задач и имеет прочную теоретическую основу в литературе. 2. Метод, описанный в [7], представляет собой итерационный метод, который может иметь длительное время выполнения в зависимости от желаемого уровня точности и выбранных параметров (например, размера шага на стадии деформации). Метод реконструкции на основе AQVT, описанный в этой статье, представляет собой одноэтапный процесс и, следовательно, имеет меньшее время выполнения по сравнению с [7].3. Хотя существует ряд определяемых пользователем параметров и пороговых значений, необходимых для метода в [7], AQVT не требует какого-либо пользовательского ввода, кроме редко дискретизированных сегментированных срезов ячеек для реконструкции, что делает настоящий метод менее неоднозначным и легким в использовании. использовать. Можно показать, что при очень конкретном критерии [7] может давать результаты, аналогичные результатам предлагаемого метода, который подробно обсуждается в разделе 4.2.3.

Постановка проблемы

2.1 Цель

Целью настоящей работы является получение полностью автоматизированной трехмерной реконструкции / сегментации с клеточным разрешением плотно упакованной анизотропно растущей ткани из начальных двухмерных сегментов и соответствий срезов ее разреженных Z-образных срезов конфокального изображения.

2.2 Проблемы исследования и вклад

Существует несколько методов оценки формы и размера отдельных клеток, таких как метод импеданса [8] и методы световой микроскопии [9]. Такие методы, как [10], используются для изучения изменений размеров клеток в клеточных монослоях. В живых тканях растений ряд работ был сосредоточен на реконструкции поверхности [11], [12]. Но мы сталкиваемся с гораздо более сложной проблемой, где предметом изучения является плотный кластер клеток. Меристема растений является одним из примеров таких кластеров клеток, где сотни мелких клеток плотно упакованы в многослойную структуру (рис. 1).В таких случаях в наши дни наиболее популярной практикой является использование конфокальной лазерной сканирующей микроскопии (CLSM) для изображения срезов клеток или ядер с очень высоким пространственным разрешением, а затем восстановления трехмерного объема клеток из этих последовательных оптических срезов. которая оказалась достаточно точной [13] — [15].

Рисунок 1. Апикальная меристема побега (SAM): многослойный кластер ячеек.

(A) SAM, расположенная в верхней части побега Arabidopsis, (B) Детальный вид поверхности, показывающий различные области SAM, (C1 – C3) Три последовательных среза SAM, расположенных на расстоянии каждого метра, полученные с помощью метода CLSM, ( D) Вид сбоку в поперечном сечении SAM, на котором четко показаны несколько слоев (L1, L2, L3) плотно упакованных стволовых клеток и их формы, (E1 – E3) Видимые клеточные стенки отдельных клеток в 3 последовательных срезах с редкими выборками. SAM, полученный из набора данных визуализации в реальном времени 3D CLSM.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g001

Однако производительность современных методов трехмерной реконструкции на основе изображений в значительной степени зависит от наличия большого количества очень тонких оптических срезов клетки и производительности. быстро ухудшается в тех случаях, когда количество клеточных срезов становится ограниченным. Эта проблема очень распространена, особенно при визуализации живых клеток на основе CLSM, когда временной интервал между последовательными наблюдениями невелик.Для того, чтобы клетки оставались живыми и растущими в течение более длительного периода времени и получали частые наблюдения, клетка не может быть отображена более чем в 2–4 срезах, т.е. нельзя одновременно достичь высокого разрешения по глубине и разрешению по времени.

Самый последний метод [14] точно реконструирует апикальную меристему побегов Arabidopsis. В этом методе используется набор данных, содержащий изображения мелких срезов, полученные с 3 разных углов, каждый с разрешением по оси Z 1 м. Они указали 24 часа как временное разрешение в изображении.Но для анализа динамики роста клеточных кластеров, где временной интервал между последовательными делениями клеток находится в диапазоне от 30 до 36 часов, нам необходимо гораздо более высокое временное разрешение при визуализации, чтобы уловить точную динамику роста. Чтобы получить более длинные клеточные линии с высоким временным разрешением, нам, возможно, придется пожертвовать пространственным разрешением или разрешением по глубине, и, следовательно, количество срезов изображения, в которых присутствует клетка, может быть действительно небольшим. При таком ограниченном количестве данных изображения существующие методы трехмерной реконструкции / сегментации не могут дать хорошую оценку формы ячеек.В настоящей работе мы обратились к этой проблеме реконструкции растительных клеток в ткани, когда количество срезов изображения на клетку очень ограничено.

Существует принципиальная разница между рассматриваемой задачей сегментации и классической схемой 3D сегментации. Классический метод решает проблему сегментации с использованием интенсивности пикселей и не может работать, если для большинства трехмерных пикселей изображения не предоставлена информация об интенсивности. В таких ситуациях наиболее интуитивно понятный способ выполнения сегментации — сначала сегментировать участки изображения с известной информацией об интенсивности с использованием классической схемы сегментации, а затем экстраполировать между этими разреженными сегментами с использованием известной геометрической модели или функции, которая может быть универсальной. или для конкретных данных.В этой работе мы показали, что квадратичная мозаика Вороного является очень точным выбором для такой геометрической модели для сегментирования ткани с анизотропно растущими плотно упакованными клетками, начиная с разреженного набора сегментированных 2D-срезов Watershed на ячейку.

Апикальная меристема побега — это многослойная многоклеточная структура, в которой клетки плотно упакованы вместе, между ними почти нет пустот. Руководствуясь этой физической структурой SAM, мы предлагаем нашу новую трехмерную реконструкцию с разрешением ячеек в рамках геометрической тесселяции.Тесселяция — это разделение пространства на замкнутые геометрические области без перекрытия или зазора между этими областями. В случае ткани SAM каждая клетка представлена такой закрытой областью, и любая точка в трехмерной структуре SAM должна быть частью одной и только одной клетки. Фактически, в литературе есть несколько недавних работ, таких как [5], которые предсказывают, что трехмерные структуры SAM-клеток Arabidopsis могут быть представлены выпуклыми многогранниками, образующими трехмерный узор мозаики «Вороного».

Тесселяция Вороного — это одна из простейших форм разделения метрического пространства, где границы между двумя соседними разделами равноудалены от точки внутри каждой из этих областей, также известной как «сайты».В [5], [6] эти сайты являются приблизительными местоположениями центра ядер клеток, вокруг которых ткань разбивается на отдельные клетки. Однако в этой работе использовался набор данных, в котором как плазматическая мембрана, так и ядро каждой клетки помечены флуоресцентным белком, тогда как в нашем случае под конфокальным микроскопом видна только плазматическая мембрана.

В этой работе мы представляем и оцениваем полностью автоматизированную структуру трехмерной реконструкции разрешения ячеек для реконструкции SAM Arabidopsis, где количество срезов конфокального изображения на ячейку очень ограничено.Структура состоит из различных модулей, таких как сегментация ячеек, пространственное отслеживание ячеек, реконструкция поверхности SAM и, наконец, модуль трехмерной тесселяции. Мы оцениваем модель тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния на нашем наборе данных, а затем, исходя из ее ограничений, мы продолжаем предлагать анизотропную тесселяцию Вороного на основе квадратичного расстояния, где метрика расстояния для каждой ячейки оценивается из сегментированных и отслеживаемых разреженных точек данных для клетка. Этот метод применим к плотно упакованным многоклеточным тканям и может использоваться для реконструкции тканей без пустот между клетками с достаточно высокой точностью.Обратите внимание, что для предлагаемого модуля 3D-реконструкции мы начинаем с нескольких точек данных на каждой сегментированной ячейке, которые предварительно кластеризованы с помощью метода отслеживания ячеек (т.е. неполной сегментации 3D), тогда как окончательный результат нашего алгоритма представляет собой полную мозаику всей трехмерной структуры SAM, где каждая ячейка представлена очень плотным облаком точек. Эти облака точек для отдельных ячеек можно визуализировать в виде трехмерных выпуклых многогранников, которые приблизительно соответствуют форме ячеек.

2.3 Организация

Остальная часть статьи организована следующим образом. В разделах 3.1 и 3.2 описывается обзор нашего подхода и проблемы, связанные с его различными этапами. Математические и алгоритмические детали предлагаемого метода реконструкции представлены в разделах 4.1 и 4.2. Наконец, мы представляем экспериментальные результаты и подтверждение нашего подхода с последующим заключительным обсуждением.

Обзор предлагаемого метода

Чтобы правильно понять задачи исследования и наш вклад, мы сначала объясним данные (Раздел 3.1). Мы также кратко описываем необходимые этапы предварительной обработки, такие как сегментация ячеек и отслеживание ячеек, которые генерируют окончательную структуру данных в качестве входных данных в конвейер трехмерной реконструкции.

3.1 Настройка и предварительная обработка изображений

SAM Arabidopsis Thaliana состоит примерно из 500 клеток, и они организованы в несколько слоев клеток, которые клонально отличаются друг от друга. Изменяя глубину фокальной плоскости, CLSM может предоставлять сфокусированные изображения с различной глубины образца.Чтобы клетки были видны под действием лазера, используются флуоресцентные красители. Набор изображений, полученных таким образом в каждый момент времени, составляет трехмерный стек, также известный как «Z-стек». Каждый Z-стек отображается с определенным интервалом времени (например, 3 часа между последовательными наблюдениями) и состоит из серии оптических поперечных сечений SAM, разделенных прибл. 1,5 м (рисунок 1). Стандартная апикальная меристематическая клетка побега имеет диаметр примерно 5-6 м и, следовательно, в большинстве случаев одна клетка не видна более чем на 3–4 срезах, когда ткань редко визуализируется при 1.5 м, чтобы избежать фотодинамического повреждения ячеек. Чтобы учесть любой незначительный сдвиг в выравнивании изображений в трехмерном стеке, каждый стек регистрируется методом максимизации взаимной информации [16].

Поскольку нас интересует вычисление объема каждой ячейки в кластере ячеек SAM, нам необходимо сегментировать все ячейки в каждом срезе. Мы можем использовать различные алгоритмы сегментации, такие как Watershed [17], сегментация по уровням [1] и т. Д., Которые имеют свои преимущества и недостатки.Хотя метод, который мы предлагаем здесь, не зависит от выбранной нами стратегии сегментации, мы предпочли Watershed [18], а не сегментацию с заданными уровнями, поскольку она дает более точные и реалистичные границы ячеек для наших конфокальных данных SAM. Обратите внимание, что вклад нашего метода заключается в стадии пост-сегментации и отслеживания, хотя более качественные сегментированные данные гарантированно улучшают производительность как методов отслеживания, так и методов 3D-реконструкции.

Чтобы найти соответствие ячейки в нескольких срезах как в пространственном, так и во временном направлении, мы использовали наш надежный алгоритм отслеживания ячеек на основе локального графа [4], [19].Этот алгоритм начинается с обнаружения пары начальных ячеек между двумя изображениями срезов SAM с использованием «сопоставления локального графа» и постепенно перемещается наружу от начальной пары для получения соответствий между соседними ячейками, пока не будут отслежены все ячейки. Этот метод является надежным, поскольку он объединяет результаты отслеживания по всему стеку четырехмерных изображений и тем самым сводит к минимуму вероятность потери ячейки в любом из срезов из-за плохой сегментации зашумленных данных. Еще одно преимущество заключается в возможности пакетной обработки этого метода, который позволяет нам реконструировать большое количество ячеек SAM за раз.

3.2 Предлагаемая трехмерная реконструкция — Обзор

После того, как разреженные срезы изображения сегментированы и отслеживаются для создания начальной кластеризации отдельных срезов ячеек, цель состоит в том, чтобы получить полные трехмерные реконструкции этих ячеек. Как объяснялось выше, для получения изображений в реальном времени с частыми наблюдениями во времени количество срезов, в которых может присутствовать конкретная клетка, очень мало (например, 2–4 среза на ячейку). К сожалению, существующие методы трехмерной реконструкции не могут справиться с такой разреженностью данных.Руководствуясь физическими структурами клеток, мы решаем эту проблему, принимая предшествующую геометрическую трехмерную тесселяционную модель ткани, параметры которой оцениваются так, чтобы соответствовать заданному разреженному набору сегментированных изображений поперечного сечения.

В [5], [6] авторы использовали стандартную технику мозаики Вороного для оценки границ клеток на основе известной информации о местоположении ядра для отдельных клеток. Воодушевленные их работой, мы сначала показываем, как мозаику Вороного можно приспособить к нашему набору данных CLSM, который имеет только частичную информацию о клеточной стенке (раздел 4.1.1, раздел 4.1.2). В отличие от набора данных, использованного в [5], [6], у нас нет помеченных ядер клеток в нашем наборе данных. Стандартная аффинная мозаика Вороного не всегда достаточно точна для реконструкции клеток в SAM, поскольку разные клетки в ткани могут иметь очень разные размеры, а соседние клетки могут не иметь изотропных направлений роста. Это побуждает нас предложить анизотропную модель мозаики Вороного (раздел 4.2) для ткани, которая также является обобщением стандартной аффинной мозаики Вороного.Мы покажем, как оценить параметры (раздел 4.2.1) анизотропной или квадратичной функции расстояния для отдельных ячеек из разреженных точек данных на границах этих ячеек. Предложенный подход к квадратичной мозаике Вороного, называемый «Адаптивная квадратичная мозаика Вороного» (AQVT), затем используется для кластеризации плотного облака точек, полученного из оцененной трехмерной поверхности SAM, и, таким образом, для создания окончательных трехмерных форм каждого отдельного объекта. ячейка (раздел 4.2.2).

Подробные методы: каркас 3D-реконструкции

4.1 Трехмерная реконструкция на основе мозаики Вороного

4.1.1 Краткий обзор мозаики Вороного и ее свойств.

«Диаграмма Вороного» — это геометрическая минимизирующая диаграмма, которая разбивает пространство для встраивания на различные неперекрывающиеся области. Каждая из этих областей характеризуется точкой генерации или объектом, также известным как «сайт». Все остальные точки в каждом из этих регионов находятся ближе к сайту в этом регионе, чем к любому другому сайту во всем пространстве встраивания. Близость точек к сайтам рассчитывается с использованием метрики расстояния.Сайты могут быть разных типов: от точки, линии до любой сложной геометрической формы. В зависимости от типа сайтов, метрики расстояния или пространства вложения можно определить несколько различных вариантов диаграммы Вороного. Подробное обсуждение многих из таких вариантов можно найти в [20] — [22].

В зависимости от характеристики функции сайта и расстояния геометрическое место точек, равноудаленных от двух соседних сайтов (также называемых «биссектрисами» или «ребрами»), может быть гиперплоскостями или гиперповерхностями более высокого порядка.Мы называем диаграммы Вороного с биссектрисами гиперплоскости «аффинными диаграммами Вороного». Наиболее распространенным примером такой аффинной диаграммы является диаграмма Вороного точек, основанная на метрике евклидова расстояния.

Пусть будут точечные сайты в пространстве, и множество всех сайтов будет. Области Вороного, связанные с этими сайтами, представлены как где, (1) где — полуплоскость, определяемая как,

(2) Расстояние для стандартной диаграммы Вороного — это евклидово расстояние, определенное как

Опять же, множество всех точек на биссектрисе между двумя областями Вороного задается выражением, (3)

Некоторые свойства диаграммы Вороного на основе евклидова расстояния с точечными узлами следующие:

Линия, соединяющая любые две площадки Вороного и всегда перпендикулярная биссектрисе / ребру Вороного,
Перпендикулярные расстояния от и до равны друг другу,
Любая точка удовлетворяет
и
Полученные таким образом области Вороного представляют собой выпуклые многогранники и могут быть выражены как пересечение конечного числа открытых или замкнутых полупространств.

На рисунке 2 (A) мы показали некоторые свойства 2D-тесселяции Вороного с двадцатью одним участком (и т. Д.). Можно заметить, что каждая из этих областей Вороного представляет собой выпуклый многоугольник.

Рис. 2. Схема тесселяции Вороного и расчетных центроидов клеток SAM как сайтов Вороного.

(A) Диаграмма Вороного, основанная на метрике евклидова расстояния для двадцати одного участка в 2D. На рисунках также видно, что ребра Вороного перпендикулярны линии, соединяющей любые два соседних участка.являются тремя ребрами Вороного и являются серединными перпендикулярами к ним соответственно. (B) Центроиды оцениваются примерно для двухсот клеток в ткани SAM, которые также являются участками тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g002

4.1.2 Оценка участков Вороного по разрозненным данным.

