Развертка треугольной пирамиды для склеивания: Правильная треугольная пирамида — геометрическое тело

by alexxlab Posted in Разное on 22.05.202118.08.2020

Содержание

Как построить развертку пирамиды

Развертка поверхности пирамиды — это плоская фигура, составленная из основания и граней пирамиды, совмещенных с некоторой плоскостью. На примере ниже мы рассмотрим построение развертки способом треугольников.

Задача

Пирамиду SABC пересекает фронтально-проецирующая плоскость α. Необходимо построить развертку поверхности SABC и нанести на нее линию пересечения.

Решение

На фронтальной проекции S»A»B»C» отмечаем точки D», E» и F», в которых след α_v пересекается с отрезками A»S», B»S» и C»S» соответственно. Определяем положение точек D’, E’, F’ и соединяем их друг с другом. Линия пересечения обозначена на рисунке красным цветом.

Определение длины ребер

Чтобы найти натуральные величины боковых ребер пирамиды, воспользуемся методом вращения вокруг проецирующей прямой. Для этого через вершину S перпендикулярно горизонтальной плоскости H проведем ось i. Поворачивая вокруг нее отрезки SA, SB и SC, переместим их в положение, параллельное фронтальной плоскости V.

Действительные величины ребер равны проекциям S»A»₁, S»₁B»₁ и S»C»₁. Отмечаем на них точки D»₁, E»₁, F»₁, как это показано стрелками на рисунке выше.

Треугольник ABC, лежащий в основании пирамиды, параллелен горизонтальной плоскости. Он отображается на ней в натуральную величину, равную ∆A’B’C’.

Порядок построения развертки

В произвольном месте на чертеже отмечаем точку S₀. Через нее проводим прямую n и откладываем отрезок S₀A₀ = S»A»₁.

Строим грань ABS = A₀B₀S₀ как треугольник по трем сторонам. Для этого из точек S₀ и A₀ проводим дуги окружностей радиусами R₁ = S»B»₁ и r₁= A’B’ соответственно. Пересечение данных дуг определяет положение точки B₀.

Грани B₀S₀C₀ и C₀S₀A₀ строятся аналогично. Основание пирамиды в зависимости компоновки чертежа присоединяется к любой из сторон: A₀B₀, B₀C₀ или C₀A₀.

Нанесем на развертку линию, по которой плоскость α пересекается с пирамидой. Для этого на ребрах S₀A₀, S₀B₀ и S₀С₀ отметим соответственно точки D₀, E₀ и F₀. При этом точка D₀ находится на пересечении отрезка S₀A₀ с окружностью радиусом S»D»₁. Аналогично E₀ = S₀B₀ ∩ S»E»₁, F₀ = S₀C₀ ∩ S»F»₁.

Усечённые пирамиды — объёмные геометрические тела

Готовый набор «Волшебные грани»

Для сборки многогранников мы можем вам предложить уже готовые развёртки — вырезанные и подогнутые.

Для этого вам нужно воспользоваться деталями набора Волшебные грани № 14.

Кроме того, в самом выпуске вы найдете информацию о строении многогранников.

Сборка правильной четырехугольной пирамиды:

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

Сборка правильной четырехугольной пирамиды:

Вращение готового многогранника (усечённой четырехугольной пирамиды), собранного из этих деталей:

Сборка пирамиды со звёздчатым основанием:

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

Сборка би-пирамиды с основанием в форме пятиконечной звезды:

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

развертка. Развертка пирамиды для склеивания. Развертки из бумаги

Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие – геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида — это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.

Материалы и приспособления

Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур — интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:

бумага или картон;
ножницы;
карандаш;
линейка;
циркуль;
ластик;
клей.

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной треугольной пирамиды.

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран равносторонний треугольник. Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды – это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

Как выполняется развертка правильной пирамиды?

Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. Правильная пирамида имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае – это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры. Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды – треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.

Сборка макета

Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.

Развертка четырехугольной пирамиды

Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра — треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.

Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.

Завершающий этап выполнения макета

Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.

Объемные макеты сложных фигур

После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани – это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.

Построение чертежа

Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями — подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим окружность, радиусом которой будет измеренное расстояние.

Следующий этап – это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники – квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.

Завершение моделирования

Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.

Изготовление разных моделей многогранников

Выполнение объемных моделей геометрических фигур — увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.

