Развертка трапеции: ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии

Федеральное агентство
по образованию

Государственное
образовательное учреждение

высшего
профессионального образования

«Алтайский
государственный технический университет
им. И.И. Ползунова»

Бийский
технологический институт (филиал)

Г.И. Куничан,
Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методические
рекомендации по курсу
начертательной геометрии

для
самостоятельной работы студентов
механических специальностей

171200,
120100, 171500, 170600

Бийск

2005

УДК 515.0(075.8)

Куничан Г.И., Идт Л.И . Построение
разверток поверхностей:

Методические рекомендации
по курсу
начертательной геометрии для
самостоятельной работы студентов
механических специальностей
171200, 120100, 171500, 170600.

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.

Изд-во Алт. гос. техн.
ун-та, 2005. – 22с.

В методических рекомендациях
подробно рассмотрены примеры построения
разверток многогранников и поверхностей
вращения по теме построение разверток
поверхностей курса начертательной
геометрии, которые изложены в виде
лекционного материала. Методические
рекомендации предлагаются для
самостоятельной работы студентов
дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Рассмотрены и одобрены

на заседании

кафедры

технической

графики.

Протокол №20 от
05.02.2004 г.

Рецензент:
завкафедрой МРСиИ БТИ АлтГТУ, к.т.н.
Фирсов А.М.

 Куничан
Г.И., Идт Л.И., Леонова Г.Д., 2005

БТИ
АлтГТУ, 2005

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЕРТЫВАНИИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Представляя поверхность
в виде гибкой, но нерастяжимой пленки,
можно говорить о таком
преобразовании поверхности, при котором
поверхность совмещается
с плоскостью
без складок и разрывов. Следует указать,
что далеко не каждая поверхность
допускает такое преобразование. Ниже
будет показано, какие типы поверхностей
возможно совместить с плоскостью при
помощи изгибания, без растяжения и
сжатия.

Поверхности, которые
допускают такое преобразование,
называются развертывающимися,
а фигура на плоскости, в которую
поверхность преобразуется, называется
разверткой поверхности.

Построение разверток
поверхностей имеет большое практическое
значение при конструировании различных
изделий из листового материала. При
этом необходимо отметить, что часто
приходится изготовлять из листового
материала не только развертывающиеся
поверхности, но и неразвертывающиеся
поверхности. В этом случае неразвертывающуюся
поверхность разбивают на части, которые
можно приближенно заменить развертывающимися
поверхностями, а затем строят развертки
этих частей.

К числу развертывающихся
линейчатых поверхностей относятся
цилиндрические, конические
и торы.

Все остальные кривые
поверхности не развертываются на
плоскость и поэтому при необходимости
изготовления этих поверхностей из
листового материала их приближенно
заменяют развертывающимися поверхностями.

1 ПОСТРОЕНИЕ
РАЗВЕРТОК ПИРАМИДАЛЬНЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток
пирамидальных поверхностей приводит
к многократному построению натурального
вида треугольников, из которых состоит
данная пирамидальная поверхность или
многогранная поверхность, вписанная
(или описанная) в какую-либо коническую
или линейчатую поверхность, которой
заменяется указанная поверхность.
Описываемый способ приводит к разбивке
поверхности на треугольники, он
называется способом
треугольников (триангуляции).

Покажем применение этого
способа для пирамидальных поверхностей.
Если пренебречь графическими ошибками,
то построенные развертки таких
поверхностей можно считать точными.

Пример 1.
Построить полную развертку поверхности
части треугольной пирамиды SABC.

Так как боковые грани
пирамиды являются треугольниками, то
для построения ее развертки нужно
построить натуральные виды этих
треугольников. Для этого предварительно
должны быть определены натуральные
величины боковых ребер. Натуральную
величину боковых ребер можно определить
при помощи прямоугольных треугольников,
в каждом из которых одним катетом
является превышение точки S
над точками А,
В и С,
а вторым катетом – отрезок, равный
горизонтальной проекции соответствующего
бокового ребра (рисунок 1).

Так как стороны нижнего
основания являются горизонталями, то
их натуральные величины можно измерить
на плоскости П₁.
После этого каждая боковая грань строится
как треугольник по трем сторонам.
Развертка боковой поверхности пирамиды
получается в виде ряда примыкающих один
к другому треугольников с общей вершиной
S (S₂C*,
S₂A*,
S₂B*
– являются
натуральными величинами ребер пира-миды).

Для нанесения
на развертку точек D,
E и F,
соответствующих вершинам сечения
пирамиды плоскостью, нужно предварительно
определить их натуральные расстояния
от вершины S,
для чего следует перенести точки D*,
E* и F*
на соответствующие натуральные величины
боковых ребер.

Рисунок 1

После построения развертки
боковой поверхности усеченной части
пирамиды, следует пристроить к ней
треугольники АВС
и DEF. Треугольник
АВС является
основанием усеченной пирамиды и изображен
на горизонтальной плоскости проекций
в натуральную величину.

2 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК КОНИЧЕСКИХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим построение разверток
конических поверхностей. Несмотря на
то, что конические поверхности являются
развертывающимися и, следовательно,
имеют теоретически точные развертки,
практически строят их приближенные
развертки, пользуясь способом
треугольников. Для этого
заменяют коническую поверхность
вписанной в нее поверхностью пирамиды.

Пример 2.
Построить развертку прямого конуса с
отсеченной вершиной (рису-нок 2а, б).

1. Необходимо предварительно
построить развертку боковой поверхности
конуса. Этой разверткой является круговой
сектор, радиус которого равен натуральной
величине образующей конуса, а длина
дуги равна длине окружности основания
конуса. Практически дугу сектора
определяют при помощи ее хорд, которые
принимают равными хордам, стягивающим
дуги основания конуса. Иначе говоря,
поверхность конуса заменяется поверхностью
вписанной пирамиды.

2. Чтобы на развертку нанести
точки фигуры сечения (А,В,С,D,F,G,K),
нужно предварительно определить их
натуральные расстояния от вершины S,
для чего следует перенести точки А₂,
В₂,
С₂,
D₂,
F₂,
G₂,
K₂ на
соответствующие натуральные величины
образующих конуса. Так как в прямом
конусе все образующие равны, то достаточно
перенести проекции точек сечения на
крайние образующие S₂1₂
и S₂7₂.
Таким образом, отрезки S₂A*,
S₂B*,
S₂D*,
S₂F*,
S₂G*,
S₂K*
являются искомыми, т.е. равными натуральной
величине расстояния от S до точек сечения.

Рисунок 2 (а)

Рисунок 2 (б)

Пример 3.
Построить развертку боковой поверхности
эллиптического конуса с круговым
основанием (рисунок 3).

В данном примере коническая
поверхность заменяется поверхностью
вписанной двенадцатиугольной пирамиды.
Так как коническая поверхность имеет
плоскость симметрии, то можно построить
развертку только одной половины
поверхности. Разделив от точки О
половину окружности основания конической
поверхности на шесть равных частей и
определив с помощью прямоугольных
треугольников натуральные величины
образующих, проведенных в точки деления,
строим шесть примыкающих один к другому
треугольников с общей вершиной S.

Каждый из этих треугольников
строится по трем сторонам; при этом две
стороны равны натуральным величинам
образующих, а третья – хорде, стягивающей
дугу окружности основания между соседними
точками деления (например
О₁-1₁,
1₁-2₁,
2₁—
3₁ и
т.д.) После этого через точки 0, 1, 2 …
разогнутого по способу хорд основания
конической поверхности проводится
плавная кривая.

Если на развертке надо нанести
какую-либо точку М,
находящуюся на поверхности конуса, то
следует предварительно построить точку
М* на гипотенузе
S₂
–7* прямоугольного
треугольника, с помощью которого
определена натуральная величина
образующей S – 7,
проходящей через точку М.
После этого следует провести на развертке
прямую S – 7,
определив точку 7
из условия равенства хорд 2₁
– 7₁=2
– 7, и на ней отложить
расстояние SM=S₂M*.

Рисунок
3

3 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток призматических
и цилиндрических поверхностей приводит
в общем случае к многократному построению
натурального вида трапеций, из которых
состоит данная призматическая поверхность,
или призматическая поверхность, вписанная
(или описанная) в цилиндрическую
поверхность и заменяющая ее. Если, в
частности, призматическая или
цилиндрическая поверхности ограничены
параллельными основаниями, то трапеции,
на которые разбивается поверхность,
обращаются в прямоугольники или
параллелограммы, в зависимости от того,
перпендикулярны или нет плоскости
оснований боковым ребрам или образующим
поверхности.

Построение трапеций или
параллелограммов проще всего произвести
по их основаниям и высотам, причем
необходимо также знать отрезки оснований,
на которые они делятся высотой. Поэтому
для построения развертки призматической
или цилиндрической поверхности необходимо
предварительно определить натуральный
вид нормального сечения данной
поверхности. Стороны этого сечения, в
случае призматической поверхности, и
будут высотами трапеций или параллелограммов,
из которых состоит поверхность. В случае
цилиндрической поверхности высотами
будут хорды, стягивающие дуги нормального
сечения, на которые разделена кривая,
ограничивающая это сечение.

Так как указанный способ требует
построения нормального сечения, то он
называется способом
нормального сечения.

Покажем применение этого способа
для призматических поверхностей. Если
пренебречь графическими ошибками, то
построенные развертки этих поверхностей
можно считать точными.

Пример 4. Построить
полную развертку поверхности треугольной
призмы АВСDEF
(рисунок 4).

Пусть данная призма расположена
относительно плоскостей проекций так,
что ее боковые ребра являются фронталями.
Тогда они проецируются на плоскость
проекций П₂
в натуральную величину и фронтально
проецирующая плоскость S_v,
перпендикулярная боковым ребрам,
определит нормальное сечение PQR
призмы.

Построив натуральный
вид P₄Q₄R₄
этого сечения, найдем натуральные
величины P₄Q₄
, Q₄R₄
и R₄P₄
— высот
параллелограммов, из которых состоит
боковая поверхность призмы.

Рисунок
4

Так как боковые ребра призмы
параллельны между собой, а стороны
нормального сечения им перпендикулярны,
то из свойства сохранения углов на
развертке следует, что на развертке
призмы боковые ребра будут также
параллельны между собой, а стороны
нормального сечения развернутся в одну
прямую. Поэтому для построения развертки
призмы нужно отложить на произвольной
прямой натуральные величины сторон
нормального сечения, а затем через
их концы провести прямые,

перпендикулярные к этой прямой.
Если теперь отложить на этих перпендикулярах

по обе стороны от прямой QQ
отрезки боковых ребер, измеренные на
плоскости проекций П₂,
и соединить отрезками прямых концы
отложенных отрезков, то получим развертку
боковой поверхности призмы. Присоединяя
к этой развертке оба основания призмы,
получим ее полную развертку.

Если боковые ребра данной
призмы имели бы произвольное расположение
относительно плоскостей проекций, то
нужно было бы предварительно преобразовать
их в прямые уровня.

Существуют также другие
способы построения разверток призматических
поверхностей, один из которых – раскатка
на плоскости – рассмотрим на примере
5.

Пример 5.
Построить полную развертку поверхности
треугольной призмы ABCDEF
(рисунок 5).

Рисунок
5

Эта призма расположена относительно
плоскостей проекций так, что ее ребра
являются фронталями, т.е. на фронтальной
плоскости проекций П₂
изображены в натуральную величину. Это
позволяет использовать один из методов
вращения, позволяющих находить натуральную
величину фигуры путем вращения ее вокруг
прямой уровня. В соответствии с этим
методом точки B,C,A,D,E,F,
вращаясь вокруг ребер AD,
BE и CF,
совмещаются с фронтальной плоскостью
проекций. Т.е. траектория движения точек
В_{2и F2
изобразится перпендикулярно A2
D2.}

Раствором циркуля, равным
натуральной величине отрезка АВ
(АВ=А₁В₁),
из точек А₂
и D₂
делаем засечки на траектории движения
точек В_{2и F2.
Полученная грань A2D2BF
изображена в натуральную величину.
Следующие две грани BFCE
и CEAD
строим аналогичным способом. Пристраиваем
к развертке два основания АВС
и DEF. Если
призма расположена так, что ее ребра не
являются прямыми уровня, то используя
методы преобразования чертежа (замены
плоскостей проекций или вращения),
следует провести преобразование так,
чтобы ребра призмы стали прямыми уровня.}

Рассмотрим построение разверток
цилиндрических поверхностей. Хотя
цилиндрические поверхности являются
развертывающимися, практически строят
приближенные развертки, заменяя их
вписанными призматическими поверхностями.

Пример
6. Построить
развертку прямого цилиндра, усеченного
плоскостью Sv
(рисунок 6).

Рисунок 6

Построение развертки прямого
цилиндра не представляет никакой
сложности, т.к. является
прямоугольником, длина одной стороны
равняется 2πR, а длина другой равна
образующей цилиндра. Но если требуется
нанести на развертку
контур усеченной части,
то построение целесообразно вести,
вписав в цилиндр двенад-цатигранную
призму. Обозначим точки сечения (сечение
является эллипсом), лежащие на
соответствующих образующих, точками
1₂, 2₂,
3₂ …
и по линиям связи
перенесем их на
развертку цилиндра. Соединим эти точки
плавной линией и пристроим натуральную
величину сечения и основание к развертке.

Если цилиндрическая поверхность
наклонная, то развертку можно строить
двумя способами, рассмотренными
ранее на рисунках 4 и 5.

Пример 7.
Построить полную развертку наклонного
цилиндра второго порядка (рисунок 7).

Рисунок 7

Образующие цилиндра параллельны
плоскости проекций П_2,
т.е. изображены на фронтальной плоскости
проекций в натуральную величину.
Основание цилиндра делят на 12 равных
частей и через полученные точки проводят
образующие. Развертку боковой поверхности
цилиндра строят так же, как была построена
развертка наклонной призмы, т.е.
приближенным способом.

Для этого из точек 1₂,
2₂,
…, 12₂
опускают перпендикуляры к очерковой
образующей 1А и
радиусом, равным хорде 1₁2₁,
т.е. 1/12 части деления окружности основания,
последовательно делают засечки на этих
перпендикулярах. Например, делая засечку
из точки 1₂
на перпендикуляре, проведенном из точки
2₂,
получают 2.
Принимая далее точку 2
за центр, тем же раствором циркуля делают
засечку на перпендикуляре, проведенном
из точки 3₂,
и получают точку 3
и т.д. Полученные точки 1₂,
2,
3,…,
1 соединяют плавной лекальной
кривой. Развертка верхнего основания
симметрична развертке нижнего, так как
сохраняется равенство длин всех
образующих цилиндра.

4 ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ
ШАРОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Шаровая поверхность
относится к так называемым неразвертываемым
поверхностям, т. е. к таким, которые не
могут быть совмещены с плоскостью, не
претерпев при этом каких-либо повреждений
(разрывов, складок). Таким образом,
шаровая поверхность может быть развернута
лишь приближенно.

Один из способов приближенной
развертки шаровой поверхности рассмотрен
на рисунке 8.

Сущность этого приема
состоит в том, что шаровая поверхность
при помощи меридианальных плоскостей,
проходящих через ось шара SP,
разбивается на ряд одинаковых
частей.

На рисунке 8 шаровая
поверхность разбита на 12 равных частей
и показана горизонтальная проекция
(s₁,
k₁,
l₁)
только одной такой части.
Затем дуга k4l
заменена прямой (m₁n₁),
касательной к окружности,
и эта часть шаровой поверхности заменена
цилиндрической поверхностью с осью,
проходящей через центр шара и параллельной
касательной тп. Далее
дуга s₂4₂
разделена на четыре равные
части. Точки 1₂,
2₂,
3₂,
4₂
приняты за фронтальные
проекции отрезков образующих цилиндрической
поверхности с осью, параллельной тп.
Их горизонтальные
проекции: a₁b₁,
c₁d₁,
e₁f₁,
т₁п₁.
Затем на произвольной
прямой MN
отложен отрезок тп.
Через его середину
проведен перпендикуляр к MN
и на нем отложены
отрезки 4₂3₂,
3₂2₂,
2₂1₂,
1₂S₂,
равные соответствующим
дугам 4₂3₂,
3₂2₂,
2₂1₂,
1₂s₂.
Через полученные точки
проведены линии, параллельные тп,
и на них отложены
соответственно отрезки а₁b₁,
c₁d₁,
e₁f₁.
Крайние точки
этих отрезков соединены плавной кривой.
Получилась развертка ¹/₁₂
части шаровой поверхности. Очевидно,
для построения полной развертки шара
надо вычертить 12 таких
разверток.

5 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ
КОЛЬЦА

Пример 9.
Построить развертку поверхности кольца
(рисунок 9).

Разобьем поверхность
кольца при помощи меридианов на двенадцать
равных частей и построим приближенную
развертку одной части. Заменяем
поверхность этой части описанной
цилиндрической поверхностью, нормальным
сечением которой будет средний меридиан
рассматриваемой части кольца.
Если теперь спрямить этот меридиан в
отрезок прямой и через точки
деления провести перпендикулярно к
нему образующие цилиндрической
поверхности, то, соединив их
концы плавными кривыми, получим
приближенную развертку 1/12
части поверхности кольца.

Рисунок
8

Рисунок 9

6 ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ
ВОЗДУХОВОДА

В заключение покажем
построение развертки поверхности одной
технической детали,
изготовляемой из листового материала.