После сегментации и отслеживания нам дается разреженный набор трехмерных точек данных, лежащих на границе между соседними ячейками.Наша цель состоит в том, чтобы подогнать мозаику Вороного к этим точкам данных, чтобы получить полные структуры отдельных ячеек, представленные в виде многогранников Вороного в 3D. Следовательно, в идеале разреженные точки данных должны лежать на биссектрисах между соседними областями Вороного. Учитывая очень разреженный набор точек данных на биссектрисах, как в случае «Визуализации живых клеток», единственный способ восстановить диаграмму Вороного — это сначала оценить приблизительные местоположения сайтов Вороного, из которых можно определить границы / биссектрисы Вороного. затем вычислить.

Учитывая набор генерирующих сайтов, построение диаграммы Вороного может быть выполнено несколькими методами, наиболее популярным из которых является алгоритм Fortune «развертка линии». Однако обратная задача, то есть получение местоположения сайтов по биссектрисе Вороного, менее изучена в литературе. В [23] Evans et al. предложил линейный метод наименьших квадратов для оценки участков Вороного путем подгонки диаграммы Вороного к заданному образцу тесселяции. Опять же, в [24] был предложен ряд алгоритмов для получения узлов Вороного по вершинам многоугольников Вороного.Но ни один из этих методов не применим к имеющимся у нас разреженным данным. Эти методы требуют знания полной структуры многогранников Вороного, а это именно тот результат, к которому мы стремимся. Фактически, из-за крайней разреженности нашего набора данных получить уникальные оценки участков Вороного для отдельных трехмерных ячеек практически невозможно.

В этой ситуации знания о физической структуре стволовых клеток SAM помогают нам получить приблизительное расположение участков Вороного, где каждая клетка представлена как область Вороного.В [6] авторы заметили, что клетки SAM могут быть представлены как области Вороного, где сайты расположены примерно в центрах ядер клеток. Это наблюдение, наряду с тем фактом, что ядро, расположенное в центральной части клетки, составляет большую часть размера SAM-клетки, побуждает нас разработать простую стратегию для оценки приблизительного местоположения сайтов, даже если ядра не отображается в стеке конфокальных изображений.

Учитывая, что разреженный набор точек на сегментированных и отслеживаемых срезах ячейки (набор трехмерных точек данных), приблизительное положение центра тяжести ячейки будет, где элементы являются средними арифметическими значениями и соответственно.Таким образом, это также предполагаемое приблизительное местоположение участка, соответствующего области Вороного, представляющей ячейку. Центроиды примерно для 200 клеток из ткани SAM показаны на рисунке 2 (B).

Теперь следующим шагом будет создание плотного облака точек, взятых из структуры SAM, и кластеризация этого плотного набора трехмерных точек данных в различные области Вороного (представляющие отдельные ячейки) на основе предполагаемых местоположений сайтов.

4.1.3 Генерация плотного облака точек для разделения на ячейки: глобальная форма SAM.

На этом этапе мы оцениваем трехмерную структуру SAM путем подгонки гладкой поверхности к ее сегментированным контурам. Подгонка поверхности выполняется в два этапа. На первом этапе граница SAM в каждом срезе изображения извлекается с использованием метода «Level Set» (рисунок 3 (A)). Набор уровней — это набор точек, в которых функция принимает постоянное значение. Мы инициализируем уровень, установленный на границе среза изображения для каждого поперечного сечения SAM, который ведет себя как активный контур и постепенно сужается к границе SAM.Пусть множество точек на сегментированных контурах САМ равно ().

Рис. 3. Создание плотного облака точек на реконструированной поверхности SAM.

(A) Контуры SAM, извлеченные из стека конфокальных изображений с использованием сегментации Level-Set, (B) Поверхность SAM восстанавливается с использованием линейной интерполяции по локальной окрестности точек на контурах SAM, (C) Очень плотное облако точек извлекается из реконструированной поверхности SAM, которая с помощью предложенного метода реконструкции группируется в отдельные ячейки.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g003

На втором этапе мы помещаем поверхность на сегментированные точки. Предполагая, что поверхность может быть представлена в форме (где функция неизвестна), наша цель состоит в том, чтобы предсказать каждую точку на прямоугольной сетке с плотной выборкой точек, ограниченных. Поскольку сегментированный набор точек данных чрезвычайно разрежен, это прогнозирование выполняется с использованием линейной интерполяции на локальном наборе точек на сетке вокруг точки.Поскольку значение () для точки аппроксимируется линейной комбинацией значений в нескольких соседних точках сетки, проблема интерполяции может быть сформулирована как линейная задача оценки методом наименьших квадратов. Мы также налагаем ограничение на гладкость в этой оценке, заставляя первые частные производные поверхности, вычисленной в соседних точках, быть как можно более близкими. Визуализация поверхности в MATLAB [25] показана на рисунке 3 (B).

После того, как поверхность SAM () построена, мы равномерно отбираем плотный набор трехмерных точек (визуализацию можно найти на рисунке 3 (C)), так что каждая точка должна находиться внутри.Таким образом, и требуемый выход из предложенного алгоритма представляет собой кластеризацию этих плотных точек данных в ячейки / кластеры, начиная с разреженного набора сегментированных и отслеживаемых точек, полученных из конфокальных изображений срезов отдельных ячеек.

4.2 Адаптивная квадратичная мозаика Вороного (AQVT) для неоднородных размеров клеток и анизотропии роста клеток

В такой ткани, как SAM, клетки не растут равномерно по всем трем осям (). Фактически, большинство клеток демонстрируют определенное направление роста.Опять же, соседние клетки в SAM, особенно в центральном регионе (CZ), вряд ли будут расти в одном и том же направлении. Таким образом, даже если тесселяция изначально является аффинной диаграммой Вороного, она вряд ли останется таковой после нескольких этапов роста. Такие случаи неоднородных размеров ячеек и анизотропного роста могут быть отражены в более обобщенной неаффинной мозаике Вороного, называемой «анизотропными диаграммами Вороного». В наиболее общем виде такой диаграммы для точечных узлов метрика расстояния имеет квадратичную форму с аддитивным весом [22].

Следуя аналогичным обозначениям, использованным в предыдущих разделах, для набора анизотропных узлов в анизотропная область Вороного для узла задается выражением, (5) где (6) — положительно определенная симметричная матрица x, связанная с узлом и. Таким образом, каждая из анизотропных областей Вороного параметризуется триплетом. Далее предполагая, что функция расстояния принимает вид

(7) Поскольку биссектрисы такой диаграммы Вороного являются квадратичными гиперповерхностями, эти диаграммы называются «квадратичными диаграммами Вороного», в которых каждая ячейка Вороного параметризована парами.(8)

Из уравнения (7) можно заметить, что это, по сути, весовой коэффициент, который неравномерно взвешивает расстояния в каждой области Вороного по каждому измерению. Когда все области Вороного одинаково и равномерно взвешены по каждой оси, и результирующая диаграмма для точечных сайтов становится диаграммой Вороного на основе евклидова расстояния.

4.2.1 Оценка метрики расстояния по разреженным данным: минимальный объем, охватывающий эллипсоид.

Теперь задача состоит в том, чтобы оценить пару параметров для каждой ячейки / квадратичных областей Вороного из разреженных точек данных, полученных из сегментированных и отслеживаемых срезов, которые принадлежат границе каждой ячейки.Учитывая крайнюю редкость данных, нет доступного метода, который предоставил бы s для каждого региона. В этой работе мы предлагаем альтернативный способ оценки пар непосредственно из разреженных точек данных.

Эллипсоидальная поверхность в 3D задается геометрическим местом точки, которая удовлетворяет (9) где — центр эллипсоида и является положительно определенной симметричной матрицей. Для любой точки внутри эллипсоида и для каждой точки вне его.

Фактически, это расстояние Махаланобиса от точки до центра эллипсоида.Следовательно, если точка равноудалена от центров двух эллипсоидов и в смысле Махаланобиса, то (10)

Теперь уравнение (10) дает геометрическое место точек, которое точно такое же, как и геометрическое место точек на биссектрисе двух соседних квадратичных областей Вороного, параметризованных и. У нас уже есть набор точек (), которые редко, но равномерно выбираются по оси z на границах между соседними ячейками. Алгоритм отслеживания предоставляет нам точные пары ячеек, которым принадлежит каждая точка из этого набора.Следовательно, мы можем приблизительно оценить параметры расстояния, связанные с каждой квадратичной областью Вороного индивидуально, подгоняя эллипсоид к разреженным точкам данных, принадлежащим границам этой области. В этой статье мы выбираем подходящие эллипсоиды минимального объема (MVEE) для каждой из ячеек в отдельности и получаем приблизительные оценки. Стратегия оценки описана позже в этом разделе, а ее подробности можно найти в разделе 3 файла S1.

Поскольку мы оцениваем параметры квадратичной метрики расстояния, связанной с каждой отдельной ячейкой Вороного по отдельности, а затем используя полученные таким образом метрики расстояния для мозаики плотного облака точек, мы решили назвать полученную мозаику Вороного « Адаптивная квадратичная мозаика Вороного ». ‘(AQVT).

После регистрации, сегментации и идентификации ячейки в нескольких срезах в трехмерном стеке мы можем получить координаты набора точек по периметру сегментированных срезов ячеек. Пусть этот набор точек на клетке будет. Мы должны оценить эллипсоид минимального объема, который охватывает все эти точки, и мы обозначим это с помощью. Эллипсоид в его центральной форме представлен формулой (11) где — центр эллипсоида и. Поскольку все точки должны находиться внутри, мы имеем (12) и объем этого эллипсоида равен

(13) Следовательно, задача нахождения окружающего эллипсоида минимального объема (MVEE) для набора точек может быть сформулирована как (14)

Чтобы эффективно решить задачу (), мы преобразовываем прямую задачу в двойственную, поскольку двойственную задачу решить проще.Подробный анализ постановки задачи и ее решения можно найти в [26], [27]. Решая эту задачу индивидуально для каждого набора разреженных точек, параметры метрики квадратичного расстояния оцениваются как. Чтобы визуально представить эти параметры, мы построили эллипсоиды с каждой из этих пар параметров и закодировали их цветом, чтобы представить отдельные клетки в ткани SAM (рис. 4).

Рис. 4. Эллипсоидальное представление параметров AQVT, оцененных по разреженным точкам данных.

(A) Окружающие эллипсоиды минимального объема, представляющие пары параметров для отдельных ячеек, показаны разными цветами. (B) То же изображение, если смотреть сверху.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g004

4.2.2 Трехмерная мозаика на основе расчетных параметров AQVT: окончательные формы ячеек.

Как только параметры квадратичной метрики расстояния оцениваются из предыдущего шага, плотное облако точек, полученное в разделе 4.1.3 можно разделить на различные области Вороного на основе уравнения (8), т.е. плотное облако точек, принадлежащее ячейке, задается как (15)

Для визуализации результатов трехмерной реконструкции разрешения ячеек мы подогнали выпуклые многогранники, чтобы представить каждую ячейку.

4.2.3 Связь между AQVT и деформированной тесселяцией на основе построенного эллипсоида [7].

В недавней работе [7] мы показали, что трехмерные формы отдельных клеток в плотно упакованной многослойной ткани могут быть аппроксимированы деформированными усеченными эллипсоидальными моделями.В этой работе, во-первых, охватывающие эллипсоиды (MVEE) подгоняются к разреженным точкам данных для каждой ячейки, которые затем рекурсивно деформируются до тех пор, пока не будет удовлетворен определенный критерий остановки (см. [7]), и, наконец, усекаются по перекрывающимся поверхностям эти трехмерные деформированные эллипсоиды для получения окончательных трехмерных форм ячеек.

Следуя тем же обозначениям, которые использовались ранее, предполагаемые охватывающие эллипсоиды для разреженных наборов точек даются как. В ходе наших экспериментов мы наблюдали, что наилучшие результаты трехмерной реконструкции достигаются, когда предполагаемые эллипсоиды деформируются вдоль их осей, а деформация вдоль каждой оси на каждом шаге итерации пропорциональна текущей длине осей.Пусть коэффициент, на который деформируется каждая ось, равен, и пусть будут итерации до сходимости алгоритма из [7].

Как мы можем выразить через разложение по собственным значениям (см. [7]), деформированные после итераций деформации могут быть записаны как точки на реконструированной границе ячейки между ячейками, и после шагов итерации будет дано выражение (16)

Как скаляр, выражение (16) можно переписать как, (17)

Уравнение (17) точно такое же, как набор граничных точек между областями Вороного и для адаптивной квадратичной мозаики Вороного.Таким образом, в условиях деформации, описанных выше, метод, предложенный в [7] и AQVT, дают одинаковый результат тесселяции. Но главное преимущество использования AQVT перед [7] состоит в том, что AQVT дает результат трехмерной реконструкции за один шаг, тогда как деформированная усеченная эллипсоидальная модель, описанная в [7], представляет собой итерационный процесс. Количество итераций может быть очень большим в зависимости от выбора критерия остановки или размера шага на стадии деформации, и, следовательно, [7], в общем, является гораздо более медленным алгоритмом.Кроме того, результаты трехмерной реконструкции могут широко варьироваться в зависимости от выбранного размера шага для деформации в [7], и, таким образом, качество результата реконструкции часто бывает непредсказуемым. Мы экспериментально наблюдали, что в [7] наименьшая ошибка в реконструкции достигается, когда размеры шага деформации для каждой клетки в ткани равны или очень близки друг к другу. Это условие, как показано выше, дает нам метрику расстояния AQVT. Таким образом, AQVT предоставляет уникальное решение для трехмерной реконструкции и в большинстве случаев гарантирует лучший или такой же результат реконструкции по сравнению с [7] при значительно меньшем времени выполнения.Также можно отметить, что предлагаемый AQVT не требует ввода какого-либо выбранного пользователем порога или параметра в структуру реконструкции, что делает метод менее неоднозначным и более удобным для пользователя, чем [7].

Результаты и обсуждение

5.1 Результаты предварительной обработки

Мы протестировали предлагаемую структуру 3D-реконструкции на кластере из примерно двухсот двадцати ячеек, охватывающих слои L1 и L2 апикальной меристемы побегов Arabidopsis. Подробности создания необработанных данных изображения с использованием техники CLSM описаны в разделе 3.1. Мы использовали модифицированную сегментацию Watershed [18] для сегментации отдельных срезов клеток, и образец сегментированного среза изображения Watershed показан на рисунке 5 (B) (срез необработанного изображения показан на рисунке 5 (A)). На следующем этапе мы сгруппировали срезы, принадлежащие каждой ячейке, используя метод отслеживания ячеек на основе локального сопоставления графов, описанный в [4]. Пример результата отслеживания показан на рисунке 5 (C), где одни и те же ячейки отмечены одним и тем же цветом в трех последовательных срезах как в пространственном, так и во временном направлении.После того, как разреженные срезы ячеек сгруппированы вместе, разреженный набор точек данных в каждой ячейке извлекается и используется для оценки приблизительного местоположения сайтов для тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния или, в случае предлагаемого метода на основе AQVT, местоположения и веса параметры квадратичной метрики расстояния для каждой ячейки.

Рис. 5. Образец результатов сегментации и пространственно-временного отслеживания.

(A) Необработанный срез конфокального изображения, (B) Сегментированные края ячеек по водоразделу из того же изображения в A, (C) Отдельные срезы ячеек отслеживаются по оси z, чтобы найти соответствие между срезами, принадлежащими одним и тем же ячейкам.Ячейки имеют цветовую кодировку на изображении, чтобы показать соответствия. Ячейки также можно отслеживать во времени (что показано с использованием того же цветового кода), что может быть полезно при реконструкции одних и тех же ячеек в последовательные моменты времени для наблюдения за ростом этих ячеек.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g005

5.2 Результаты 3D реконструкции

Рисунок 6 (A) показывает реконструкцию разрешения ячеек кластера ячеек в SAM с использованием AQVT. Обратите внимание, что для целей трехмерной визуализации только трехмерной структуры мы представили каждую ячейку как выпуклый многогранник, подогнанный к плотному облаку точек, сгруппированному по ячейкам, как получено из нашей схемы трехмерной реконструкции / трехмерной сегментации.Для лучшего понимания трехмерных структур отдельных ячеек, мы показали реконструированные формы меньшего кластера ячеек на рисунке 6 (B).

Рис. 6. Визуализация трехмерной реконструкции кластера ячеек SAM на основе AQVT.

