Как сделать многогранник из бумаги схема: Как сделать многогранник из бумаги схема пошагово. Учебно-исследовательская работа на тему «Необычные многогранники из бумаги

Содержание

Как сделать многогранник из бумаги

Когда-то разноцветные многогранники из бумаги и картона служили одновременно и наглядным пособием, и украшением школьных кабинетов математики и черчения. Изготовление этих фигур способствовало развитию пространственного мышления, знакомило с многообразием форм в их трехмерном проявлении. Изготовление таких многогранников из цветной бумаги — увлекательнейшее занятие, не лишенное интеллектуальной составляющей, удивительная возможность математикой выразить красоту окружающего мира.

Многогранник — понятие очень обширное, и зачастую новички, увлеченные изготовлением этих выпуклых и звездчатых фигур, поначалу путаются в их названиях, что, в общем-то, неудивительно. Многогранники можно разделить на две категории: так называемые Платоновы тела и Архимедовы тела.

К первым относятся правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, куб (гексаэдр), икосаэдр, додекаэдр. Ко вторым — полуправильные многогранники: усеченные версии Платоновых тел, кубооктаэдр, «курносый» куб и др. Не старайтесь сразу запомнить все эти сложные названия, мастерить их гораздо интереснее, чем заучивать термины 🙂

Для работы понадобится цветной или белый картон, который можно при необходимости раскрасить; линейка и угольники; хороший клей, который не коробит бумагу; ножницы; пинцет. Для изготовления заготовок многогранника удобно пользоваться картонными трафаретами: чертеж заготовки накладывают на плотный картон, шилом или иголкой делают проколы по вершинам детали, после чего по линейке соединяют эти точки.

Тетраэдр 

Одним из простейших многогранников, которые проще всего сделать из бумаги (картона), является тетраэдр («Пирамида»). Четыре грани этой фигуры представлены равносторонними треугольниками. Если хочется сделать одноцветный тетраэдр, то можно воспользоваться одной разверткой (см. схему ниже).

Если же тетраэдр нужен разноцветный, то придется сделать четыре цветные заготовки в виде равносторонних прямоугольников. Из картона изготавливают четыре треугольника разного цвета (например, Ж, С, О, К — желтый, синий, оранжевый, красный), обязательно делая небольшие «припуски» для склеивания деталей.

При соединении отдельных заготовок сначала склеивают все четыре детали в положение, изображенное на рисунке ниже, затем приступают к соединению боковых граней. Сначала склеивают между собой только две из них, затем — оставшиеся детали.

Октаэдр

Октаэдр — многогранник, состоящий из восьми равносторонних треугольников. Эта фигура выглядит довольно эффектно, а мастерить ее не сложнее, чем тетраэдр. Модель мастерят, сначала склеивая четыре треугольника таким образом, как это показано на рисунке ниже. Когда грани 1 и 4 будут соединены, получится пирамида без основания — т.е. ровно половина нужной фигуры.

Вторую половину проще клеить таким образом: сначала четыре оставшихся треугольника приклеивают к соответствующим сторонам квадратного основания, затем соединяют соседние грани.

Икосаэдр

На третьем месте по простоте исполнения идет икосаэдр, гранями которого тоже являются равносторонние треугольники. Наиболее эффектно смотрятся разноцветные многогранники, у которых возможно варьирование распределения цветов. Например, можно сделать фигуру, у которой в каждой вершине будут сходиться все используемые цвета, или же у противоположных граней будут одинаковые расцветки, а у вершин будет повторяться один цвет.

Модель собирают из пяти треугольников, соединенных по схеме, указанной на рисунке ниже. В результате получится невысокая пятиугольная пирамида без основания. К сторонам основания приклеивают остальные пять треугольников, руководствуясь любой понравившейся цветовой схемой.

Додекаэдр

И, пожалуй, к несложным, но самым эффектным по своему внешнему виду многогранникам можно отнести додекаэдр. Наиболее красиво выглядят разноцветные додекаэдры: четырех- или шестицветные.

Построение модели начинают со приклеивания пяти разноцветных пятиугольников к центральному пятиугольнику — например, белого цвета. Затем цветные заготовки склеивают между собой — получается половина додекаэдра. Затем остальные грани заготовок подклеивают к уже готовой половине фигуры таким образом, чтобы выдержать задуманную цветовую схему и эффектный многогранник из бумаги будет готов.

Пример цветовой схемы:

Если вам, уважаемые читатели, интересна тема изготовления многогранников из бумаги, и хотелось бы видеть больше схем, пишите об этом в комментариях, публикации будут продолжены. Впереди нас ждут усеченные, «курносые» и красивейшие звездчатые формы многогранников.

Учебно-исследовательская работа на тему «Необычные многогранники из бумаги»

МОУ Можаров – Майданская СШ

Учебно-исследовательская работа

на тему

«Необычные многогранники

из бумаги»

Выполнил:

ученик 9 класса Колбасов А.В.

Руководитель:

учитель математики Погодина А.А.

Актуальность выбранной темы:

Цель:

  • развитие познавательного интереса к необычным формам многогранников.

  • заинтересовать окружающих такими необычными многогранниками.

Задачи:

  • изучить историю многогранников;

  • изучить материал по изготовлению многогранников из бумаги в стиле оригами;

  • доказать себе, что я могу это сделать;

  • показать другим как это делать.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена процветания Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Поэтому, согласно учению Платона (один из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящих из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует одну стихию. Фигуры из треугольников — октаэдр, икосаэдр и тетраэдр — ассоциируются с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга благодаря однотипности граней, каждая из которых имеет три вершины. Землю же символизирует гексаэдр из квадратов. А додекаэдр, благодаря особенным пятиугольным граням, выполняет декоративную роль и является прототипом гармонии и мира. Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Начала» неповторимость упомянутых платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие – только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии – наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:

Бумажные поделки – это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать из бумаги многогранник. Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.

Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра. Делаем двадцатигранник Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Разнообразие фигур

На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3). Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является правильным пятиугольником. Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 3),

в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее. Как сделать многогранник из бумаги: второй способ Изготовьте два главных шаблона

Первый. Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

Второй. Этот шаблон – пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням. Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

Додекаэдр в технике оригами

Модуль оригами — отличная основа для додекаэдра. Понадобится 30 прямоугольных или квадратных листов бумаги. Каждый из листочков складывается пополам, затем каждую половинку нужно отогнуть в противоположную сторону — получится «гармошка» в четыре сложения. Иногда, если лист не квадратный, делают «гармошку» в три сложения. В итоге у вас в руках узкая промоугольная полоска. Затем с каждой стороны прямоугольника по узкой стороне нужно отогнуть уголок. Уголки складываются в одну сторону — это будущие крепления, которые будут заправляться в «гармошку». Затем согните модуль вовнутрь наискосок по диагонали от маленьких боковых уголков. Таким образом, один модуль для оригами додекаэдра — трехмерный, он включает два ребра будущей фигуры и уголки. Когда все модули готовы, можно начинать сборку.

Сборка начинается с одного узла, для которого необходимо взять три модуля. На рисунке ниже это голубой, розовый и желтый модули оригами. Схемы сборки  достаточно просты, и с такими фигурами легко справляются даже начинающие (36 заготовок).

Какие поделки можно сделать на основе додекаэдра?

Каждая сторона додекаэдра из бумаги — это плоский пятиугольник, который сам по себе может являться основой для самых разных и причудливых форм. Например, на фото ниже пятиугольник заменен пятиконечнй звездой.

Ребра в такой фигуре отсутствуют, хотя предполагаются. Как сделать додекаэдр из бумаги в виде звезды? Замените в развертке, представленной выше, каждый пятиугольник необходимой пятиконечной фигурой и соедините их не по ребрам, а по вершинам. На этом фото представлен звездчатый додекаэдр. В основе каждого «луча» лежит все тот же пятиугольник. Вместо пятиугольных пирамид может быть выполнена любая объемная фигура.

Многогранник из тетраэдров.

Делаем 30 модулей(заготовок)

Вывод: Изготовление необычных многогранников из бумаги в стиле оригами развивает пространственное воображение, улучшает моторику пальцев рук, делает человека более целеустремлённым и трудолюбивым.

Многогранники своими руками схемы. Как сделать красивые бумажные многогранники

Поделки с детьми. ФУТБОЛЬНЫЙ МЯЧ И МНОГОГРАННИКИ ИЗ ЦВЕТНОЙ БУМАГИ.

Среди моих читателей очень много воспитателей Детских садиков и руководителей Художественных кружков, в связи с этим, я изредка публикую посты с поделками вместе с детьми и для детей.

Кстати, всем родителям хочу порекомендовать очень хорошую детскую студию «Теремок», которая существует уже два года и зарекомендовала себя одной из самых лучших студий в воспитательно-образовательной работе с детьми. «Теремок» поможет вашему малышу находить общий язык в общении со сверстниками, разовьет уважение к старшим, развлечет, устраивая праздники и конкурсы и многое-многое другое. Очень нужно, детям, с самого раннего возраста, прививать любовь к творчеству. Это вырабатывает у них любознательность, расширяет кругозор, прививает любовь к труду. В студии есть очень хороший художественный кружок по разным видам и жанрам изобразительного искусства. Подробнее о студии вы сможете узнать на сайте — http://teremok64.ru.

А сейчас, предлагаю вам занять детей и сделать вместе с ними многогранники из цветной бумаги. Это не только увлечет их, они получат первые знания в математике. Ниже, под катом, пять шаблонов на некоторые многоугольники, которые нужно распечатать и увеличить. Все очень легко и просто, вырезать, согнуть и склеить. Очень красивая гирлянда, яркая, веселая и солнечная)

Можете сделать макет футбольного мяча. Для этого, желательно, взять бумагу — поплотнее.

Во вложении, шаблон мяча в натуральную величину, состоит из восьми страниц.