На рисунке 10 изображена
поверхность, с помощью которой
осуществляется переход с
квадратного сечения на круглое. Эта
поверхность состоит из двух

конических поверхностей I,
двух конических поверхностей II,
двух плоских треугольников
III
и плоских треугольников
IV
и V.

Рисунок 10

Для построения развертки
данной поверхности нужно предварительно
определить натуральные
величины тех образующих конических
поверхностей I
и II,
с
помощью которых эти
поверхности заменяются совокупностью
треугольников. На вспомогательном
чертеже по способу прямоугольного
треугольника построены натуральные
величины этих образующих.
После этого строят развертки конических
поверхностей, а между ними в определенной
последовательности строят треугольники
III,
IV
и V,
натуральный
вид которых определяется по натуральной
величине их сторон.

На чертеже (см. рисунок
10) показано построение
развертки части от данной
поверхности. Для построения полной
развертки воздуховода следует достроить
конические поверхности I,
II
и треугольник III.

Рисунок
11

На рисунке 11 приведен
пример развертки воздуховода, поверхность
которого можно разбить на 4 одинаковые
цилиндрические поверхности и 4 одинаковые
треугольника. Цилиндрические поверхности
представляют собой наклонные цилиндры.
Метод построения развертки наклонного
цилиндра методом раскатки приведен
подробно ранее на рисунке 7. Более удобным
и наглядным для данной фигуры методом
построения развертки представляется
метод триангуляции, т.е. цилиндрическая
поверхность разбивается на треугольники.
А затем определяется натуральная
величина сторон
методом прямоугольного треугольника.
Построение развертки цилиндрической
части воздуховода обоими способами
приведено на рисунке 11.

Вопросы для самоконтроля

1. Укажите приемы построения
разверток цилиндрических и конических
поверхностей.

2. Как построить развертку
боковой поверхности усеченного конуса,
если нельзя достроить этот конус до
полного?

3. Как построить условную развертку
сферической поверхности?

4. Что называется разверткой
поверхности?

5. Какие поверхности относятся
к развертывающимся?

6. Перечислите свойства
поверхности, которые сохраняются на ее
развертке.

7. Назовите способы
построения разверток и сформулируйте
содержание каждого из них.

8. В каких случаях для
построения развертки используются
способы нормального сечения, раскатки,
треугольников?

Литература

Основная литература

1. Гордон, В.О.  Курс
начертательной геометрии / В.О. Гордон,
М.А. Семенцо-Огиевский; под ред. В.О.
Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высш.
шк., 2003.

2. Гордон, В.О.  Сборник
задач по курсу начертательной геометрии
/ В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева;
под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер.
– М.:  Высш. шк., 2003.

3. Курс начертательной
геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е
изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002.

4. Начертательная
геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е
изд., перераб. и доп.- М.: Выcшая
школа, 2000.

5. Начертательная геометрия.
Инженерная и машинная графика: программа,
контрольные задания и методические
указания для студентов-заочников
инже-нерно-технических и педагогических
специальностей вузов / А.А. Чекмарев, 

А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под
ред. А.А. Чекмарева. – 2-е изд., испр. – М.:
Выcшая школа, 2001.

Дополнительная литература

6. Фролов, С.А. Начертательная
геометрия / С.А.
Фролов. – М.:
Машиностроение, 1978.

7. Бубенников, А.В.
Начертательная геометрия / А.В. Бубенников,
М.Я. Громов. – М.: Высшая школа, 1973.

8. Начертательная геометрия
/ под общей ред. Ю.Б. Иванова.
– Минск: Вышейшая школа,
1967.

9. Боголюбов, С.К. Черчение:
учебник для машиностроительных
специальностей средних специальных
учебных заведений / С.К. Боголюбов. –
3-е изд., испр. и дополн. – М.: Машиностроение,
2000.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие понятия о развертывании
поверхностей…………………………………………3

1 Построение разверток
пирамидальных поверхностей………………………………..3

2 Построение разверток
конических поверхностей………………………………….….5

3 Построение разверток
призматических и цилиндрических
поверхностей………….9

4 Приближенное развертывание
шаровой поверхности………………………….…..
14

5 Построение развертки
кольца………………………………………………………….14

6 Построение развертки
воздуховода……………………………………………………16

Вопросы
для самоконтроля………………………………………………………………19

Литература………………………………………………………………………………..20

Куничан Галина Ивановна

Идт Любовь Ивановна

Построение разверток поверхностей

Методические рекомендации по
курсу начертательной геометрии для
самостоятельной работы студентов
механических специальностей 171200, 120100,
171500, 170600

Редактор Идт Л.И.

Технический редактор Малыгина
Ю.Н.

Корректор Малыгина И.В.

Подписано в
печать 25.01.05. Формат 61х86 /8.

Усл. п. л.
2,67. Уч.-изд. л. 2,75.

Печать
– ризография, множительно-копировальный

аппарат
«RISO
TR
-1510»

Тираж 60 экз.
Заказ 2005-06.

Издательство
Алтайского государственного

технического университета,

656099,
г. Барнаул, пр.-т Ленина, 46

Оригинал-макет
подготовлен ИИЦ БТИ АлтГТУ.

Отпечатано
в ИИЦ БТИ АлтГТУ.

659305,
г. Бийск, ул. Трофимова, 29

Г.И. Куничан,
Л.И. Идт

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методические
рекомендации по курсу начертательной
геометрии

для
самостоятельной работы студентов
механических специальностей

171200,
120100, 171500, 170600

Бийск

2005

Тела вращения — Развертки — Mnogogranniki.ru

Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон? 

Одним лишь вращением мы можем создать новое геометрическое тело в пространстве.

Боковые поверхности цилиндра образуются за счет сторон вращающегося прямоугольника.

Официальное определение для таких геометрических тел, звучит следующим образом:

И здесь важно то, что плоская геометрическая фигура может быть совершенно произвольной формы.

Например, кривая, которая при вращении будет образовывать вазу или лампочку. Такие инструменты создания тел вращения очень популярны у тех, кто работает в программах 3D-проектирования.

Но с математической точки зрения, для нас, прежде всего, интересны следующие геометрические тела вращения:

Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.

Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.

Усечённый конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям трапеции.

Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Эллипсоид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.

Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его.

В обычном понимании тор — это «бублик».

Параболоид — это поверхность, которая образуется в результате вращения вокруг оси кривой образованной графиком параболы. Отсюда и название параб-о-лоид.  

Гиперболоид — это поверхность, которая образуется в результате вращения вокруг оси кривой образованной графиком гиперболы. Соответственно название гиперб-о-лоид.

Как сделать цилиндр из бумаги?

Как сделать конус из бумаги?

Как сделать параболоид из бумаги?

Как сделать гиперболоид из бумаги?

Как сделать тор из бумаги?

Для сопоставимости размеров получающихся моделей тел вращения мы постарались собрать их на одной поверхности вместе с призмами из выпуска «Волшебные грани № 16».

Получился целый математический город из бумаги, умещающийся на столе!

Развертка усеченного и прямого конуса

Расчёт развёртки конуса

Введите размеры в мм, и тип конуса:

Результат расчёта:

Скачать, сохранить результат

Выберите способ сохранения

Информация

Часто в строительной практике или даже повседневной жизни приходится сталкиваться с необходимостью построения конуса. Процесс построения требует определенных знаний и высокой точности, иначе конус будет иметь определенные отклонения от необходимых параметров и это может привести к тем или иным неприятным последствиям. Расчет развертки конуса является важнейшей частью при создании выкройки для конуса. Данный показатель относительный и при его расчете необходимо знать ряд других параметров. При этом, необходимо понимать, что существует два вида конусов. Первый вид называется «Прямой конус», то есть классическом его понимании. Второй вид называется «Усеченный конус» — часть конуса, которая заключается между основанием и секущей плоскостью, параллельной его основанию. Расчет развертки прямого конуса отличается от того, как производится расчет развертки усеченного конуса. Отличие заключается в том, что у усеченного конуса появляется еще одна переменная и по итогу расчета калькулятор сообщает в расчете не только расстояние и угол, но и два радиуса.

Наш онлайн калькулятор имеет встроенные формулы, что позволяет производить расчет данных показателей, просто выбрав вид конуса и введя абсолютные значения в соответствующие ячейки. Возможности и принцип построения системы калькулятора исключают допущение ошибок при расчетах, и избавляют пользователя от необходимости в самостоятельном детальном изучении методик расчета.

Преимущества, которые дает онлайн калькулятор

• Большая экономия времени;
• Гарантированно правильный и предельно точный расчет;
• Удобный интерфейс, который будет понятен даже новичку;
• Открытый доступ к калькулятору для всех пользователей.

Таким образом, можно сделать вывод, что расчет развертки конуса требует концентрации внимания на многих деталях, и самостоятельный его расчет является достаточно трудоемким. Наш онлайн калькулятор является инструментом, который упростит Вашу жизнь при точном расчете данного показателя. Также Вам доступна информация о том, какая формула применяется при расчете и определенная справочная информация.

поделиться и оценить

Смотрите также:

Добавить комментарий

Синусоидальная развертка — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Синусоидальная развертка

Cтраница 3

Для определения коэффициента модуляции при синусоидальной развертке в канал вертикального отклонения подается модулированное высокочастотное колебание, а в канал горизонтального отклонения — модулирующее напряжение.
 [32]

Метод трапеции, основанный на использовании синусоидальной развертки, заключается в следующем. К одной паре отклоняющих пластин трубки осциллографа, обычно к Г — пластинам, подают исследуемое напряжение амплитудно — модулированных колебаний, а к другой паре — напряжение частоты модуляции.
 [34]

Иногда в практике вместо непрерывной линейной развертки используют часть синусоидальной развертки, имеющую сравнительно линейный характер, а соответственно и постоянную скорость развертки.
 [36]

Как измеряется М, %, осциллографическим методом при синусоидальной развертке.
 [38]

Более удобным и точным методом измерения частоты следования импульсов является метод синусоидальной развертки.
 [39]

Комбинированный метод сравнения частот в значительной степени лишен недостатков, свойственных методу синусоидальной развертки и методу модуляции яркости изображения, на которых он основан.
 [40]

Осциллографический метод, в свою очередь, осуществляют двумя способами: линейной или синусоидальной развертки.
 [41]

Погрешность измерения и пределы измеряемых частот определяются так же, как и при синусоидальной развертке.
 [42]

Это объясняется тем, что длина круговой развертки в 3 раза с лишним больше длины синусоидальной развертки, в результате чего вдоль нее может уложиться большое количество меток, определяющее отношение частот.
 [43]

Для обеспечения необходимой величины модулирующего напряжения модулятор соединяют с выходами усилителей осциллографа, предварительно растянув фигуру синусоидальной развертки в соответствующем направлении, до размера 1 5 — 2 5 диаметра экрана.
 [44]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

   5

Лекция 13

Лекция 13

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение разверток представляет важную техническую задачу, так как в промышленности широко применяются конструкции и изделия из листового материала, выполненные способом изгибания. Если поверхность представить в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, то некоторые поверхности путем изгибания можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Такие поверхности называются развертывающимися, а фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью, назы-

вается разверткой.

Определение. Поверхности, которые путем изгибания можно совместить с плоскостью без складок и разрывов, называются развертывающимися. Фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой этой поверхности.

Поверхность и ее развертку можно рассматривать как две геометрические фигуры, между точками которых установлено взаимно однозначное соответствие. При развертывании поверхности взаимно однозначное соответствие между поверхностью и ее разверткой не нарушается: каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке. Из физической модели процесса развертывания поверхности на плоскость (изгибание предварительно разрезанной поверхности без ее растяжения) следуют инвариантные метрические свойства поверхности и ее развертки.

Инвариантные метрические свойства. На поверхности и на ее развертке сохраняются равными: расстояние между точками поверхности, углы между пересекающимися линиями в точках их пересечения и величины площадей фигур на поверхностях.

Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и некоторые криволинейные поверхности. В дифференциальной геометрии доказывается, что к развертывающимся криволинейным поверхностям относятся только линейчатые поверхности, состоящие исключительно из параболических точек. Касательная плоскость к такой поверхности касается ее не в одной точке, а вдоль прямолинейной образующей, проходящей через эту точку (см. п. 11.2). Отсюда следует признак развертываемости:

у линейчатой развертывающейся поверхности касательные плоскости, проведенные во всех точках одной прямолинейной образующей, совпадают.

Среди криволинейных поверхностей указанным признаком развертываемости на плоскость обладают только торсовые поверхности. Действительно, физическая модель образования торсовой поверхности общего вида (“перекатывание” плоскости по криволинейным направляющим a, b и соединение точек касания прямолинейной образующей, см. п. 6.2.6) предполагает существование плоскости, касающейся поверхности вдоль прямолинейной образующей. Иными словами, наличие признака развертываемости “заложено” в самом определении торсовой поверхности.

Конические и цилиндрические поверхности являются частным случаем торсовой поверхности, когда одна из криволинейных направляющих a, b вырождается в собственную или несобственную точку (см. рис. 6.26). Например, если направляющая a выродилась в собственную точку A, то получаем коническую поверхность с вершиной A и направляющей b. Если точка A – несобственная (бесконечно удалена по заданному направлению a), то получается цилиндрическая поверхность с направляющей b, образующие которой параллельны направлению a.

Таким образом, поскольку конические и цилиндрические поверхности являются частным случаем торсовой поверхности, то они так же, как и торсовые поверхности общего вида, обладают свойством развертываемости.

135

Вывод. Свойством развертываемости на плоскость обладают, кроме многогранных поверхностей, лишь торсовые поверхности (в частности – конические и цилиндрические поверхности).

Различают точные и приближенные развертки развертывающихся поверхностей. Для любой многогранной поверхности может быть построена ее точная развертка. Действительно, если дан двухпроекционный чертеж некоторого многогранника (например, пирамиды), то на основе чертежа графическими приемами, пользуясь линейкой и циркулем, можно определить истинные длины всех ребер и построить точную развертку всех граней пирамиды.

Если же на чертеже дана какая-либо криволинейная развертывающаяся поверхность (например, поверхность эллиптического конуса), то с помощью линейки и циркуля может быть построена только ее приближенная развертка.

Конечно, в некоторых случаях можно построить точную развертку поверхности, используя уравнение поверхности или числа, определяющие ее размеры. Так, если дан прямой конус вращения высотой h и диаметром основания d, то этими двумя числами поверхность определена. По ним можно вычислить размеры развертки, представляющей собой круговой сектор. Рассчитав с любой желаемой степенью точности радиус сектора и его центральный угол, можно построить точную развертку конуса. Однако на практике таким “графоаналитическим” приемом пользуются редко.

В начертательной геометрии поверхность задают с помощью чертежа, а развертку строят на основе чертежа графическими способами. Поэтому развертка любой развертывающейся криволинейной поверхности (конической, цилиндрической, торсовой), которая строится графически, является приближенной.

Общий способ приближенного построения развертки произвольной разверты-

вающейся поверхности заключается в следующем. Заданную развертывающуюся по-

верхность Ф заменяют (аппроксимируют) вписанной или описанной многогранной поверхностью Ф′. Затем строят точную развертку аппроксимирующей многогранной поверхности Ф′ и принимают ее за приближенную развертку данной поверхности Ф.

Хотя все остальные поверхности (не относящиеся к многогранным, цилиндрическим, коническим, торсовым) теоретически не развертываются на плоскость, инженерная практика, тем не менее, требует построения их “разверток”. Для неразвертывающихся поверхностей строят так называемые условные развертки.

13.1. Построение разверток поверхностей многогранников

Напомним, что многогранником называют пространственную геометрическую фигуру, со всех сторон ограниченную плоскими многоугольниками (гранями). Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, которая получается при совмещении граней многогранника с плоскостью. Процесс построения развертки поверхности многогранника сводится к построению истинных величин его граней, что непосредственно связано с определением натуральной (истинной) длины каждого ребра многогранника. Рассмотрим построение разверток наиболее распространенных многогранных поверхностей – поверхностей пирамид и призм.

13.1.1. Развертка пирамиды

Поверхность n-угольной пирамиды включает в себя основание (плоский n- угольник) и боковую поверхность, состоящую из n треугольников. Для построения развертки пирамиды необходимо определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания. На рис. 13.1, а изображена треугольная пирамида ABCS. Основанием

136

пирамиды является треугольник АВС, расположенный в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, поэтому стороны основания AB, BC, AC проецируются на П1 в натуральную величину.

Длины боковых ребер пирамиды определяются с помощью вспомогательных прямоугольных треугольников. Вспомогательные треугольники имеют общий катет S2O0 (разность высот концов боковых ребер пирамиды). Другой катет равен длине горизонтальной проекции соответствующего ребра. Например, в треугольнике S2O0A0 катет S2O0 равен разности высот точек S и А. Другой катет O0А0 равен горизонтальной проекции ребра SA: O0A0=S1A1. Истинная длина ребра SA равна величине гипотенузы S2A0. Аналогично длина ребра SB равна S2B0, а длина ребра SC равна S2C0.

Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из трех примыкающих друг к другу треугольников (рис. 13.1, б), конгруэнтных соответствующим граням пирамиды. Например, треугольник ACS (развертка соответствующей грани пирамиды) построен по известной длине стороны AC и найденным на рис. 13.1, а длинам боковых ребер пирамиды AS и CS. К развертке боковых граней пирамиды пристраиваем ее основание ABC.