(A) Визуализация трехмерной реконструированной структуры кластера из примерно 220 плотно упакованных ячеек с использованием аппроксимации выпуклым многогранником плотно сгруппированных точек данных для каждой ячейки, как получено из предложенной схемы трехмерной реконструкции, (B) Подмножество клетки из той же ткани.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g006

5.3 Валидация предлагаемого метода

5.3.1 Проверка данных 3D SAM.

Вряд ли существует какой-либо биологический эксперимент, который мог бы напрямую подтвердить оценочную статистику роста отдельных клеток в многослойном кластере с редкими выборками. Фактически, отсутствие метода для оценки статистики роста напрямую с использованием не вычислительных методов в рамках биологии развития с визуализацией в реальном времени является мотивацией для предлагаемой работы, и нам нужно было разработать метод для вычислительной проверки нашей техники трехмерной реконструкции.После того, как трехмерная реконструкция будет достигнута, мы можем с помощью вычислений повторно нарезать восстановленную форму вдоль любой произвольной плоскости просмотра, просто собрав подмножество восстановленного трехмерного облака точек, которое лежит на плоскости.

Чтобы продемонстрировать валидацию предлагаемого нами метода, мы выбрали набор данных с одной временной точкой, который относительно плотно отобран по оси Z (0,225 м между последовательными срезами). Затем мы повторно дискретизировали этот плотный стек с разрешением 1,35 м, чтобы создать более разреженное подмножество срезов, которое имитирует разреженность, обычно встречающуюся в сценарии прямой визуализации.Редко выбранные срезы для кластера ячеек, охватывающего два уровня (L1 и L2) в SAM, показаны на рисунке 7. Вышеупомянутый метод отслеживания [4] используется для получения соответствий между срезами одних и тех же ячеек. Различные срезы одних и тех же клеток, отображенные на разной глубине по оси Z, показаны под одним и тем же номером на рисунке 7 (A). Затем мы реконструировали кластер ячеек сначала с помощью стандартной тесселяции Вороного с использованием метрики Евклидова расстояния, а затем с помощью предлагаемого нами метода (AQVT) с квадратичной метрикой расстояния, адаптированной для каждой из этих ячеек.Результаты реконструкции для подмножества ячеек для каждого из этих методов показаны на рисунках 7 (B) и 7 (C) соответственно для прямого сравнения. Можно заметить, что предлагаемый нами метод не только очень точно реконструировал формы ячеек, но и более точно уловил многослойную архитектуру этих ячеек SAM по сравнению с его аналогом Вороного с метрикой евклидова расстояния.

Рис. 7. Реконструкция кластера ячеек с использованием тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния и предлагаемого AQVT для сравнения точности трехмерной реконструкции.

(A) Сегментированные и отслеживаемые срезы ячеек для кластера из пятидесяти двух ячеек из уровней L1 и L2 SAM. Набор плотных конфокальных изображений подвергается субдискретизации с разрешением по оси Z 1,35 м для имитации «разреженности по оси Z», наблюдаемой в типичном сценарии прямой визуализации. Срезы, принадлежащие одной и той же ячейке, помечены одним и тем же номером, чтобы показать результаты отслеживания. (B) Трехмерная реконструированная структура для подмножества этих ячеек при реконструкции с использованием евклидова расстояния на основе тесселяции Вороного. (C) Результат реконструкции на основе AQVT для того же кластера ячеек.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g007

Чтобы лучше исследовать точность реконструкции и показать явное преимущество использования предложенного метода реконструкции количественно, мы измеряем расстояния между двумерными сечениями. результатов трехмерной реконструкции для каждой ячейки до границ сегментированных ячеек водораздела. Выбирая плоскость пересечения как m (срезы, отличные от тех, которые используются для реконструкции) от вершины стека для ячеек слоя L1 и m для ячеек слоя L2, мы можем с помощью вычислений регенерировать стенки ячеек для этих плоскостей визуализации вдоль Z.Формы ячеек в реконструированных срезах можно сравнить с их аналогами на двухмерных сегментированных изображениях, и расстояние между формами будет представлять ошибку реконструкции. Существует несколько различных показателей расстояния, которые можно использовать для вычисления несходства между двумя фигурами, например, расстояние Прокруста, расстояние Хаусдорфа и т. Д., Каждая из которых имеет свои преимущества. Мы решили использовать модифицированное расстояние Хаусдорфа (MHD), одну из наиболее популярных мер расстояния в семействе расстояний Хаусдорфа, чтобы оценить наш метод реконструкции.Преимущества МГД перед другими мерами расстояния для согласования формы объекта подробно описаны в [28]. Можно отметить, что вычисленная таким образом ошибка аналогична ошибке перепроецирования, которая широко используется в сообществе 3D-реконструкции для количественной оценки точности реконструкции.

На рис. 8 (A) мы показали срезы ячеек, подвергнутые вычислительной обработке (с цветовой кодировкой для представления одних и тех же ячеек в нескольких срезах) на различной глубине для тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния, а на рис. 8 (B) показаны двумерные поперечные сечения для те же ячейки, что и полученные путем повторного нарезания трехмерных форм ячеек в предлагаемом методе реконструкции на основе AQVT.Для обоих наборов изображений полученные расчетным путем поперечные сечения каждой ячейки накладываются на результаты сегментации водораздела для тех же срезов ячеек (основная истина). Вычисляется MHD между исходным и сгенерированным с помощью вычислений срезом ячеек, и для каждой из ячеек в 6 разных срезах эта ошибка показана на рисунке 8 (C).

Рис. 8. Сравнение точности трехмерной реконструкции для предлагаемой реконструкции на основе AQVT с тесселяцией Вороного на основе евклидова расстояния.

(A) Ячейки, показанные на рисунке 7 (A), реконструируются с использованием тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния, и вычисленные повторно нарезанные ячейки сравниваются с наземной истиной. (B) Те же ячейки реконструируются с использованием тесселяции Вороного на основе адаптивного квадратичного расстояния, а затем вычисляются повторные срезы на различных глубинах по z, на которых мы также имеем основную истину (с точки зрения результатов 2D сегментации срезов ячеек), но не использовались при построении результатов реконструкции.Полученные с помощью вычислений срезы ячеек показаны разными цветами для разных ячеек, и на них накладываются результаты наземной сегментации истинности. (C) Ошибка реконструкции (похожая на ошибку перепроецирования) вычисляется как Модифицированное расстояние Хаусдорфа (MHD) между сгенерированными с помощью вычислений срезами ячеек и результатами сегментации на наземных истинных изображениях тех же ячеек. MHD, вычисленные для каждой из 52 ячеек на разной глубине в Z-стеке, нанесены на график для обоих методов, чтобы сравнить методы друг с другом.Из графиков ясно видно, что ошибка реконструкции намного больше для тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния, чем для AQVT, особенно на конечных () срезах между последовательными слоями ячеек.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g008

Можно заметить, что каждый из графиков на Рисунке 8 (C) содержит ошибки реконструкции для отдельных срезов ячеек для обоих методов реконструкции. . Для срезов, расположенных ближе к центру ячеек, оба метода показывают одинаковую и приемлемо небольшую ошибку перепроецирования.Однако в случае оконечных срезов для каждой ячейки вдоль Z предлагаемый метод реконструкции на основе адаптивного квадратичного расстояния показывает гораздо лучшую точность восстановления (как видно на графиках на рисунке 8 (C)). Это улучшение результата более заметно для клеток, которые имеют неоднородную форму и рост, такие как удлинение по любой из осей. Мы дополнительно подтверждаем это наблюдение, выполняя аналогичный эксперимент на кластере клеток различных размеров и размеров в образце корневого среза меристемы продольного поперечного сечения изображения.Этот эксперимент и его результаты подробно описаны в следующем подразделе.

Мы также оценили точность нашего метода, изучив, насколько расчетные объемы ячеек отличаются от реальных данных для различных уровней разреженности в z-выборке. Для плотных данных, описанных ранее (0,225 м между срезами по z), мы сначала оцениваем объемы наземных истинных ячеек кластера ячеек, подсчитывая общее количество суперпикселей на ячейку и умножая это на размер суперпикселя (0.2 × 0,2 × 0,225). Затем мы постепенно передискретизируем плотную стопку с 5 последовательными разрешениями по оси Z (а именно 0,45, 0,675, 0,9, 1,125, 1,35 м), и для каждой из этих передискретизированных стопок мы реконструируем те же ячейки, используя предложенный AQVT, и оцениваем объемы ячеек. Можно отметить, что с каждой из этих соответствующих повторных выборок результирующий трехмерный стек становится все более и более разреженным. Например, при разрешении выборки 0,45 м z среднее количество срезов на ячейку составляет 7 или 8, тогда как для 1,35 м одни и те же ячейки захватываются в среднем в 3 срезах.Ошибки в оценке объемов отдельных ячеек на различных уровнях разреженности показаны на рисунке 9. Мы построили график средних и стандартных отклонений абсолютных ошибок, выраженных как отношение к объемам наземных ячеек. Можно заметить, что при самой плотной повторной выборке (0,45 м) средняя ошибка оценки составляет всего 3% при стандартном отклонении 1,3%. Ошибка оценки медленно увеличивается с увеличением разреженности в стеке, и при разреженности около 3 срезов на ячейку средняя ошибка оценки составляет 5.3% при стандартном отклонении около 4%. Мы повторили тот же эксперимент для мозаики Вороного с метрикой евклидова расстояния, и средняя ошибка намного выше и составляет около 30% (см. Рисунок S1).

Рис. 9. Ошибки в оценке AQVT объемов ячеек на основе их соответствующих наземных объемов на различных уровнях разреженности.

Кластер ячеек из стека трехмерных конфокальных изображений с разрешением по оси z 0,225 м подвергается повторной выборке для создания стека с 5 различными уровнями разреженности. Каждый из этих сумм с повторной дискретизацией реконструируется в 3D с использованием предложенного AQVT, и вычисляются объемы каждой из ячеек в кластере.На графике нанесены средние значения и стандартные отклонения абсолютных ошибок в объемах (выраженных как отношение к объемам наземной истины) всех ячеек для каждой более разреженной стопки. Средняя ошибка медленно увеличивается с увеличением разреженности, но составляет менее 5,3% при стандартном отклонении 4% даже при 1,35 м / срез (т.е. в среднем 3 среза / ячейка).

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.g009

Заключение и дальнейшая работа

В этой статье мы представили метод реконструкции плотно упакованного кластера клеток с использованием очень редкого набора данных конфокальной визуализации в реальном времени с z-выборкой.Мы предоставили математически строгую структуру, построенную на основе основных концепций геометрической тесселяции. Сначала мы показали, как формы ячеек могут быть аппроксимированы тесселяцией Вороного на основе меры евклидова расстояния. Затем мы предложили структуру тесселяции Вороного на основе метрики квадратичного расстояния, чтобы уловить асимметрию размеров ячеек и их роста по разным осям. Мы описали, как предлагаемая тесселяция может устранить асимметрию, предоставляя веса на метрике расстояния вдоль каждой оси для каждой ячейки, и как эти веса, а также местоположение сайтов могут быть приблизительно оценены из данных разреженного изображения для отдельных ячеек с помощью подгонка включающих эллипсоидов к сегментированным разреженным фрагментам изображения.Мы проверили наш метод, показав, что ошибка реконструкции (как в реконструированных формах ячеек, так и в предполагаемых объемах ячеек) для ячеек достаточно мала, и предоставили прямое сравнение ошибки реконструкции для предлагаемого метода с популярным методом тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния. подход. В качестве применения предложенного метода мы показали некоторые предварительные результаты по оценке кривых роста для нескольких клеток SAM на рисунке S2. Дальнейшая работа над этим будет включать интеграцию этого метода трехмерной реконструкции с методом пространственно-временного отслеживания ячеек для формирования полного конвейера анализа четырехмерных изображений.Этот конвейер можно использовать для генерации различной статистики клеточного деления и роста клеток полностью автоматизированным высокопроизводительным способом. Статистические данные, собранные из такого конвейера, могут быть чрезвычайно полезны при построении динамической модели для количественного анализа пространственно-временной корреляции клеточного деления и роста клеток в сложной многослойной ткани.

Дополнительная информация

Рисунок S1.

Ошибки в оценочных объемах ячеек с использованием тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния из их соответствующих наземных истинных объемов на различных уровнях разреженности. Кластер ячеек из стека трехмерных конфокальных изображений с разрешением по оси z 0,225 м подвергается повторной выборке для создания стека с 5 различными уровнями разреженности. Каждый из этих сумм с повторной дискретизацией реконструируется в 3D с использованием VT на основе евклидова расстояния, и вычисляются объемы каждой из ячеек в кластере. На графике нанесены средние значения и стандартные отклонения абсолютных ошибок в объемах (выраженных как отношение к объемам наземной истины) всех ячеек для каждой более разреженной стопки. Средняя ошибка более или менее одинакова на всех уровнях разреженности, а средняя ошибка составляет около 30% с большим стандартным отклонением более 25%).

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.s001

(TIFF)

Файл S1.

Текстовый файл вспомогательной информации. Содержит анализ ошибок оценки объема клеток в тесселяции Вороного на основе евклидова расстояния, примеры результатов по статистике роста клеток и подробную стратегию решения для оценки параметров MVEE.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0067202.s003

(PDF)

Вклад авторов

Задумал и спроектировал эксперименты: AC AKRC GVR.Проведены эксперименты: AC MMP. Проанализированы данные: АК AKRC GVR. Предоставленные реагенты / материалы / инструменты анализа: GVR MMP. Написал статью: AC AKRC.