Вложение:

ДОДЕКАЭДР

ИКОСАЭДР

ОКТАЭДР

ТЕТРАЭДР

Вырезать шаблоны и согнуть по пунктирным линиям

ВУАЛЯ. Можете их собрать на ниточку и сделать математическую гирлянду)

Недавно я загорелась идеей сделать многогранники из бумаги
. В статье о конструировании из нута и зубочисток я приводила примеры простых многогранников. Поискала в сети и нашла схемы разверток этих фигур
.

  1. тетраэдр,
  2. октаэдр,
  3. икосаэдр,
  4. додекаэдр.

В поисках новых интересных фигур попала на сайт

, который предлагает приобрести готовые комплекты для сборки многогранников. Стоимость одной фигуры 100 руб, но доставка мне была неудобна, поэтому идея осталась нереализованной. Спустя время, на одной из выставок я увидела стенд с этими чудо-фигурами и прикупила один многогранничек для сына, а один для племянника.

В упаковочке располагаются несколько листов хорошего глянцевого картона с вырубкой цветных деталей, инструкция по сборке и немного исторической информации о фигуре.

Детали очень легко отделяются от общего листа картона. При необходимости места отрыва деталей можно подровнять ножницами. На деталях есть стрелочки, указывающие направление сгиба лепесточков (мест склейки элементов). Для склеивания деталей рекомендуют использовать тот клей, что быстрее схватывается. Мы использовали Супер-ПВА.

Прилагаемая схема сборки многогранника очень подробная, так что ошибиться сложно.

Отмечу, что работа эта кропотливая, и у моего шестилетнего сына не хватило терпения закончить ее. Так что доклеивала мама Галя. Но я ничуть не жалею о приобретении. Во-первых, мы вместе разбирались со схемой, вместе отделяли детали от картона, вместе клеили простые элементы, а это тоже очень важно. При возможности я приобрету еще несколько фигур. А еще подумываю обрадовать нашу бабушку – математика несколькими многогранниками.

Посмотрите, что у нас получилось:

Склеили простые детали. Кстати, они все пронумерованы. Это деталь №1 с донышком №2 – 12 шт

К детали №1 приклеили пять красных треугольников – деталь №3

А потом следующие и следующие…

Для закрепления элементов пришлось использовать прищепки.

  • 15 листов плотной бумаги формата А4.
  • Трафарет — загрузить здесь.
  • Белая нитка.
  • Матрица для высечки.
  • Металлическая линейка.
  • Клей-карандаш или двухсторонний скотч.
  • Деревянная палочка 50 см в длину и 12 мм в диаметре.
  • Скотч.

Шаг 1.
Переносим трафарет и вырезаем фигуры

Загрузите и перенесите трафарет для 15 цветных бумаг. Вырежьте фигуры.

Шаг 2.
Складываем фигуры

Сложите бумагу нарисованной стороной внутрь по отпечатанным линиям.

Шаг 3.
Отрезаем нитку

Отрежьте 15 ниточек длиной около 60 см и отложите их в сторону.

Шаг 4.
Собираем фигуры

Проклейте по одному из отворотов, сложите фигуру и соедините отворот и сторону вместе, пока они не склеятся. Повторите то же самое с другими отворотами, пока все стороны фигуры, за исключением одной, не склеятся.

Шаг 5.
Приклеиваем нитку

Отрежьте небольшие кусочки скотча. Положите конец нитки на внешний уголок бумажной фигуры, чтобы он заходил на несколько сантиметров. Сделайте из нитки петельку и закрепите ее скотчем. Благодаря петле будет меньше шансов, что нитка выскочит. Склейте оставшиеся два отворота, чтобы закрыть геометрическую фигуру. Повторите шаги 4 и 5 для всех фигур.

Шаг 6.
Распределяем фигуры по местам

У конструкции должно быть пять рядов: в первом ряду одна фигура, во втором – две, в третьем – три и т.д. Расположите фигуры по рядам и по цветам. Проверьте, не запутались ли нитки.

Шаг 7.
Собираем конструкцию

Пометьте карандашом на палочке следующие промежутки: 7 см слева, затем восемь интервалов по 4,5 см. Всего должно получиться 9 пометок.

Возьмите первую фигуру в пятом ряду (самом высоком) и повесьте ее на палочку. Фигура должна свешиваться на 15 см вниз. Обмотайте нитку несколько раз и завяжите узелок под палочкой. Отрежьте «хвостик» нитки.

Фигуры в этом ряду будут свешиваться с каждой второй пометки – первой, третьей, пятой, седьмой и девятой. Я хотела, чтобы конструкция выглядела немного по-другому, поэтому повесила фигуры на нитках разной длины. Если вы хотите, чтобы все выглядело ровно, отмерьте и отрежьте нитки одинаковой длины.

Конструкцию будет собрать легче, если вы сможете подвесить ее. Я расположила мою между полкой и столом, попробуйте подвесить свою между спинками стульев.

Четыре фигуры в ряду 4 буду висеть между верхними фигурами, так что привяжите их к палочке на пометках два, четыре, шесть и восемь.

Фигуры ряда 3 привяжите к пометкам три, пять, семь.

Фигуры второго ряда – к пометкам шесть, а первого ряда – к пометке пять.

Отрежьте две нитки по 60 см, чтобы повесить конструкцию. Привяжите одну к пометке один, а другую к девятой. Соедините вместе свободные концы и привяжите их к крючку или любому другому подвесному элементу.

Повесьте конструкцию под потолок или на стену.

Что делать, если у вас нет необходимых для игры многогранников? Что за вопрос — конечно же, купить их. Если в вашем городе нет соответсвующих магазинов, то в наше время можно заказать игровые многогранники во многих Интернет-магазинах, в которых есть доставка почтой в другие города. Да, но… бывают ситуации, когда играть нужно уже сегодня, а дайсов под рукой нет. Что же делать? Самый простой способ изготовить необходимые многогранники из картона или плотной бумаги: как свидетельствует наш коллега Andreu
, полученный результат вполне приемлим и достижим за очень небольшое время.

Многогранник из бумаги за 20 минут

Для создания кубика, Вам понадобятся: линейка, ластик, клей (лучше клей-карандаш), булавка, ножницы, карандаш, нож, плотная бумага (чертёжная или для рисования).

Двадцатигранник (икосаэдр).

Построим двадцать треугольников с равными сторонами по рисунку (я строил треугольники со стороной 15 мм), можно воспользоваться готовым трафаретом. Дочертим «крылышки» для приклеивания граней друг к другу.

По вычерченным сторонам треугольников выдавите желобки для сгибов (тупой стороной ножа по линейке).

Нанесите числа и вырежьте.

Сворачиваем по сгибам и склеиваем.

Осталось доклеить верхние треугольники.

Закрываем последние два треугольника.

Прижимаем «крылышки» внутри булавкой

Двенадцатигранник (Додекаэдр).

Построим двенадцать пятиугольников с равными сторонами по рисунку (я строил пятигранники со стороной 10 мм).

Склеиваем, готово!

Восьмигранник (Октаэдр).

Построим восемь треугольников с равными сторонами по рисунку (я строил треугольники со стороной 15 мм).

Бумажные поделки — это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена процветания Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Поэтому, согласно учению Платона (один из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящих из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует одну стихию. Фигуры из треугольников — октаэдр, икосаэдр и тетраэдр — ассоциируются с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга благодаря однотипности граней, каждая из которых имеет три вершины. Землю же символизирует гексаэдр из квадратов. А додекаэдр, благодаря особенным пятиугольным граням, выполняет декоративную роль и является прототипом гармонии и мира.

Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Начала» неповторимость упомянутых платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу (фото 2). Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра.

Делаем двадцатигранник

Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие — только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии — наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:

Разнообразие фигур

На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3).

Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ

Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 4), в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее.

Как сделать многогранник из бумаги: второй способ

Изготовьте два главных шаблона (фото 5):

Первый.
Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.

Второй.
Этот шаблон — пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням.

Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.

Октаэдр из бумаги, развертка, как сделать октаэдр самому из бумаги, схема для склеивания

Дата публикации: .

То, что сейчас является обязательным к изучению на уроках геометрии, в древние времена считалось опасной ересью. Раньше геометрия считалась священным знанием. О геометрических фигурах, таких как: тетраэдр, икосаэдр, куб было опасно говорить, за это можно было поплатиться жизнью, эти тела считались кирпичиками Вселенной.

Октаэдр одна из геометрических фигур, которую относится к сакральной геометрии, алхимии и изучается в стереометрии. Эта фигура называется платоновым телом и является одним из пяти священных фигур, одним из пяти правильных многогранников. Его соотносят со стихией воздуха, эфиром, с энергетическим телом человека. Слово октаэдр состоит из двух слов: восемь и грань, другими словами октаэдр – это восьмигранник, ограниченный восемью треугольниками, обладающий симметрией. Эта геометрическая фигура состоит из 8 граней, 6 вершин (в каждой из которых, сходится 4 ребра) и 12 ребер. Сумма углов октаэдра составляет 240°. Октаэдр считается антипризмой, имеющей треугольное основание.

Виды октаэдров

Октаэдр Брикара. В 1897 французский математик Брикар году доказал, что существуют изгибаемые октаэдры, эти фигуры не имеют самопересечений и являются не выпуклыми.

Октаэдр Брикара

Существует еще один октаэдр, который был открыт Леонардо да Винчи, и называется он – звездчатый октаэдр. Его можно рассматривать, как соединение двух тетраэдров. Сто лет спустя звездчатый октаэдр был заново открыт Иоганном Кеплером, который назвал его звезда восьмиугольная.

Где можно встретить октаэдр? Чаще всего эту фигуру можно встретить в природе, она – великий творец такие фигур и форм. Алмазы часто имеют вид октаэдра. Уже в XIV веке стали делать огранку, которая повторяет эту геометрическую фигуру. Самый знаменитый алмаз «Шах» сохранил свой естественный вид – форму кристалла октаэдра, его масса составляет 88,7 карата.