Пусть на поверхности пирамиды отмечена точка K. Чтобы найти положение этой точки на развертке, проводим через K вспомогательную прямую S-K-1, отмечаем на развертке точку 1 и с помощью прямоугольного треугольника S2O010 находим истинную длину отрезка SK=S2K0. Откладывая этот отрезок на развертке от точки S вдоль прямой S-1, находим точку K.

13.1.2. Развертка призмы

На рис. 13.2, а изображена наклонная призма. Призма расположена таким образом, что ее основание параллельно горизонтальной плоскости проекций, поэтому на П1 основание ABC призмы проецируется в натуральную величину A1B1C1. Боковые ребра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций, поэтому на П2 они проецируются без искажения.

Развертка боковой поверхности призмы может быть получена способом нормального сечения. Для этого боковую поверхность призмы рассекают фронтально-

137

проецирующей плоскостью Σ, перпендикулярной боковым ребрам призмы. Истинную форму нормального сечения 142434 определяют способом замены плоскостей проекций.

Чтобы построить развертку призмы, нормальное сечение 142434 “разворачиваем” в прямую линию нормального сечения 1231 и через каждую точку проводим перпендикуляры к этой прямой (рис. 13.2, б). На каждом из построенных перпендикуляров откладываем по обе стороны от линии нормального сечения отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости П2 до нормального сечения и после него. Например, отрезки A- 1 и 1-A′ на развертке равны отрезкам A212 и 12A′2 на фронтальной проекции призмы.

Точно так же B-2=B222, B′-2 =B′222 и C-3=C232, C′-3=C′232. Соединяя точки А, В, С и А′,

В′, С′, получаем развертку боковой поверхности призмы.

Присоединяя к развертке боковой поверхности призмы оба основания (треугольники АВС и А′В′С′), получаем полную развертку призмы (см. рис. 13.2, б). На развертку призмы нанесена точка К, принадлежащая грани АВВ′А′. Для построения на развертке точки K использована вспомогательная прямая EE′, проходящая через точку K и параллельная ребрам призмы.

Кроме способа нормального сечения, для построения развертки поверхности призмы может быть использован способ раскатки (частный случай способа нормальных сечений) или способ триангуляции, когда каждая грань призмы делится диагональю на два треугольника [6].

13.2. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей

Напомним, что различают точные и приближенные развертки развертывающихся поверхностей. Точная развертка строится графоаналитическим способом по известным размерам поверхности с использованием ее уравнения. Например, точная развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра высотой H и радиусом основания r имеет форму прямоугольника с размерами сторон H и 2πr.

138

Приближенная развертка строится графическим способом с использованием чертежа поверхности. Чтобы построить приближенную развертку какой-либо развертывающейся поверхности, надо ее заменить (аппроксимировать) многогранной поверхностью. Точную развертку этой многогранной поверхности принимают за приближенную развертку данной развертывающейся поверхности.

13.2.1. Точная развертка поверхности прямого кругового конуса

Точная развертка поверхности прямого кругового конуса, образующая которого равна l и радиус основания r (рис. 13.3, а), имеет форму кругового сектора с радиусом l и центральным углом α=360° r/l (рис. 13.3, б).

Задача. На поверхности конуса отмечена точка K. Построить точку K на развертке конуса.

Через точку K на поверхности конуса проведем его образующую S-3 (см. рис. 13.3, а). Найдем положение образующей S-3 на развертке конуса. Для этого дугу 1-3 кругового основания конуса заменяем ломаной линией 123. Участки этой ломаной линии откладываем от точки 1 на развертке конуса (вдоль дуги кругового сектора). Получаем на развертке точку 3, через которую проходит образующая S-3.

Расстояние SK от вершины S до искомой точки K определено на рис. 13.3, а способом вращения вокруг проецирующей прямой: мысленно вращаем отрезок SK вокруг горизонтально-проецирующей оси конуса (см. п. 5.5). Вращение отрезка заканчивается в тот момент, когда он займет положение фронтали (совместится с фронтальной проекцией очерковой образующей конуса). Фронтальная проекция S2K2′ повернутого отрезка определяет натуральную величину отрезка SK. Расстояние SK на развертке равно расстоянию S2K2′ на фронтальной проекции конуса.

Заметим, что построение точки K на развертке выполнено приближенным графическим способом: дуга 1-3 кругового основания конуса заменена ломаной линией 123. Хотя развертка конуса была построена точно, но точка K на развертке найдена приближенно, поэтому решение задачи в целом следует считать приближенным.

139

Напомним, что для построения приближенной развертки развертывающейся поверхности надо ее аппроксимировать (приближенно заменить) многогранной поверхностью. Заменим поверхность конуса поверхностью вписанной в него пирамиды.

На рис. 13.6, а показана правильная 12-угольная пирамида, вписанная в прямой круговой конус. Основание пирамиды – правильный 12-угольник, вписанный в круговое основание конуса. Поверхность конуса приближенно заменена двенадцатью одинаковыми треугольниками (гранями пирамиды, вписанной в конус). Это геометрическое

140

действие (аппроксимация криволинейной поверхности сеткой треугольников) называ-

ют триангуляцией.

Определение. Триангуляция – замена (аппроксимация) данной поверхности многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней.

После аппроксимации поверхности конуса поверхностью вписанной в него пирамиды надо построить точную развертку пирамиды. Размеры всех боковых ребер пирамиды равны между собой и равны длине l очерковой образующей конуса.

Чтобы построить развертку пирамиды, на свободном месте чертежа произвольно выбираем положение вершины развертки – точку S, и строим 12 одинаковых треугольников с общей вершиной S. Боковые стороны каждого треугольника равны длине l очерковой образующей конуса. Основание каждого треугольника равно длине стороны правильного многоугольника, вписанного в круговое основание конуса. Получаем развертку вписанной в конус пирамиды в виде 12 треугольников со смежными сторонами. Построенная таким образом точная развертка пирамиды принимается за приближенную развертку боковой поверхности конуса. Основание пирамиды (правильный 12угольник) принимается за развертку основания конуса (рис. 13.6, б).

Отметим на поверхности конуса две точки A и B (см. рис. 13.6, а). Кратчайший путь между двумя точками, проложенный по данной поверхности, называют геодезической линией.

Задача. На поверхности конуса построить кратчайший путь (геодезическую линию) между точками A и B (см. рис. 13.6, а).

Построение геодезической линии AB на поверхности выполняется с помощью развертки. Прямой линии на развертке соответствует кратчайший путь на поверхности (почему?). Переносим точки A, B с чертежа конуса на развертку и соединяем A и B отрезком прямой (см. рис. 13.6, б). Затем на отрезке AB отмечаем промежуточные точки 1, 2,…5 и “возвращаем” эти точки на чертеж конуса.

Соединяя плавной кривой фронтальные проекции точек A, 1, 2, 3, 4, 5, B, получаем фронтальную проекцию геодезической линии AB. Соединяя плавной кривой горизон-

141

тальные проекции точек A, 1, 2, 3, 4, 5, B, получаем горизонтальную проекцию геодезической линии AB. Задача решена приближенно, так как для решения использована приближенная развертка конической поверхности.

13.2.4. Приближенная развертка поверхности наклонного конуса

На рис. 13.7 построена приближенная развертка поверхности наклонного конуса с круговым основанием. Для построения приближенной развертки поверхность конуса заменена поверхностью вписанной в него двенадцатиугольной пирамиды.

Поверхность конуса имеет плоскость симметрии, поэтому развертка представляет собой симметричную фигуру. В плоскости симметрии лежит самая короткая образующая SВ, по которой сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая SА, также лежащая в плоскости симметрии, является осью симметрии развертки поверхности.

Натуральные величины образующих определены способом вспомогательного прямоугольного треугольника. Например, истинная длина образующей S-1 найдена как гипотенуза S210 прямоугольного треугольника S2S010. Один катет этого треугольника – разность высот z концов образующей (эта величина одинакова для всех образующих конуса). Другой катет S010 равен длине S111 горизонтальной проекции образующей.

От оси симметрии SА строим примыкающие друг к другу треугольники – шесть треугольников в одну сторону и шесть в другую. Все треугольники имеют общую вершину S. Каждый из треугольников строится по трем сторонам. Боковые стороны каждого треугольника равны истинным величинам ребер вписанной в конус пирамиды, а основание треугольника равно длине стороны многоугольника, вписанного в круговое основание конуса.

13.2.5. Приближенная развертка поверхности усеченного конуса

Дан усеченный конус с круговым основанием, наклонной осью и плоскостью симметрии Ф||П2 (рис. 13.8, а). Вписываем в конус 8-угольную усеченную пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной S усеченного конуса (рис. 13.8, б). Точную развертку поверхности вписанной усеченной пирамиды будем считать приближенной разверткой усеченного конуса.

142

Размеры боковых ребер пирамиды от вершины S до основания определены способом вспомогательного прямоугольного треугольника (см. рис. 13.8, б). Например, длина ребра S-1 найдена как гипотенуза S210 прямоугольного треугольника S2B210. Катет S2B2 этого треугольника – разность высот концов ребер, одинаковая для всех ребер пирамиды. Другой катет B210 равен длине S111 горизонтальной проекции ребра S-1.

Считая, что пирамида не усечена, построим ее развертку. Развертка каждой грани представляет собой треугольник, боковые стороны которого равны длинам соответствующих ребер неусеченной пирамиды (они определены на рис. 13.8, б), а длина основания равна длине стороны 8-угольника, вписанного в круговое основание конуса. Развертка поверхности неусеченной пирамиды представляет собой 8 примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S (рис. 13.8, в).

Пирамида усечена плоскостью, параллельной ее основанию, поэтому истинная форма каждой грани усеченной пирамиды – трапеция. Развертка поверхности усеченной пирамиды представляет собой примыкающие друг к другу трапеции. Отложим на развертке неусеченной пирамиды истинную длину какого-нибудь ребра усеченной пирамиды (например, длину ребра BC, изображенного на П2 в натуральную величину). Через точку C на развертке проводим отрезок C-4, параллельный отрезку B-3. Затем из точки 4 проводим отрезок 4-5, параллельный отрезку 3-2. Продолжая построение, получаем развертку усеченной пирамиды в виде набора из восьми примыкающих друг к другу трапеций (см. рис. 13.8, в).

Развертки нижнего и верхнего оснований усеченной пирамиды (не показанные на чертеже), имеют форму правильных 8-угольников, вписанных в нижнее и верхнее круговые основания данного усеченного конуса.

143

13.2.6. Приближенная развертка поверхности наклонного цилиндра

Дан наклонный цилиндр с круговым основанием (рис. 13.9, а). Вписываем в цилиндр 8-угольную наклонную призму (рис. 13.9, б). Точную развертку поверхности призмы будем считать приближенной разверткой поверхности наклонного цилиндра.

а) б) в)

Рис. 13.9

Развертку боковой поверхности призмы получают способом нормального сечения, в соответствии с которым боковую поверхность призмы рассекают фронтальнопроецирующей плоскостью Г, перпендикулярной ее боковым ребрам (см. п. 13.1.2). Истинная форма нормального сечения призмы 1424…84 определена способом замены плоскостей проекций. Нормальное сечение 1424…84 “разворачиваем” в прямую 1-2-…- 8-1 и через каждую точку проводим прямую, перпендикулярную линии нормального сечения (рис. 13.9, в). На каждом из построенных перпендикуляров откладываем отрезки боковых ребер, измеренные на П2 до и после нормального сечения. Например, отрезки A-7 и A′-7 на развертке равны отрезкам A272 и A′272 на плоскости П2. Концы отрезков соединяем ломаными линиями. К развертке боковой поверхности призмы добавляем ее основания – два многоугольника (см. рис. 13.9, в).

13.3. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей

Многие сооружения часто ограничены неразвертывающимися поверхностями. Между тем условия их постройки заставляют изготавливать эти поверхности из листового материала. Поэтому составление условных разверток неразвертывающихся поверхностей представляет собой важную техническую задачу. Например, поверхность корпуса морского судна составляется из отсеков криволинейных поверхностей, которые выкраивают из металлических листов, а затем склепывают друг с другом. Образуется кривая (а в сущности – многогранная) поверхность корпуса.

Пусть требуется построить условную развертку некоторой неразвертывающейся поверхности Ф. Разбиваем поверхность Ф на отдельные участки (отсеки). Каждый отсек аппроксимируем (приближенно заменяем) отсеком какой-либо развертывающейся поверхности – многогранником, цилиндром или конусом (в зависимости от формы дан-

144

Урок 7. конус — Геометрия — 11 класс

Геометрия, 11 класс

Урок №7. Конус

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• коническая поверхность, образующая конической поверхности, её вершина, ось;
• конус, основание конуса, вершина конуса, образующие конуса, ось конуса, высота конуса;
• боковая поверхность конуса, полная поверхность конуса;
• сечение конуса и его виды;
• усечённый конус и его элементы.
• площади поверхностей усеченного конуса.

Глоссарий по теме

Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.

Эти прямые – образующие конической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.

Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.

Круг – основание конуса; точка — вершина конуса, отрезки образующих, заключённые между основанием и вершиной – образующие конуса; образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса.

Ось конической поверхности называется осью цилиндра.

Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Развёртка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого — образующая конуса, а длина дуги — длина окружности основания конуса.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные определения

В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.

Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.

Определение

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Определение

Круг называют основанием конуса.

Определение

Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.

Определение

Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Определение

Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.

Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.

Конус можно получить ещё одним способом — вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Тогда этот катет (вокруг которого происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, гипотенуза станет образующей и будет образовывать боковую поверхность, а оставшийся катет образует основание, одновременно являясь его радиусом.

2. Сечения конуса различными плоскостями

1. Пусть секущая плоскость проходит через ось конуса. Такое сечение называют осевым. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие конуса, а его основанием является диаметр основания конуса.

1. Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенном на оси.

Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.

3. Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

4. Усеченный конус

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Определение

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Определение

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Определение

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Определение

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Усечённый конус можно получить ещё одним способом — вращением прямоугольной трапеции вокруг той боковой стороны, которая перпендикулярна основанию.

Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.

5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L

S_{.полн.пов.ук}=π(rL+RL+r²+R²)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.

Решение:

Сделаем чертеж:

S_ABC=6.

Его высота SO является высотой конуса.

S_ABC=SO·OB.

OB — радиус основания.

Его найдем из равенства: S_осн=πR².

8= πR².

R===OB.

Теперь найдем высоту:

6=SO·OB=SO·.

Отсюда: SO=3

Ответ: 3.

2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.

Решение:

Сделаем чертеж:

Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.

Тогда:

AD – высота усеченного конуса, AD=4.

АВ – радиус меньшего основания, AB=4.

DC – радиус большего основания, DC=7.

Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.

Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

S_б.п. =π(4+7)·5=55π.

Площадь боковой поверхности равна 55π.

Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.

Так что площадь этой трапеции равна: S=4(4+7)=44.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.

S_п.п.=55π+16π+49π=120π.