Ссылки

1.
Чан Т., Весе Л. (2001) Активные контуры без краев. IEEE Transaction on Image Processing 10: 266–277.
2.
Инь З., Бисе Р., Чен М., Канаде Т. (2010) Сегментация клеток в микроскопических изображениях с использованием набора локальных байесовских классификаторов. В: Материалы международной конференции IEEE 2010 г. по биомедицинской визуализации: от нано к макро.С. 125–128.
3.
Gor V, Elowitz M, Bacarian T, Mjolsness E (2005) Отслеживание клеточных сигналов на флюоресцентных изображениях. Семинар IEEE по методам компьютерного зрения для биоинформатики: 142–150.
4.
Лю М., Ядав Р.К., Рой-Чоудхури А., Редди Г.В. (2010) Автоматическое отслеживание клонов стволовых клеток верхушки побега арабидопсиса с использованием локального сопоставления графов. Журнал растений, Оксфорд, Великобритания 62: 135–147.
5.
Mjolsness E (2006) Рост и развитие некоторых недавних моделей растений: точка зрения.Журнал регулирования роста растений 25: 270–277.
6.
Гор В., Шапиро Б.Е., Йонссон Х., Хейслер М., Редди В.Г. и др .. (2005) Архитектура программного обеспечения для моделирования развития растений: проект вычислимого завода. Биоинформатика регуляции и структуры генома.
7.
Чакраборти А., Ядав Р.К., Редди Г.В., Рой-Чоудхури А. (2011) Трехмерная реконструкция развивающихся многослойных тканей с разрешением клеток из редко выбранных изображений объемной микроскопии. Международная конференция IEEE по биоинформатике и биомедицине: 378–383.
8.
Накахари Т., Мураками М., Йошида Х., Миямото М., Сохма И. и др. (1990) Уменьшение объема поднижнечелюстных ацинарных клеток крыс во время ах-стимуляции. Am J Physiol 258: G878–886.
9.
Фаринас Дж., Книн М., Мур М., Веркман А. (1997) Водопроницаемость плазматической мембраны культивируемых клеток и эпителия, измеренная с помощью световой микроскопии с пространственной фильтрацией. J Gen Physiol 110: 283–296.
10.
Кавахара К., Онодера М., Фукуда Й. (1994) Простой метод непрерывного измерения высоты ячейки во время изменения объема в одной ячейке a6.Jpn J Physiol: 411–419.
11.
Kwiatkowska D, Routier-Kierzkowska A (2009) Морфогенез на верхушке отростка побега anagallis arvensis: геометрия поверхности и рост по сравнению с вегетативным побегом. J Exp Bot.
12.
Татау О., Лю М., Ядав Р., Редди В., Рой-Чоудхури А. (2010) Анализ паттернов динамики роста стволовых клеток в верхушке побега арабидопсиса. В: IEEE Intl. Конф. по обработке изображений.
13.
Errington RJ, Fricker MD, Wood JL, Hall AC, White NS (1997) Четырехмерное изображение живых хондроцитов в хряще с использованием конфокальной микроскопии: прагматический подход.Am J Physiol 272: C1040–1051.
14.
Фернандес Р., Дас П., Мирабет В., Москарди Е., Траас Дж. И др. (2010) Визуализация роста растений в 4d: надежная реконструкция тканей и клонирование при разрешении клеток. Природные методы 7: 547–553.
15.
Zhu Q, Tekola P, Baak J, Belin J (1994) Измерение с помощью конфокальной лазерной сканирующей микроскопии объема ядер эпидермиса в толстых срезах кожи. Anal Quant Cytol Histol 16: 145–52.
16.
Виола П., Уэллс В. М. (1997) Выравнивание путем максимизации взаимной информации.Международный журнал компьютерного зрения 24: 137–154.
17.
Винсент Л., Сойл П. (1991) Водоразделы в цифровых пространствах: эффективный алгоритм, основанный на иммерсионном моделировании. IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному интеллекту, 1991 13: 583–598.
18.
Мкртчян К., Сингх Д., Лю М., Редди Г. В., Чоудхури АКР и др .. (2011) Эффективная сегментация клеток и отслеживание меристемы развивающихся растений. В: Международная конференция IEEE по обработке изображений.С. 2165–2168.
19.
Лю М., Чакраборти А., Сингх Д., Ядав Р.К., Минакшисундарам Г. и др. (2011) Адаптивная сегментация клеток и отслеживание для получения объемных изображений меристемы развивающегося растения с помощью конфокальной микроскопии. Молекулярное растение 4: 922–31.
20.
Окабе А., Ботс Б., Сугихара К., Чиу С. Н. (2000) Пространственная мозаика: концепции и приложения диаграмм Вороного. John Wiley and Sons, Inc. 2-е издание.
21.
Ауренхаммер Ф., Кляйн Р. (1999) Справочник по вычислительной геометрии.Издательство Elsevier, стр. 201–290.
22.
Boissonnat JD, Wormser C, Yvinec M (2006) Кривые диаграммы Вороного. В: Эффективная вычислительная геометрия для кривых и поверхностей, Springer-Verlag, математика и визуализация. С. 67–116.
23.
Эванс Д., Джонс С. (1987) Обнаружение полигонов вороного (зоны влияния). Математическая геология 19: 523–537.
24.
Ferrero MMA (2011) Диаграмма Вороного: проблема распознавания генератора. CoRR абс / 1105.4246.
25.
Д’Эррико Дж. (2005) Подгонка поверхности с использованием сетки. В: MATLAB Central File Exchange.
26.
Хачиян Л.Г. (1996) Округление многогранников в вещественной модели вычислений. Math Oper Res: 307–320.
27.
Кумар П., Йилдирим Е.А. (2005) Объемные эллипсоиды и основные наборы минимального объема. Журнал теории оптимизации и приложений 126: 1–21.
28.
Dubuisson MP, Jain AK (1994) Модифицированное расстояние Хаусдорфа для сопоставления объектов.Международная конференция по распознаванию образов: 566–568.
29.
Wyrzykowska J, Fleming A (2003) Характер клеточного деления влияет на экспрессию генов в апикальной меристеме побега. PNAS 100: 5561–5566.

[PDF] Обработка геометрии Монте-Карло: бессеточный подход к методам на основе УЧП для объемных областей

ПОКАЗЫВАЕТ 1-10 ИЗ 128 ССЫЛОК

СОРТИРОВАТЬ ПО Релевантности Статьи, на которые оказали наибольшее влияниеНедавность

Обработка геометрии Монте-Карло

В этой статье исследуются основные проблемы в PDE обработка геометрии может быть эффективно и надежно решена с помощью методов Монте-Карло без сетки, и разработан полный решатель «черного ящика», который включает в себя интеграцию, уменьшение дисперсии и визуализацию.Развернуть

Просмотреть 2 отрывка, справочная информация

Обработка твердотельной геометрии на деконструированных доменах

В этой работе исследуется, как и почему предыдущие методы связывания терпят неудачу, и предлагается метод, который объединяет твердые домены только вдоль их граничных поверхностей, и демонстрирует превосходство этого метод с помощью эмпирических тестов сходимости и качественных приложений к обработке твердотельной геометрии на множестве популярных дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядка.Развернуть

Дискретное многомасштабное разложение векторных полей

В этой статье представлено вариационное многомасштабное разложение векторных полей на три интуитивно понятных компонента: часть без дивергенции, части без завитков и гармоническую часть, а также показано, как дискретный подход хорошо сочетается с ним. -известный гладкий аналог, называемый разложением Гельмоца-Ходжа, и что полученные вычислительные инструменты имеют очень интуитивно понятную геометрическую интерпретацию. Expand

Создание и обработка четырехугольной сетки: обзор

Обсуждаются преимущества и проблемы методов работы с четырехугольными сетками, включая анализ поверхности и качество сетки, упрощение, адаптивное уточнение, согласование с элементами, параметризацию и повторное создание сетки.Expand

TriWild: надежная триангуляция с ограничениями кривых

Мы предлагаем надежный алгоритм построения 2D-сетки, TriWild, для создания изогнутых треугольников, воспроизводящих гладкие характерные кривые, приводящие к грубым сеткам, разработанным в соответствии с требованиями моделирования, необходимыми для… Expand

Тетраэдральная сетка в wild

Эта работа предлагает новую технику построения тетраэдрической сетки, которая безоговорочно надежна, не требует взаимодействия с пользователем и может напрямую преобразовать треугольный суп в готовую для анализа объемную сетку, предлагая надежность и надежность, сравнимую с, например, e.ж., алгоритмы обработки изображений. Развернуть

Реконструкция поверхности Пуассона

Пространственно-адаптивный многомасштабный алгоритм, временные и пространственные сложности которого пропорциональны размеру реконструированной модели и который сводится к хорошо обусловленной разреженной линейной системе. Развернуть

Просмотреть 2 отрывка, ссылки на методы

Редактирование сетки с манипуляцией градиентным полем на основе Пуассона

Новый подход к редактированию сетки с уравнением Пуассона в качестве теоретической основы, который неявно изменяет исходную геометрию сетки посредством манипуляции с полем градиента и может превосходит предыдущие связанные методы редактирования сетки.Разверните

Надежная сегментация изнутри и снаружи с использованием обобщенных чисел обмотки

В этой работе определяется функция, которая является идеальной сегментацией для водонепроницаемого ввода и хорошо работает в остальном, а также направляет сегментацию графической обработки ограниченной тесселяции Делоне, обеспечивая минимальное описание, отвечающее требованиям границы точно и могут быть использованы в качестве входных данных для существующих инструментов для достижения качества элемента. Развернуть

Просмотреть 1 отрывок, справочная информация

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie
потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт
не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к
остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

SIGGRAPH 2021 История изменений

На этой странице отслеживаются новые ссылки на наш список статей SIGGRAPH 2021.

Страница поддерживается Ке-Сен Хуанг.
Если у вас есть дополнения или изменения, отправьте электронное письмо.

30 августа 2021 г.

Изучение критических по времени ответов для интерактивного управления персонажами

9 августа 2021 г.

21 июля 2021 г.

14 июля 2021 г.

StyleCariGAN: создание карикатур с помощью модуляции карты функций StyleGAN

13 июля 2021 г.

DeepFormableTag: Сквозное создание и распознавание деформируемых реперных маркеров
Ограниченные поверхности Уиллмора

8 июля 2021 г.

Влияние формы и освещения на восприятие материала: модель и приложения

25 июня 2021 г.

22 июня 2021 г.

Стратегии управления физически смоделированными персонажами, занимающимися соревновательными видами спорта для двух игроков
Быстрые квазигармонические веса для интерполяции геометрических данных

18 июня 2021 г.

15 июня 2021 г.

12 июня 2021 г.

10 июня 2021 г.

SP-GAN: создание трехмерных фигур и манипулирование сферическими объектами

3 июня 2021 г.

27 мая 2021 г.

26 мая 2021 г.

19 мая 2021 г.

Поправка DAG для обратного управления параметрическими формами

18 мая 2021 г.

17 мая 2021 г.

14 мая 2021 г.

13 мая 2021 г.

12 мая 2021 г.

11 мая 2021 г.

10 мая 2021 г.

7 мая 2021 г.

6 мая 2021 г.

5 мая 2021 г.

4 мая 2021 г.

Тонкопленочная жидкость для гидродинамики сглаженных частиц
Жидкость для манометра Клебша
Моделирование несжимаемого потока на облаках вихревых сегментов
Расчетное пространство плоских упругих кривых

3 мая 2021 г.

27 апреля 2021 г.

Общая структура виртуальных эскизов для векторных штриховых рисунков

26 апреля 2021 г.

23 апреля 2021 г.

Варианты адаптивного управления в первичном пространстве с использованием кусочно-полиномиальных приближений
( TOG Paper )

22 апреля 2021 г.

Масштабируемая визуализация внутренней сцены на основе изображений с отражениями
Поверхность многосеточной сети через внутреннее удлинение
Оптимизация технологического процесса и оптики дифференцируемой составной части для сквозного проектирования камеры
Разложение видео по глобальному освещению в реальном времени
( TOG Paper )
Трехмерная оценка позы человека в реальном времени с помощью шести инерциальных датчиков
Реконструкция в реальном времени взаимодействий рук и предметов на основе просмотра одной глубины
( TOG Paper )
FovVideoVDP: средство прогнозирования видимых различий для видео с широким полем обзора
Модель восприятия для зависимого от эксцентриситета пространственно-временного слияния мерцаний и ее применения к фовированной графике

[адрес электронной почты]

Как определить объем трехмерных геометрических фигур

Если бы мы жили в двухмерном мире, нам было бы очень скучно.

К счастью, все физические объекты, которые мы видим и используем ежедневно — компьютеры, автомобили, телефоны, обувь — существуют в трех (3) измерениях.

Пройти GED за 2 месяца.

Учись всего 1 час в день .
Неважно, когда ты бросил школу.

Транскрипция видео

Все геометрические формы имеют длину, ширину и высоту, и даже очень тонкие объекты, такие как листы бумаги, являются трехмерными.
Итак, толщина листа бумаги может составлять доли дюйма или миллиметра, но есть толщина.

В геометрии очень часто можно увидеть трехмерные фигуры или формы, а в математике мы называем плоскую сторону трехмерной фигуры лицом.

Мы называем формы «Многогранниками», если они имеют четыре (4) или более граней, и каждая грань представляет собой многоугольник.

Эти формы включают кубы, пирамиды и призмы. Иногда мы можем даже заметить одну фигуру, которая является составной частью двух (2) этих фигур.Давайте посмотрим на несколько общих многогранников.

Идентификация твердых тел

Наш первый набор твердых тел включает прямоугольные основания. Взгляните на приведенную ниже таблицу, в которой каждая фигура представлена как в прозрачной, так и в сплошной форме.

Пройдите тест GED с уверенностью.

Получите диплом GED быстро с Onsego.
Неважно, когда ты бросил школу.

Начало работы

Вы заметили, что мы используем разные названия для этих фигур? Кубики отличаются от квадратов, хотя иногда их путают друг с другом.Кубики имеют три (3) измерения, а квадраты — только два (2). Точно так же мы можем описать обувную коробку как прямоугольную призму (а не просто прямоугольник), а древние пирамиды Египта можно описать как… да, как пирамиды; не как треугольники!

В этом следующем наборе твердых тел все фигуры имеют круглые основания.

Сравним теперь фигуры пирамид и конусов. Вы заметили, что наши пирамиды имеют прямоугольные основания и плоские треугольные грани? Шишки бывают с круглым основанием и округлыми гладкими телами.

И, наконец, давайте взглянем на довольно уникальную форму — сферу.

Вы можете найти множество сферических объектов повсюду вокруг себя, например футбольные мячи, бейсбольные мячи или теннисные мячи. Все это обычные предметы. Не все они могут быть идеально сферическими объектами, но их обычно называют сферой.

Объем

Вы помните, что периметры измеряют одно (1) измерение (длину), а площади — два (2) измерения (длину и ширину)? Теперь, чтобы измерить, сколько места занимает трехмерная фигура или фигура, мы используем другое измерение, которое называется «объем».

Если мы хотим визуализировать, что именно измеряет «объем», посмотрите назад на прозрачные изображения прямоугольных призм, упомянутых ранее, или подумайте о пустой коробке из-под обуви. А теперь представьте, что мы складываем одинаковые кубики в эту коробку так, чтобы между ними не было промежутков.

Только представьте, что таким образом мы заполнили бы всю коробку. Если мы затем посчитаем общее количество кубиков внутри прямоугольной призмы, у нас будет объем.

Единицы измерения объема — кубические.Обувная коробка, показанная выше, может быть измерена в кубических дюймах (обычно представленных в дюймах ³ или в ³), тогда как подходящей мерой для Великой пирамиды Египта будут кубические метры (метры ³ или метры ³). .

Если мы хотим найти объем геометрического тела, мы можем создать прозрачную версию этого тела, сделать связку кубиков один за другим (или 1 x 1 x 1) и аккуратно сложить их внутри тела.

Однако это займет много времени! Гораздо более простой способ придумать объем — это познакомиться с несколькими геометрическими формулами и использовать их вместо них.

Хорошо, давайте еще раз пройдемся по нашим геометрическим телам и составим правильную формулу объема для каждого из них.

Просматривая наш список ниже, мы можем увидеть, что некоторые из этих формул объема похожи на соответствующие формулы площади. Если мы хотим найти объем прямоугольной призмы, нам нужно сначала найти площадь основания, а затем умножить ее на высоту.

Имейте в виду, что все кубы на самом деле являются прямоугольными призмами, поэтому наша формула для определения объема куба — это площадь основания куба, умноженная на его высоту.

Теперь давайте посмотрим на твердые тела с круглым основанием.

Что ж, здесь мы снова видим это число π.

Объем цилиндра равен площади основания (π r ²), умноженной на высоту (h).

Сравним формулу для объема конусов () с формулой для объема пирамиды: ().

Итак, мы видим, что числитель формул конуса такой же, как формула объема для цилиндров, а числитель формул пирамиды такой же, как формула объема для прямоугольных призм.

Затем мы делим каждую на три (3), чтобы получить объем нашего конуса и нашей пирамиды. Поиск сходства и закономерностей в этих формулах может помочь нам вспомнить, какая формула относится к данному твердому телу.

И, наконец, формула, которую мы используем для сфер, показана ниже. Вы должны заметить, что здесь радиус находится в кубе, а не в квадрате. Также умножаем величину π r ³ на 4/3.

Последнее обновление 19 августа 2021 г.

Объемное сжатие видео для интерактивного воспроизведения

Comput Vis Image Underst. Авторская рукопись; доступно в PMC 2010 12 января.

Опубликован в окончательной отредактированной форме как:

PMCID: PMC2805201

NIHMSID: NIHMS162774

Департамент компьютерных наук и ICES, Техасский университет, Остин, Техас 78712

Реферат

Мы разрабатываем объемную видеосистему, которая поддерживает интерактивный просмотр сжатых изменяющихся во времени объемных объектов (значимые изоповерхности и интервальные объемы).Поскольку размер даже одного объемного кадра в изменяющемся во времени наборе трехмерных данных очень велик, передача и оперативная реконструкция являются основными узкими местами для интерактивной удаленной визуализации изменяющихся во времени объемных и поверхностных данных. Мы описываем схему сжатия для кодирования изменяющихся во времени объемных объектов унифицированным способом, что позволяет производить реконструкцию и рендеринг в режиме онлайн. Чтобы увеличить скорость декомпрессии во время выполнения и степень сжатия, мы разбиваем объем на небольшие блоки и кодируем только те блоки, которые вносят вклад в изоповерхности и интервальные объемы.Результаты показывают, что наша схема сжатия обеспечивает высокую степень сжатия с быстрой реконструкцией, что эффективно для рендеринга на стороне клиента изменяющихся во времени объемных объектов.