Алмаз «Шах»

Другие минералы тоже имеют форму октаэдра, например, куприт (красная медная руда). Также октаэдр можно найти среди других руд: самородная медь, малахит, лимонит. Такие минералы, как хлорид натрия (поваренная соль), оливин, перовскит, шпинель, флюорит тоже имеют форму этой геометрической фигуры. Различные металлы, например никель, магний, титан, лантан имеют структуру пор и пустот похожую на октаэдр. Формула октаэдра применяется при выделки кожи, протравливания тканей. Игрушка головоломка «Октаэдр» называется умным подарком и напоминает всем известный кубик Рубика. При изготовлении алюминия используют алюминиево-калиевые кварцы имеющие форму этой геометрической фигуры. В играх основанных на правилах Dungeons & Dragons, игральные кости иногда имеют форму октаэдра.

Совсем недавно была представлена интересная находка из Марокко – графитовые кристаллы, имеющие форму октаэдра. Это удивительно, потому что никогда раньше не встречался графит такой конфигурации. Природа продолжает творить божественные фигуры, преподнося нам изумительное открытия и необычные геометрические подарки.

Сколько всего познавательного и удивительного можно узнать о том, что в школе нам казалось неинтересным и не нужным. Великие мыслители с почтением относились к геометрическим фигурам и считали их священными. Художники используют их в своих творениях, писатели рассказывают о них в фантастических произведениях. Интересные факты о геометрических фигурах вызывают у детей живой интерес и желание изучать геометрию, создавать эти замечательные фигуры на уроках в школе или дома.

Развертка октаэдра из бумаги или из картона

Ниже вы найдете схемы, позволяющие сделать октаэдр из бумаги или картона своими руками. При сборке октаэдра можно применить фантазию, поместив на его гранях различные рисунки. Для этого необходимо подобрать картинки в интернете или лучше нарисовать самим и поместить их на грани вашей фигуры в каком либо графическом редакторе, например Photoshop или даже Paint. Такой оригинальный октаэдр с картинками можно преподнести как замечательный сувенир или подарок. Друзьям или родителям обязательно понравятся эти поделки из бумаги, сделанные с любовью и большой выдумкой.

Схема октаэдра Схема октаэдра c формулами
JPG JPG
Схема октаэдра с календарем на 2013 год Схема октаэдра с героями мультиков
JPG JPG

Объемные многогранники из бумаги на красивом панно от Matt Shlian

Мое внимание привлекли оригинальные панно, созданные Matt Shlian и сегодня, я хочу рассмотреть, как своими руками можно сделать такие прекрасные картины из бумаги. Автор этих замечательных бумажных объемных композиций прошел большую школу и изучил множество различных техник и материалов. Освоив их, начиная от работы с керамикой и заканчивая живописью, свое истинное увлечение художник нашел в работе с обычной бумагой. Он исследует историю различных техник работы с бумагой и неразрывную связь между искусством и инновационными разработками. Формы, подобные конструкциям на его панно, отлично используются в архитектуре для создания крыш спортивных и современных сооружений. Ярким примером подобного симбиоза является Сиднейский оперный театр.

Объемные картины из бумаги

Matt Shlian настоящий мастер своего дела, а его многогранники из бумаги настолько просты, и одновременно захватывают своей красотой и оригинальностью.

Он выполняет свои работы, как из белой бумаги для черчения, так и из разноцветных вырезок из журналов и цветного картона.

Для разработки своих проектов автор использует обычные подручные материалы, такие как нож для разрезания бумаги и клей ПВА. Он проводит точные расчеты с помощью соответствующих вычислительных программ и создает формы и шаблоны. В результате, вырезав их, правильно согнув в необходимых местах бумагу, обрезав ее и склеив воедино, получаются невероятные замысловатые геометрические объемные панно. Чтобы бумага сгибалась четко в нужных местах и по правильным линиям, ее или слегка надрезают по разметке ножом, или продавливают линии обратной стороной ножа, а потом сгибают. Из полученных деталей разного размера выклеивают на основу композицию.

Только посмотрите, как обычная по-особенному сложенная журнальная страница превращается в красочный калейдоскоп и настоящий арт объект.

Благодаря одной из техник сгибания бумаги — оригами, можно получить вот такое замечательное космическое объемное панно из бумаги. Ведь, согласитесь, эти композиции очень похожи на настоящие космические города.

Поделки Matt Shlian – настоящие головоломки. С первого взгляда определить, как именно были сделаны его «геометрические творения», просто невозможно. Они способны по-настоящему удивить даже самого избалованного критика.

Хотите сделать из бумаги горы или даже быть может шкуру дракона или другого сказочного существа? Посмотрите, как из обычного цветного тонкого картон, клея и ножниц, можно создать настоящие произведение искусства.

С одной стороны – это чешуйки невиданного животного, с другой стороны – горы непознанного загадочного мира или волшебные кристаллы в таинственных пещерах. Многогранность панно из бумаги поражает воображение. В такой технике можно создать светильник или скульптуру. Например, об одном таком авторе создающем замечательные объемные скульптуры из бумаги мы рассказывали в одном из постов.

Техника работы Matt Shlian позволяет делать очень реалистичные имитации лепнины. Объемные композиции могут стать прекрасным украшением гостиной, кабинета или любого другого уголка в доме или офисе.

Такое панно отлично впишется в интерьер в стиле хай-тек. Оно станет отличным, а самое главное, неожиданным и оригинальным подарком на любое торжество.

А если выполнить его своими руками, то презент будет приятен вдвойне. Надеюсь, что продемонстрированные сегодня работы Matt Shlian, вдохновят вас творить и радовать своих близких чудесными поделками.

Спасибо Matt Shlian.

Ещё много мастер-классов по рукоделию:

При копировании материалов активная ссылка на сайт CREATIVETHERAPY.RU обязательна!

Архив Галактики

Математические оригами формы, бумажные модели Архимеда, 3D — компьютерная графика



voleiv / 06.04.2017

Правильные многогранники изучаются в 10 классе по геометрии. Практическая направленность данной темы может формировать пространственные представления учащихся через изготовление оригами форм, бумажных моделей Архимеда, 3D — компьютерную графику.

На уроке геометрии в 10 классе учащиеся изготавливали оригами формы правильных многогранников, выполняли домашнее задание по изготовлению бумажных моделей правильных многогранников из плотной бумаги, визуально представляли модели Архимеда в 3D — компьютерной графике.

Для изготовления пространственных моделей хорошо подходит бумага и картон. Оригами это древнее китайское и японское искусство складывания бумаги.
Технологию создания оригами куба и оригами додекаэдра учащиеся осваивали в групповой работе.
Оригами куба состоит из шести модулей. Для изготовления модулей можно использовать бумагу формата А4. Этапы создания одного модуля последовательно показаны на схеме.

Шесть модулей соединяются в единый правильный многогранник — куб.

Оригами додекаэдра состоит из двенадцати модулей. Для изготовления модулей можно использовать бумагу формата А4. Этапы создания одного модуля последовательно показаны на схеме.

Затем составляются 3 блока из четырех модулей. Три блока соединяются в единый правильный многогранник — додекаэдр.

Домашняя работа по созданию бумажных моделей — разверток правильных многогранников подчиняется технологическим процессам.
Распрямление — разглаживание бумаги или картона теплым утюгом. Если материал сильно измят, то его можно увлажнить водой из распылителя, затем положить под пресс или прогладить теплым утюгом.
Разметка — производится тонкими линиями с помощью масштабной линейки, угольника и циркуля.
Резание — производится на подрезной доске хорошо отточенным ножом или резаком, ножницами пользуются при кривой линии разреза. С одного раза картон не режется, необходимо сделать первый нажим легким, второй сильнее и третьим нажимом картон окончательно режется.
Сгибание — бумаги или картона производится складыванием их вдвое. После изгиба следует обязательно провести проглаживание по линии сгиба кончиком ножа. Пальцами этого делать нельзя: бумага пачкается и вытягивается.
Соединение — производится склеиванием.
Высушивание — производится при обычных температурных условиях в течение суток.

Создание бумажной развертки правильный многогранника — додекаэдра .

Создание бумажной развертки правильный многогранника — куба .

Один из вариантов создания додекаэдра предлагает сайт “Математические этюды”, визуально представляет додекаэдр в компьютерной 3D-графике.
Правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр представлены в компьютерной 3D-графике.

Двойственность куба и октаэдра, двойственность икосаэдра и додекаэдра, развертка куба представлены в компьютерной 3D-графике.

Источники:
1. Петр Якоовлевич Дорф “Наглядные пособия по математике и методика их применения”, пособие для учителя, Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, Москва 1960.
2. ”Математическая оригами”.


3D — компьютерная графика


геометрия


модели Архимеда


оригами


правильные многогранники


Волшебные грани журнал: моделирование многогранников из бумаги

Многим под силу самостоятельно смоделировать объемную коробку или куб, однако сделать сложный многогранник может не каждый. Журналы «Волшебные грани» помогают всем, кто интересуется объемными геометрическими фигурами из бумаги, конструировать невероятные модели из разноцветного картона, склеивать призмы, пирамиды, Архимедовы тела и т.д.

В каждом выпуске «Волшебных граней» предлагаются несколько моделей для сборки, подробные инструкции для склеивания объемных геометрических фигур и интересные факты из истории многогранников.

Волшебные грани: моделирование

Каждый номер журнала «Волшебные грани» посвящен определенной теме.

В некоторых выпусках предлагается смоделировать только призмы с разными основаниями, ровные, скрученные и наклонные.

В других номерах журнала можно узнать тонкости создания усеченных октаэдров, тетраэдров, кубов и других Архимедовых тел.

Каждый выпуск очень интересен для детей и взрослых, которым нравится моделирование многогранников и творческие задания по склеиванию граней самых разнообразных фигур.