Развертки — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации: Развертки

Сделать все модели к 26 апреля (Четверг)

Изображение слайда

2

Слайд 2: Развертка тетраэдра

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Сторона основания равна 7 см
Сторона основания равна 9 см
Сторона основания равна 5,5 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Сторона основания равна 6 см
Сторона основания равна 4,5 см
Сторона основания равна 9,5 см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Сторона основания равна 8,5см
Сторона основания равна 7,5 см
Сторона основания равна 6,5 см

Изображение слайда

3

Слайд 3: Развертка параллелепипеда

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=5 см, c=7 см
a=5 см, b= 4см, c= 6см
a= 3см, b=5 см, c= 4см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 7см, c= 4см
a= 6см, b= 3см, c= 5см
a= 3см, b= 5см, c= 6см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 4см, b= 5см, c= 6см
a= 7см, b= 4см, c= 4см
a=5 см, b= 4см, c= 7см

Изображение слайда

4

Слайд 4: Развертка параллелепипеда с основанием параллелограмм

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=5 см, c=7 см
a=5 см, b= 4см, c= 6см
a= 3см, b=5 см, c= 4см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 7см, c= 4см
a= 6см, b= 3см, c= 5см
a= 3см, b= 5см, c= 6см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 4см, b= 5см, c= 6см
a= 7см, b= 4см, c= 4см
a=5 см, b= 4см, c= 7см
c
b
a
a
b
c
a

Изображение слайда

5

Слайд 5: Развертка параллелепипеда с основанием параллелограмм

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=5 см, c=7 см
a=5 см, b= 4см, c= 6см
a= 3см, b=5 см, c= 4см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 7см, c= 4см
a= 6см, b= 3см, c= 5см
a= 3см, b= 5см, c= 6см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 4см, b= 5см, c= 6см
a= 7см, b= 4см, c= 4см
a=5 см, b= 4см, c= 7см
a
b
c
b
a
b
c
c

Изображение слайда

6

Слайд 6: Развертка четырехугольной пирамиды

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=5 см, m=7 см
a=5 см, b= 4см, m=8 см
a= 3см, b=5 см, m=6 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 7см, m=6 см
a= 6см, b= 6см, m=7 см
a= 3см, b= 5см, m=8 см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 4см, b= 5см, m=8 см
a= 7см, b=5 см, m=8 см
a=5 см, b= 6см, m= 8см
a
b
m

Изображение слайда

7

Слайд 7: Развертка шестиугольной призмы

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить. a — ребро основания призмы, b – высота призмы.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=7 см
a=5 см, b=8 см
a= 6см, b=6 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 9см
a= 6см, b= 9см
a= 8см, b= 10см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 7см, b=8 см
a= 7см, b= 10см
a= 7см, b= 8см

Изображение слайда

8

Слайд 8: Развертка призмы с основанием трапеция

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить. a — ребро основания призмы, b – высота призмы, h – высота трапеции, с=10см.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=8 см, h=7 см
a=4 см, b=6 см, h=8 см
a= 3см, b=5 см, h=6 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 7см, h=6 см
a= 6см, b=8 см, h=7 см
a= 3см, b= 5см, h=8 см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 4см, b= 5см, h=8 см
a= 7см, b=5 см, h=8 см
a=5 см, b= 6см, h= 8см
c
c
a
h
b

Изображение слайда

9

Слайд 9: Развертка призмы с основанием треугольник

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить. a, b, c — ребр а основания призмы (треугольник), h– высота призмы (сторона пряммоугольника ).
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
а= b= с =5 см, h=8 см
а= b= с =4 см, h=6 см
а= b= с = 3см, h=5 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
h= 5см, а= b =с = 7см
h= 6см, а= b =с =8 см
h= 3см, а= b =с = 5см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a = b= с = 4см, h= 5см
a = b= с = 7см, h=5 см
h=5 см, а= b =с = 6см

Изображение слайда

10

Слайд 10: Развертка шестиугольной пирамиды

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить. a — ребро основания пирамиды, b – боковое ребро пирамиды.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см, b=7 см
a=5 см, b=8 см
a= 6см, b=6 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см, b= 9см
a= 6см, b= 9см
a= 8см, b= 10см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 7см, b=8 см
a= 7см, b= 10см
a= 7см, b= 8см

Изображение слайда

11

Последний слайд презентации: Развертки: Развертка пятиугольной пирамиды

ЗАДАНИЕ
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется  следующая развертка, ее нужно перенести  на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить. a — ребро основания пирамиды, b – боковое ребро пирамиды.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
a=5 см,
b=7 см
a=5 см,
b=8 см
a= 6см,
b=6 см
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
a= 5см,
b= 9см
a= 6см,
b= 9см
a= 8см, b= 10см
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
a= 7см,
b=8 см
a= 7см,
b= 10см
a= 7см,
b= 8см

Изображение слайда

(PDF) Техника быстрой трапеции для плоских многоугольников

hazelle и Incerpi [1] и Fournier и Montuno [2] хорошо обрабатывают

трапеции общих многоугольников. Метод

Фурнье и Монтуно [2] также справляется с отверстиями,

в том смысле, что он может формировать трапецию только внутри петли

(без учета всех отверстий). Однако алгоритм ˇ

Zalik и

Clapworthy [4] является первой из представленных технологий трапеции, которая способна формировать трапецию как петли, так и

отверстий.Алгоритм разбивает многоугольник на трапеции

с по времени, где — общее количество вершин

точек в многоугольнике и отверстиях.

Мы представляем новый алгоритм, который может декомпозировать

полигонов того же типа во времени. Эта эффективность

достигается за счет новой характеристики

и применения нескольких новых методов. Первый — это использование списка редакторов

; Красно-черное дерево, используемое для хранения всех ребер

, которые пересекаются с текущей линией развертки, уменьшая стоимость

основного этапа алгоритма с

до

.Второй — устранение дорогостоящей стадии обработки после

, необходимой в методе Залика

и Клэпворти

, но не обязательной в новом методе. Этап обработки после

в алгоритме Залика и Клэпворти

требует времени.

Рис. 2: Результат применения трапеции к поли-

угольнику.

На рисунке 2 показан результат трапеции на плоском многоугольнике

. Обратите внимание, что треугольник считается вырожденным случаем трапеции

, как и в случае верхней и нижней части

большинства трапеций на Рисунке 2.

Остальная часть статьи организована следующим образом. В Разделе

2 мы обсуждаем некоторые варианты использования трапеции и некоторые популярные методы. В разделе 3 мы предлагаем более подробное объяснение алгоритма Залика

и Clapwor-

th [4]. Наш новый алгоритм трапеции

представлен в разделе 4. Мы выделяем отличия

и улучшения по сравнению с методом Залика и Клэпворси

ˇ

и обсуждаем временные сложности обоих алгоритмов.Наконец, в Разделе 5 мы обсуждаем некоторые будущие направления исследований

.

2 Приложения

Алгоритмы декомпозиции имеют множество разнообразных приложений.

К ним относятся проблемы компьютерной графики, такие как проблемы видимости

и заполнения областей, а также более общие задачи декомпозиции

положения, такие как планирование пути. Для всех алгоритмов декомпозиции

и приложений преимущество трапеции

перед триангуляцией заключается в уменьшенном количестве примитивов

.

Трапеция полезна для видимости и планирования пути

задач, потому что она позволяет разбить сложную сцену на более простые части, а также дает представление о

соседстве между этими частями. Когда у нас есть

частей, становится намного проще обработать всю сцену. Например,

достаточно, учитывая точку на сцене, гораздо проще найти

, в какой ячейке расположена точка, и мы можем использовать информацию о соседстве

, чтобы определить, какие другие ячейки

видны из этой точки. .Следовательно, это обеспечивает метод отсечения окклюзии

. Проделать эту операцию на сцене

в целом намного сложнее.

Заполнение областей — еще одно приложение, в котором используется декомпозиция

. Заполнение областей — обычная проблема в приложениях GIS

для раскрашивания географических карт. В отношении

t мотивация разработки алгоритмов Залика

и

Клэпворти [4] заключалась в том, что для конкретной задачи сопоставления карты

рисование трапеций происходит быстрее, чем рисование треугольников

. .Во многом это связано с уменьшением числа примитивов

.

Для таких приложений, как обзор, невозможность трапеции

зоидальных отверстий не является серьезной проблемой. Напротив, проблема заполнения области

требует, чтобы и отверстия, и петля были смещены по трапеции. Это очевидно, так как отверстия нужно красить,

так же, как красится петля.

Другое применение трапеции, упомянутое из

, особенно интересное для авторов, — это проблема видимости

и ее использование в динамических сценах с трассировкой лучей.Представьте себе декомпозицию

сложной трехмерной сцены на более простые, примитивные

ячейки. Из любой заданной точки сцены можно

очень быстро определить ячейку, содержащую точку, и

видимых ячейки. Следовательно, можно визуализировать только

тех ячеек, которые необходимо визуализировать; эффект представляет собой тип отсечения окклюзии

. Более того, если сцена динамическая,

просто обновить измененные ячейки (если это необходимо), а не

, чтобы заново отрендерить всю сцену.

Точно так же в «проходе» сцены, позиция просмотра

является динамической, но каждая новая позиция находится на небольшом расстоянии

от предыдущей. В этой ситуации ячейки для рендеринга

для каждого кадра во многих случаях изменятся незначительно —

, предоставляя возможность повторно использовать большую часть ранее вычисленной информации

и, следовательно, уменьшить время рендеринга для сцены.

9 типов крыльев самолетов по глубине

За прошедшие годы были опробованы и испытаны бесчисленные конфигурации крыльев.Немногие были успешными. Узнайте о различных типах конфигураций крыльев самолетов и узнайте, чем каждый тип крыла отличается от другого, а также о плюсах и минусах каждого из них.

Крылья самолета представляют собой аэродинамические поверхности, которые создают подъемную силу при быстром движении по воздуху. Конструкторы самолетов создали множество крыльев с разными аэродинамическими характеристиками. Эти крылья прикреплены к корпусу самолета под разными углами и имеют разную форму.

Если вы увлекаетесь самолетами или хотите узнать, как летают самолеты, вы можете узнать о различных типах крыльев или пропеллеров самолетов, используемых в самолетах.Итак, чтобы помочь вам, мы собираемся обсудить некоторые конфигурации крыла, структуру крыла и некоторые распространенные типы крыльев самолетов.

Конфигурации крыла

Конфигурация крыла

различается для обеспечения различных летных характеристик. Количество подъемной силы, создаваемой самолетом, управление на разных рабочих скоростях, устойчивость и баланс — все это изменяется по мере изменения формы крыла самолета.

Как задняя кромка, так и передняя кромка крыла самолета могут быть изогнутыми или прямыми, либо одна кромка может быть изогнутой, а другая — прямой.Один или оба края крыла самолета могут быть скошенными, чтобы сделать его более узким на вершине. Кончик крыла может быть заостренным, закругленным или квадратным.

Крылья самолета могут быть прикреплены к нижней части фюзеляжа, в средней части фюзеляжа или вверху. Они могут проходить перпендикулярно горизонтальной плоскости фюзеляжа или могут слегка наклоняться вниз или вверх. Этот угол называется двугранным углом крыла и влияет на поперечную устойчивость самолета.

Редакция

Структура крыла

Крылья самолета поднимают его в воздух.Конкретная конструкция крыльев для любого самолета зависит от нескольких факторов, включая желаемую скорость при взлете, посадке и в полете, желаемую скорость набора высоты, использование самолета, а также размер и вес самолета.

Крылья самолетов часто бывают полностью свободнонесущими. Это означает, что они построены таким образом, что не требуют каких-либо внешних распорок. Внутри они поддерживаются конструктивными элементами и обшивкой самолета.

В крыльях некоторых самолетов внешние тросы или стойки используются для поддержки крыла и несения посадочных и аэродинамических нагрузок.Стойки опоры крыла и тросы в основном изготавливаются из стали.

Короткие, почти вертикальные опоры, называемые распорками жюри, часто встречаются на распорках, которые прикрепляются к крыльям самолета на значительном расстоянии от фюзеляжа самолета. Они подавляют колебания и движения стойки, вызванные воздухом, который обтекает стойку во время полета.

Редакционная группа Иногда крылья самолетов получают в результате изучения форм крыльев птиц.

Крылья в основном изготавливаются из алюминия, но они также могут быть изготовлены из дерева, покрытого тканью.Крылья некоторых самолетов изготавливаются из магниевого сплава. В современных самолетах более прочные и легкие материалы используются в конструкции крыла и во всем корпусе.

Также существуют крылья из углеродного волокна, а также крылья самолетов, которые сделаны с использованием комбинации материалов для обеспечения максимальной прочности.

Внутренние конструкции крыльев самолетов обычно состоят из стрингеров и лонжеронов, идущих по размаху, и шпангоутов или переборок и нервюр, идущих по хорде — от передней кромки к задней кромке.

Лонжероны являются важными конструктивными элементами крыльев самолета. Они поддерживают распределенные нагрузки и сосредоточенные веса, такие как шасси, двигатели и фюзеляж.

Кожа несет часть нагрузки, возникающей во время полета. Он также отвечает за передачу напряжения на нервюры крыла.

Типы крыльев самолетов

1. Прямоугольное крыло

Прямоугольное крыло — самое простое в изготовлении. Это неконусное прямое крыло, которое в основном используется в небольших самолетах.Это крыло выступает из фюзеляжа самолета под прямым углом (приблизительно).

Хорошим примером самолета с прямоугольным крылом является Piper PA 38. Одним из основных недостатков прямоугольного крыла является его неэффективность с точки зрения аэродинамики.

2. Эллиптическое крыло

Эллиптическое крыло является наиболее эффективным с точки зрения аэродинамики, поскольку эллиптическое распределение подъемной силы по размаху обеспечивает минимально возможное сопротивление. Однако технологичность крыла этого самолета оставляет желать лучшего.Один из самых известных самолетов с эллиптическим крылом — Supermarine Spitfire, правивший в небе во время битвы за Британию.

Эллиптическое крыло изначально не проектировалось для минимизации индукции лобового сопротивления, а скорее предназначалось для размещения шасси вместе с боеприпасами и пушками внутри крыла. Значит, крыло должно было быть тонким.

Форма эллипса позволяла сделать крыло максимально тонким, давая место внутри для необходимых вещей.В самолетах, подобных Северскому Р-35, мы видим полуэллиптическое крыло с эллиптической задней или передней кромкой.

3. Коническое крыло

North American Aviation P-51 Mustang

Коническое крыло было разработано путем модификации прямоугольного крыла. Хорда крыла варьируется по размаху для приблизительного эллиптического распределения подъемной силы.

Хотя оно не так эффективно, как стандартное эллиптическое крыло, оно предлагает компромисс между эффективностью и технологичностью.

P-51 Mustang, который использовался ВВС США для борьбы с Люфтваффе, использовал коническое крыло.

4. Крыло Delta

Редакция Dassault Mirage 2000

Это крыло с низким удлинением используется в сверхзвуковых самолетах. Основное преимущество треугольного крыла — работоспособность во всех режимах (сверхзвуковых, дозвуковых и околозвуковых). Кроме того, этот тип крыла имеет большую площадь формы, что улучшает маневренность и снижает нагрузку на крыло.

треугольное крыло не только обеспечивает эффективный полет, но также имеет прочную конструкцию и обеспечивает большой объем для хранения топлива. Это крыло также просто в изготовлении и обслуживании.

Однако, как и у любого другого типа крыла самолета, треугольное крыло также имеет некоторые недостатки. К основным недостаткам крыла данного самолета можно отнести:

• Из-за малого удлинения треугольные крылья обладают большим сопротивлением.
• На низкой скорости — во время посадки и взлета — эти крылья имеют большой угол атаки, главным образом потому, что на таких низких скоростях подъемную силу создают вихри.Это компенсируют большие углы сваливания треугольных крыльев.

Dassault Mirage 2000 является ярким примером самолета, в котором используются треугольные крылья без хвоста. Некоторые самолеты используют треугольное крыло, и один из самых известных из них — российский МиГ-21.

Редакция Eurofighter Typhoon T1

Другой вариант треугольного крыла — это обрезанная дельта, которую можно увидеть на Eurofighter Typhoon T1. У этого варианта обрезаны наконечники для уменьшения лобового сопротивления на малых скоростях.

Другой вариант треугольного крыла, широко применяемый в боевых самолетах, — это двойное треугольное крыло. Угол переднего края двойных данных не постоянный, но имеет два значения. Легкий боевой самолет Индии, известный как «Теджас», использует двойное информационное крыло.

5. Трапециевидное крыло

Редакционная группа Lockheed Martin F 22A Raptor

Трапециевидная конструкция крыла обеспечивает выдающиеся летные характеристики. Задняя кромка крыла движется вперед, а передняя — назад.Этот тип крыла обычно используется в боевых самолетах США.

Эта конфигурация обеспечивает высокоэффективные сверхзвуковые полеты и обладает хорошими характеристиками малозаметности. Проблема только в том, что нагрузка на крыло велика, что снижает маневренность. Трапециевидное крыло используется в знаменитом реактивном истребителе F-22 Raptor.

6. Крыло Огива

Редакционная группа Aerospatiale BAC Concorde

Конструкция оживляющего крыла используется в очень быстроходных самолетах. Сложная математическая форма крыла этого самолета позволяет минимизировать сопротивление на сверхзвуковых скоростях.Крылья Ogive обеспечивают отличные характеристики на сверхзвуковых скоростях с минимальным сопротивлением.

Главный недостаток крыльев этих типов самолетов состоит в том, что они очень сложны и их сложно изготовить. Более того, их дозвуковые характеристики неудовлетворительны по сравнению с ними. Вышедший на пенсию Aerospatiale-BAC Concorde использовал оживляющие крылья.

7. Стреловидные крылья

Редакционная группа Boeing 787-9 Dreamliner — Steve Lynes

Крылья самолета, передние кромки которых стреловидны, называются крыльями со стреловидными назад.Стреловидные крылья уменьшают лобовое сопротивление при полете самолета на околозвуковой скорости.

Большинство высокоскоростных коммерческих самолетов имеют стреловидное крыло. Boeing 787 Dreamliner — один из многих примеров, в которых используются стреловидные крылья.

8. Крылья прямой стреловидности

Редакция Сухой СУ-47 Беркут

Крылья самолета со стреловидными вперед кромками называются стреловидными вперед крыльями. Одним из недостатков этого типа конфигурации является то, что из-за характеристик потока крыльев подвесные крылья сваливаются раньше закрылков.Это может вызвать проблемы с управляемостью. Таким образом, стреловидные передние крылья использовались только на очень немногих самолетах, таких как Grumman X-29 Switch Blade.

Основная проблема, которая делала этот тип конфигурации крыла непригодной, заключалась в том, что он приводил к скручиванию крыла при его изгибе под нагрузкой, создавая большую нагрузку на корни крыла. Су-47 «Беркут» — один из немногих самолетов, использовавших это крыло.

9. Крылья изменяемой стреловидности

Редакция General Dynamics F-111 Aardvark

Стреловидные крылья в основном подходят для высоких скоростей, таких как сверхзвуковые и околозвуковые, в то время как крылья без стреловидности лучше всего подходят для низких скоростей i.е. дозвуковой. Крылья с изменяемой стреловидностью были разработаны для оптимизации полета в широком диапазоне скоростей.

Механическая сложность — основная проблема этого крыла самолета. General Dynamics F-11 Aardvark — первый самолет с крылом изменяемой стреловидности.

Надеюсь, вам понравилась эта коллекция типов крыльев самолетов. Я что-нибудь пропустил? Есть неверная информация? Дай мне знать в комментариях!