Ключевые слова: Визуализация изменяющегося во времени объема, 3D-видео, Сжатие, Изоконтурирование, Аппаратное ускорение, Вейвлет-преобразование

1 Введение

Научное моделирование сегодня все чаще генерирует плотно дискретизированные изменяющиеся во времени объемные данные, которые имеют очень большие размеры .Например, размер набора океанографических данных об изменении температуры, протестированного в этой статье, составляет 237 МБ / кадр (2160 × 960 × 30 с плавающей запятой) × 115 кадров, а набор данных газовой динамики составляет 64 МБ / кадр (256 × 256 × 256 с плавающей точкой). × 144 кадра. Чтобы визуализировать такие изменяющиеся во времени объемные данные, методы объемного рендеринга и изоконтурирования выполняются покадрово, чтобы пользователь мог перемещаться и исследовать набор данных в пространстве и времени. Оба метода рендеринга имеют свои сильные стороны. В то время как объемный рендеринг может отображать аморфные объемные области, заданные передаточной функцией, с прозрачностью, изоконтурирование может обеспечить геометрическую форму поверхностей, заданную значительными изо значениями.Оба метода можно комбинировать для лучшего понимания всей информации, содержащейся в наборе объемных данных. Например, показывает визуализацию смоделированного взрыва во время формирования галактики посредством визуализации изменяющихся во времени объемов и изоповерхностей.

Интерактивное воспроизведение объемного видео моделированной газовой динамики взрыва.

В то время как современное графическое оборудование обеспечивает очень быстрый объемный и поверхностный рендеринг, передача таких больших данных между серверами данных и просматривающими клиентами может стать узким местом из-за ограниченной пропускной способности сетей.Эффективное управление данными — важный фактор в производительности рендеринга. Чтобы уменьшить размер набора данных, естественно использовать временную и пространственную когерентность в любой схеме сжатия. Однако, поскольку размер данных даже одного кадра очень велик, распаковка во время выполнения также может быть узким местом для интерактивного воспроизведения.

Исходя из этого, мы разработали унифицированную схему сжатия для кодирования изменяющихся во времени объемных объектов. В большинстве случаев мы используем термин , характеристика для обозначения изоповерхности и / или интервального объема, заданного диапазоном скалярных значений.Интервальный том может быть целым. Входы для сжатия: k значений iso iso _i , i = 1 .. k , l диапазоны значений [ r _a , r _b ] _i , i = 1 .. l и дискретные изменяющиеся во времени данные объема V . Данные V , содержащие T временных шагов, могут быть представлены как V = { V ₁, V ₂,…, V _T }, где
Vt = {fi, j, kt∣i, j, kareindicesofx, y, zcoordinates} — объем на временном шаге t , содержащий значения данных
fi, j, kt по индексам i, j, k .Наша основная цель в области сжатия —

объединить изменяющиеся во времени изоповерхности и интервальные объемы.
уменьшить размер изменяющихся во времени объемных данных с минимальным ухудшением качества изображения.
позволяют реконструкцию и рендеринг в реальном времени с аппаратным ускорением графики ПК.

Мы заимствуем идею сжатия MPEG, чтобы эффективно использовать пространственную и временную когерентность в наборах данных. Однако прямое расширение MPEG для сжатия 2D-видео на изменяющуюся во времени изоповерхность и сжатие функций не подходит для достижения наших целей.Поскольку MPEG кодирует и декодирует каждый блок в каждом кадре объемных изменяющихся во времени данных, ненужные области в данных также могут кодироваться и декодироваться.

Мы применяем блочное вейвлет-преобразование с временным кодированием в нашей схеме сжатия. Вейвлет-преобразование широко используется для сжатия 2D и 3D изображений. Обрезая незначительные коэффициенты после вейвлет-преобразования, эти схемы достигают высокой степени сжатия при сохранении минимального искажения изображения. Однако полное преобразование каждого кадра является пустой тратой пространственных и временных ресурсов, потому что значения функций, не влияющие на данные изоповерхности и объемные характеристики, не нуждаются в кодировании.Кроме того, не нужно обновлять вспомогательные значения, которые со временем претерпевают небольшие изменения. Следовательно, кодирование и декодирование только значимых в пространстве и времени значений вместо полного объема может улучшить как степень сжатия, так и скорость распаковки.

Каждый объемный кадр классифицируется либо как кадр с внутренним кодированием, либо как кадр с прогнозированием. Внутри кодированные кадры могут быть распакованы независимо, в то время как прогнозные кадры отличаются от своих предыдущих кадров. Предполагая, что разные блоки имеют разную временную дисперсию, мы можем отсортировать блоки на основе их временной дисперсии и обрезать незначительные блоки для достижения более высоких степеней сжатия и более высоких скоростей распаковки.

В дополнение к эффективному сжатию также достигается быстрая реконструкция и рендеринг изоповерхностей и объемных объектов. Добавляя исходные ячейки в сжатый поток каждого кадра объема, обозреватель визуализации может построить изоповерхности за минимальное время. Высокая скорость достигается за счет удаления фазы поиска для нахождения хотя бы одной ячейки, пересекающейся с каждым изоповерхностным компонентом. Поскольку изоповерхность фиксирована, нам нужно хранить только одну затравочную ячейку на каждый компонент изоповерхности, что практически не влияет на степень сжатия.Мы также можем сжать выбранный набор компонентов в изоповерхностях и объемах и их эволюцию с помощью метода отслеживания признаков [24]. Реконструированные элементы могут отображаться в реальном времени с помощью графического оборудования ПК.

показывает общую архитектуру нашей интерактивной системы отображения объемного видео. Алгоритм требует, чтобы функции были определены перед сжатием. Эти особенности можно идентифицировать вручную или с помощью средств автоматического определения признаков [18]. Чтобы сэкономить дисковое пространство для хранения и преодолеть ограничение пропускной способности ввода-вывода в сетевых системах, серия сжатых кадров считывается с серверов источников данных для просматривающих клиентов.После считывания каждого сжатого кадра он распаковывается в программном обеспечении. Массив восстановленных изображений используется для ускоренного изоконтурирования, а также отправляется в память текстуры в графическом оборудовании для отображения объемных характеристик. Эта архитектура может позволить пользователям исследовать и взаимодействовать с изоповерхностями, встроенными в аморфные объемные объекты в пространстве и времени, что является нашей конечной целью.

Интерактивный объемный конвейер видео и удаленной потоковой передачи и отображения

Остальная часть этого документа организована следующим образом.Сначала описывается соответствующая работа. Затем в разделе 3 описывается архитектура для отображения объемного видео. В разделе 4 предлагается схема объемного сжатия видео, поддерживающая интерактивную декомпрессию. В разделе 5 описана наша схема интерактивного просмотра сжатых изменяющихся во времени функций. Результаты экспериментов описаны в разделе 6. Наконец, в разделе 7 мы даем заключение.

2 Связанные работы

Визуализация изменяющихся во времени объемных данных была сложной задачей.Сжатие, временные структуры данных и высокопроизводительные системы визуализации были введены, чтобы справиться с огромными размерами данных и высокими требованиями к вычислениям.

Сжатие

Сжатие чрезвычайно полезно для обработки больших объемов данных, особенно для передачи данных с серверов просматривающим клиентам. Поскольку научные данные, как правило, очень большие и имеют много избыточности, люди предпочитают использовать сжатые данные для эффективного использования памяти и пропускной способности ввода-вывода.Разработан ряд алгоритмов сжатия изображения и поверхности.

Работы по единому разрешению и прогрессивному сжатию триангулированных поверхностей (например, изоповерхностей) включают статьи [27,12]. Схема сжатия, специализированная для изоповерхностей [29], использует уникальное свойство изоповерхности, заключающееся в том, что требуется кодировать только значимые ребра и значения функций, определенные на вершине.

Большинство методов сжатия изображений ориентированы на достижение наилучшего коэффициента сжатия с минимальным искажением реконструированных изображений.JPEG и MPEG [6] разработаны для сжатия неподвижных изображений и 2D-видеоданных с контролируемым размером и компенсацией искажений. Встроенные алгоритмы кодирования, такие как встроенный вейвлет нулевого дерева (EZW) [21] и разделение наборов в иерархических деревьях (SPIHT) [19], полезны для приложений прогрессивной передачи и мультимедиа.

Для сжатия трехмерных изображений Ihm et al. [11] описал схему трехмерного сжатия на основе вейвлетов для видимых человеческих данных и позже расширил ее до сжатия трехмерных изображений RGB для интерактивных приложений, таких как рендеринг светового поля и наложение трехмерной текстуры [2].Коэффициенты сжатия могут быть улучшены путем захвата и кодирования только важных структур и функций в наборе данных [1,16]. В этих схемах сжатия основной целью является быстрый произвольный доступ к данным при сохранении высоких степеней сжатия. Это позволяет интерактивно отображать наборы данных большого объема [9].

Guthe и Straser [8] применили алгоритм MPEG к изменяющимся во времени объемным данным, используя вейвлет-преобразования. Они сравнивают эффекты компенсации движения и использования различных базисных функций вейвлета.Lum et al. [14] использует оборудование текстур как для рендеринга, так и для распаковки. Поскольку данные передаются в сжатом формате между различными системами памяти, время ввода-вывода значительно сокращается.

Временные структуры данных

Дерево пространственно-временного разделения (TSP) было введено и ускорено позже за счет использования оборудования трехмерного наложения текстур [5] для быстрого объемного рендеринга изменяющихся во времени полей. Эффективность достигается за счет пропуска незначительных операций визуализации и повторного использования визуализированных изображений на предыдущем временном шаге.

Шен [22] предложил структуру данных Temporal Hierarchical Index (THI) Tree для изоконтурирования изменяющихся во времени данных с единым разрешением путем расширения своего алгоритма ISSUE [23]. Дерево THI обеспечивает компактную структуру поиска, сохраняя при этом оптимальное время поиска. Следовательно, сокращаются дорогостоящие дисковые операции для получения структур поиска. Sutton et al. [26] предложил временное ветвление по потребности путем расширения октодеревьев для минимизации ненужного доступа к вводу-выводу и поддержки извлечения изоповерхностей вне ядра в изменяющихся во времени полях.

Шамир и др. [20] разработали адаптивную структуру данных с несколькими разрешениями для многоугольных сеток, зависящих от времени, под названием T-DAG (Time-Direct Acyclic Graph). T-DAG — это компактное представление, которое поддерживает запросы формы (временной шаг, допустимость ошибок) и возвращает приближенную сетку для этого временного шага, удовлетворяющую допуску ошибок.

Высокопроизводительные системы визуализации

Ма и Кэмп [15] описывают удаленную систему визуализации в среде глобальной сети для визуализации наборов данных, изменяющихся во времени.Современное графическое оборудование позволяет в реальном времени выполнять объемный и изоповерхностный рендеринг [28] и декомпрессию [14].

Извлечение изоповерхностей

В прошлом большое количество исследований было посвящено быстрому извлечению изоповерхностей из трехмерных статических объемных данных. Алгоритм Marching Cubes [13] посещает каждую ячейку в объеме и выполняет соответствующую локальную триангуляцию для создания изоповерхности. Чтобы избежать посещения ненужных ячеек, разработаны ускоренные алгоритмы [4], минимизирующие время на поиск участвующих ячеек.

Алгоритм распространения контуров используется для эффективного извлечения изоповерхностей [3,10]. Учитывая начальную ячейку, которая содержит компонент изоповерхности, оставшуюся часть компонента можно проследить путем распространения контура. Это свойство значительно сокращает пространство и время, необходимые для поиска ячеек, содержащих изоповерхность, за счет использования небольшого количества исходных ячеек. Методы множественного разрешения [7] и зависимости от вида [30] полезны для уменьшения количества треугольников на изоповерхности.

3 Интерактивное объемное видео

Как и широко используемые системы 2D-видео, система объемного видео отображает последовательность трехмерных изображений во времени, кадр за кадром.Находясь в 2D-видео, пользователи могут только пассивно смотреть на постоянно обновляемые 2D-изображения, объемное видео или изменяющаяся во времени система визуализации объема позволяет им исследовать и перемещаться по 3D-данным как в пространстве, так и во времени. Учитывая, что большинство научных симуляций генерируют динамические объемные данные, объемные видеосистемы особенно полезны для анализа научных данных.

Наивный способ отображения изменяющихся во времени данных трехмерного объема — это повторное считывание каждого кадра с сервера данных и визуализация объема с заданными параметрами визуализации.Поскольку большинство изменяющихся во времени наборов научных данных очень большие и имеют высокую пространственную и временную согласованность, естественно применять сжатие для уменьшения накладных расходов на хранение и времени передачи. Однако декомпрессия во время выполнения данных, закодированных стандартными схемами статического и изменяющегося во времени сжатия изображения, может стать узким местом при воспроизведении объемного видео в реальном времени, поскольку они обычно разбивают изображение на блоки и декодируют каждый блок во время распаковки. Во время сжатия мы упорядочиваем блоки в зависимости от их значимости и кодируем только существенно изменяющиеся блоки.Это увеличивает скорость распаковки во время выполнения, поскольку мы ограничили количество блоков для декодирования.

Принята двухэтапная стратегия для обеспечения интерактивной навигации и исследования очень больших объемов данных, зависящих от времени. На первом этапе на стороне сервера большой объем, зависящий от времени, анализируется и обрабатывается на высокопроизводительном сервере, так что результаты этой объемной обработки представляют собой промежуточное трехмерное представление интересных характеристик (изоповерхность, объем) с различным разрешением, зависящее от времени. в пределах диапазона) данных, сгенерированных и сохраненных в сжатом формате.Промежуточное представление с несколькими разрешениями позволяет найти компромисс между интерактивностью и визуальной точностью для второго, интерактивного этапа просмотра. На втором этапе на стороне клиента объемное видео декодируется и воспроизводится браузером интерактивной визуализации, который может быть доступен на стандартной настольной рабочей станции, оснащенной 3D-видеокартой. В отличие от стандартного видеопроигрывателя, браузер визуализации может обеспечивать определенные уровни интерактивности, такие как динамическое изменение параметров просмотра, изменение условий освещения и регулировка функций передачи цвета и непрозрачности, в дополнение к воспроизведению объемного видео по времени вместе с некоторыми пользователями. заданный путь полета в пространстве и времени.

4 Схема сжатия

В этом разделе мы описываем унифицированную схему для одновременного сжатия как изменяющихся во времени изоповерхностей, так и объемных объектов. Кодируя только важные значения функции на основе связанных весов с использованием вейвлет-преобразования, мы можем достичь высоких степеней сжатия. Однако простое кодирование функций требует оперативного извлечения изоповерхности на стороне клиента. Чтобы ускорить процесс извлечения поверхности, мы вставляем посевные клетки в рамки сжатого объема.