Печатаются детали для сборки многогранников на немецком станке Heidelberg, поэтому качество получается просто отличным.

Каждую деталь будущей геометрической фигуры можно легко «выдавить» руками. Ножницы не понадобятся, потому что линии аккуратно надрезаны (картон перфорирован). И каждую модель геометрической фигуры очень интересно склеивать.

Многогранники из картона

Собираясь сконструировать объемную геометрическую фигуру из бумаги или картона, главное подумать о клее. Лучше всего подходит клей ПВА, но можно попробовать и с другими вариантами клея.

Главное, чтобы клей максимально быстро «схватывался» и позволял аккуратно склеивать грань за гранью, оживляя многогранники и развивая пространственное воображение.

Журналы «Волшебные грани» можно выбирать по уровню сложности:

  • старт
  • норм
  • профи

В каждом уровне предлагаются интересные геометрические фигуры, схемы их моделирования и очень любопытные факты.

Например, в номере 19 журнала «Волшебные грани», посвященном истории создания футбольного мяча, можно склеить из картона сразу два сложных многогранника: усеченный икосаэдр, напоминающий черно-белый футбольный мяч, и модный икосо-додекаэдр, который похож на стильный розово-белый мяч для девочек.

Некоторые развертки геометрических фигур цельные. Некоторые состоят из нескольких частей, которые нужно поочередно склеивать, соединяя в одну модель.

Подобные наборы для творчества очень интересны для школьников, которым с помощью сложных геометрических фигур можно проще объяснить понятия и строение призм, кубов, сечения куба и т.д.

Видео обзор и распаковка журналов «Волшебные грани», а также создание разных объемных геометрических фигур из картона на детском YouTube канале Queen Alice Toys:

Лучшие игрушки на Amazon

Многогранники оригами — nuwen.net

Многогранники оригами — nuwen.net

Во всем хаосе есть космос, во всем беспорядке — тайный порядок



Об этой странице:

На этой странице подробно рассказывается, как сделать четыре различных типа математических фигур, создав и собрав несколько крошечных кусочков бумаги. Я не изобретал детали или способ их изготовления; на самом деле, кажется, что они называются «Sonobes» (хотя я всегда называл их «частями» и сделаю это здесь).Вот довольно подробная страница, на которой показаны детали, похожие на мои. Я тоже не изобретал три модели, представленные на этой странице. Я узнал их откуда-то еще. Четвертую модель («шар Эпкот») я создал сам из любопытства, потому что до этого момента я не знал, что возможны модели больше икосаэдра. (Мой друг Уче Акотаоби пытался, до того как я получил структуру шара Эпкот, создать модель с большей сложностью, чем икосаэдр, но в итоге получил мутанта, который не замыкался сам.) Я довольно тщательно поискал в Интернете и не смог найти ни изображения, ни тем более инструкции по изготовлению «шара Epcot». Поэтому я считаю, что я построил первые четыре шара Epcot в мире, и я буду продолжать верить в это, пока не узнаю об обратном по электронной почте. Фотографии здесь полностью оригинальные, и, пожалуйста, не размещайте их на своем веб-сайте, не спросив меня заранее. (Я почти наверняка позволю вам; я просто хочу знать об этом заранее.) В любом случае я не претендую на авторские права или что-либо еще на эти модели или процесс их изготовления.В конце концов, это маленькие бумажные модели. Каждый должен уметь его сделать. Веселитесь с ними!

Бал Эпкот!

Предварительные инструкции:

Как я уже сказал, все эти модели состоят из ряда абсолютно идентичных бумажных кусочков. (Таким образом, слово «оригами» применяется очень строго, понимаете; это скорее механический процесс.) Таким образом, создание модели включает три этапа: выбор модели, которую вы хотите сделать, создание и складывание соответствующего количества частей, а затем собирая их по шаблону.Ни один шаг не является трудным; им просто нужно время. Я довел дело до такой степени, что могу сложить один кусок примерно за одну минуту; Сборка самой сложной модели занимает не более пары часов, а более простых — всего несколько минут. Сначала я подробно расскажу, как сделать одну деталь (шаг за шагом), а затем обрисую, как собрать их в модель многогранника.

Тип и размер бумаги:

В отличие от бумажного самолетика-истребителя, я настоятельно рекомендую для этих моделей использовать линованную бумагу-наполнитель.(Я предпочитаю правила колледжа, но, конечно, это не имеет значения). Бумага для печати или бумага для принтера, подходящая для самолетов, слишком толстая и жесткая для этих моделей. (Тем не менее, ниже описаны случаи, когда уместно печатать на бумаге.) Каждая деталь начинает свою жизнь как маленький квадрат бумаги. Размер квадрата определяет конечный размер модели многогранника (и физическую силу модели, и насколько легко модель собрать, насколько легко собрать детали и т. Д.).Для средних моделей я настоятельно рекомендую использовать квадратов с краями 1,5 дюйма. Большие размеры, такие как 2-дюймовые квадраты, могут подойти для моделей, которые вы хотите сделать больше. Слишком большие квадраты (3 дюйма и более) могут привести к получению хлипких моделей, если вы не используете жесткую бумагу, например бумагу для набора текста. (Я действительно мечтал сделать шар Epcot из плакатов, но для этого потребуется МНОГО плакатов.) И, конечно, чем больше квадрат, тем больше листов бумаги вам придется израсходовать, чтобы сделать квадраты.Меньшие квадраты, такие как 1-дюймовые квадраты, АБСОЛЮТНО УЖАСНО работать и будут уместны только в том случае, если вы хотите показать, насколько вы круты. (А собрать шар Epcot из 1-дюймовых было бы абсолютной пыткой). Размер 1,5 дюйма обеспечивает прочную и быструю конструкцию и не слишком сильно наказывает за неточности.

Проблемы с точностью и построение квадратов:

По сути, здесь действуют все правила, применимые к моим инструкциям по бумажному самолетику. Все складки должны быть абсолютно аккуратными и резкими; все измерения должны быть абсолютно точными, и все разрезы должны быть абсолютно точными.Если вы сделаете небольшую ошибку, детали не будут сильно повреждены, но помните, что вы делаете большое количество (предположительно) абсолютно идентичных деталей . Если вы неточно складываете, разрезаете или измеряете, детали будут неправильными и не будут хорошо сочетаться друг с другом. (Напротив, для деталей диаметром 1 дюйм требуется абсолютное совершенство.) Вы можете обнаружить, что вам придется отказаться от нестандартных деталей. Когда вы делаете модель (вы еще не знаете, какие модели возможны; давайте сначала сконцентрируемся на изготовлении одной детали), вы соберете большое количество листов бумаги и будете рисовать очень точно. сетки (например, с помощью механического карандаша или чего-то еще), которые делят бумагу на 1.5-дюймовые квадратные области. Затем вы возьмете острые ножницы и вырежете точно по линиям, получив X квадратов (где X — количество штук, которые вам понадобятся). Затем вы пройдетесь и сложите X частей (многократно ), и, наконец, соберите модель. И помните: точность — это все! Теперь о том, как сложить деталь.

Складывание одной детали:

(Здесь условность отличается от моей страницы бумажного самолетика: сплошные линии отмечают складки долин, а горные складки нигде не задействованы.Это будет очевидно; не волнуйся. Кроме того, не маркируйте квадрат при его складывании. Карандаш нужен только тогда, когда нужно разделить лист бумаги на квадраты. Все складки можно делать без разметки; мои отметки должны прояснить мои инструкции.) Кроме того, когда я говорю о вращении бумаги на 180 градусов, я имею в виду вращение ее на столе. На самом деле вам нужно будет перевернуть бумагу ближе к концу процесса, но тогда я проясню это.

Готовая деталь.

Это ваша конечная цель в этом разделе: сделать законченное произведение. На самом деле этот процесс очень простой и быстрый; после освоения вам потребуется одна минута на каждую деталь. (Для фотографирования этого процесса я использовал 3-дюймовый квадрат; вы должны использовать 1,5-дюймовый квадрат. Вот почему на моих фотографиях будет больше синих линий, чем на ваших квадратах.) Итак, начнем с квадрата. 1,5-дюймовый квадрат бумаги:

Только что вырезанный квадрат бумаги.

Сделайте аккуратную складку по длине.Вот что я имею в виду:

Делим квадрат пополам.

Вот наполовину завершенный процесс.

Фактическая цель этого сгиба — просто дать вам ссылку, чтобы сделать следующие два сгиба. Разверните бумагу и положите ее ровно. Возьмите нижний край бумаги и сложите его до центральной складки; затем поверните бумагу на 180 градусов и сделайте то же самое. Вот что я имею в виду:

Фолды, которые вы будете делать.

Вот процесс на полпути к завершению (обе складки показаны одновременно; вы, конечно, должны делать их по одной).

Хорошо. Теперь разверните бумагу и положите ее ровно. (Вы снова будете складывать бумагу здесь; вам просто нужно сделать кое-что пока. Я буду называть эти складки, довольно неконструктивно, позже «вторым и третьим сгибами».) Возьмите нижний правый угол. листа бумаги и сложите его в треугольник так, чтобы то, что было левой стороной бумаги, теперь лежало поверх второго сгиба, который вы сделали. Оставьте его сложенным, поверните бумагу на 180 градусов и сделайте такой же сгиб. Вот что я имею в виду:

Складывание двух треугольников.

Это традиционная складка, которую вы делаете при изготовлении (паршивого) бумажного самолетика с иглами. Теперь возьмите нижний правый угол бумаги и сделайте еще один сгиб иглой. Это означает, что сгиб, который вы только что сделали, должен лежать точно поверх второго сгиба, который вы сделали. Затем поверните бумагу на 180 градусов и сделайте такой же сгиб. В правом нижнем углу следующего изображения показан конечный результат этого процесса; левый верхний угол показывает его на полпути к завершению.

Еще одна складка игольчатого типа.