Похожие сообщения

побед Аллена, сегодня стремление к победе, обзор игры, основные моменты видео, тренерский угол, предварительный просмотр, правило трапеции, лучшие голы на выбывание и многое другое

После победы в серии буллитов 3: 2 над «Уичито» в пятницу вечером «Аллен» завершила решающую победу над «Громом» 4: 1 вчера вечером.Отличная командная защита, отличный голкипер Фрэнка Маротта, начинавшего свою первую игру с 23 апреля, и возрождение равных силовых целей были ключами к победе. Команды сыграют третью игру этой серии сегодня днем ​​(14:05), и у Аллена есть шанс практически нивелировать процентное преимущество Уичито в этой серии, если американцы выиграют в основное время. Это очень важно, если учесть, что Уичито проиграл три игры подряд только один раз за весь сезон. Американцам потребуются огромные усилия, но если им удастся одержать победу по правилам сегодня днем, их процентное соотношение очков увеличится до.6454 и Уичито упадут до 0,6465.

— Игра прошлой ночью началась так же, как в пятницу вечером, с перевернутым сценарием. В отличие от вечера пятницы, Аллен забил первый гол в игре раньше (2:33), забив третий гол Мэтта Регистра в сезоне. Гром ответил позже во время игры в большинстве, как и Аллен в пятницу. Команды вышли в первый перерыв со счетом 1: 1, как и в пятницу.

— Сравнение с пятницей закончилось во втором периоде, когда Аллен забил два быстрых гола.Бретт Нойман забил свой третий гол в сезоне, который стал его вторым победным голом за последние три игры. Спустя всего 71 секунду Лес Ланкастер забил свой 16-й гол в сезоне, сделав счет 3: 1, который американцы повели во втором перерыве. С преимуществом во втором периоде Аллен практически не побит с рекордом 23-1-1-0, что и подтвердилось прошлой ночью. Аллен увеличил его лидерство в третьем периоде, когда Мэтт Регистр забил свой второй гол в игре и четвертый в сезоне, сделав окончательный счет 4-1.

— Вот резюме игры от Allen Americans, которое включает в себя эту цитату из Леса Ланкастера: «Мы набросились на них рано и заставили их играть в нашу игру. Мы сыграли одну из наших лучших игр сезона. Нам нужна одна. больше похоже на то, что завтра днем ​​». https://allenamericans.com/media/game-recap/americans-impressive-in-4-1-win-over-thunder/

— Вот основные видео с YouTube-канала Allen Americans:

— Прошлой ночью защитники забили три из четырех голов Аллена.Динамичный дуэт Мэтта Регистра (трехкратного защитника года ECHL) и Леса Ланкастера (фаворита защитника года ECHL 2021 года) продолжает показывать невероятные цифры. У Ланкастера 42 очка (16G, 26A), и теперь он делит лидерство по очкам с Кори Макином. 16 голов Леса на пять больше, чем у любого другого защитника, а его 42 очка опережают всех защитников ECHL. Реестр отстает всего на одно очко от Ланкастера с 41, но с другим сочетанием голов и передач (4G, 37A). Мэтт занимает 3-е место в команде и 2-е место среди защитников ECHL.Реестр лидирует среди всех защитников ECHL по результативным передачам (37) и очкам за игру (0,80).

— Ланкастер и Регистр набрали в сумме 83 балла. Следующий по величине дуэт защитников ECHL находится в Канзас-Сити и набрал 54 очка.

— Спенсер Асучак вчера вечером ассистировал и набрал пять очков (3G, 2A) в последних трех играх. Последние несколько недель Асучак забивал голы. Спенсер забил семь голов в своих первых 33 матчах в этом сезоне.На его счету девять голов в последних 13 играх. Асучак занимает второе место в команде с 16 голами.

ТРЕНЕРСКИЙ УГОЛОК

«Мы снова играем в хорошей командной защите, и наступление улучшается. Мы не бьем себя в защите, но по-прежнему остаемся агрессивными».

«Мы провели в Уичито 23 выстрела в пятницу и 22 выстрела вчера вечером, что является хорошим достижением».

«Я думаю, что команда сделала большой шаг к тому, чтобы сплотиться как команда, как они отреагировали после первого периода в пятницу.«

» Я был разочарован, когда капитан «Уичито» Райан Уайт, ветеран НХЛ, не был дисквалифицирован после игры в пятницу, когда он прыгнул на Зейна Франклина, новичка, который стоял с клюшкой. В прошлом у нас были игроки, отстраненные из-за того, что они меньше играли. Вы теряете уважение, когда ветеран с резюме белых прыгает на игрока, вместо того, чтобы сражаться и сражаться ».

« Мы сделали все правильно с одним голом, который забил Уичито. Иногда команда играет хорошо, и именно это и происходит при игре в большинстве.Ребята были в правильной позиции, у нас было две клюшки на проходной дорожке, и передача была достигнута, чтобы установить цель с одним таймером ».

« У Мэтта Регистра лучшая клюшка в ECHL, когда он бросает вызов игрокам за шайбу ».

«Мы принимаем слишком много неверных решений в отношении нашей игры в большинстве. Ключевым моментом является то, как мы реагируем на то, что делают штрафные убийцы, когда нас настраивают. У нас не было много времени на тренировку, чтобы поработать в большинстве.

«Сегодня днем ​​Джейк Патерсон получит старт в воротах.»

» Кори Макин допущен к участию и будет в составе сегодня днем. «

» Я так понимаю, Джастин Каплмастер будет играть сегодня за Кливленд, когда они сыграют в Texas Stars. «

» Причина, по которой Iowa Wild недавно получил вратаря из Форт-Уэйна, а не Аллена из-за протокола COVID. The Wild нужно было найти вратаря, который был бы достаточно близко, чтобы соответствовать протоколу. По той же причине, по которой Кливленд попросил Аллена вратаря, они могли поехать в Остин, где Кливленд провел три игры в эти выходные.У них не было времени прилететь вратаря и заставить его соответствовать протоколу COVID.

ИГРА ТРЕТЬЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР

— И снова ключ к игре сегодня днем ​​более похож. Вчера вечером Аллен забил первым, удержал Уичито до 22 бросков и забил четыре гола с равными силами. До вчерашнего вечера американцы не забивали четыре равных по силе гола за матч больше месяца.

— Единственная область, которая требует улучшения, — это игра в большинстве. Это непросто, потому что в Уичито лучший отряд убийств со штрафом в ECHL (88.9%). За последние пять игр против Уичито, начиная с начала февраля, Аллен показывает лишь 1-17 (5,9%) в игре в большинстве. Уичито имеет 5-18 (27,8%) в большинстве последних пяти игр против Аллена. Если американцы могут выиграть битву специальных команд сегодня днем, они должны выиграть игру так, как они играют.

— Судья будет тем же (№32 Кайл Лекун), что и в первых двух играх, поэтому игроки должны привыкнуть к тому, как он называет игру.

ДРУГИЕ КОММЕНТАРИИ

— Имел просьбу объяснить пенальти Вратарь Аллена, Франк Маротт, получил пенальти в начале второго периода за задержку игры за игру шайбой в ограниченной зоне.Вот официальный язык из свода правил ECHL, Правило 63.2:

«Вратарь не должен играть шайбой за пределами обозначенной зоны за сеткой. Если вратарь играет шайбой за пределами обозначенной зоны за линией ворот, несовершеннолетний Должен быть наложен штраф за задержку игры. Определяющим фактором должно быть положение шайбы. Малый штраф не будет налагаться, если вратарь играет шайбой, сохраняя контакт конька со своей площадью ворот ».

— Вот статья, которая объясняет правило трапеции (с изображениями) и рассказывает о том, когда и почему это правило было введено в действие.Хорошее прочтение: https://hockeyanseled.com/what-is-the-trapezoid-in-hockey-with-pictures/

— Три из четырех лучших команд ECHL по проценту очков происходят из западных стран. Конференция. Это единственные команды с процентом очков выше 600.

.686 — Форт-Уэйн

.658 — Уичито

.651 — Флорида

.639 — Аллен

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ: Насколько хорош Джейк Патерсон в перестрелках? Он идеален и лучший в ECHL.

Вратари ECHL лучше всех прерывают попытки буллитов в этом сезоне (минимум четыре попытки):

100% (10 из 10) — Джейк Патерсон, Аллен

100% (4 из 4) — Роман Дурни, Талса

91,7% (11 из 12) — Алекс Дубо, Южная Каролина

88,9% (8 из 9) — Гаррет Спаркс, Орландо

85,7% (6 из 7) — Кевин Карр, Юта

%! PS-Adobe-2.0
%% Создатель: dvips (k) 5.86 Copyright 1999 Radical Eye Software
%% Название: lecture18.dvi
%% Страниц: 6
%% PageOrder: Ascend
%% BoundingBox: 0 0 612 792
%% DocumentPaperSizes: Letter
%% EndComments
% DVIPSWebPage: (www.radicaleye.com)
% DVIPSCommandLine: dvips lecture18.dvi -o lecture18.ps
% DVIPS Параметры: dpi = 600
% DVIPS Источник: вывод TeX 2003.11.18: 1005
%% BeginProcSet: tex.pro
%!
/ TeXDict 300 dict def Начало TeXDict / N {def} def / B {привязка def} N / S {exch} N / X {S
N} B / A {dup} B / TR {translate} N / isls false N / vsize 11 72 mul N / hsize 8,5 72
mul N / landplus90 {false} def / @ rigin {isls {[0 landplus90 {1 -1} {- 1 1} ifelse 0
0 0] concat} if 72 Resolution div 72 VResolution div neg scale isls {
landplus90 {VResolution 72 div vsize mul 0 exch} {Разрешение -72 div hsize
mul 0} ifelse TR}, если разрешение VResolution vsize -72 div 1 add mul TR [
матрица currentmatrix {A Раунд суб абс 0.00001 lt {round} if} на весь раунд
exch round exch] setmatrix} N / @ landscape {/ isls true N} B / @ manualfeed {
statusdict / manualfeed true put} B / @ копий {/ # копий X} B / FMat [1 0 0 -1 0 0]
N / FBB [0 0 0 0] N / nn 0 N / IEn 0 N / ctr 0 N / df-tail {/ nn 8 dict N nn begin
/ FontType 3 N / FontMatrix fntrx N / FontBBox FBB N строка / базовый массив X
/ BitMaps X / BuildChar {CharBuilder} N / Кодирование IEn N конец A {/ foo setfont} 2
array copy cvx N load 0 nn put / ctr 0 N [} B / sf 0 N / df {/ sf 1 N / fntrx FMat N
df-tail} B / dfs {div / sf X / fntrx [sf 0 0 sf neg 0 0] N df-tail} B / E {pop nn A
definefont setfont} B / Cw {Cd A length 5 sub get} B / Ch {Cd A length 4 sub get
} B / Cx {128 Cd Субъект длиной 3, получить суб} B / Cy {Cd, субподряд длиной 2, получить 127 суб}
B / Cdx {Cd A length 1 sub get} B / Ci {Cd A type / stringtype ne {ctr get / ctr ctr
1 добавить N} if} B / CharBuilder {сохранить 3 1 ролл S A / base получить 2 индекса получить S
/ BitMaps get S get / Cd X pop / ctr 0 N Cdx 0 Cx Cy Ch sub Cx Cw add Cy
setcachedevice Cw Ch true [1 0 0 -1 -.1 Cx sub Cy .1 sub] {Ci} маска изображения
restore} B / D {/ cc X Тип / строка типа ne {]} если nn / base получить cc ctr put nn
/ BitMaps получить S ctr S sf 1 ne {A A length 1 sub A 2 index S get sf div put
} if put / ctr ctr 1 add N} B / I {cc 1 add D} B / bop {userdict / bop-hook known {
bop-hook} if / SI save N @rigin 0 0 moveto / V матрица currentmatrix A 1 получить A
mul exch 0 get A mul add .99 lt {/ QV} {/ RV} ifelse load def pop pop} N / eop {
SI восстановить userdict / eop-hook известно {eop-hook} if showpage} N / @ start {
userdict / start-hook известно {start-hook} if pop / VResolution X / Resolution X
1000 div / DVImag X / IEn 256 массив N 2 строка 0 1 255 {IEn S A 360 добавить 36 4
index cvrs cvn put} для pop 65781.76 дел / размер X 65781,76 дел / размер X} N
/ p {show} N / RMat [1 0 0 -1 0 0] N / BDot 260 string N / Rx 0 N / Ry 0 N / V {} B / RV / v {
/ Ry X / Rx X V} B statusdict begin / product where {pop false [(Display) (NeXT)
(LaserWriter 16/600)] {A length product length le {A length product exch 0
exch getinterval eq {pop true exit} if} {pop} ifelse} forall} {false} ifelse
end {{gsave TR -.1 .1 TR 1 1 масштаб Rx Ry false RMat {BDot} маска изображения
grestore}} {{gsave TR -.1 .1 TR Rx Ry scale 1 1 false RMat {BDot}
imagemask grestore}} ifelse B / QV {gsave newpath transform round exch round
обменять его преобразовать переместить в Rx 0 rlinto 0 Ry neg rlineto Rx neg 0 rlineto
заполнить grestore} B / a {moveto} B / delta 0 N / tail {A / delta X 0 rmoveto} B / M {S p
delta add tail} B / b {S p tail} B / c {-4 M} B / d {-3 M} B / e {-2 M} B / f {-1 M} B / g {0 M }
B / h {1 M} B / i {2 M} B / j {3 M} B / k {4 M} B / w {0 rmoveto} B / l {p -4 w} B / m {p — 3 w} B / n {
p -2 w} B / o {p -1 w} B / q {p 1 w} B / r {p 2 w} B / s {p 3 w} B / t {p 4 w} B / x { 0 ю.ш.
rmoveto} B / y {3 2 roll p a} B / bos {/ SS save N} B / eos {SS restore} B end

%% EndProcSet
Начало TeXDict 40258431 52099146 1000600600 (lecture18.dvi)
@Начните
% DVIPSBitmapFont: Fa cmmi5 5 1
/ Fa 1 106 df
105 D E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fb cmsy10 10 7
/ Fb 7 107 df0 DI20 D50 D102
DI106
D E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fc cmsy7 7 4
/ Fc 4 104 df14 D50 D102
УМЕРЕТЬ
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fd cmex10 10 6
/ Fd 6 89 df0 DI16 DI80 D88
D E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fe cmmi7 7 6
/ Fe 6116 df70 D83 D102 D105
D110
D115 D E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Ff cmr7 7 14
/ Ff 14119 df40 DI49 DI61
D97 D99
DIII114 DII118 D E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fg cmsl10 10 13
/ Fg 13118 df47 DIIII56 D58 D76
D99 D101 D114 D116 DI E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fh cmti10 10 9
/ Fh 9117 df97 D101 D103
D105
D108 DII115
УМЕРЕТЬ
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fi cmmi10 10 18
/ Fi 18 122 df58
DI
61 DI70
D79 D83 D96 D100 D102 D105 D107
D110 D112 D115 D118 D120 DI
E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fj cmbx12 12 38
/ Fj 38122 df12
D45 DI49 DIIIII56 D65 D67 DI76 DII80
DII84 D97
D99 DIIII105
D108
DIII114 DIIII120 DI
E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fk cmbx12 14.4 24
/ Fk 24 123 df46
D49 DI56 D68 D81 DI84 D97
D99 DII103 D105
D108 DIIII114 DIII122 D E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fl cmr10 10 68
/ Fl 68 123 df11
DI
34 D39 DII43 DIIIIIIIIIII56 D58 DI61 D65 DIIIIIIII75 DI78 DI82
DII87 D91 DII97
DIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIII E
% EndDVIPSBitmapFont
% DVIPSBitmapFont: Fm cmbx10 10 27
/ FM 27123 df46 D52 DII56 D65 D97 D99
DII103 DII108 DIIIIIIII
II120
DII E
% EndDVIPSBitmapFont
конец
%% EndProlog
%% BeginSetup
%% Особенность: * Разрешение 600 точек на дюйм
Начало TeXDict
%% PaperSize: Letter