4.1 Сжатие

Входной набор данных является набором данных объема, зависящим от времени, В = { В ₁, В ₂,…, В _T } с k isvalues iso ₁,…, iso _k и l диапазоны значений r ₁ = [ r _a , r _b ] _{, _{1 r _l = [ r _a , r _b ] _l .Каждый кадр тома классифицируется как кадр с внутренним кодированием или кадр с прогнозированием. Для каждого значения и диапазона восстановленное качество может быть указано как пороговое значение для вейвлет-коэффициентов и другое пороговое значение для блоков в кадрах предсказания, так что вейвлет-коэффициенты или блоки, не удовлетворяющие этому значению, усекаются. Критерии усечения приведены в шагах алгоритма сжатия ниже. Полный набор данных представлен как V = {{ I ₁, P ₁₁, P ₁₂,…, P ₁ _p ₁ ₁ },…, { I _N , P _N ₁, P _N ₂,…, P _{N pN} }} где I i} — это внутрикодированный кадр во временной группе i — th , а P _ij — это прогнозный кадр j — th во временной группе i — th .}

Предполагая, что между последовательными кадрами есть только небольшие изменения, вейвлет-преобразование изменений вместо целых кадров дает более высокие коэффициенты сжатия и меньшее время декомпрессии. Следовательно, сжатие внутрикадрового кадра не зависит от других кадров, в то время как сжатие прогнозируемого кадра зависит от предыдущих кадров в той же временной группе. Общий алгоритм сжатия показан на. Обратите внимание, что сжатие выполняется для каждого тома, и кодируются только важные значения, влияющие на функции.Все трехмерные кадры раскладываются на блоки 4 × 4 × 4, и вейвлет-преобразование выполняется для каждого блока, вносящего вклад в указанные функции в объеме. Шаги алгоритма сжатия следующие:

Общий алгоритм сжатия

разностный объем:
ΔVk = Vk − Vk − 1 ′ , где V _k — исходное изображение k -го кадра и
Vk − 1 ′ — восстановленное изображение сжатого объема V _k ₋₁.Если V _k — это кадр с внутренним кодированием, мы предполагаем
Vk − 1 ′ = 0.
вейвлет-преобразование : W Δ V _k = вейвлет-преобразование Δ V _k . Вычислить коэффициенты c ₁,…, c _m , представляющие Δ V _k в трехмерной основе вейвлета Хаара.
классификация Каждый вейвлет-коэффициент c и блок b классифицируются как незначительные или значимые. c и b далее классифицируются в зависимости от того, какие функции они вносят. c и / или b могут принадлежать нескольким объектам. В таких случаях выживаемость c или b зависит от самого высокого взвешенного объекта, который их содержит.
усечение блоков Блок, который не влияет на характеристики или имеет очень небольшие изменения во времени, считается несущественным блоком. Обрезая незначительные блоки, мы можем добиться более высоких степеней сжатия и можем контролировать время восстановления объема.Чтобы идентифицировать блоки, вносящие вклад в i -й признак и имеющие незначительные изменения, сумма квадратов коэффициентов сравнивается с пороговым значением λ _i . Если сумма меньше λ _i , блок обрезается. Для кодирования усеченного блока в карте значимости блока назначается только один бит.
усечение вейвлет-коэффициентов : сжатый объект i -й имеет собственный вес, представленный как пороговое значение τ _i .Установив пороговое значение, можно управлять восстановленным качеством конкретной функции. Если вейвлет-коэффициент c , связанный с i -м признаком, меньше τ _i , коэффициент обрезается до нуля.
кодирование : Общая схема кодирования показана в. После выполнения усечения вейвлет-коэффициентов на основе веса каждого признака мы берем выживающие коэффициенты и кодируем их. Кодирование выполняется для каждого блока, в результате получается последовательность закодированных блоков.Мы классифицируем 64 коэффициента в блоке как один коэффициент уровня 0, 7 коэффициентов уровня 1 и коэффициенты 8 × 7 уровня 2, чтобы воспользоваться преимуществами иерархической структуры блока.
Предлагаемая схема кодирования для поддержки быстрой декомпрессии и высоких степеней сжатия

В заголовке кадра сохраняется поток битов, представляющий значимость каждого блока, чтобы указать, является ли блок, соответствующий каждому биту, нулевым блоком или нет. Это позволяет избежать дополнительных накладных расходов на хранилище для незначительных блоков.Каждому блоку в последовательности назначается один бит. Затем для каждого значимого блока мы сохраняем 8-битную карту, показывающую, равны ли один коэффициент уровня 0 и семь коэффициентов уровня 1 нулю или нет. Затем у нас есть еще одна 8-битная карта, показывающая, имеют ли каждый восемь подблоков 2 × 2 × 2 ненулевые вейвлет-коэффициенты, за которой следует карта значимости для представления ненулевых коэффициентов уровня 2. После сохранения карт значимости коэффициентов уровня 2 фактические значения ненулевых вейвлет-коэффициентов сохраняются по порядку.Мы использовали два байта для хранения каждого значения коэффициента. Сжатие без потерь применяется для улучшения сжатия.

4.2 Вставка исходных ячеек

Чтобы позволить клиентам просмотра быстро извлекать изоповерхности, закодированные в томе, исходные ячейки присоединяются к сжатому потоку каждого кадра. Исходная ячейка гарантированно пересекается со связным компонентом изоповерхности. Выполняя поверхностное размножение из заданных семенных клеток, мы можем избежать посещения ненужных клеток и сэкономить время экстракции.Поскольку для каждого компонента изоповерхности требуется только одна начальная ячейка, размер начальных ячеек незначителен, и поисковые структуры, такие как октодеревья и деревья интервалов, не требуются. Следовательно, время извлечения изоповерхности зависит только от количества треугольников независимо от размера объема.

4.3 Декомпрессия во время выполнения

Поскольку у нас есть последовательность закодированных вейвлетом объемов Вт Δ V _k , мы можем получить приблизительное изображение
Vk ′ путем декодирования и выполнения обратного вейвлет-преобразования.В частности,
ΔVk ′ = обратное преобразование (WΔVk) и
Vk ′ = Vk − 1 ′ + ΔVk. Для кадра с внутренним кодированием V _i ,
Vi − 1 ′ = 0, и мы можем получить
Vi ′ прямо из
ΔVi ′ без зависимости от других кадров. После восстановления V _i последующие кадры с предсказанием можно декодировать кадр за кадром, пока не будет достигнут следующий кадр с внутренним кодированием.

Распаковка основана на поблочном декодировании. В кадрах с внутренним кодированием каждый блок должен быть распакован с помощью полного обратного вейвлет-преобразования.С другой стороны, в прогнозных кадрах обновляются только существенно изменяющиеся блоки, так что оно может максимально точно аппроксимировать фактическое изображение при минимальном времени декомпрессии. Конкретный алгоритм декодирования следующий. Используя карту значимости блока, мы можем идентифицировать каждый значимый блок и соответствующие ему кодированные блоки. Для каждого закодированного блока выполните следующие действия: Считайте 8 бит.
b11,…, b81, чтобы решить, равны ли один коэффициент уровня 0 и семь коэффициентов уровня 1 нулю.Далее прочтите 8bit
b12,…, b82, чтобы решить, имеют ли каждые восемь подблоков ненулевое значение или нет. Если
bk2, где k = 1,…, 8, устанавливается как 1, читать 8 бит
c1k,…, c8k, чтобы определить, какие коэффициенты k -го подблока отличны от нуля. На картах значимости, прочитанных выше, мы можем по порядку считывать фактические ненулевые коэффициенты. Когда все значения коэффициентов определены, выполняется обратное преобразование, чтобы получить фактические значения данных, и соответствующий блок обновляется.

После того, как значимые значения функции декодированы, мы выполняем извлечение изоповерхностей. Для каждого значимого изозначения у нас есть начальный набор, и, следовательно, мы можем быстро выполнить вышеуказанное извлечение.

5 Интерактивный просмотр

Несмотря на то, что степень сжатия является важным фактором повышения производительности ввода-вывода в памяти и сетевых системах, не менее важно, чтобы браузер визуализации мог читать и интерактивно отображать сжатые потоки изменяющихся во времени наборов данных с разным разрешением. .

5.1 Визуализация изоповерхности с несколькими разрешениями

Поскольку изоповерхность часто содержит много треугольников, для экономии времени извлечения и визуализации необходимы методы с несколькими разрешениями в качестве компромисса с визуальной точностью. Одной из сильных сторон вейвлет-преобразований является то, что они предоставляют сжатые представления с разным разрешением в согласованном формате.

В нашем блочном вейвлет-преобразовании есть 3 уровня, состоящие из одного 0-го уровня, семи 1-го уровня и пятидесяти шести коэффициентов 2-го уровня.Коэффициент 0-го уровня обеспечивает среднее значение 4 × 4 × 4 ячеек после фильтрации нижних частот. Коэффициенты 0-го уровня и 1-го уровня вместе дают приблизительные промежуточные значения, усредняющие 2 × 2 × 2 ячейки. Когда быстрое извлечение и рендеринг изоповерхностей важнее точности, клиент может взять только коэффициенты 0-го уровня и / или 1-го уровня и восстановить объем с более низким разрешением. Поскольку восстановленный объем с низким разрешением является хорошим приближением к исходному объему, не только извлеченная изоповерхность является хорошим приближением исходной изоповерхности, но также сокращается количество извлеченных треугольников.Этот процесс имеет эффект фильтрации нижних частот объема, который может удалить шум и артефакты, возникающие при сжатии с потерями. показывает три изображения, визуализированных с использованием одних и тех же объемных данных, но на разных уровнях изоповерхности.

Три разных уровня изоповерхности. Количество изоповерхностных треугольников и время извлечения для уровня 0 (слева), уровня 1 (в центре) и уровня 2 (справа) составляют (11878, 204 мс), (41624, 625 мс) и (207894, 3110 мс).

5.2 Комбинированный рендеринг изоповерхности и объемных данных

Мы комбинируем изоповерхностный и объемный рендеринг, чтобы воспользоваться преимуществами обоих методов.Мы берем изоповерхность как область, которую нам нужно рассмотреть более подробно, с непрозрачным или полупрозрачным объемом в пространстве объектов. Результаты рендеринга отображаются и сравниваются в формате. В этом наборе данных извлечение изоповерхности обеспечивает заштрихованную поверхность, представляющую конкретное значение температуры. Объемный рендеринг показывает температуру вокруг изоповерхности. Комбинируя оба метода, визуальная информация, содержащаяся в рендеринге, улучшается.

Визуализация набора океанографических данных об изменении температуры.Слева вверху: рендеринг изоповерхности, слева внизу: рендеринг объема, справа: комбинированный рендеринг изоповерхности и объема.

Мы протестировали нашу работу на реализации, основанной на OpenGL. OpenGL дает нам возможность выполнять тесты глубины и поддерживать карту глубины. Мы используем это для единообразной визуализации изоповерхности и объема. Поэтому мы устанавливаем изоповерхность полностью непрозрачной и визуализируем ее с помощью OpenGL с включенным тестом глубины. Затем мы визуализируем набор трехмерных текстурированных полигонов, нарезанных из объема в порядке от задней части к передней.Это согласуется с рекомендациями документации OpenGL [17].

Во время рендеринга изоповерхности мы строим карту глубины, которая используется во время рендеринга объема. Хотя изоконтурирование в целом требует большого количества времени, у нас уже есть семена, необходимые для выполнения изоконтурирования набора семян. Таким образом достигается быстрая реконструкция изоповерхности. Когда мы выполняем объемную визуализацию, чтобы получить правильные результаты прозрачности, мы визуализируем полигоны в отсортированном порядке. Хотя, как правило, на выполнение сортировки по полигонам уходит много времени, возможность трехмерного отображения текстур видеокарты Nvidia 3 помогает с этим справиться.Объемные данные хранятся в памяти текстур видеокарты. Мы создаем многоугольники с помощью простого инкрементального алгоритма, делая срезы по объему. Эти полигоны визуализируются с соответствующими значениями текстуры в 3D-памяти. Интерактивная карта передаточной функции для управления значениями цвета и непрозрачности используется для получения требуемых изображений. Если пользователь вращает объем, нам нужно обновить направление нарезки. Чтобы получить немного лучшую производительность, мы отключаем построение буфера глубины (используя glDepthMask (0)) при рендеринге объема, поскольку мы уверены, что рендерим многоугольники по порядку, и поскольку все ранее визуализированные полигоны непрозрачны.

6 Результаты экспериментов

Результаты сжатия и рендеринга были вычислены на ПК, оснащенном процессором Pentium III 800 МГц, 512 МБ оперативной памяти и графической картой NVidia GeForce 3 с 128 МБ памяти для текстур. Мы использовали стандартные функции OpenGL для объемного рендеринга на основе трехмерного наложения текстур.

предоставляет информацию о наших наборах тестовых данных. Первый набор данных генерируется в результате компьютерного космологического моделирования формирования крупномасштабных структур во Вселенной.Поскольку функции в наборе данных претерпели незначительные изменения в последних нескольких кадрах, мы предоставили все наши результаты сжатия для этого набора данных на основе первых 100 кадров. Второй набор данных создается с помощью океанографического моделирования и представляет изменения температуры в океане с течением времени. Исходная модель имеет приблизительное разрешение 1/6 градуса (2160 на 960) по широте и долготе и несет информацию на 30 уровнях глубины. Поскольку исходное разрешение данных слишком велико для аппаратного объемного рендеринга, мы прорежем его до 512 × 256 × 32 с помощью субдискретизации и взяли каждый третий кадр.Третий набор данных получен при моделировании динамики гемоглобина. Моделирование сгенерировало последовательность файлов pdb гемоглобина с тридцатью временными шагами, и объемы электронной плотности вычисляются из каждого файла pdb.

Таблица 1

Информация о наборах данных, изменяющихся во времени

256

Данные	Рез.	type	#frm	1 frm size
Gas	256 × 256 × 256	float	144	64MB
Ocean (decim)	с плавающей запятой	39	16 МБ
Гемоглобин	128 × 128 × 128	с плавающей запятой	30	8 МБ

Для тестирования производительности мы закодировали только нашу схему сжатия с высокой температурой в диапазоне от 21.47 и 36,0 (градус Цельсия) в наборе океанографических данных о температуре и областях с высокой плотностью в диапазоне от 0,23917 до 3,26161 в наборе данных газовой динамики, как показано на и. После кодирования вейвлет-коэффициентов мы использовали gzip для сжатия без потерь.

Набор данных по газовой динамике. Исходный объем (слева), восстановленный объем со степенью сжатия 148: 1 (в центре) и степенью сжатия 301: 1 (справа).

Набор океанографических данных об изменении температуры. Исходный объем (слева) и восстановленный объем со степенью сжатия 183: 1 (справа).

и показывают время восстановления, среднеквадратичную ошибку (RMSE) и степень сжатия, изменяющуюся во времени в наборах данных газовой динамики и океанографии. Время восстановления включает время чтения с диска, gunzip, и декодирование вейвлет-коэффициентов. Среднеквадратичная ошибка среднего была рассчитана с использованием только тех значений функций, которые способствовали характеристикам. Степень сжатия была рассчитана путем сравнения размера исходных изменяющихся во времени объемных данных и сжатых данных на основе функций, закодированных с применением нашего сжатия с потерями и gzip.Как вы можете видеть в таблицах, время восстановления P-кадра намного меньше, чем у I-кадра, в то время как степень сжатия P-кадра намного выше, чем у I-кадра. Причина этого в том, что наша схема сжатия кодирует только существенно изменяющиеся блоки в P-кадрах.

Таблица 2

Характеристики сжатия по набору данных газовой динамики (*: исходный диапазон плотности [0., 8065,299])

Средняя степень сжатия — 148: 1, RMSE — 0,108
Номер рамы	Recon.время	RMSE *	Сравн. соотношение
1 (I)	687 мс	0,105	40: 1
2 (P)	177 мс	0,131	371262	271 мс	0,101	182: 1
4 (P)	235 мс	0,103	234: 1

1322 — Средняя степень сжатия 30E139

: 1

Рама №	Развед. время	RMSE *	Сравн. соотношение
1 (I)	489 мс	0,127	70: 1
2 (P)	141 мс	0,156
207 мс	0,130	422: 1
4 (P)	188 мс	0,134	516: 1

Таблица 3

Производительность сжатия по исходному набору океанографических данных диапазон [−2.0, 36,0])

Средний коэффициент сжатия — 183: 1, RMSE — 0,090
№ кадра	Развед. время	RMSE **	Comp. отношение
1 (I)	124 мс	0,076	72: 1
2 (P)	76 мс	0,087	273: 1
96 мс	0,089	226: 1
4 (P)	86 мс	0.091	223: 1

Средняя степень сжатия — 348: 1, RMSE — 0,177
Frame #	Recon. время	RMSE **	Comp. Коэффициент
1 (I)	106 мс	0,157	103: 1
2 (P)	57 мс	0,169	61262 31267	61262	65 мс	0,175	493: 1
4 (P)	64 мс	0.178	482: 1

В, мы сравниваем нашу схему кодирования на основе функций (FBE) со схемой кодирования полного объема (FVE). Поскольку FBE кодирует только значения, вносящие вклад в указанные функции, время распаковки и степень сжатия значительно улучшаются по сравнению со схемами, кодирующими полные тома. В то время как время передачи и реконструкции объемных и изоповерхностных характеристик сокращается за счет кодирования FBE, рендеринг на стороне клиента значительно ускоряется за счет использования графического оборудования ПК.

Сравнение производительности различных схем кодирования. Хотя степень сжатия (a) и (b) одинакова (181: 1), качество восстановленного изображения с использованием (a) лучше, чем (b). RMSE (a) составляет 0,110 и (b) составляет 0,131. (a) Кодируются только значения, вносящие вклад в функции. (b) Каждое значение в объеме закодировано.

и показывают типичный кадр набора данных газовой динамики, сжатый с различными степенями сжатия. и покажите течение двух изоповерхностей определенных температур.показывает увеличенный вид того же набора томов, визуализированных в. Мы заметили, что хорошее визуальное качество сохраняется даже при таких коэффициентах масштабирования и высоких степенях сжатия. Хотя увеличенное изображение объема, сжатого с коэффициентом сжатия 148: 1, визуально почти такое же, как и оригинал, мы получаем лишь несколько артефактов при коэффициенте сжатия 301: 1. и показывают, что аналогичные результаты были получены при применении нашей схемы сжатия и рендеринга к набору океанографических данных. Мы использовали изоповерхности для отслеживания движения воды с определенной температурой и полупрозрачную объемную область для представления окружающей температуры.Эти цифры демонстрируют силу нашей схемы, позволяющую интерактивно отображать определенные интересующие области с высококачественными изоповерхностями, окруженными соответствующими объемными данными. Временные результаты рендеринга представлены в формате.