Эту складку было трудно описать, но легко выполнить; его повсюду используют в производстве паршивых бумажных самолетиков с иглами. Пришло время переделать вторую и третью фолды, которые вы сделали:

Хорошо. Теперь возьмите нижний левый угол бумаги и согните его так, чтобы левый край бумаги теперь лежал поверх верхнего края бумаги, образуя треугольник, например:

Поверните бумагу на 180 градусов и повторите.Параллелограмм! Теперь вы должны засунуть этот большой треугольник в бумагу. У меня нет возможности легко описать это словами. Вот что я имею в виду:

Левая складка заправлена, а правая — нет.

Затем поверните бумагу на 180 градусов и загните в другой сгиб, в результате получится:

Хороший. Теперь переверните бумагу и поверните ее так, чтобы она выглядела так:

Обратная сторона бумаги.

Согните нижнюю часть листа бумаги прямо вверх, чтобы встретиться с другой вершиной параллелограмма, как это:

Затем поверните бумагу на 180 градусов и повторите, получая следующее:

Хорошо.Теперь нужно придать бумаге загиб посередине. (На самом деле это горная складка, но я мог бы попросить вас снова перевернуть бумагу и сделать складку в виде долины; и что?) В итоге вы получите следующее:

Теперь, как видите, у вас есть готовая деталь:

Поздравляем.

А теперь несколько бесполезных мелочей: вы действительно можете сделать зеркальное отображение этих частей. Решающее решение приходит, когда вы складываете треугольник после второй и третьей фолдов.Если вы решите сделать их в нижнем левом и верхнем правом углах бумаги и соответствующим образом изменить последующие сгибы, вы получите левую часть вместо правой. (Другими словами, эти пьесы хиральны.) Поскольку я правша и очень привык делать правши, такие как я показал здесь, изготовление левой части занимает у меня много времени. (Я понятия не имею, легче ли изготовить левши для левшей, или правши, которые никогда раньше не изготавливали изделия, находят, что их легче делать для левшей или для правшей.) Однако, и это важная деталь, детали для левшей и для правшей нельзя использовать в одной и той же модели! Они просто не подходят друг другу. Таким образом, если вы сделаете одну деталь для левой руки, все детали вашей модели будут левыми. (У меня также есть проблемы со сборкой деталей для левшей в модели, потому что все наоборот.) Придерживайтесь деталей для правшей. Между прочим, мой лучший друг Уче Акотаоби любит делать детали для левой руки только по той причине, что меня раздражает.:-D

Изготовление моделей:

Теперь, когда вы знаете, как делать детали, вам нужно выбрать, какую модель вы хотите построить, чтобы вы знали, сколько деталей нужно сделать. Есть четыре модели, которые я знаю, как построить (хотя я мог бы узнать, как сделать много других типов моделей).

1. Куб. Скучный куб. Соорудить проще всего, требуется 6 штук.
2. Октаэдр. (На самом деле звездчатый октаэдр.) Требуется 12 штук. Не сложно.
3. Икосаэдр.(Звездчатый икосаэдр.) Занимает 30 штук. Тоже не сложно.
4. Звездчато-усеченный икосаэдр. Берет 270 штук … думаю. Сложно (хотя и не слишком), но занимает невероятно много времени.

Я предлагаю вам начать с куба и двигаться дальше. Теперь, когда у вас есть достаточно деталей, чтобы сделать модель по вашему выбору, вам нужно изучить основы построения модели. Изделие имеет два острых угла и два кармана, которые позволяют им сцепляться.Вот две части, расположенные, чтобы проиллюстрировать это:

А здесь они заперты вместе, угол в кармане:

Вот третий кусок, помещенный над первыми двумя:

А вот третий кусок заперт:

Есть свободный уголок и свободный карман, которые можно закрыть вместе. Для этого необходимо сформировать из трех частей трехмерную конфигурацию, которую я называю пиком:

Жизненно важно понимать, что я имею в виду, когда говорю «пик», потому что вершины являются основополагающими элементами ваших моделей.(Хотя вы должны собирать свои модели по частям, а не делать кучу пиков из трех частей, а затем собирать пики. Первое работает, второе — нет. Пример: куб содержит три вершины, но требуется только шесть Части. Решение: части могут образовывать более чем одну вершину. Поверьте мне: идите по частям.) Теперь вы сможете собрать куб. Вот куб, изображенный с вершиной в центре изображения:

Куб.

Если вам не удалось собрать куб, то читайте дальше, я сделаю это еще понятнее.(Мне нужно продемонстрировать следующий факт с помощью октаэдра; кубики слишком малы). Вот то, что я называю (несколько сбивчиво) «точкой». Это моя собственная терминология; называйте это как хотите. Вокруг каждой «точки» модели есть три или более вершины. Блик объектива на следующем изображении показывает, где расположена точка относительно пика:

Это то, что я подразумеваю под «точкой».

Вот изображение октаэдра с точкой более или менее в центре изображения.Видите, как четыре вершины расположены вокруг точки?

Октаэдр.

А вот и икосаэдр. Икосаэдры имеют пять вершин вокруг каждой точки:

Икосаэдр.

Таким образом, сформировать первые три модели довольно просто. Просто начните с необходимого количества частей (6, 12 или 30) и разместите 3, 4 или 5 вершин вокруг каждой точки, пока у вас не закончатся части, и закройте модель. У вас получится куб, октаэдр или икосаэдр соответственно.(Трудно показать с помощью одного изображения, как три пика окружают каждую «точку» куба.) Вот изображение, чтобы сделать это еще более ясным; вы можете очень четко видеть две точки, вокруг каждой из которых есть пять пиков (на этом икосаэдре есть еще две точки, для которых вы можете ясно видеть пять окружающих пиков, но они расположены под большим углом):

Надеюсь, это должно сделать то, что я пытаюсь сказать, абсолютно ясным. А вот в икосаэдре не хватает трех частей.Это то, что вы должны увидеть, когда ваша модель почти завершена. (На самом деле, сложнее всего вставить последний кусок.)

Чтобы сформировать модель, просто начните с пика и добавляйте части, чтобы сформировать пики по кругу, пока не получите точку, окруженную 3, 4 или 5 пиками. Затем сформируйте больше точек, добавив больше частей, чтобы получилось больше вершин. Постепенно это заставит модель изгибаться сама по себе, пока, наконец, она не будет почти завершена, как на изображении выше.На самом деле это процесс самосборки, когда вы понимаете, что делаете. Если у вас получится действительно хорошо и точно, вы можете формировать модели из квадратов в 1 дюйм, от кубиков до икосаэдров. Вот три 1-дюймовых икосаэдра, которые я сделал:

Из плотной бумаги можно делать красочные модели. Вот сине-красный икосаэдр, который я сколотил:

Вы также можете сделать так, чтобы кусочки трех цветов составляли каждую вершину, для такого же крутого эффекта.

Теперь, если вы попытаетесь сформировать модель с 6 пиками вокруг точки, вы обнаружите, что это невозможно. (Не пытайтесь, это пустая трата времени.) В итоге вы получаете лист вершин. Математически это соответствует шестиугольникам, выстраивающим плоскость. Нет никаких других правильных многогранников, которые можно было бы составить. (Тетраэдры слишком малы, и я не верю, что из этих частей можно сформировать додекаэдры.) Однако вы когда-нибудь видели футбольный мяч? Он состоит из шестиугольников, но с двенадцатью пятиугольниками, которые придают ему достаточную кривизну, чтобы быть шаром.(Чтобы упростить задачу, шестиугольники окрашены в белый цвет, а пятиугольники — в черный.) Вы можете воспроизвести это здесь. Эта математическая форма, усеченный икосаэдр, также является структурой C60, бакминстерфуллерена (который также известен под названиями «фуллерен» и «бакиболл»). Я самостоятельно придумал, как сделать эту форму из кусочков, и теперь научу вас этому. Я называю его «бал Эпкот» из-за его очевидного сходства с Центром Эпкот в Мире Диснея. Вот вид сверху на бал Epcot.Обратите внимание, как точка с 5 пиками находится точно в центре, а точки с 6 пиками окружают ее во всех направлениях:

Чтобы начать изготовление шара Epcot, окружите 5-гранный пик шестигранными вершинами. Однако вы также должны знать, где поставить другие 5-балльные вершины. На следующем изображении показано, как это сделать. Две точки с 5 пиками отмечены зелеными зубочистками. (Кстати, если у кого-то все еще возникают проблемы с пониманием того, что я имею в виду под «точкой», вот она. Отмечена зеленой зубочисткой.) Концептуально проведите прямую линию между этими 5 точками.Между ними, отмеченные бликами линз, находятся ровно ДВА 6-пиковых точек. Не больше, не меньше. Вот что я имею в виду:

Таким образом, ключ к созданию шара Epcot состоит в том, чтобы построить точку с 5 вершинами, окружить ее точками с 6 вершинами, а затем окружить ее другим кольцом из точек с 6 вершинами, а затем добавить ровно пять точек с 5 вершинами, чтобы что они находятся на расстоянии двух точек с 6 пиками от исходной точки с 5 пиками. Повторение этого процесса ТОЧНО по всей поверхности модели приведет к созданию шара Epcot Ball.Если вы не сделаете это точно, вы получите модель мутанта, которая откажется замкнуться в себе. Не смешно. Для изготовления шаров Epcot Balls требуется 270 штук, и на их изготовление требуется много времени. (Примечание: эту цифру 270 я запомнил смутно. На самом деле, я никогда не считал части, прежде чем сделать шар Epcot. Я просто следую шаблону и делаю части по ходу дела. Однажды я вывел простую формулу для вычисления количество штук, которые есть в одной из этих вещей, но я никогда не был уверен, что формула верна, и в любом случае я забыл формулу и ее результаты.Если вы действительно обнаружите, что 270 частей недостаточно для продолжения схемы, которую я здесь подробно описал, то непременно сделайте больше частей. Узор, а не количество деталей, является ключевым. Хотя я был бы невероятно удивлен, если 270 — не то число. Я помню, что это число было в 200 и кратно 30). Из-за того, что они в основном состоят из 6-пиковых точек, они не такие жесткие, как меньшие модели, и их можно легко повредить. толчком или падением.Будьте осторожны с шарами Epcot, которые вы делаете. За свою жизнь я сделал ровно четыре шара Эпкот; Я не сфотографировал их всех вместе (оно было бы большим!), Так что поверьте мне на слово. У меня остались все четыре. Вот бесплатная фотография одного из них:

The Epcot Ball!