%% EndSetup
%% Стр .: 1 1
1 0 bop 150 342 3657 4 v 150 736 4 394 v 1399 424 a Fm (6.854) 31
b (Adv) -5 b (anced) 33 b (Алгоритмы) 178571 y Fl (Лекция) 27
b (18:) 36 b (11/12/2003) 1326 b (Лектор:) 36 b (Эрик) 27 b (Demaine,) g (Da) n
(vid) h (Karger) 1595 671 y (Scrib) r (es:) 37 b (Nic) n (k) 27
b (Harv) n (ey) p 3803736 В 150739 3657 4 v 150 1217 a
Fk (18.1) 136 b (T) -11 b (rap) t (эзоидальный) 45 b (Decomp) t (ositions) 150
1470 y Fl (In) 20 b (the) g (предыдущий) f (лекция) h (w) n (e) f (обсуждалось) h
Fm (рандомизированный) i (приращение) m (tal) f (конструкция) p Fl (,) h (a) e (общий) f
(tec) n (hnique) 150 1569 y (подержанный) 27 b (in) g (расчетный) g (геометрия) e
(алгоритмы.) 36 b (In) 27 b (this) g (лекция) g (w) n (e) g (будет) g (см.) G (this) g
(tec) n (hnique) g (использовано) g (снова) f (in) 150 1669 y (an) h (алгоритм) g (for) g
(\ 014nding) i Fm (ловушка) s (эзоидальная) j (декомпрессионная) s (позиционная) p
Fl (.) 150 1972 г Fj (18.1.1) 113 b (Motiv) -6 b (ation) 150
2196 y Fl (рассмотреть) 27 b (the) h Fm (линия) i (сегмент) m (t) g (дюйм) m (пересечение) d
Fl (проблема:) 358 2433 y (Giv) n (en) g Fi (n) g Fl (line) h (segmen) n (ts) f (in) h
(the) g (плоскость,) f (список) h (все) g (of) f (их) h (in) n (пересечения) 150
2670 y (In) j (the) f (предыдущий) g (лекция) g (w) n (e) g (sa) n (w) f (a) h (line-sw) n
(eep) g (алгоритм) f (to) h (решение) n (e) f (this) i (проблема) f (in) g
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) 14 b Fl (log) h Fi (n) 20 b Fl (+) g Fi (k) d
Fl (log) d Fi (n) p Fl (\)) 150 2770 y (время) 38 b (если) h (есть) e (are) g
Fi (k) k Fl (дюйм) n (пересечения.) 67 b (W) -7 b (e) 38 b (будет) g (sho) n (w) f (то) h
(ловушка) r (эзоидальный) f (разложение) r (позиции) g (can) g (b) r (e) h (б / у) g (to) 150
2869 y (определить) 28 b (the) g (дюйм) n (пересечение) e (p) r (oin) n (ts) i (дюйм) g (exp) r
(ected) g (время) g Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) 14 b Fl (log) h Fi (n) j
Fl (+) g Fi (k) s Fl (\).) 150 3040 y (Далее) 28 b (рассмотрим) f (the) h
Fm (p) s (oin) m (t) j (lo) s (катион) c Fl (проблема:) 358 3277 y (Giv) n (en) f (a) h
(запрос) f (p) r (oin) n (t) h (и) g (sub) r (деление) f (of) h (the) h (плоскость) e
(de \ 014ned) h (b) n (y) g Fh (строка) j (se) l (gments) p Fl (,) c (\ 014nd) i (the) f
(лицо) 358 3376 y (con) n (taining) f (the) i (query) f (p) r (oin) n (t.) 150
3613 y (A) e (подробнее) e (неформальный) h (описание) g (of) g (the) h (проблема) f (is,) h
(giv) n (en) e (a) h (карта) h (и) f (a) g (запрос) f (p) r (oin) n (t,) j (\ 014nd) f (the) f
(регион) f (of) i (the) 150 3713 y (map) 31 b (con) n (taining) f (the) i (запрос) e (p)
r (oin) n (t.) 48 b (Примечание) 31 b (что) g (the) h (presen) n (t) e (проблема) h
(di \ 013ers) g (от) g (the) g (проблема) g (of) g (p) r (oin) n (t) 150
3813 y (lo) r (катион) 23 b (дюйм) h (an) f (расположение) n (t) f (of) i
Fi (n) f Fh (строки) p Fl (,) i (whic) n (h) f (w) n (e) f (sa) n (w) g (in) h (the) g (последний) ж
(лекция.) 36 b (In) 24 b (факт,) g (w) n (e) g (ha) n (v) n (e) e (уже) g (видел) 150
3912 y (a) 31 b (раствор) g (to) g (the) g (line) h (segmen) n (t) f (v) -5
b (arian) n (t) 30 b (of) h (the) h (проблема) f (as) f (w) n (ell,) i (на основе) f (on) g (p) r
(ersisten) n (t) g (данные) g (структуры.) 150 4012 г (ш) -7 б (д) 28
b (will) g (sho) n (w) f (that) g (trap) r (ezoidal) g (decomp) r (ositions) g (can) g
(также) f (b) r (e) i (использовано) g (to) f (решение) n (e) g (this) h (проблема). 150
4315 y Fj (18.1.2) 113 b (De \ 014nition) 36 b (and) i (Предварительные условия) 150
4539 y Fl (Supp) r (ose) c (w) n (e) f (ha) n (v) n (e) f (a) h (набор) g (of) h
Fi (n) f Fl (линия) h (сегмен) n (ts) f (дюйм) g (the) h (плоскость) 55 b (W) -7
b (e) 33 b (ma) n (y) g (предположим) g (что) h (the) g (p) r (oin) n (ts) f (de \ 014ning) 150
4639 y (the) 38 b (line) g (segmen) n (ts) f (are) f (in) i (general) e (p) r (osition,)
k (так) d (что) h (нет) g (строка) f (сегмен) n (t) g (is) h (v) n (ertical.) 66
b (The) 37 b (endp) r (oin) n (ts) h (of) 150 4738 y (line) 30 b (segmen) n (ts) g (и)
g (in) n (пересечение) f (p) r (oin) n (ts) h (of) g (line) h (segmen) n (ts) e (are) g
(называется) h Fm (v) m (ertices) p Fl (.) 45 b (F) -7 b (rom) 30 b (eac) n (h) f (v) n
(ertex) g (dra) n (w) 150 4838 y (v) n (ertical) 24 b (строки) h (\ (называется) g
Fm (расширения) p Fl (\)) f (вверх) n (w) n (ard) f (и) i (do) n (wn) n (w) n (ard) e (un) n
(til) i (они) h (встречаются) f (другой) f (линия) 36 b (The) 25 b (p) r (oin) n (t) g (at) 150
4938 y (whic) n (h) j (an) f (продолжение) g (встречает) h (другой) e (линия) i (is) g (также) e
(называется) h (a) h (v) n (ertex.) 1874 5527 г (18-1) р еоп
%% Стр .: 2 2
2 1 bop 150 40 a Fg (Лекция) 27 b (18:) 36 b (12.11.2003) 2584
b Fl (18-2) 150 330 y (The) 27 b (линия) f (сегмен) n (ts) g (и) g (расширения) g
(перегородка) g (the) h (плоскость) f (in) n (to) g (области) f (что) i (are) e (ловушка) r
(эзоиды) h (и) g (треугольники,) 150 430 y (whic) n (h) 31 b (ma) n (y) g (b) r (e) h
(рассматривается) d (как) i (вырожденный) f (ловушка) r (эзоиды.) 48 b (Th) n (us) 31
b (w) n (e) g (ha) n (v) n (e) f (a) h (\\ trap) r (ezoidal) f (decomp) r (положение «) g (of)
150 529 y (the) f (самолет.) 39 b (T) -7 b (o) 28 b (a) n (v) n (oid) f (дело) h (с)
h (in \ 014nite) h (ловушка) r (ezoids,) d (w) n (e) i (ma) n (y) e (предположим) h (что) h (все) f
(исходный) f (строка) i (сегмен) n (ts) 150 629 y (are) i (con) n (tained) g (in) h (a) f
(большой) g (прямоугольный) f (b) r (обводка) h (b) r (o) n (x;) j (удлинение) d (остановка) h
(когда) f (они) h (встречаются) h (это) f (b) r (o) n (x.) 49 б (ш) -7 б (д) 150
729 y (de \ 014ne) 28 b (an) f Fm (край) g Fl (to) h (b) r (e) g (a) f (сечение) g (of) h
(a) f (строка) h (segmen) n (t) f (или) f (an) i (расширение) f (b) r (et) n (w) n (een) g (t) n
(w) n (o) g (следствие) n (e) g (v) n (ertices.) 150 899 y (Eac) n (h) 36
b (endp) r (oin) n (t) h (and) h (in) n (пересечение) e (p) r (oin) n (t) h (создает) f
(точно) h (t) n (w) n (o) f (новый) h (v) n (ertices) g (когда) g (его) g (расширения) g
(встретить) 150 999 y (другой) 29 b (строка) h (\ (или) f (the) i (b) r (раунд) f (b) r (o) n
(x \).) 44 b (Th) n (us) 29 b (the) i (всего) e (n) n (um) n (b) r (er) h (of) g (v) n
(ertices) f (is) g Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) 21 b Fl (+) f Fi (k) s
Fl (\),) 31 b (где) e Fi (k) k Fl (is) d (the) 150 1098 y (n) n (um) n (b) r (er) c (of)
g (дюйм) n (пересечение) g (p) r (oin) n (ts.) 36 b (The) 26 b (v) n (ertices) f (of) h
(наибольший) f (степень) g (are) h (the) g (in) n (пересечение) g (p) r (oin) n (ts,) g (whic)
n (h) g (ha) n (v) n (e) 150 1198 y (степень) 35 b (шесть.) 61 b ​​(\ (Eac) n (h) 34
b (линия) i (сегмен) n (t) f (через) g (an) h (дюйм) n (пересечение) f (p) r (oin) n (t) h
(giv) n (es) e (t) n (w) n (o) h (inciden) n (t) h (края,) h (и) f (eac) n (h) 150
1298 y (расширение) f (giv) n (es) g (one) g (край \).) 61 b ​​(The) 35
b (всего) h (n) n (um) n (b) r (er) f (of) h (ребра) f (is) g (at) h (большинство) f (the) h (сумма) g
(of) g (the) g (v) n (ertex) e (степени,) 150 1397 y (whic) n (h) c (is) h
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) 21 b Fl (+) f Fi (k) s Fl (\).) 91 б (В) 30
b (n) n (um) n (b) r (er) g (of) h (лица) e (is) i (также) e (at) h (большая часть) h (the) f (сумма) h
(of) f (the) h (v) n (ertex) f (степени.) 44 b (Th) n (us) 30 b (the) 150
1497 y (n) n (um) n (b) r (er) d (of) h (лица) f (is) g Fi (O) r Fl (\ () p
Fi (n) 20 b Fl (+) e Fi (k) s Fl (\).) 150 1667 y (Наша) 32 b (цель) f (is) i (to) g
(основной) n (tain) f (a) g (данные) g (структура) h (представить) n (ting) e (the) i (trap) r
(эзоидальный) e (разложение) r (положение) 52 b (W) -7 b (e) 33 b (использование) g (the) 150
1767 y (так называемый) 27 b (\\ clo) r (c) n (kwise) g (p) r (oin) n (ter) h (представлять) n
(tation «,) e (in) j (whic) n (h) f (eac) n (h) g (v) n (ertex) g (списки) g (его) h (ребра) e
(in) i (clo) r (c) n (kwise) e (порядок.) 150 1867 y (This) i (представлять) n (tation) e
(mak) n (es) h (it) h (легко) f (to) g (w) n (alk) g (вокруг) g (the) h (лица) g (of) f (the)
i (разложение) r (положение,) e (whic) n (h) h (w) n (e) f (будет) h (do) 150
1966 y (частота) n (tly) e (во время) g (строительство) 150 2268
y Fj (18.1.3) 113 b (конструкция) 150 2492 y Fl (T) -7 b (o) 31
b (построить) g (наш) g (данные) f (структура) h (представить) n (ting) e (the) j (ловушка) r
(ezoidal) e (decomp) r (osition,) h (w) n (e) g (использовать) g (рандомизировано) f (приращение) 150
2592 y (мужчины) n (tal) 25 b (строительство) 35 b (Let) 25 b Fi (S) j
Fl (=) 22 b (\ () p Fi (s) 1312 2604 y Ff (1) 1350 2592 y Fi (;) 14
b (:) g (:) g (:) 27 b (;) 14 b (s) 1587 2604 y Fe (n) 1632 2592
y Fl (\)) 26 b (b) r (e) f (a) g (случайный) f (порядок) f (of) i (the) g (line) g (segmen) n
(ц.) 36 b (W) -7 b (e) 25 b (вставить) g (the) 150 2691 y (segmen) n (ts) i (one-b) n
(y-one) e (in) j (this) g (случайный) f (порядок,) f (вверх) r (датировка) i (the) g (данные) f
(структура) g (после) g (eac) n (h) g (вставка) 150 2862 y (неофициально) -7
b (,) 27 b (w) n (e) g (do) g (the) h (follo) n (крыло) f (w) n (ork) f (in) i (eac) n (h) f
(вставка) g (шаг.) 251 3020 y (1.) 42 b (Dra) n (w) 26 b (удлинение) h (от) g
(eac) n (h) g (endp) r (oin) n (t) h (of) g (the) g (line) g (segmen) n (t.) 251
3151 y (2.) 42 b (Определить) 29 b (if) g (the) g (new) g (segmen) n (t) f (blo) r (c) n
(ks) g (an) g (существующий) h (расширение.) 40 b (Если) 29 b (значит,) f (удал.) N (v) n (e) f (the)
j (blo) r (c) n (k) n (ed) d (раздел) 358 3250 y (of) g (eac) n (h) g (su) n (h) g
(доп.) 251 3381 y (3.) 42 b (Определить) 33 b (если) g (the) g (новый) f (сегмен) n
(t) g (in) n (терсекты) g (an) n (y) g (существующие) g (segmen) n (ts.) 52
b (Если) 33 b (так,) g (dra) n (w) e (расширение) h (от) 358 3481
y (eac) n (h) 26 b (дюйм) n (пересечение) h (p) r (oin) n (t.) 150 3710
y (T) -7 b (o) 27 b (реализация) n (t) h (эти) f (op) r (erations,) f (it) h (w) n (ould) g
(b) r (e) h (полезно) f (if) h (the) g (line) f (segmen) n (t) g (b) r (eing) g (вставлено) g
(имел) g (a) f (p) r (oin) n (ter) 150 3810 y (to) 32 b (a) f (face) h (that) g
(\ (частично \)) f (con) n (tains) g (it.) 50 b (W) -7 b (e) 33 b (can) e (ac) n (hiev) n
(e) g (this) h (b) n (y) f (k) n (eeping) g (a) h (двунаправленный) f (p) r (oin) n (ter) g
(от) 150 3909 y (eac) n (h) g (line) g (segmen) n (t) g (that) h (has) f (not) g (y) n
(et) h (b) r (een) g (вставлено) f (to) g (the) h (face) f (that) h (con) n (tains) e (its) i
(слева) g (endp) r (oin) n (t.) 49 b (That) 150 4009 y (is,) 27 b (eac) n (h) g (лицо) g
(имеет) g (a) g (список) h (of) f (the) h (line) g (segmen) n (ts) e (что) i (ha) n (v) n (e) e
(не) h (y) n (et) h (b) r (een) g (вставлено) f (и) g (чьи) g (слева) h (endp) r (oin) n
(t) 150 4108 y (лежит) i (in) g (that) g (face;) h (дополнительно) -7
b (,) 30 b (эти) g (строка) g (сегмен) n (ts) f (eac) n (h) g (ha) n (v) n (e) g (a) g (p) r
(oin) n (ter) h (to) f (that) i (face.) 43 b (эти) 30 b (p) r (oin) n (ters) 150
4208 y (являются) d (полезны) h (во время) f (вставка) g (но) h (of) g (конечно) e (они) i
(m) n (ust) g (b) r (e) g (main) n (tained) f (as) g (w) n (e) g (разделить) h (и) g (объединить) e
(лиц.) 150 4379 y (T) -7 b (o) 34 b (insert) g (a) g (line) g (segmen) n (t,) i (w) n
(e) e (начало) f (at) i (the) f (лицо) g (con) n (taining) g (его) g (слева) h (endp) r (oin)
n (t.) 57 b (W) -7 b (e) 35 b (can) f (\ 014nd) h (this) f (лицо) 150
4478 y (дюйм) 39 b Fi (O) r Fl (\ (1 \)) h (время) f (используя) f (the) i (линия) f (сегмен) n
(t’s) f (двунаправленный) g (p) r (oin) n (тер.) 70 b (W) -7 b (e) 39
b (затем) g (w) n (e) g (w) n (alk) e (вокруг) h (this) h (лицо) 150 4578
y (определение) 31 b (whic) n (h) g (края) g (are) f (v) n (эртично) g (ab) r (o) n (v)