Набор данных по газовой динамике. Увеличенные изображения из.

Набор океанографических данных об изменении температуры. Увеличенные изображения из.

Таблица 4

Временные результаты визуализации изоповерхностей с аморфными объемными элементами в одном кадре: (имя набора данных, время загрузки трехмерной текстуры, время извлечения изоповерхностей, количество треугольников в изоповерхностях, время визуализации изоповерхностей, время объемной визуализации)

Набор данных	Нагрузка	Внеш.Время	Tri #	Изоповерхность	Объем
Газ	701 мс	1703 мс	135362	31266 31266 мс	422 мс 9126										281 мс

показывает результат сжатия при моделировании динамики гемоглобина. Объемный рендеринг был применен к каждому сжатому объемному кадру, и мы измерили частоту кадров.Мы достигли высокой степени сжатия (110: 1) и высокой частоты кадров (6,3 кадра / сек) при приемлемом качестве восстановления.

Моделирование динамики гемоглобина. Слева: исходный объем, посередине: увеличенный исходный объем, увеличенный восстановленный объем справа с коэффициентом сжатия 110: 1).

Как правило, частота кадров при воспроизведении объемного видео в основном зависит от разрешения объемов и количества треугольников в извлеченных изоповерхностях. Размер рендеринга также является важным фактором, поскольку рендеринг объема на основе текстуры зависит от операций с пикселями.

Хотя кодирование на основе вейвлетов может привести к некоторым потерям в объемах, а также в топологии реконструированных изоповерхностей, мы можем достичь очень высоких степеней сжатия с приемлемым ухудшением качества.

7 Заключение

Мы описываем схему сжатия с потерями для кодирования изменяющихся во времени изоповерхностей с аморфными объемными характеристиками, заданными диапазонами скалярных значений. Поскольку большие изменяющиеся во времени объемные данные обладают значительной согласованностью, сжатие необходимо для экономии места для хранения, сокращения времени передачи и повышения производительности визуализации изменяющихся во времени данных.Мы достигли нескольких наших целей: (i) высокая степень сжатия с минимальной деградацией изображения, (ii) быстрая декомпрессия за счет усечения незначительных блоков и вейвлет-коэффициентов, и (iii) интерактивный рендеринг на стороне клиента сжатых изоповерхностей с разным разрешением и объемных объектов. Таким образом, наша схема сжатия полезна для интерактивной навигации и исследования изменяющихся во времени изоповерхностей с аморфными объемными элементами, находящихся на локальных и / или удаленных серверах данных.

Благодарности

Ранняя версия этой статьи появилась в VolVis02 [25].Мы благодарны Энтони Тейну, разработавшему инструмент объемного рендеринга CCV (Volume Rover) и библиотеку, а также Сяоюй Чжан и Джон Виггинс за написание кода объемного молекулярного размытия. Космологическое моделирование было выполнено Хьюго Мартелем, Полом Р. Шапиро и Марсело Альваресом из группы исследования образования галактик и межгалактической среды в Юта-Остине. Данные океанографического моделирования были предоставлены профессором Детлефом Штаммером из отдела исследований физической океанографии Океанографического института Скриппса в рамках проекта Национального партнерства по развитию передовой вычислительной инфраструктуры.Динамика гемоглобина (файлы pdb) была предоставлена Дэвидом Гудселлом из Исследовательского института Скриппса.

Эта работа была частично поддержана грантами NSF ACI-9982297, CCR-9988357, грантом DOE-ASCI BD4485-MOID от LLNL / SNL и грантом UCSD 1018140 в рамках NSF-NPACI, Interactive Environments Thrust и гранта от Compaq для кластера ПК со 128 узлами.

Ссылки

1. Bajaj C, Ihm I, Park S. Сжатие больших объемов данных, специфичное для визуализации. Proc. Тихоокеанской графики; Токио, Япония.2001. С. 212–222. [Google Scholar] 2. Баджадж Чандраджит, Ихм Инсунг, Парк Санхун. Сжатие 3D-изображений RGB для интерактивных приложений. Транзакции ACM на графике. 2001. 20 (1): 10–38. [Google Scholar] 3. Баджадж Чандраджит, Паскуччи Валерио, Шикоре Даниэль Р. Быстрое изоконтурирование для улучшения интерактивности. Предисловие к симпозиуму 1996 г. по объемной визуализации. 1996: 39–46. [Google Scholar] 4. Cignoni P, Marino P, Montani E, Puppo E, Scopigno R. Ускорение извлечения изоповерхностей с использованием интервальных деревьев.IEEE Transactions по визуализации и компьютерной графике. 1997: 158–170. [Google Scholar] 5. Эллсуорт Дэвид, Чан Лин-Джен, Шен Хань-Вэй. Ускорение рендеринга аппаратного объема, зависящего от времени, с использованием деревьев tsp и показателей ошибок на основе цвета. Труды Симпозиума по визуализации и графике. 2000: 119–128. [Google Scholar] 6. Ле Галль Дидье. MPEG: стандарт сжатия видео для мультимедийных приложений. Коммуникации ACM. 1991. 34 (4): 46–58. [Google Scholar] 7. Герстнер Томас, Пахарола Ренато.Сохранение топологии и контролируемая топология, упрощающая извлечение изоповерхностей с разным разрешением. В: Эртл Т., Хаманн Б., Варшней А., редакторы. Proceedings Visualization 2000. 2000. pp. 259–266. [Google Scholar] 8. Гуте Стефан, Штразер Вольфганг. Декомпрессия и визуализация анимированных объемных данных в реальном времени. Визуализация IEEE. 2001: 349–356. [Google Scholar] 9. Гуте Стефан, Жезл Михаэля, Гонсер Юлиус, Штрассер Вольфганг. Интерактивный рендеринг больших объемов данных. Труды конференции по визуализации IEEE.2002: 54–60. [Google Scholar] 10. Хауи CT, Блэк EH. Алгоритм распространения сетки для построения изоповерхностей. Форум компьютерной графики. 1994. 13 (3): 65–74. [Google Scholar] 11. Ihm I, Park S. Схема трехмерного сжатия на основе вейвлетов для интерактивной визуализации очень больших объемов данных. Труды графического интерфейса. 1998: 107–116. [Google Scholar] 12. Ходаковский Андрей, Шредер Петер, Свелденс Вим. Прогрессивное сжатие геометрии. В: Akeley Kurt., Редактор. Siggraph 2000, Труды по компьютерной графике.ACM Press / ACM SIGGRAPH / Эддисон Уэсли Лонгман; 2000. С. 271–278. [Google Scholar] 13. Лоренсен В.Е., Клайн Х. Марширующие кубики: алгоритм построения трехмерной поверхности с высоким разрешением. ACM SIGGRAPH. 1987: 163–169. [Google Scholar] 14. Лум Эрик Б., Ма Кван-Лю, Клайн Джон. Аппаратное обеспечение текстур помогло визуализировать изменяющиеся во времени объемные данные. Визуализация IEEE. 2001: 263–270. [Google Scholar] 15. Ма Кван-Лю, Кэмп-Дэвид М. Высокопроизводительная визуализация изменяющихся во времени объемных данных в состоянии глобальной сети.Суперкомпьютерные вычисления. 2000 [Google Scholar] 16. Мачираджу Рагху, Чжу Чжифань, Фрай Брайан, Мурхед Роберт. Структурно-значимое представление структурированных наборов данных. IEEE Transactions по визуализации и компьютерной графике. 1998. 4 (2): 117–132. [Google Scholar] 18. Пфистер Ханспетер, Лоренсен Билл, Баджадж Чандраджит, Киндлманн Гордон, Шредер Уилл, Авила Лиза Соберайски, Мартин Кен, Мачираджу Рагу, Ли Джинхо. Передаточная функция запекания. IEEE Transactions по компьютерной графике и приложениям. 2001. 21 (3): 16–22.[Google Scholar] 19. Саид Амир, Перлман Уильям А. Новый быстрый и эффективный кодек изображений, основанный на разделении множеств в иерархических деревьях. IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology. 1996; 6: 243–250. [Google Scholar] 20. Шамир А., Паскуччи В., Баджадж К. Протокол конференции IEEE по визуализации 2000 г. Солт-Лейк-Сити: Юта; 2000. Динамические сетки с разным разрешением и произвольными деформациями; С. 423–430. [Google Scholar] 21. Шапиро Дж. Кодирование встроенных изображений с использованием нулевых деревьев вейвлет-коэффициентов.Транзакции IEEE по обработке сигналов. 1993. 41 (12): 3445–3462. [Google Scholar] 22. Шен Хань-Вэй. Извлечение изоповерхностей в изменяющихся во времени полях с использованием временного иерархического дерева индексов. Визуализация IEEE. 1998: 159–166. [Google Scholar] 23. Шен Хан-Вэй, Хансен Чарльз Д., Ливнат Ярден, Джонсон Кристофер Р. Изоповерхность в пространстве с максимальной эффективностью (ВЫПУСК) В: Ягель Рони, Нильсон Грегори М., редакторы. IEEE Visualization ’96. 1996. С. 287–294. [Google Scholar] 24. Сильвер Д., Ван Х. Отслеживание и визуализация турбулентных трехмерных объектов.IEEE Transactions по визуализации и компьютерной графике. 1997. 3 (2): 129–141. [Google Scholar] 25. Сон Бон-Су, Баджадж Чандраджит, Сиддаванахалли Винай. Объемное сжатие видео на основе функций для интерактивного воспроизведения. Симпозиум IEEE / SIGGRAPH по объемной визуализации и графике. 2002: 89–96. [Google Scholar] 26. Саттон Филип М., Хансен Чарльз Д. Извлечение изоповерхности в изменяющихся во времени полях с использованием временного дерева ветвей по необходимости (T-BON) В: Эберт Дэвид, Гросс Маркус, Хаманн Бернд, редакторы. IEEE Visualization ’99.Сан-Франциско: 1999. С. 147–154. [Google Scholar] 27. Таубин Габриэль, Россиньяк Ярек. Геометрическая компрессия с помощью топологической хирургии. Транзакции ACM на графике. 1998. 17 (2): 84–115. [Google Scholar] 28. Вестерманн Р., Томас Э. Эффективное использование графического оборудования в приложениях объемного рендеринга. СИГГРАФ. 1998: 169–177. [Google Scholar] 29. Zhang X, Bajaj C, Blanke W. Масштабируемая визуализация изоповерхностей массивных наборов данных на кластерах детских кроваток. Материалы симпозиума IEEE по параллельной визуализации и визуализации больших данных и графике.2001: 51–58. [Google Scholar] 30. Чжан Сяоюй, Баджадж Чандраджит, Рамачандран Виджая. Параллельная и внешняя визуализация изоконтура, зависящая от вида, с использованием случайного распределения данных. Совместный симпозиум Eurographics-IEEE TCVG по визуализации. 2002: 9–18. [Google Scholar]

Геометрия метаматериалов, сложенных Миура | PNAS

Abstract

В этой статье описываются два сложенных метаматериала на основе шаблона складки Миура-ори. В структурной механике этих метаматериалов доминирует кинематика складчатости, которая зависит только от геометрии и, следовательно, не зависит от масштаба.Во-первых, вводится структура гнутой оболочки, в которой рисунок изгиба обеспечивает отрицательный коэффициент Пуассона для деформаций в плоскости и положительный коэффициент Пуассона для изгиба вне плоскости. Во-вторых, описывается ячеистый метаматериал, основанный на наложении отдельных сложенных слоев, при этом кинематика складывания совместима между слоями. Дополнительная свобода в дизайне метаматериала может быть достигнута путем изменения рисунка складки внутри каждого слоя.

В этой статье мы описываем использование оригами для механических метаматериалов, где образцы складок вводят кинематические режимы деформации, которые доминируют в общем структурном отклике.Описаны геометрия и кинематика двух типов складчатого метаматериала: складчатой оболочки и складчатого ячеистого метаматериала. Оба представленных здесь примера основаны на определенной геометрии складки: классическом узоре Miura-ori. Эта модель ранее рассматривалась для приложений, таких как развертываемые солнечные панели (1), и наблюдалась при двухосном сжатии жестких тонких мембран на мягкой эластичной подложке (2, 3).

В последние годы к оригами наблюдается всплеск исследовательского интереса со стороны инженеров и физиков.Разработки включают сердечники из сложенных сэндвич-панелей (4, 5), стенты в стиле оригами (6), самосгибающиеся мембраны (7) и ячеистые материалы, изготовленные из свернутых цилиндров (8). Важной концепцией является жесткое оригами, где узор сгиба моделируется как жесткие панели, соединенные петлями без трения. Эти предположения делают изучение складывания оригами вопросом кинематики. Особый интерес здесь представляют образцы сгиба, где четыре линии сгиба пересекаются в каждой вершине (так называемые вершины степени 4). Каждая такая вершина имеет одну степень свободы, мозаичный узор сгиба чрезмерно ограничен, а сгибание возможно только при строгих геометрических условиях.В важной статье Хаффман (9) изучал жесткое складывание с помощью сферической геометрии; Недавняя работа включает моделирование складок с использованием кватернионов (10) и более глубокое понимание условий складывания для частично сложенных четырехугольных поверхностей (11, 12).

При описании свойств складчатых метаматериалов в первую очередь речь идет о кинематике деформации. При необходимости эти модели могут быть напрямую расширены, чтобы включить простое определяющее поведение на линиях сгиба (например, упругое (13) или пластическое (14) поведение).

Статья имеет следующую структуру. Во-первых, вводится элементарная ячейка Миура-ори, поскольку ее геометрия играет ключевую роль в механических свойствах складчатых метаматериалов. Первый такой метаматериал основан на едином плоском листе Миура-ори: складчатая структура оболочки. Особый интерес представляет внеплоскостная кинематика оболочки. Во-вторых, предлагается объемный метаматериал, основанный на наложении отдельных слоев Miura-ori, и исследуется его кинематика складывания. Краткое обсуждение завершает документ.

Геометрия элементарной ячейки

Элементарная ячейка Miura показана на рис. 1. Ее геометрию можно параметризовать несколькими способами. Здесь мы определяем элементарную ячейку размерами ее наименьшего составляющего компонента, параллелограмма со сторонами a и b и острым углом γ , а также углом двугранного сгиба θ ∈ [0, π / 2] между грани и плоскость xy . Затем внешние размеры задаются выражениями и. При проектировании метаматериалов механические свойства часто характеризуются в частично сложенном состоянии.Для выбранного набора внешних размеров H , S , V , L параметры шаблона сгиба затем могут быть рассчитаны обратно (4, 15). Дополнительные полезные отношения: и с ξ ∈ [0, γ ], ψ ∈ [0, γ ] и φ ∈ [0, π / 2]. Обратите внимание, что лист Miura-ori можно сгибать из плоского листа, сгибая его только по линиям сгиба, и поэтому он является разворачивающейся поверхностью.

Рис. 1.

Свернутый лист Миура-ори состоит из мозаик элементарной ячейки.Геометрия элементарной ячейки может быть описана с использованием параметров, определяющих грань параллелограмма, a , b , γ и угол сгиба θ ∈ [0, π / 2]. Альтернативная параметризация предоставляется размерами H , S , V , L . Показаны другие полезные углы, где ξ и ψ — это углы между линиями сгиба и осью y , а θ и φ — двугранные углы между гранями и плоскостями xy и yz соответственно. .Показаны три конфигурации с θ = {0, π / 4, π / 2}.

Складчатые конструкции оболочки

Первый описанный здесь метаматериал представляет собой сложенную оболочку. Частично сложенный лист Miura-ori рассматривается как структура оболочки, где локальный узор изгиба изменяет общие механические свойства оболочки. Это пример механизма податливой оболочки (16), где общая кинематика является функцией шарнирного сочленения вдоль линий сгиба, а также деформации пересекающихся тонкостенных граней.Это иерархическое взаимодействие кинематики деформации может создавать неожиданные и захватывающие механические свойства.

При описании кинематики листа Miura-ori необходимо различать плоские и внеплоскостные деформации конструкции оболочки.

Плоская кинематика.