Теперь я надеюсь, вы понимаете, для чего были нужны все эти пространные объяснения пиков и точек. Они позволяют мне сообщить, как превратить Epcot Ball в сжатое предложение, например «…затем окружите его другим кольцом из 6 точек пика, а затем добавьте ровно пять точек с 5 пиками … «. Если у вас возникли серьезные проблемы с выполнением этих инструкций, напишите мне по электронной почте [email protected], чтобы Я могу отредактировать эту страницу, чтобы ее было легче понять. Также не стесняйтесь писать мне по электронной почте, если вы сделали модели в соответствии с этими инструкциями, и они вам понравились. Я также очень хотел бы знать, сделали ли вы Epcot Ball. Агнес Харниш использовала эти инструкции, чтобы создать очень красивый мяч Epcot — обратите внимание на безупречную точность складок.Повеселись!



https://nuwen.net/poly.html (обновлено давно)
Stephan T. Lavavej
Главная: [email protected]
Работа: [email protected]
Это мой личный сайт. Я работаю в Microsoft, но не говорю от их имени.

Складывание бумаги — Модели платоновых тел

В этой статье описывается, как построить модели Платоновых тел с использованием листов бумаги.

Предположим, у вас есть набор правильных многоугольников, и каждый многоугольник имеет одинаковое количество граней.Например, все многоугольники могут быть правильными квадратами. Соедините многоугольники вместе край к краю, чтобы сформировать структуру, подобную оболочке, которая полностью охватывает область. Например, шесть правильных квадратов можно соединить вместе в куб. Такая структура известна как многогранник . Многогранник правильный , если, неформально говоря, он имеет максимально возможную симметрию. Чтобы лучше понять, что означает правильный, поместите многогранник перед собой так, чтобы вы смотрели прямо на вершину, и сделайте снимок.Отрегулируйте многогранник так, чтобы перед вами был другой
вершину и сделайте еще одну фотографию. Многогранник является правильным, если после правильного поворота фотографий изображения на двух фотографиях кажутся идентичными, независимо от выбора вершин.

Существует ровно пять таких правильных многогранников (показанных ниже), и они известны как Платоновы тела .

Вот несколько простых рецептов построения моделей Платоновых тел из бумаги.Я использую бумагу формата А4 — это прямоугольная бумага, так что длина длинной стороны прямоугольника, деленная на длину короткой стороны, равна квадратному корню из 2. Модели додекаэдра и икосаэдра ранее появлялись в сети NRICH. -сайт.

В целях иллюстрации используемые ниже листы бумаги формата A4 окрашены в красный цвет с одной стороны и синий с другой.

Тетраэдр.

Согните лист бумаги формата A4, как показано ниже. В результате получается сетка из тетраэдра, но она не может сохранять форму тетраэдра сама по себе.Сделайте еще одну идентичную сеть, затем соедините две сети вместе, чтобы получился жесткий тетраэдр.

Октаэдр.

Сделайте четыре тетраэдрических сети, следуя рецепту выше для каждой. Сложите их вместе, чтобы получился октаэдр. (Для этого соедините две сети вместе, чтобы сформировать нечто похожее на квадратную пирамиду с прикрепленными клапанами. Сделайте то же самое для двух других сетей. Теперь соедините эти два объекта квадратной пирамиды вместе.)

Куб.

Эта модель действительно представляет куб, только если соотношение коротких и длинных сторон прямоугольного листа бумаги составляет 3: 4. Вы можете достичь этого соотношения, удалив полосу шириной 17 мм с листа бумаги A4, чтобы уменьшить длину более длинного края бумаги A4. Повторите процедуру, показанную ниже, для трех отдельных листов бумаги и соедините полученные три объекта, чтобы сформировать куб.

Додекаэдр.

Объект, полученный в результате этого рецепта, представляет собой почти правильный пятиугольник с двумя закрылками.Сделайте двенадцать таких объектов и соедините их створками, чтобы получился додекаэдр.

Икосаэдр.

Продолжаем с последней стадии рецепта тетраэдра, чтобы получить усеченный тетраэдр, показанный ниже. Сделайте двадцать таких усеченных тетраэдров и склейте их вместе, чтобы получился икосаэдр.

Эти модели были разработаны в сотрудничестве с Саймоном Джойсом в Национальном университете Ирландии, Мейнут. Чрезмерно темные фотографии Курта Фалька.

Как сделать многогранник из бумаги. Многогранники из бумаги

Поделки из бумаги — это не только разные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальны объемные модели фигур (фото 1). Например, многогранник можно построить из бумаги. Рассмотрим несколько способов его выполнения с помощью схем и фотографий.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена расцвета Древнего Рима и Греции.Тогда было решено связать технические аспекты с философскими. Следовательно, согласно учению Платона (одного из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящий из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует один элемент. Формы треугольников — октаэдр, икосаэдр и тетраэдр — связаны с воздухом, водой и огнем соответственно и могут трансформироваться друг в друга благодаря однородности граней, каждая из которых имеет три вершины. Земля символизируется шестигранником из квадратов.А додекаэдр благодаря своим особенным пятиугольным граням играет декоративную роль и является прообразом гармонии и мира.

Известно также, что один из греческих математиков Евклид в своем учении «Начало» доказал уникальность упомянутых выше тел Платона и их свойство «вписываться» в сферу (фото 2). Показанный из бумаги многогранник образован сложением двадцати замкнутых между собой равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигурки.Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра.

Делаем двадцать

Икосаэдр состоит из равнобедренных треугольников одинакового размера. Его можно легко сложить, используя скан, показанный на рисунке 2. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Нарисуйте на нем двадцать равных по размеру и форме треугольников, расположив их в четыре ряда. В этом случае каждая грань одного одновременно будет стороной другого. Полученный узор используется для изготовления заготовки.Он будет отличаться от цоколя-развертки наличием припусков на склейку по всем внешним линиям. Вырежьте из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замкните между собой внешние ряды. В этом случае вершины треугольников соединяются в одну точку.

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга количеством граней и их формой. Кроме того, одни модели можно складывать из одного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие — только собирая из нескольких модулей.Правильные многогранники считаются классическими. Их изготавливают из бумаги, придерживаясь главного правила симметрии — наличия в шаблоне полностью идентичных граней. Есть пять основных типов таких фигур. В таблице приведена информация об их названиях, количестве и форме граней:

треугольник

, перечисленные на основе пяти видов и различных форм мастера легко конструируют Сделайте множество различных бумажных моделей.Многогранник может полностью отличаться от пяти фигур, описанных выше, будучи образован одновременно из граней разной формы, например, из квадратов и треугольников. Так получают архимедовы тела. А если пропустить одно или несколько лиц, получится открытая фигура, рассматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезанные из достаточно плотной, хорошо держащей форму бумаги. Сделайте и специальные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей.Разберем способы построения очень красивой фигуры на примере додекаэдра (фото 3).

Как сделать бумажный многогранник с двенадцатью вершинами: первый метод

Эту фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая его вершина в основании представляет собой правильный пятиугольник. Поэтому двумя способами такие многогранники делают из бумаги. Схемы изготовления будут немного отличаться друг от друга. В первом случае это цельная деталь (фото 4), в результате которой складывается готовое изделие.Помимо основных граней, на чертеже присутствуют соединительные детали для склейки, за счет чего фигурка замкнута в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать несколько шаблонов отдельно. Рассмотрим процесс работы подробнее.

Как сделать многогранник из бумаги: второй способ

Сделайте два основных шаблона (фото 5):

Первый. Нарисуйте на листе круг и разделите его поперёк на две части. Одна будет основой узора, вторую дугу сразу сотрет для удобства.Разделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными линиями. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Рядом со средним сегментом рисуем точно такой же полукруг, только в зеркальном отображении. Получившаяся деталь при складывании выглядит как два конуса. Сделайте такие похожие выкройки из всех шести деталей. Для их склейки используется вторая деталь, которая будет помещена внутрь.

Секунда. Этот узор представляет собой пятиконечную звезду. Выполните те же двенадцать заготовок.Формируя многогранник, каждую из звездочек загнутыми вверх концами помещают внутрь конусовидных деталей и приклеивают к краям.

Полная коллекция рисунка получается объединением двойных блоков с дополнительными листами бумаги, поворачивая их внутрь. Моделируя изделия, сделать их разными по размеру довольно проблематично. Готовые многогранники из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто делать поправки на все внешние границы. Вам нужно масштабировать каждую из граней отдельно.Это единственный способ получить увеличенную копию оригинальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить исходные заготовки, по которым уже выполняется необходимое количество отдельных деталей.

как складывать и склеивать многогранники из сетки

Есть несколько способов сделать многогранные модели. Выкройки на этом веб-сайте предназначены для создания моделей, которые можно складывать и приклеивать по выступам.Однако вы можете использовать эти шаблоны для создания моделей другими методами.