n (e) g (и) h (b) r (elo) n (w) g (the) g (слева) h (endp) r (oin) n (t) g (и) f (whic) n ( час)
g (край) g (\ (if) h (an) n (y \)) 150 4677 y (дюйм) n (терсекты) 27
b (the) h (линия) g (сегмен) n (t.) 36 b (вызов) 27 b (это) h (край) f (the) h (\\ lea) n
(ving) e (край «.) 150 4848 y (После) f (w) n (алкинг) d (вокруг) i (the) g (лицо) g
(и) g (\ 014nding) g (the) h (ребра) e (ab) r (o) n (v) n (e) g (и) h (b) r (elo) n (w) g
(the) g (слева) h (endp) r (oin) n (t) f (w) n (e) g (can) g (легко) 150
4948 y (создать) 32 b (the) h (новый) g (расширения) f (from) h (this) g (endp) r (oin) n
(t.) 53 b (добавление) 33 b (эти) g (новые) f (расширения) h (будут) g (разделить) g (the) g
(curren) n (t) 150 5047 y (лицо) 27 b (дюйм) n (to) h (три) f (меньшее) g (лиц.) 36
b (W) -7 b (e) 28 b (будет) g (рассмотреть) e (the) i (w) n (ork) f (требуется) f (для) h
(это) h (расщепление) g (op) r (eration) f (b) r (elo) n (w.) p eop
%% Стр .: 3 3
3 2 bop 150 40 a Fg (Лекция) 27 b (18:) 36 b (12.11.2003) 2584
b Fl (18-3) 150 330 y (Нет) n (w) 31 b (w) n (e) g (рассмотреть) f (the) i (lea) n (ving) e
(край,) h (при условии) g (что) g (it) h (существует) 47 b (If) 32 b (the) g (lea) n (ving) e
(край) g (is) i (on) f (an) f (расширение,) 150 430 y (the) 24 b (новый) f (line) h
(сегмен) n (t) e (blo) r (c) n (ks) h (то) h (расширение.) 35 b (W) -7
b (e) 23 b (укоротить) g (the) h (расширение) e (и) i (объединить) e (the) i (грани) e (то) i
(w) n (ere) 150 529 y (b) r (заказано) 31 b (b) n (y) g (the) g (rem) n (v) n (ed) f
(раздел.) 48 b (если) 32 b (the) g (lea) n (ving) e (край) h (is) g (on) g (другой) g
(строка) h (сегмен) n (t,) f (w) n (e) g (создать) g (a) g (новый) 150 629
y (in) n (пересечение) c (p) r (oin) n (t) h (и) g (расширение) f (от) h (it.) 38
b (Это) 28 b (вызывает) f (to) g (разделить) i (the) f (curren) n (t) f (лицо) g (и) h (the) g
(N) n (b) r (oring) 150 729 y (лицо) 150 899 y (W) -7 b (e) 36
b (затем) h (rep) r (есть) e (this) h (то же самое) f (вставка) h (pro) r (cess) e (in) i (the) h
(лицо) e (он) h (the) g (другое) f (сторона) h (of) g (the) g (lea) n (ving) f (край) 61
b (Если) 150 999 y (w) n (e) 36 b (ev) n (er) g (disco) n (v) n (er) e (то) j (есть) f (is)
h (нет) f (lea) n (ving) f (край) h (затем) h (the) g (righ) n (t) f (endp) r (oin) n (t) h (of)
f (the) h (line) g (segmen) n (t) f (m) n (ust) 150 1098 y (b) r (e) 30
b (con) n (tained) f (in) h (this) h (face.) 43 b (W) -7 b (e) 30 b (полный) g (the) g
(вставка) f (pro) r (cess) g (b) n (y) g (создание) g (расширение) g (от) h (the) g
(справа) n (t) 150 1198 y (endp) r (oin) n (t,) e (просто) g (as) f (w) n (as) g (done) g (for)
g (the) h (слева) g (endp) r (oin) n (t.) 150 1500 y Fj (18.1.4) 113
b (Анализ) 36 b (of) i (Строительство) 150 1724 y Fl (The) 27
b (алгоритм) e (для) h (eac) n (h) g (вставка) g (шаг) g (w) n (alks) g (около) f
(ev) n (ery) h (лицо) g (что) h (in) n (терсекты) e (the) i (новое) g (segmen) n (t,) f
(и) 150 1824 y (ma) n (y) e (разделить) h (или) e (объединить) h (то) g (лицо) 36
b (W) -7 b (алкинг) 24 b (вокруг) f (the) i (лицо) f (требуется) f (время) i (линейный) f
(in) h (the) g (n) n (um) n (b) r (er) f (of) g (v) n (ertices) 150 1924 г.
y (on) 29 b (that) h (лиц.) 43 b (F) -7 b (или) 29 b (a) g (giv) n (en) g (лицо) g
Fi (f) 9 b Fl (,) 30 b (пусть) g (us) g (обозначить) f (the) h (n) n (um) n (b) r (er) g (of) f (v ) п
(ertices) g (on) g (что) h (лицо) f (b) n (y) h Fi (n) p Fl (\ () p
Fi (f) 9 b Fl (\).) 43 b (Когда) 150 2023 y (расщепление) 27 b (или) f (слияние) g (a) h
(лицо) g Fi (f) 35 b Fl (w) n (e) 27 b (m) n (ust) g (вверх) r (дата) h (the) f
(двунаправленный) f (p) r (oin) n (ters) h (from) f (line) i (segmen) n (ts) e (that) h
(are) 150 2123 y (y) n (et) h (to) g (b) r (e) g (вставлено) g (чьи) f (слева) i (endp) r
(oin) n (t) g (лежит) e (in) i (that) f (face) 38 b (Let) 28 b (us) g (обозначать) g (the) h
(n) n (um) n (b) r (er) f (of) g (эти) g (p) r (oin) n (ters) 150 2222
y (b) n (y) j Fi (`) p Fl (\ () p Fi (f) 9 b Fl (\).) 47 b (It) 31 b (далее) n (ws) f
(что) h (расщепление) h (или) e (слияние) g (a) g (грань) h (дополнительно) g (требуется) e
(время) j (линейное) e (дюйм) h Fi (`) p Fl (\ () p Fi (f) 9 b Fl (\).) 47
b (Th) n (us) 150 2322 y (the) 28 b (total) f (amoun) n (t) g (of) h (w) n (ork) e (for) h
(a) g (одиночный) g (вставка) g (is) 1605 2431 y Fd (X) 1376 2613
y Fe (f) 7 b Fc (2f) p Ff (грани) 21 b (tra) n (v) n (ersed) p Fc (g) 1968 г.
2510 y Fi (O) 2033 2443 y Fd (\ 000) 2071 2510 y Fi (n) p Fl (\ () p
Fi (f) 9 b Fl (\)) 19 b (+) f Fi (`) p Fl (\ () p Fi (f) 9 b Fl (\)) 2486
2443 y Fd (\ 001) 150 2849 y Fl (W) -7 b (e) 28 b (нет) n (w) f (использовать) g (bac) n (кВт) n
(ards) e (анализ) h (to) i (b) r (ound) f (the) h (exp) r (ected) g (v) -5
b (alue) 27 b (of) h (this) g (сумма.) 37 b (Supp) r (ose) 27 b (w) n (e) g (are) g
(вставка) 150 2949 y (the) j Fi (i) p Fl (th) h (line) f (segmen) n (t.) 44
b (Пусть) 30 b Fi (S) 1155 2961 y Fe (i) 1210 2949 y Fl (=) d Fb (f) p
Fi (s) 1383 2961 y Ff (1) 1419 2949 y Fi (;) 14 b (:) g (:) g (:) 28
b (;) 14 b (s) 1657 2961 y Fe (i) 1684 2949 y Fb (g) 30 b Fl (обозначить) g (the) h
(набор) f (состоящий) f (of) h (the) h (\ 014rst) e Fi (i) h Fl (line) h (segmen) n (ts) e
(in) 150 3049 y (the) h (случайный) f (порядок.) 41 b (Let) 30 b Fi (F) 1061
3061 y Fe (i) 1118 3049 y Fl (обозначить) g (the) g (грани) f (определено) h (b) n (y) f
(the) h (line) g (segmen) n (ts) e (in) i Fi (S) 3098 3061 y Fe (i) 3126
3049 л Fl (.) 43 b (F) -7 b (или) 29 b (an) n (y) f Fi (s) f Fb (2) f
Fi (S) 3699 3061 y Fe (i) 3727 3049 y Fl (,) 150 3148 y (let) г
Fi (F) 321 3160 y Fe (i) 349 3148 y Fl (\ () p Fi (s) p Fl (\)) g (обозначить) f (the) h
(грани) f (дюйм) h Fi (F) 1231 3160 y Fe (i) 1284 3148 y Fl (то) g (дюйм) n (краткий участок)
f Fi (s) p Fl (.) 36 b (F) -7 b (или) 25 b (the) h (purp) r (oses) f (of) g (анализ,) g
(пусть) h (нас) f (предположим) g (что) h (the) 150 3248 y (element) n (ts) e (of) f
Fi (S) 627 3260 y Fe (i) 679 3248 y Fl (are) g (kno) n (wn,) h (but) g (их) g
(порядок) e (is) i (not.) 35 b (Then) 24 b (the) h (element) n (t) e (вставлено) h (in) g
(the) g Fi (i) p Fl (th) g (step) g (is) g (равно) 150 3347 y (lik) n (ely) 31
b (to) h (b) r (e) h (an) n (y) e (element) n (t) h (of) g Fi (S) 1219 3359
y Fe (i) 1246 3347 y Fl (.) 51 b (Тогда) 32 b (the) g (exp) r (ected) g (amoun) n (t) g
(of) g (w) n (ork,) g (при условии) f (on) h (the) g (в частности) 150
3447 y (элемент) n (ts) 27 b (of) h Fi (S) 635 3459 y Fe (i) 663
3447 y Fl (,) f (is) 338 3658 y (E) o ([) h (W) -7 b (ork) 27 b (on) g
Fi (i) p Fl (th) h (вставка) f Fb (j) h Fl (элемент) n (ts) f (of) h
Fi (S) 1797 3670 y Fe (i) 1852 3658 y Fl (]) 23 b (=) 1995 3602
y (1) p 1995 3639 42 4 v 2001 3715 a Fi (i) 2072 3579 y Fd (X) 2061
3757 y Fe (s) p Fc (2) p Fe (S) 2178 3765 y Fa (i) 2218 3658
y Fl (E) o ([) 28 b (W) -7 b (ork) 27 b (to) g (вставить) h Fi (s) f
Fb (j) h Fl (элемент) n (ts) g (of) f Fi (S) 3484 3670 y Fe (i) 3539
3658 г Fl (]) 1898 3916 г (=) 1995 3860 г (1) п 1995 3897 V
2001 3973 a Fi (i) 2072 3837 y Fd (X) 2061 4016 y Fe (s) p
Fc (2) p Fe (S) 2178 4024 y Fa (i) 2275 3837 y Fd (X) 2218 4019
y Fe (f) 7 b Fc (2) p Fe (F) 2344 4027 y Fa (i) 2370 4019 y Ff (\ () p
Fe (s) p Ff (\)) 2467 3916 y Fi (O) 2532 3849 y Fd (\ 000) 2571
3916 y Fi (n) p Fl (\ () p Fi (f) i Fl (\)) 18 b (+) g Fi (`) p Fl (\ () p
Fi (f) 9 b Fl (\)) 2985 3849 y Fd (\ 001) 150 4256 y Fl (W) -7
b (e) 35 b (no) n (w) g (pro) r (ceed) f (to) h (b) r (ound) g (this) h (выражение.) 57
b (Наблюдение) n (e) 34 b (что) h (для) f (eac) n (h) h (лицо) f Fi (f) 9
b Fl (,) 37 b (там) e (are) f (at) h (большинство) f (четыре) 150 4355 y (segmen) n (ts) 28
b Fi (s) i Fl (suc) n (h) e (that) i Fi (f) k Fb (2) 26 b Fi (F) 12
b Fl (\ () p Fi (s) p Fl (\) 🙂 41 b (the) 29 b (вверху) h (segmen) n (t,) f (the) g (b) r
(ottom) h (segmen) n (t,) f (и) g (one) g (p) r (er) g (сторона) g (если) h (the) f (сторона) 150
4455 y (is) e (de \ 014ned) h (b) n (y) g (the) g (расширения) f (from) g (a) g (segmen) n
(t) g (endp) r (oin) n (t.) 37 b (Th) n (us) 485 4665 y (E [) 28 b (W) -7
b (ork) 26 b (on) i Fi (i) p Fl (th) f (вставка) g Fb (j) h Fl (элемент) n (ts) g (of) f
Fi (S) 1944 4677 y Fe (i) 1999 4665 y Fl (]) d (=) e Fi (O) 2198
4573 y Fd (\ 020) 2286 4609 y Fl (1) p 2286 4646 V 2292 4722
a Fi (i) 2367 4587 y Fd (X) 2351 4765 y Fe (f) 7 b Fc (2) p Fe (F) 2477
4773 y Fa (i) 2517 4598 y Fd (\ 000) 2555 4665 y Fi (n) p Fl (\ () p
Fi (f) i Fl (\)) 19 b (+) f Fi (`) p Fl (\ () p Fi (f) 9 b Fl (\)) 2970
4598 y Fd (\ 001) 3008 4573 y (\ 021) 2046 4928 y Fl (=) 22 б
Fi (O) 2198 4836 y Fd (\ 020) 2286 4872 y Fl (1) p 2286 4909
V 2292 4985 a Fi (i) 2367 4849 y Fd (X) 2351 5028 y Fe (f) 7
b Fc (2) p Fe (F) 2477 5036 y Fa (i) 2517 4928 y Fi (n) p Fl (\ () p
Fi (f) i Fl (\)) 2681 4836 y Fd (\ 021) 2749 4928 y Fl (+) 18
b Fi (O) 2897 4836 y Fd (\ 020) 2985 4872 y Fl (1) p 2985 4909
V 2991 4985 a Fi (i) 3067 4849 y Fd (X) 3050 5028 y Fe (f) 7
b Fc (2) p Fe (F) 3176 5036 y Fa (i) 3216 4928 y Fi (`) p Fl (\ () p
Fi (f) i Fl (\)) 3365 4836 y Fd (\ 021) p eop
%% Стр .: 4 4
4 3 bop 150 40 a Fg (Лекция) 27 b (18 🙂 36 b (12.11.2003) 2584
b Fl (18-4) 150 330 y (Так как) 21 b (the) g (n) n (um) n (b) r (er) g (of) f (оставшийся) g
(строка) h (сегмен) n (ts) f (at) g (the) i Fi (i) p Fl (th) e (шаг) h (is) g
Fi (n) 5 b Fb (\ 000) g Fi (i) p Fl (,) 21 b (w) n (e) f (m) n (ust) h (ha) n (v) n (e) 3057
268 y Fd (P) 3145 355 y Fe (f) 7 b Fc (2) p Fe (F) 3271363 y
Fa (i) 3315 330 y Fi (`) p Fl (\ () p Fi (f) i Fl (\)) 23 b (=) f
Fi (n) 5 b Fb (\ 000) g Fi (i) p Fl (.) 150 430 г (Следовательно) 26
b (the) i (второй) f (член) h (in) g (the) g (exp) r (ectation) f (is) h
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n = i) p Fl (\).) 150600 y (W) -7 b (e) 37
b (нет) n (w) g (рассмотреть) f (the) h (\ 014rst) g (термин) g (in) g (the) h (exp) r
(ectation.) 64 b (Так как) 38 b (eac) n (h) e (v) n (ertex) g (имеет) g (степень) g (at) h
(большая часть) g (шесть) g (она) 150700 y (приблизительно) r (уши) f (дюйм) h (at) g (большая часть) g (шесть) g (лица,) i
(так) 1381 638 y Fd (P) 1469 725 y Fe (f) 7 b Fc (2) p Fe (F) 1595
733 y Fa (i) 1639700 y Fi (n) p Fl (\ () p Fi (f) i Fl (\)) 39
b (=) f Fi (O) r Fl (\ (v) n (ertices) 27 b (определено) h (b) n (y) f
Fi (S) 2943712 у Fe (i) 2971700 у Fl (\).) 66 б (Пусть) 37 б
Fi (k) 3293712 y Fe (i) 3358700 y Fl (обозначить) g (the) 150800
y (n) n (um) n (b) r (er) 26 b (of) g (in) n (пересечения) e (of) i (the) h (линия) f
(сегмен) n (ts) f (дюйм) h Fi (S) 1908 812 y Fe (i) 1936 800 y Fl (.) 36
b (Тогда) 26 b (the) g (n) n (um) n (b) r (er) g (of) g (v) n (ertices) f (определено) h (b) n
(y) g Fi (S) 3641812 y Fe (i) 3694 800 y Fl (is) 150 899 y
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (i) 19 b Fl (+) f Fi (k) 421911 y Fe (i) 449
899 y Fl (\).) 37 b (Letting) 28 b Fi (S) 884911 y Fe (i) 939
899 y Fl (b) r (e) g (a) f (случайный) g (подмножество) g (of) h Fi (S) 5 b
Fl (,) 27 b (w) n (e) h (получить) f (то) 934 1082 y (E) o ([) h (W) -7
b (ork) 27 b (on) g Fi (i) p Fl (th) h (вставка) f (]) c (=) g Fi (O) r
Fl (\ (\ () p Fi (i) c Fl (+) f (E [) 27 b Fi (k) 2401 1094 y Fe (i) 2457)
1082 y Fl (] \)) p Fi (= i) p Fl (\)) 18 b (+) g Fi (O) r Fl (\ () p
Fi (n = i) p Fl (\)) 150 1264 y (Поскольку) 25 b Fi (S) 415 1276 y
Fe (i) 467 1264 y Fl (is) g (случайно) e (c) n (hosen,) i (the) g (вероятность) n (y) f
(что) h (a) f (giv) n (en) g (in) n (пересечение) g (p) r (oin) n (t) h (имеет) f (b) r (oth) h
(its) g (segmen) n (ts) f (дюйм) 150 1364 y ​​Fi (S) 201 1376 y Fe (i) 258
1364 y ​​Fl (is) 29 b (at) g (наиболее) h (\ () p Fi (i = n) p Fl (\)) 837
1334 л Ff (2) 873 1364 л Fl (.) 43 b (Th) n (us) 29 b (E) o ([) h
Fi (k) 1303 1376 y Fe (i) 1360 1364 y ​​Fl (]) c (=) g Fi (O) r Fl (\ () p
Fi (k) s Fl (\ () p Fi (i = n) p Fl (\)) 1828 1334 y Ff (2) 1865 1364
y Fl (\).) 43 b (The) 29 b (exp) r (ected) h (amoun) n (t) f (of) g (w) n (ork) f (to) h