Способ треугольников | Начертательная геометрия

Разверткой многогранника называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней многогранника с одной плоскостью. Так как все грани многогранника изображаются на развертке в натуральную величину, построение развертки сводится к определению натуральной величины граней – плоских многоугольников.

Способ треугольников используют для построения развертки поверхности пирамиды. Развертка боковой поверхности пирамиды — плоская фигура, состоящая из треугольников — граней пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности пирамиды сводится к определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем известным сторонам треугольников — граней пирамиды.

Способ треугольников

Вращаем ребра вокруг оси i (i⊥H и i∋S) и совмещаем с плоскостью β (плоскость β║V β∋i). Выполняем определение действительных величин ребер пирамиды [S»A₂], [S»B₂], [S»C₂]. Приступая к построению развертки проводим произвольную прямую a через произвольную точку S₀. Откладываем на ней от точки S₀ отрезок [S₀A₀]≅ [S»A₂]. Из точки A₀ проводим дугу радиусом
r₁=‌A`B`‌, а из точки S₀ — дугу радиусом R₁=‌S»B₂. Пересечение дуг укажет положение вершины B₀ ΔS₀A₀B₀ (ΔS₀A₀B₀≅ΔSAB — грани пирамиды). Аналогично определяем положение точек C₀ и A₀. Соединяя точки
A₀B₀C₀A₀S₀, получим развертку боковой поверхности. Присоединив к какой-либо стороне (ребру) основание (ΔABC) — получаем полную развертку поверхности пирамиды SABC.

Способ треугольников использован для построения развертки поверхности усеченной пирамиды в графической работе №12:
Графическая работа 12

Как пирамиду из бумаги сделать?

Благодаря искусству оригами можно создать и пирамиду. Причем, есть, как довольно простые способы ее сделать (например, вырезав из бумаги соответствующие фигуры и собрав ее), так и очень сложные (например, из простого листа бумаги, делая разные манипуляции). А вообще, если говорить о пирамиде – то это загадочная фигура. Говорят, что она даже накапливает энергию. Множество пирамидальных строений встречается на Земном шаре. Это не только известные всем Египетские пирамиды. Такие структуры есть по всему миру (в Мексике, Китае и прочих местах).

Из этой статьи, благодаря описаниям, картинкам и видео вы узнаете о нескольких способах, как сделать из бумаги пирамиду.

Первый Способ

1. Согните квадрат по вертикали и разогните, по горизонтали и разогните, по диагоналям и разомните. Все это делается, чтобы наметить линии. Все уголки согните к центру.

2. Боковые углы поднимите к верхнему. Затем верхний угол расправьте в квадрат.

3. Перегните по линиям боковые уголки верхнего квадрата и заправьте вовнутрь.

4. Верхний треугольник отогните вниз и на обратную сторону переверните деталь.

5. Повторите 3-4 шаги.

6. Нижние уголки поднимите вверх.

7. Боковые углы расправьте так, чтобы донышко выпрямилось.

8. Отгладьте хорошенько ребра донышка. Пробейте дыроколом дырочку вверху каждой грани пирамиды. Положите внутрь пирамиды подарок, а ленточку затяни в дырочки.

Второй способ

Использование заготовок. Их можно нарисовать самостоятельно, либо просто скачать (сохранить) наши изображения, а потом распечатать, вырезать и собрать.

Третий способ

Пирамида в данном случае делается из квадратного листа бумаги путем некоторых действий.

Берется квадратный лист бумаги. Лучше всего использовать обычный лист формата A4. Сложить один из углов к противоположной стороне и ножницами отрезать лишнее или осторожненько оторвать. Так получится квадрат, который в дальнейшем будем использовать.

Квадрат вначале свернем по одной диагонали и развернем, а потом по другой и опять развернем. Этими действиями мы намечаем нужные линии. Потом сверните из квадрата двойной треугольник, взявшись за его половинки. Затем нужно к центру сложить два угла основания фигуры. Переверните фигуру и проделайте аналогичную операцию.

После этого нужно еще раз с одной стороны согнуть углы к центру, потом перевернуть фигуру и тоже самое сделать с другой стороны. Затем два раза с одной стороны разогните ромб, уголок загните вовнутрь и снова согните, аналогично и с другой. Перевернем после этого поделку и сделаем аналогичные действия.