При моделировании жесткого оригами лист Miura-ori имеет единственный режим расширения в плоскости с кинематикой, которая может быть охарактеризована коэффициентом расширения или коэффициентом Пуассона: где деформации ɛ _L и ɛ _S — настоящие штаммы мгновенного действия.Как показано на рис. 2, коэффициент Пуассона всегда отрицательный; это необычное свойство материала можно найти в микроструктурированных материалах, называемых ауксетиками (17), а также в колеблющихся мембранах и мятой бумаге (18). Отрицательный коэффициент Пуассона в плоскости листа Миура-ори хорошо известен (1, 3). Однако предыдущие формулировки заслоняли важную мысль: коэффициент Пуассона является функцией только угла ξ в плоскости xy или, что то же самое, отношения S / V .Это понимание приведет к складчатому клеточному метаматериалу, описанному в следующем разделе.

Рис. 2.

Коэффициент расширения листа Miura-ori в плоскости, ν _SL = −cos ² θ tan ² γ , для различной геометрии γ . Стрелки указывают направление первичной деформации δS ; На рисунке показаны конфигурации с γ = 60 ° и a / b = 1.

внеплоскостная кинематика.

Особый интерес представляет внеплоскостная кинематика складчатой оболочки Миура-ори (рис. 3). Несложные эксперименты выявили два режима деформации вне плоскости: седловой и скручивающий (15). Седловидный изгибный режим обычно ожидается в материале с положительным коэффициентом Пуассона. Следовательно, для листа Миура-ори коэффициенты Пуассона для плоских и внеплоскостных деформаций имеют противоположный знак.

Рис. 3.

( A ) Недеформированная конфигурация и ( B ) режимы скручивания и ( C ) седловидные формы деформации листа Miura с 9 × 9-элементными ячейками ( a / b = 1, γ = π / 3).Это показано в исх. 13 видно, что в широком диапазоне геометрических форм и параметров материалов эти режимы деформации являются наиболее гибкими. Только для конфигураций, в которых жесткость граней на изгиб намного больше, чем жесткость линий изгиба, плоский механизм (рис. 1) является наиболее гибким режимом деформации.

Ключевое наблюдение состоит в том, что для деформаций вне плоскости грани элементарной ячейки Миуры должны изгибаться. Следовательно, эти режимы не могут быть отражены в жесткой модели оригами без введения дополнительных линий сгиба.Для механического анализа изгиб граней моделируется путем введения диагональной линии сгиба к граням параллелограмма. Дополнительные линии сгиба можно рассматривать как удобную конструкцию для упрощения моделирования. Однако такие спонтанные линии сгиба на самом деле можно наблюдать в бумажных моделях, и действительно, математические модели складывания оригами показывают, что развивающиеся деформации граней, ограниченных прямыми линиями, должны оставаться кусочно-плоскими (19). Их формирование также мотивируется физикой концентрации напряжений в тонкостенных оболочках (20, 21).Для приближения первого порядка выбор диагонали для дополнительной линии сгиба не имеет значения ( SI Приложение , раздел S1). Здесь мы выбираем более короткую диагональ, мотивируя это наблюдением физических моделей, а также энергетическими соображениями.

Шенк и Гость (13) описали простую механическую модель для изучения доминирующей кинематики листов, при этом сложенный лист моделировался как ферма с штифтовым соединением ( SI Приложение , раздел S2). Путем введения жесткости на изгиб вдоль линий сгиба, K, _{, сгиба}, и по граням, K, , _{, фасета}, исследовали модальный отклик сложенной оболочки.Важным безразмерным параметром материала является соотношение жесткости складки и грани. Модальный анализ подтвердил, что режимы изгиба и скручивания являются доминирующими режимами деформации в широком диапазоне геометрий элементарных ячеек и соотношений жесткости.

В предыдущих исследованиях коэффициент связи между противоположными кривизнами в седловидном режиме деформации не определялся количественно, поскольку гауссова кривизна изменяется по деформированному листу. Деформации элементарной ячейки обязательно должны изменяться по поверхности, потому что геометрия двойной кривизны не может быть достигнута путем мозаики одной деформированной элементарной ячейки.Однако в первом порядке деформация согнутого листа с двойной кривизной может быть описана путем рассмотрения одной элементарной ячейки с граничными условиями мозаики (рис. 4). Граничные условия мозаики уменьшают степени свободы элементарной ячейки. Как подробно описано в Приложении SI , раздел S3, оставшиеся моды деформации затем могут быть разделены на три ортогональные моды: плоскую моду, симметричную внеплоскостную моду (т. Е. Седловую) и антисимметричную внеплоскостную моду. режим (т.е., скручивание).

Рис. 4.

Для фиксации деформаций вне плоскости ( A ) дополнительные линии сгиба ( bd , bf , , например, , и ei ) вводятся по диагонали поперек граней. ( B ) Деформации элементарных ячеек можно визуализировать с помощью ограничивающих плоскостей, которые представляют граничные условия тесселяции ∠ adg = ∠ cfi и ∠ abc = ∠ ghi . В результате образуются формы внеплоскостной деформации: скручивание ( C ) и седловидное изгибание ( D ), которые являются антисимметричными и симметричными в плоскости yz соответственно (15).( D , и ) Для режима изгиба углы наклона ограничивающих плоскостей, dρ _xx и dρ _yy, могут быть преобразованы в соответствующее изменение кривизны сложенные листы: ( D , ii ) κ _xx = dρ _xx/2 S ; ( D , iii ) κ _yy = dρ _yy/2 L .Дополнительные сведения см. В Приложении SI .

Для седлового режима представляет интерес коэффициент связи между кривизнами вне плоскости ν _κ = — κ _yy/ κ _xx, . Режимы деформации первого порядка предоставляют необходимую информацию для численного расчета изменения кривизны. Примечательно, что коэффициент связи вне плоскости оказался равным и противоположным коэффициенту Пуассона в плоскости: в пределах предполагаемой кинематики для сложенных листов (т.е., только развивающиеся деформации граней элементарной ячейки) достижимая геометрия строго ограничена. Хотя широкий диапазон конфигураций деформированного листа может быть получен с использованием комбинаций растяжения, изгиба и скручивания, деформации, такие как сдвиг в плоскости и вне плоскости, несовместимы с этой кинематической моделью. Поэтому физические листы должны претерпевать неразвивающиеся деформации (т. Е. Деформации граней в плоскости) для достижения этих режимов (5). Тем не менее, стоит подчеркнуть, что изначально плоская складчатая оболочка Miura может достигать конфигураций с двойной кривизной и, таким образом, изменять свою глобальную гауссову кривизну только с развивающимися деформациями граней элементарной ячейки.

Другая складчатая структура скорлупы — лист яичного ящика — изучалась в работе, приведенной в исх. 13. Показано, что он демонстрирует поведение материала, прямо противоположное поведению, описанному здесь для Miura-ori: он имеет положительный коэффициент Пуассона в плоскости, но отрицательный коэффициент Пуассона в некоторых режимах деформации вне плоскости. Отличительной особенностью ящика для яиц является то, что он не разворачивается и поэтому не может быть сложен из плоского листа.

Folded Cellular Metamaterial

Мы можем опираться на результаты описанной ранее кинематики в плоскости, чтобы показать, что различные листы Miura могут быть сложены в стопку для образования трехмерного складываемого метаматериала.Уравнение 9 показывает, что связь между расширением в направлениях x и y , показанных на рис. 1, зависит только от угла в плоскости ξ . В частности, это не зависит от высоты H . Таким образом, листы Miura с разной высотой H можно складывать вместе, склеивать по линиям сгиба и при этом свободно складывать (рис. 5). Результатом наложения является ячеистый метаматериал, который расширяется / сжимается во всех направлениях и является сильно анизотропным.Примеры сложенных моделей приведены в приложении SI , раздел S4.

Рис. 5.

Отдельные листы Miura-ori можно складывать вместе и склеивать по соединяющимся линиям сгиба, образуя сложенный ячеистый метаматериал. Хотя геометрия элементарной ячейки Миура-ори варьируется между последовательными слоями, сложенная конфигурация сохраняет кинематику складывания, а трехмерный метаматериал расширяется / сжимается равномерно. Здесь показана стопка с чередующимися слоями ABABABA . Анимация складывания обеспечивается Movie S1.

Наборная геометрия.

В многослойной конфигурации узор изгиба может изменяться от слоя к слою, но здесь предполагается, что геометрия элементарной ячейки чередуется между последовательными слоями: ABABA и т. Д. Единичные ячейки в последовательных слоях A и B должен иметь как минимум три геометрических параметра, оставив один свободный параметр. Это ограничение можно распознать при рассмотрении внешней геометрии элементарной ячейки: S _A = S _B, V _A = V

08 B, и 9000 L _A = L _B, где высота элементарной ячейки H _A и H _B можно выбрать независимо.В данной статье без ограничения общности предполагается, что H _B ≥ H _A. Что касается внутренних геометрических параметров, если γ _B ≥ γ _A берется в качестве независимой переменной для слоя B , соответствующие параметры элементарной ячейки могут быть рассчитаны с помощью и где Eq. 13 обеспечивает передаточную функцию между углами сгиба последовательных слоев A и B .В этой статье мы рассматриваем только θ _A ∈ [0, π / 2]. Расширение диапазона до θ _A ∈ [−π / 2, 0] приведет к метаматериалу, в котором слои больше не вложены, а соединены вдоль своих гребней.

Коэффициент расширения.

В результате процесса штабелирования коэффициент расширения в плоскости ячеистого метаматериала и одного листа Miura идентичен. Для трехмерного метаматериала теперь актуален коэффициент расширения по толщине.Для одного слоя коэффициенты могут быть записаны как и с ν _SL, являющимся коэффициентом расширения в плоскости из уравнения. 9 . Таким образом, коэффициент однослойного расширения всегда будет положительным, а его высота будет уменьшаться по мере расширения листа в плоскости.

Для уложенного метаматериала общая высота стопки H _с = n ( H _B — H _A) +

06 H , при n количество пар повторяющихся слоев AB .Для больших значений n коэффициент расширения по толщине можно записать как В пределах заданных границ угла сгиба θ _A, ν _LH всегда будет отрицательным. Другими словами, коэффициент расширения трехмерного метаматериала, состоящего из слоев листов Miura, противоположен коэффициенту расширения составляющих его слоев.

Для малых чисел n , коэффициент расширения метаматериала будет переходить от положительного к отрицательному поведению коэффициента Пуассона, что, соответственно, регулируется уравнениями. 14 и 16 , по мере увеличения количества уложенных слоев.

Относительная плотность.

Важным свойством ячеистого материала является его относительная плотность. Для однослойного листа Miura это количество равно т, — толщина листа. Плотность минимальна, когда знаменатель (т.е. внешний объем элементарной ячейки) достигает своего максимума: что всегда будет выполняться при θ = π / 4. Другими словами, независимо от геометрии сложенный в один конец слой Miura-ori всегда достигает максимального объема при одном и том же угле сгиба.Аналогичное выражение для многослойной конфигурации выводится менее очевидно, потому что высота слоя наложения может быть задана произвольно. Здесь мы указываем плотность материала как функцию частично сложенной конфигурации,

, выраженную через безразмерные группы ρ _c/ ρ , т / L , H _B/ H _A, L / H _A и V / S .

Самоблокирующийся.

Интересной особенностью шаблона Miura-ori является способность автоматически контролировать максимальную глубину сгиба листа, что может быть достигнуто путем изменения геометрии элементарной ячейки внутри слоя: когда элементарная ячейка достигает максимального угла сгиба θ = π / 2, он блокируется, и движение фальцовки всего листа останавливается. Будет показано, что в пакетной конфигурации движение складывания сохраняется при изменении геометрии элементарной ячейки внутри слоев, и поэтому метаматериал может быть спроектирован так, чтобы фиксироваться в заранее определенной конфигурации (рис.6).

Рис. 6.

Самоблокирующийся складчатый ячеистый метаматериал. Когда листы Miura сжимаются, элементарные ячейки в центральной колонне достигают своего максимального угла сгиба перед остальной частью слоя, тем самым останавливая движение сгиба и фиксируя метаматериал в заданной конфигурации. Такого поведения можно добиться, изменяя геометрию элементарной ячейки в каждом слое. Анимация складывания обеспечивается Movie S2.

Сначала рассмотрим две смежные элементарные ячейки A 1 и A 2 с разной геометрией (рис.7). Если взять A 1 в качестве эталонной конфигурации, отношения ψ _{A 1} = ψ _{A 2} и a _{A 1} = a _{A _{, таким образом, оставьте γ _{A 2} и b _{A 2} для произвольного выбора для элементарной ячейки A 2. Выбрав γ _{A 2} < γ _{A 1}, элементарная ячейка A 2 заблокируется при θ _{A 2} = π / 2, когда ψ _A = γ _{9000 905 A}.Соответствующее значение θ _{A 1} может быть вычислено из}}

Рис. 7.

Геометрия элементарной ячейки шаблона Miura может варьироваться в пределах каждого слоя. A показывает слой A с элементарными ячейками A 1 и A 2, на которых уложены друг на друга элементарные ячейки B 1 и B 2 в слое B . Связь между геометриями элементарной ячейки дается формулой. 21 . Геометрия γ _{A 2} < γ _{A 1} выбрана так, что элементарные ячейки A 2 и B 2 будут заблокированы в заданной конфигурации, которая показана в B .

Затем рассмотрим наложение слоев A и B с элементарными ячейками B 1 и B 2, наложенными на A 1 и A 2, соответственно (рис.7). Используя уравнение. 11 , зная, что a _{A 1} = a _{A 2} и a _{B 1} = a _{B 2 _{B 2 условие должно быть выполнено, чтобы можно было штабелировать.С четырьмя элементарными ячейками можно изучить их комбинированную кинематику. Коэффициент плоского расширения элементарной ячейки A 2 при передаче из A 1 в A 2 равен Аналогично для элементарной ячейки B 2 при передаче через A 1 и B 1 , коэффициент расширения может быть выражен как: Чтобы сохранить совместимость между слоями A и B во время складывания, уравнения. 22 и 23 должны быть равны для любого значения θ _{A 1}.Можно показать, что это равенство выполняется при тех же геометрических условиях, что и в формуле. 21 . Другими словами, когда найдена конфигурация, в которой четыре элементарных ячейки подходят друг к другу, они останутся совместимыми в любой сложенной конфигурации. Следовательно, сложенный в стопку метаматериал, в котором геометрия элементарной ячейки изменяется внутри слоев, все равно будет свободно складываться.}}

Обсуждение

В этой статье мы описали геометрию двух сложенных метаматериалов, основанных на образце складок Миура-ори, которые демонстрируют интригующие механические свойства.

Сложенная оболочка, состоящая из одного листа Miura, имеет коэффициенты Пуассона, противоположные коэффициентам Пуассона для плоских и внеплоскостных деформаций. Для плоских деформаций он имеет отрицательный коэффициент Пуассона, тогда как при изгибе он деформируется в седловидную конфигурацию, характерную для положительного коэффициента Пуассона. Примечательно, что эти коэффициенты Пуассона оказываются равными и противоположными.

Путем наложения сложенных слоев Miura в трехмерную структуру получается ячеистый сложенный метаматериал.Хотя геометрия элементарной ячейки изменяется между последовательными слоями, движение складывания сохраняется для стопки. В результате получается метаматериал, который может складываться и разворачиваться равномерно. Более того, поскольку движение складывания имеет единственную степень свободы, сложенному метаматериалу можно придать любую желаемую форму, при этом сохраняя его движение складывания. Применения можно найти в поглощении ударов, а также в развертываемых конструкциях. Ключевое отличие от складывающегося метаматериала, описанного в исх. 8 — потенциальная простота изготовления.Отдельные согнутые листы могут быть изготовлены с использованием установленных способов производства (14) перед их штабелированием и соединением по линиям сгиба.

Геометрическое богатство уложенного друг на друга метаматериала можно дополнительно использовать, изменяя узор изгиба внутри слоя. Например, движение сгиба может быть остановлено при желаемом угле сгиба, что позволяет создавать метаматериалы, которые могут фиксироваться в определенной конфигурации. Эту способность можно эффективно использовать в методах самостоятельной сборки.Используя общепринятые методы микропроизводства, лист можно сгибать, используя дифференциалы деформации по линиям сгиба; окончательная конфигурация может быть обеспечена за счет использования самоблокирующейся геометрии. В качестве альтернативы самоблокировка может обеспечить индивидуальную реакцию метаматериала на жесткость при ударной нагрузке.