Ступеньки

  1. Выберите тип используемой бумаги. Большинство моделей лучше смотрятся и лучше держатся на плотной бумаге, например, на карточках. Вы можете купить картон разных цветов или использовать старые манильские папки.
  2. Распечатайте выкройку. Если вы не можете печатать непосредственно на материале, который вы используете, либо потому, что он слишком тяжел для прохождения через принтер, либо потому, что вы хотите, чтобы модель не имела маркировок, распечатайте выкройку на обычной бумаге для принтера и затем перенесите выкройку на бумагу, которую вы используете.
  3. Прикрепите выкройку к листу бумаги, который вы будете использовать (если вы собираетесь перенести выкройку на картон). Сшивание будет удерживать рисунок на месте, так что вы сможете надрезать и надрезать без соскальзывания рисунка.
  4. Наметьте на выкройке линии сгиба. Надрез — это углубление на бумаге (сжатие волокон), благодаря чему бумага легче сгибается по этой линии. Если вы делаете модель из картона или гофрированного картона, вы можете частично разрезать материал на обратной стороне сгиба.Хотя надрезание можно сделать после того, как выкройка была вырезана, мне часто бывает проще работать с целым листом бумаги.
  5. Вырежьте деталь из выкройки. Большинство рисунков можно вырезать ножницами, но для некоторых сложных участков может потребоваться нож X-Acto. Если на выкройке есть линии обрезки (пунктирные линии, показывающие, где вырезать), вы можете использовать их, чтобы вырезать узор с помощью резака для бумаги.
  6. Согните по намеченным линиям, чтобы получилась складка. Если вы хотите получить особенно острые складки, вы можете потереть папку с косточкой или ноготь большого пальца по складке.Пунктирными линиями показаны складки долин, а пунктирными линиями — горные складки.
  7. Нанесите клей на язычок и прижмите язычок на место. Удерживайте склеенные детали вместе в течение нескольких секунд, чтобы обеспечить хорошее соединение. Из всех моих советов по склеиванию самым важным является экономное использование клея. Работайте с одной или двумя вкладками одновременно.
  8. Нанесите клей на последние язычки и удерживайте деталь на месте. Заключительную грань многогранника обычно сложнее всего правильно приклеить. Вы можете вставить конец раскрытой канцелярской скрепки в модель в вершине, чтобы поднять язычок и удерживать его напротив лица, пока клей не схватится.

Платоновы тела

Платоновы тела

Понимание математики

к

Питер Альфельд,

Кафедра математики,

Университет Юты

Платоновы тела

Платоновое тело — это многогранник, все грани которого равны

совпадающие правильные многоугольники,
и где одинаковое количество граней пересекается в каждой вершине.Самый известный пример — куб (или шестигранник ).
), грани которого представляют собой шесть равных квадратов.

Управление фигурами на этой странице.

Если у тебя есть

Джава

совместимый обзор вы можете нажать на любую из фигур этого
страницу и откройте новое окно, в котором вы можете повернуть
многогранник, чтобы лучше понять его форму. В
апплеты — это частные случаи простой программы просмотра трехмерной геометрии, которая
приходит с

инструкции.

Их всего пять!

Греки признали, что платонических
твердые тела. Но почему это так? Ключевое наблюдение состоит в том, что
внутренние углы многоугольников, встречающихся в вершине
многогранник сложить до менее чем 360 градусов. Чтобы увидеть это
обратите внимание, что если такие многоугольники встречаются на плоскости, то интерьер
углы всех полигонов, встречающихся в вершине, добавят к
ровно 360 градусов.Теперь вырежьте из бумаги угол и
сложите еще один лист бумаги под этим углом по линии. В
первая часть поместится во вторую часть, когда она
перпендикулярно складке. Думайте о сгибе как о линии
выходит из нашего многогранника. Грани многогранника
встречаются в сгибе под углами менее 90 градусов. Как может
это возможно? Попробуйте пошевелить своим первым листом бумаги
в пределах второго. Чтобы иметь возможность наклонять его относительно
складку необходимо уменьшить угол первой детали,
или увеличить угол второго.

Далее мы рассмотрим все возможности для количества
грани пересекаются в вершине правильного многогранника. Для каждого
возможность построить такой многогранник,
изображение, которое вы можете увидеть рядом на этой странице. Здесь
возможности:

  • Треугольников. Внутренний угол равностороннего
    треугольник 60 градусов.Таким образом, на правильном многограннике
    только 3, 4 или 5 треугольников могут пересекаться с вершиной. Если там
    если бы их было больше 6, их углы в сумме составили бы как минимум
    360 градусов, чего они не могут. Рассмотрим
    возможности:

    • 3 треугольника пересекаются в каждой вершине. Этот
      рождает тетраэдр .
    • 4 треугольника пересекаются в каждой вершине.Этот
      рождает октаэдр .
    • 5 треугольников пересекаются в каждой вершине. Этот
      рождает икосаэдр
  • квадратов. Поскольку внутренний угол квадрата равен
    90 градусов, максимум три квадрата могут пересекаться в вершине.Это действительно возможно, и это приводит к
    шестигранник
    или куб .
  • Пентагоны. Как и в случае с кубиками, единственный
    возможность состоит в том, что три пятиугольника встречаются в вершине.
    Это дает начало додекаэдру .
  • Шестиугольники или правильные многоугольники с более чем шестью
    стороны не могут образовывать грани правильного многогранника
    поскольку их внутренние углы составляют не менее 120 градусов.

Но теперь все становится немного более тонким. Мы посмотрели на
все возможности конгруэнтных правильных многоугольников, встречающихся в
вершина многогранника, но откуда мы знаем, что нет
еще один правильный многогранник для некоторых из этих случаев?
Например, почему куб только многогранник
для каких трех квадратов пересекаются в каждой вершине? Остальные
эта страница дает ответ на этот вопрос, но
будет намного сложнее!

Прежде чем продолжить, давайте соберем некоторые данные.Позволять

  • м — количество полигонов, пересекающихся на
    вершина
  • n количество вершин каждого многоугольника,
  • f количество граней многогранника,
  • e количество ребер многогранника, и
  • v количество вершин многогранника.

Значения этих чисел для каждого из многогранников равны
перечисленные в этой таблице:

Имя

Количество граней

Форма каждой грани

4

треугольник

шестигранник

6

квадрат

3

3

3

3

3

додекаэдр

12

пятиугольник

икосаэдр

20

треугольник

n м е е v
Тетраэдр 3 3
4
6
4
Октаэдр 3 4
8
12
6
Икосаэдр 3 5
20 30 12
Шестигранник 4 3
6
12
8
Додекаэдр 5 3
12 30 20
Таблица: комбинаторика
правильных многогранников

Наша цель — показать, что для любой пары чисел n
и м значения остальных параметров,
f , e и v определены
однозначно.

Прежде всего отметим, что, поскольку две грани пересекаются на одном ребре, мы должны
имеют

e = nf / 2

Далее, поскольку каждая вершина является общей для м граней, мы
должен иметь

v = нф / м

Из таблицы видно, что для всех пяти регулярных
многогранники

е = 2 + е-v
(E)

Мы увидим ниже, что это уравнение действительно выполняется для всех
выпуклые многогранники.Учитывая m и n , указанные выше три
уравнения определяют f , e и v однозначно,
и поэтому существует только пять возможных правильных многогранников.

Результат (E) известен как

Теорема Эйлера о многограннике

Чтобы понять, почему это правда, мы проделаем несколько шагов. Сначала мы
убрать одну грань многогранника. Позволять
F = f-1
быть новым количеством лиц.Нам нужно показать
F = 1 + е-v
(*)

Теперь представьте, что оставшиеся грани многогранника сделаны.
из резины и растянута на столе. Это обязательно
изменить форму многоугольников и соответствующие углы,
но это не изменит количество вершин, ребер и
лица. Теперь рисуем диагонали растянутых граней из
Полигоны. На каждую диагональ увеличиваем число e
ребер на единицу, а также число F граней, поэтому
что наше уравнение (*) остается в силе.Мы продолжаем это
процесс до тех пор, пока все полигоны не будут преобразованы в треугольники.

На завершающем этапе удаляем треугольники, пока не останется
только с одним треугольником, для которого (*) очевидно
правда. Как мы это делаем? Если в удаленном треугольнике
ровно одно ребро на границе, тогда F и e
уменьшаются на 1, и (*) остается верным. Если оно
имеет два ребра на границе, то F уменьшается на
1, e уменьшается на 2, а v уменьшается на
1, так что (*) остается верным.

Есть одна последняя тонкость . Можем ли мы действительно разобрать
треугольники как описано? Ответ положительный. Но как
упражнение, вы можете изменить процедуру разборки, чтобы
устраните все сомнения в своем уме. Аналогичная разборка
процедура может быть разработана для мозаики
многогранник многогранником, но в этом случае это , а не
всегда возможно. Для иллюстрации вы можете посетить
моя страница, которая описывает

Пример Рудина неоткрытой триангуляции.

Если вы хотите поиграть с многогранником с большим количеством граней,
вот грубая визуализация сферы, которая, конечно,
не платоническое твердое тело!


[22 января 1997 г.]

Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд,
PA1UM

Оригами что угодно | MIT CSAIL

В статье 1999 года Эрик Демейн — теперь главный исследователь CSAIL, а затем 18-летний аспирант Университета Ватерлоо в Канаде — описал алгоритм, который может определить, как сложить лист бумаги. в любую мыслимую трехмерную форму.

Это была веха в области вычислительного оригами, но алгоритм не давал очень практичных схем складывания. По сути, потребовалась очень длинная полоска бумаги и намоталась ей нужной формы. Полученные в результате конструкции, как правило, имели много швов, в которых полоса загибалась сама на себя, поэтому они были не очень прочными.

На симпозиуме по вычислительной геометрии в июле Демейн и Томохиро Тачи из Токийского университета объявят о завершении квеста, начатого с той статьи 1999 года: универсальный алгоритм складывания фигур оригами, гарантирующий минимальное количество швов.

«В 1999 году мы доказали, что можно сложить любой многогранник, но способ, которым мы показали, как это сделать, был очень неэффективным», — говорит Демейн. «Будет удобно, если ваш первый лист бумаги будет очень длинным и тонким. Но если вы собираетесь начать с квадратного листа бумаги, то этот старый метод в основном сворачивает квадратную бумагу в тонкую полоску, тратя впустую почти весь материал. Новый результат обещает быть намного эффективнее. Это совершенно другая стратегия думать о том, как сделать многогранник.