Пирамиду выгнете в другую сторону, чтобы образовалась четырехконечная звезда. Двумя руками возьмитесь за разные концы и фигуре придавайте объем. Вначале за одни противоположные края, а после за другие. Постепенно из бумаги начнет проявляться пирамиду, которую мы так хотели собрать. Если у вас все получилось – поздравляем. Вы достигли в этом мастерства и ваша пирамида из бумаги готова. В следующие разы проделать данную операцию будет легче, и вы сможете легко наделать целую кучу пирамид.

Также знайте, что на заключительном этапе нужно быть очень осторожными, чтобы случайно не порвать фигуру. Если что-то из описания было не совсем понятно – смотрите видео.

Четвертый способ

Нужно будет из бумаги вырезать одну фигурку и потом соединять все элементы, чтобы получилась пирамида.

Для поделки нужно взять: лист, из которого делается модель пирамиды; небольшой треугольник; клей; ножницы; маркер.

Вырезаем квадрат. На листке нарисуем такой же, обведя маркером вырезанный ранее квадрат. Согнем в разные стороны пополам вырезанную ранее фигуру так, чтобы были видны складки. Развернем и на нашем рисунке отметим следы от сгибов, которые будут находиться по центрам сторон. Диагональ треугольника далее подложите к каждой отмеченной стороне и сделайте снова отметку.

Затем линиями соедините нарисованный треугольник и вершины будущей пирамиды. Чтобы все получилось точно – лучше воспользоваться линейкой. Маркером затем нарисуйте линию склейки сторон. Справа и слева, но так, чтобы со всех стороны все было одинаково.

Аккуратно вырежьте фигуру по отмеченным линиям. Намажьте клеем (можно использовать обычный клей ПВА) склейки сторон и пирамиду проклейте. Чтобы поделка была более устойчивой – нужно брать очень плотную бумагу. Здесь также можно проявиться свою фантазию и творческую натуру. Пирамиду можно разукрасить, наклеить различные символики (например, символы богатства, удачи) и прочие наклейки.

Также по 4 способу создания пирамиды из бумаги смотрите видео.

Другие способы, как сделать пирамиду из бумаги смотрите в следующих видеороликах:

Думается, что если вы использовали хотя бы один из способов и сделали эту фигуру, то вас можно поздравить – вы научились ее делать и теперь знаете, как пирамиду сделать из бумаги.

Правильная пирамида развертка | МеханикИнфо

Правильная пирамида. имеющая в основании правильный n — угольник (в данном случае шестиугольник), показана на рис. 1. Для удобства построения одно из ребер, например O’V’ расположено в плоскости, параллельной фронтальной проекции.

Рис. 1. Правильная пирамида развертка.

Поэтому на рисунке показана его натуральная величина. Построение развертки боковой поверхности следует начинать с произвольной точки V₀, из нее как из центра радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды R = L, описывается дуга. От произвольной точки O₀ на дуге n раз последовательно откладывается сторона многоугольника. Полученные точки 0₀, 1₀, …, 6₀ последовательно соединяются между собой и с высотой V₀.

Если дана точка М, принадлежащая одной из плоскостей пирамиды, то ее можно перенести на развертку следующим образом. Проводится прямая MV до пересечения со стороной основания в точке N и соответственно М’V’ до пересечения в точке N’. Расстояние 1N откладывается от точки 1₀ на стороне 1₀2₀ развертки до точки N₀. Проводится прямая N₀V₀. Для определения действительной длины отрезка NM нужно построить вспомогательный прямоугольный треугольник со сторонами N”₀M” = NM и М”М”₀ = h. От точки N₀ откладывается расстояние N”₀M”₀. Получаем точку М₀.

Рис. 2. Правильный пятиугольник усеченный плоскостью.

Для аналитического определения элементов разверток пирамиды используют ряд зависимостей; боковое ребро ,

высота треугольников, составляющих развертку боковой поверхности ; тангенс половины плоского угла при вершине пирамиды:

полный угол развертки ᵠ = nα.

Величины s, m и f можно определить, воспользовавшись зависимостями:

;

Для четного количества плоскостей пирамиды (рис. 1):

Для нечетного количества плоскостей пирамиды (рис. 2):

развертка. Развертка пирамиды для склеивания. Развертки из бумаги

Хобби

14 июня 2014