Демейн и Тачи также работают над реализацией алгоритма в новой версии Origamizer, бесплатного программного обеспечения для создания шаблонов складок оригами, первая версия которого Тачи выпустила в 2008 году.

Сохранение границ

Алгоритм исследователей создает складку шаблоны для создания любого многогранника, то есть трехмерной поверхности, состоящей из множества плоских граней. Программное обеспечение для компьютерной графики, например, моделирует трехмерные объекты в виде многогранников, состоящих из множества крошечных треугольников.«Любая изогнутая форма, которую вы можете аппроксимировать множеством маленьких плоских сторон», — объясняет Демейн.

С технической точки зрения гарантия того, что фальцовка будет включать минимальное количество швов, означает сохранение «границ» исходного листа бумаги. Предположим, например, что у вас есть круглый лист бумаги и вы хотите сложить его в чашку. Оставив меньший кружок в центре листа бумаги плоским, вы можете сложить стороны вместе в гофрированный узор; Фактически, некоторые чашки водоохладителей изготавливаются именно по этой конструкции.

В данном случае граница чашки — ее ободок — такая же, как у развернутого круга — его внешний край. То же самое было бы неверно со сверткой, произведенной более ранним алгоритмом Демена и его коллег. Там чашка будет состоять из тонкой полоски бумаги, обернутой круглой спиралью — и она, вероятно, не выдержит воды.

«Предполагается, что новый алгоритм даст вам гораздо более удобные и практичные складки», — говорит Демейн. «Мы не знаем, как это точно выразить математически, но на практике это работает намного лучше.Но у нас есть одно математическое свойство, которое хорошо различает эти два метода. Новый метод удерживает границу исходного листа бумаги на границе поверхности, которую вы пытаетесь создать. Мы называем это водонепроницаемостью ».

Замкнутая поверхность, например сфера, не имеет границ, поэтому для ее аппроксимации оригами потребуется стык на стыке границ. Но «пользователь может выбрать, где поставить эту границу», — говорит Демейн. «Невозможно добиться водонепроницаемости всей закрытой поверхности, потому что граница должна быть где-то, но вы можете выбрать, где она находится.”

Осветительные огни

Алгоритм начинается с отображения граней целевого многогранника на плоской поверхности. Но в то время как грани будут соприкасаться, когда складывание будет завершено, они могут находиться довольно далеко друг от друга на плоской поверхности. «Вы складываете весь лишний материал и соединяете грани многогранника», — говорит Демейн.

Складывание лишнего материала может оказаться очень сложным процессом. Складки, объединяющие несколько граней, могут включать десятки или даже сотни отдельных складок.

Разработка метода автоматического расчета этих шаблонов складок потребовала ряда различных идей, но главным было то, что они могли быть аппроксимированы так называемой диаграммой Вороного. Чтобы понять эту концепцию, представьте себе травянистую равнину. На нем одновременно поджигают несколько пожаров, и все они распространяются во всех направлениях с одинаковой скоростью. Диаграмма Вороного, названная в честь украинского математика XIX века Георгия Вороного, описывает как место, где разводятся костры, так и границы, на которых встречаются соседние пожары.В алгоритме Демейна и Тачи границы диаграммы Вороного определяют складки на бумаге.

«Мы должны немного подправить это в наших настройках», — говорит Демейн. «Мы также представляем, как одновременно зажигают огонь на всем многоугольнике многогранника и растут оттуда. Но эта концепция была действительно полезной. Задача состоит в том, чтобы установить, где разжигать костры, по сути, так, чтобы диаграмма Вороного имела все необходимые нам свойства ».

Завершенный квест

«Это очень впечатляющий материал», — говорит Роберт Лэнг, один из пионеров вычислительного оригами и член Американского математического общества, который в 2001 году отказался от успешной карьеры в оптической инженерии, чтобы стать полноценным специалистом в области оригами. время оригамист.«Это завершает то, что я бы охарактеризовал как поиски, начатые около 20 с лишним лет назад: вычислительный метод для эффективного складывания любой заданной формы из листа бумаги. Попутно было несколько замечательных демонстраций кусочков головоломки: алгоритм складывания любой формы, но не очень эффективно; алгоритм для эффективного сворачивания определенных семейств древовидных форм, но не поверхностей; алгоритм складывания деревьев и поверхностей, но не каждой формы. Этот охватывает все! Алгоритм на удивление сложен, но это связано с тем, что он всеобъемлющ.Он действительно покрывает все возможности. И это не просто абстрактное доказательство; его легко реализовать с помощью вычислений ».

Джозеф О’Рурк, профессор математики и информатики в Смит-колледже и автор книги How To Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra , согласен. «То, что было известно раньше, было либо« обманом »- наматыванием многогранника тонкой полоской, — либо не гарантированным успехом», — говорит он. «Их новый алгоритм гарантированно производит складывание, и он противоположен мошенничеству в том, что каждая грань многогранника покрыта« бесшовной »гранью бумаги, а граница бумаги отображается на границу многогранника. коллектор — их «водонепроницаемость».Наконец, дополнительная структурная «вспышка», необходимая для их складывания, может быть скрыта внутри и поэтому невидима ».

Как сделать многогранник из бумаги. Многогранники из бумаги

Поделки из бумаги — это не только разные открытки и аппликации в виде плоских изделий. Получаются очень оригинальные трехмерные модели фигур (фото 1). Например, вы можете спроектировать многогранник из бумаги. Рассмотрим несколько способов его реализации, используя схемы и фотографии.

История фигур

Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена расцвета Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Следовательно, согласно учению Платона (одного из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящий из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует один элемент. Фигуры из треугольников — октаэдр, икосаэдр и тетраэдр — связаны с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга за счет однородности граней, каждая из которых имеет три вершины.Земля также символизируется шестигранником из квадратов. А додекаэдр благодаря особым пятиугольным граням выполняет декоративную роль и является прообразом гармонии и мира.

Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Принципа» уникальность упомянутых Платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу (фото 2). Многогранник, изображенный на бумаге, состоит из двадцати равнобедренных треугольников, сложенных вместе.Схема наглядно демонстрирует схему изготовления фигурки. Рассмотрим подробнее все этапы создания икосаэдра.

Создание зубца

Икосаэдр состоит из равнобедренных треугольников такого же размера. Его можно легко сложить с помощью развертки, показанной на рисунке 2. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Нарисуйте на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четыре ряда. В этом случае каждая грань одного будет одновременно стороной другого.Полученный шаблон используется для изготовления заготовки. От базовой развертки он будет отличаться наличием припусков на склейку по всем внешним линиям. Вырезаем из бумаги заготовку, сгибаем по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замкните крайние ряды между собой. В этом случае вершины треугольников соединяются в одну точку.

Правильные многогранники

Все фигуры отличаются друг от друга разным количеством граней и формой. Кроме того, одни модели могут быть составлены из одного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие — только путем сбора из нескольких модулей.Рассмотрены классические правильные многогранники. Из бумаги делают, придерживаясь главного правила симметрии — наличия в шаблоне полностью идентичных граней. Есть пять основных типов таких фигур. В таблице представлена ​​информация об их названиях, количестве и форме граней:

треугольник

мастера easil y конструируйте много разных моделей бумаги.Многогранник может полностью отличаться от указанных выше пяти фигур, образовывая одновременно разные по форме грани, например, из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если пропустить одно или несколько лиц, получится открытая фигура, рассматриваемая как снаружи, так и изнутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезанные из достаточно толстой бумаги правильной формы. Из бумаги делают особые многогранники. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей.Разберем способы построения очень красивой фигуры на примере додекаэдра (фото 3).

Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый метод

Такую фигуру еще называют звездным додекаэдром. Каждая его вершина в основании представляет собой правильный пятиугольник. Поэтому такие многогранники из бумаги делают двумя способами. Схемы изготовления будут немного отличаться друг от друга. В первом случае это единичная деталь (фото 4), в результате складывания получается готовое изделие.Помимо основных граней на чертеже присутствуют соединительные детали для склейки, благодаря которым фигура соединяется между собой. Чтобы сделать многогранник вторым способом, необходимо сделать несколько шаблонов отдельно. Рассмотрим процесс работы более подробно.

Как сделать многоугольник из бумаги: второй способ

Сделайте два основных шаблона (фото 5):

Первый. Нарисуйте на листе круг и разделите его поперек на две части. Одна — основа выкройки, вторая дуга сразу стирается для удобства.Разделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными сегментами. В результате соединяются пять одинаковых равнобедренных треугольников. Рядом со средним сегментом, примыкающим к среднему, нарисуйте точно такой же полукруг, только в зеркальном отображении. Полученная деталь в сложенном виде выглядит как два конуса. Таких похожих выкроек изготовлено всего шесть штук. Для их склейки используется вторая часть, которая будет помещена внутрь.

Секунда. Этот узор представляет собой пятиконечную звезду.Выполните те же двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждая из звездочек загнутыми вверх концами помещается внутрь конусовидных частей и приклеивается к граням.

Полную коллекцию рисунка можно получить, соединив двойные блоки с дополнительными листами бумаги, намотав их внутрь. Моделируя изделия, сделать их разными по размеру довольно проблематично. Готовые многоугольные модели из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать поправку на все внешние границы.Необходимо отдельно масштабировать каждую из граней. Только так можно получить увеличенную копию оригинальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить исходные заготовки, для которых уже изготавливается необходимое количество отдельных деталей.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Any Queries? Ask us a question at +0000000000

Имя

Количество граней

Форма каждой грани

4

треугольник

шестигранник

6

квадрат

3

3

3

9 октаэдр2 додекаэдр

12

пятиугольник

икосаэдр

20

треугольник