(вставить) g (все) h Fi (n) f Fl (строка) 150 1464 y (segmen) n (ts) e (is) g (следовательно)
424 1605 y Fe (n) 385 1629 y Fd (X) 391 1806 y Fe (i) p Ff (= 1) 518
1616 y Fd (\ 020) 568 1708 y Fi (O) r Fl (\ (1) 19 b (+) f Fi (k) s
Fl (\ () p Fi (i = n) 1008 1674 y Ff (2) 1044 1708 y Fl (\) \)) h (+) f
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n = i) p Fl (\)) 1460 1616 y Fd (\ 021) 1561
1708 y Fl (=) 50 b Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) p Fl (\)) 20 b (+) 1988 г.
1652 г Fi (k) p 1968 1689 88 4 v 1968 1765 a (n) 2018 1741
y Ff (2) 2118 1605 y Fe (n) 2078 1629 y Fd (X) 2085 1806 y
Fe (i) p Ff (= 1) 2212 1708 y Fi (O) r Fl (\ () p Fi (i) p Fl (\)) f (+) f
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) c Fl (log) h Fi (n) p Fl (\)) 51 b (=) f
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (k) 22 b Fl (+) c Fi (n) c Fl (log) g Fi (n) p
Fl (\)) 150 2079 г Fj (18.1.5) 113 b (P) m (oin) m (t) 35 b (Lo) s (катион) 150
2303 y Fl (W) -7 b (e) 26 b (ha) n (v) n (e) e (sho) n (wn) h (ho) n (w) g (to) g (build) h
(the) g (trap) r (ezoidal) e (decomp) r (osition) h (data) g (structure.) 35
b (T) -7 b (o) 26 b (адрес) e (the) i (проблема) 150 2403 y (of) 32
b (p) r (oin) n (t) g (lo) r (катион,) h (w) n (e) f (будет) g (построить) g (an) f
(вспомогательные) g (данные) h (структура) f (в ​​то время как) h (построение) g (the) g (ловушка) r
(эзоидальный) 150 2502 y (разл.) r (позицион.) k (Call) 27 b (this) h (вспомогательный) d
(структура) i (the) h Fm (поиск) m (h) k (структура) p Fl (.) 38
b (The) 27 b (поиск) n (h) f (структура) h (is) g (аналогичный) 150 2602
y (to) h (a) g Fi (k) s (d) p Fl (-дерево) g (in) h (the) g (смысл) f (что) h (там) f (являются)
f Fi (x) p Fl (-no) r (des) i (что) f (сравнить) g Fi (x) p Fl (-co) r (ординаты,) f
Fi (y) s Fl (-no) r (des) h (that) g (сравнить) 150 2702 y Fi (y) s
Fl (-co) r (ординаты,) c (и) h (the) h (lea) n (v) n (es) e (correp) r (ond) g (to) i
(области) е (из) h () h (плоскость) f (\ (i.е.,) i (ловушка) r (эзоиды \).) 35
b (Принимая во внимание) 25 b Fi (k) s (d) p Fl (-деревья) 150 2801 y (ha) n (v) n (e) k (a) h (уникальный)
g (путь) h (от) f (the) g (ro) r (ot) g (to) g (eac) n (h) f (регион,) h (наш) f (поиск) n
(h) g (структура) h (ma) n (y) f (ha) n (v) n (e) g (m) n (конечный) i (пути) f (к) 150
2901 y (an) n (y) d (giv) n (en) g (область,) f (so) h (it) h (is) f (фактически) g (a) h (D) n
(A) n (G.) 150 3071 y (T) -7 b (o) 33 b (p) r (erform) f (a) g (p) r (oin) n (t) i (lo) r
(катион) e (запрос) g (с) h (это) h (структура) f (w) n (e) g (начало) f (at) h (the) g
(ro) r (ot.) 52 b (A) n (t) 34 b (eac) n (h) e (нет) r (de) h (of) g (the) 150
3171 y (дерево) g (w) n (e) g (p) r (erform) f (a) h (сравнение) f (против) g (the) h
(запрос) g (p) r (oin) n (t.) 54 b (The) 33 b (результат) g (of) g (this) h (сравнение) d
(определяет) 150 3271 y (есть ли) 25 b (to) g (pro) r (ceed) f (to) g (the) i (слева) f
(или) f (справа) n (t) g (c) n (hild.) 36 b (Так как) 25 b (the) h (структура) e (is) h
(ациклично,) g (the) g (query) f (will) h (ev) n (en) n (фактически) 150
3370 y (конец) i (at) h (a) f (лист.) 37 b (This) 27 b (лист) h (нет) r (de) g (p) r
(oin) n (ts) f (to) h (the) g (ловушка) r (ezoid) f (con) n (taining) f (the) i (запрос) f (p) r
(oin) n (t.) 150 3541 y (The) k (search) n (h) f (структура) h (is) h (b) r (est) g
(понять) r (o) r (d) f (b) n (y) g (учитывая) f (ho) n (w) h (it) g (is) h
(построен.) 48 б (изначально) 31 б (ит) ч (кон) н (тайн) 150
3640 y (a) d (одиночный) f (лист) h (no) r (de,) h (whic) n (h) f (p) r (oin) n (ts) g (to) g (a)
g (ловушка) r (ezoid) g (con) n (удерживание) f (the) h (en) n (шина) g (плоскость) g (\ (или) f (b) r
(раунд) i (b) r (o) n (x \).) 41 b (The) 150 3740 y (поиск) n (h) 25
b (структура) h (is) g (только) g (вверх) r (от даты) i (когда) e (w) n (e) g (разделить) h (и) g
(объединить) e (ловушка) r (эзоиды) h (в то время как) h (здание) f (the) h (ловушка) r (эзоидальная) 150
3840 y (разл.) R (положение) 150 4010 y (Когда) 39 b (a) g (ловушка) r (ezoid) f (is) g
(разделить) i (из-за) f (для) f (a) h (новый) f (расширение,) k (w) n (e) c (заменить) g (его) h
(лист) f (нет) r (de) h (с) g (a) g Fi (x) p Fl (-no) r (de) g (с) 150
4110 y (сравнивает) 32 b (против) h (the) h Fi (x) p Fl (-co) r (ордината) f (of) g
(the) i (расширение.) 55 b (Когда) 34 b (a) f (ловушка) r (эзоид) g (is) h (разделить) g (должное) g
(to) g (a) f (новый) h (строка) 150 4209 y (segmen) n (t) f (через) g (it,) j (w) n (e) e
(заменить) f (его) h (лист) f (no) r (de) h (с) h (a) e Fi (y) s Fl (-no) r (de) g (то)
h (сравнивает) f (есть ли) g (a) h (запрос) f (p) r (oin) n (t) 150 4309
y (is) d (ab) r (o) n (v) n (e) e (или) h (b) r (elo) n (w) h (что) g (строка) g (сегмен) n ( т.) 43
b (Если) 30 b (t) n (w) n (o) f (ловушка) r (эзоиды) g (являются) g (объединены,) g (w) n (e) h (заменить) f
(их) g (t) n (w) n (o) h (лист) f (no) r (des) 150 4409 y (с) g (a) f (одиночный) g
(лист) g (нет) r (de.) 40 b (Все) 29 b (p) r (oin) n (ters) f (that) g (ранее) g (p) r
(oin) n (ted) g (to) h (the) g (оригинал) d (t) n (w) n (o) i (lea) n (v) n (es) f (are) h (up )
r (датированный) 150 4508 y (to) f (p) r (oin) n (t) h (to) g (the) g (single) f (новый) g (лист.)
150 4679 y (W) -7 b (e) 30 b (нет) n (w) f (анализ) g (the) h (exp) r (ected) g (время) g
(обязательно) f (to) h (p) r (erform) f (a) g (p) r (oin) n (t) h (lo) r (катион) f (запрос) g
(с) i (это) f (структура) 150 4778 y (The) k (запрос) f (время) i (is) e (ясно)
g (линейный) g (in) i (the) f (длина) g (of) g (the) g (путь) g (follo) n (w) n (ed) f (from)
h (the) g (ro) r (ot) f (to) h (the) h (лист.) 55 b (By) 150 4878 y (linearit) n (y) 22
b (of) g (exp) r (ectation,) i (the) f (exp) r (ected) g (длина) g (of) f (this) h (путь)
g (равно) f (the) h (exp) r (ected) g (n) n (um) n (b) r (er) f (of) h (no) r (des) f (добавлено)
150 4978 y (to) i (this) g (путь) g (во время) g (the) g Fi (i) p Fl (th) h (шаг) f (of) g
(the) g (конструкция) f (алгоритм.) 35 b (The) 24 b Fi (i) p
Fl (th) g (шаг) g (добавляет) g (только) g Fi (O) r Fl (\ (1 \)) g (нет) r (des) g (to) p
эоп
%% Стр .: 5 5
5 4 bop 150 40 a Fg (Лекция) 27 b (18:) 36 b (12.11.2003) 2584
b Fl (18-5) 150 330 y (the) 24 b (поиск) n (h) f (структура;) i (эти) f (новые) g (нет)
r (des) g (are) f (on) h (the) h (query) e (path) h (with) h (some) e (probabilit) n (y) g
Fi (p) 3178 342 y Fe (i) 3206330 y Fl (.) 36 b (The) 24 b (exp) r (ected) 150
430 y (запрос) j (время) h (is) f (следовательно) 1002368 y Fd (P) 1090
388 y Fe (n) 1090 455 y (i) p Ff (= 1) 1215 430 y Fi (O) r Fl (\ (1 \)) 19
b Fb (\ 001) g Fi (p) 1489 442 y Fe (i) 1539 430 y Fl (=) 1627
368 y Fd (P) 1715 388 y Fe (n) 1715 455 y (i) p Ff (= 1) 1840
430 y Fi (O) r Fl (\ () p Fi (p) 1979 442 y Fe (i) 2008 430 л
Fl (\).) 150600 y (W) -7 b (e) 25 b (can) g (b) r (ound) g Fi (p) 735
612 y Fe (i) 787600 y Fl (через) g (bac) n (kw) n (ards) d (анализ.) 35
b (рассмотреть) 24 b (данные) h (данные) f (структура) h (at) f (the) i Fi (i) p
Fl (th) f (вставка) f (шаг) 36 b (The) 150 700 y (запрос) 20
b (p) r (oin) n (t) g (лежит) g (in) h (некоторая) f (ловушка) r (ezoid) f (of) i (this) f
(структура) 34 b (Наблюдение) n (e) 19 b (что) i (там) f (are) f (at) h (большинство) g (четыре)
g (линия) h (сегмен) n (ts) 150800 y (дюйм) 28 b Fi (S) 298812 y
Fe (i) 353 800 y Fl (чей) e (rem) n (v) -5 b (al) 26 b (w) n (ould) h (причина) g
(this) g (ловушка) r (ezoid) g (to) g (b) r (e) h (разделить:) 37 b (the) 28
b (один) f (он) g (верх,) g (тот) h (один) f (он) g (тот) h (b) r (оттом,) 150
899 y (и) 36 b (the) g (единицы) f (что) i (определяют) f (the) g (слева) h (и) e (справа)
n (t) h (стороны,) h (либо) f (b) n (y) g (in) n (пересечение) f (p) r (oin) n (ts) h (или) f
(extension.) 150 999 y (Th) n (us) 25 b (the) h (вероятно) n (y) e (that) h (the) h
(строка) g (сегмен) n (t) e (вставлено) h (дюйм) h (the) f Fi (i) p Fl (th) h (шаг) f (b) r
(заказы) f (the) i (query) e (trap) r (ezoid) h (is) g (at) 150 1098
y (большая часть) i (4) p Fi (= i) p Fl (.) 36 b (Th) n (us) 27 b Fi (p) 777
1110 y Fe (i) 828 1098 y Fb (\ 024) 22 b Fl (4) p Fi (= i) p Fl (.) 36
b (The) 28 b (exp) r (ected) g (query) e (time) j (is) e (следовательно) 2456
1036 y Fd (P) 2543 1057 y Fe (n) 2543 1123 y (i) p Ff (= 1) 2669
1098 y Fi (O) r Fl (\ (4) p Fi (= i) p Fl (\)) c (=) f Fi (O) r Fl (\ (log) 15
b Fi (n) p Fl (\).) 150 1402 y Fj (18.1.6) 113 b (T) -9 b (риангуляция) 35
b (Без защиты) m (v) m (ex) j (P) m (олигоны) 150 1626 y Fl (Giv) n (en) 22
b (a) f (ловушка) r (ezoidal) g (decomp) r (osition) g (of) h (a) g (non-con) n (v) n (ex) d
(p) r (olygon,) k (it) f (is) g (p) r (возможно) f (to) h (вычислить) g (a) f
(триангуляция) 150 1725 y (дюйм) k (линейная) f (время) 36 b (Первая,) 25
b (итерация) f (o) n (v) n (er) f (все) i (ловушка) r (эзоиды.) 34 b (If) 26
b (a) e (ловушка) r (ezoid) g (con) n (tains) f (t) n (w) n (o) h (непоследовательный) n (e) f (v) n
(ertices) 150 1825 y (of) 36 b (the) h (оригинал) d (p) r (olygon,) j (connect) f
(их) h (b) n (y) f (an) g (край.) 61 b ​​(The) 37 b (исходный) d (p) r (олигон) h (is) h
(нет) n (w) g (разделено) f (in) n (to) 150 1925 y (p) r (olygons) e (that) i (are) e
Fi (x) p Fl (-монотонный,) j (что) e (is,) i (the) f Fi (x) p Fl (-co) r (ординаты) e
(of) h (the) h (v) n (ertices) e (on) h (eac) n (h) g (p) r (olygon) f (строго) 150
2024 y (прибавка) 26 b (вдоль) h (его) h (вверху) g (а) f (b) r (оттом.) 38
b (Далее,) 28 b (w) n (e) f (может) h (триангулировать) f (эти) g Fi (x) p
Fl (-монотонный) g (p) r (олигоны) g (as) g (follo) n (ws:) 150 2124
y (для) 22 b (ev) n (ery) g (con) n (v) n (ex) g (v) n (ertex) f (\ (т.е.) k (один) d (с) i
(дюйм) n (глубина) e (угол) g Fi (>) g Fl (180) 2233 2094 y Fc (\ 016) 2270
2124 y Fl (\),) i (добавить) f (an) g (край) f (b) r (et) n (w) n (een) h (его) g (t) n (w) n ( из
(сосед) п (б) г (или с.) 150 2469 y Fk (18,2) 136 b (Диапазон) 45 b (Запросы) 150
2722 y Fl (Supp) r (ose) 23 b (w) n (e) f (ha) n (v) n (e) g (a) g (набор) h (of) g
Fi (n) f Fl (p) r (oin) n (ts) h (дюйм) g Fi (d) g Fl (размеры) 35
b (A) 23 b (размер) g (ma) n (y) f (соответствует) r (ond) f (to) h (ph) n (ysical) g (p) r
(положение) 150 2822 y (или) 33 b (ma) n (y) g (соотв.) r (ond) f (to) h (некоторые) g
(не геометрический) f (понятие,) j (успех) n (h) e (as) g (цена,) i (дата,) g (и т. д.) 55
b (A) 34 b Fm (диапазон) 39 b (запрос) d Fl (o) n (v) n (er) 150 2921
y (эти) g (p) r (oin) n (ts) g (спрашивает) e (whic) n (h) i (p) r (oin) n (ts) g (ложь) g (внутри)
g (дюйм) g (некоторый) f (параллельный оси) f (прямоугольный) g (b) r (o) n (x.) 61
b (F) -7 b (или) 35 b (простое) n (y) h (of) 150 3021 y (exp) r (положение) 27
b (w) n (e) g (предположим) g (что) h (the) g (p) r (oin) n (ts) g (are) e (in) i (общее) e (p) r
(положение,) i (так) f (что) h (нет) f (t) n (w) n (o) g (co) r (ординаты) f (являются) g (равны).
150 3324 y Fj (18.2.1) 113 b (Диапазон) 37 b (Запросы) h (дюйм) e (1-d) 150
3548 y Fl (The) 24 b (ob) 5 b (jectiv) n (e) 24 b (is) g (to) g (p) r (erform) g (a) g
(диапазон) f (запрос) g (o) n (v) n (er) g (some) h (in) n (terv) -5 b (al) 23
b ([) p Fi (x) 2418 3560 y Ff (1) 2456 3548 y Fi (;) 14 b (x) 2540
3560 y Ff (2) 2578 3548 y Fl (].) 36 b (A) 24 b (простой) h (статический) f (раствор) g
(w) n (ould) 150 3648 y (b) r (e) 33 b (to) g (сохранить) f (the) h (данные) f (in) h (a) f
(отсортировано) g (array) n (y) -7 b (.) 50 b (двоичный) 32 b (поиск) n (h) f (мог) i (затем) g
(b) r (e) g (использованный) g (to) g (поиск) n (h) e (for) h Fi (x) 3428 3660
y Ff (1) 3499 3648 y Fl (и) g Fi (x) 3712 3660 y Ff (2) 150
3748 y Fl (in) f (the) g (arra) n (y) -7 b (.) 43 b (The) 31 b (arra) n (y) d (элемент) n
(ts) j (b) r (et) n (w) n (een) f Fi (x) 1754 3760 y Ff (1) 1823 3748
y Fl (и) g Fi (x) 2034 3760 y Ff (2) 2102 3748 y Fl (are) g (the) h (результат) f
(of) h (the) g (query) -7 b (.) 45 b (Построение) 30 b (the) 150
3847 y (отсортировано) f (arra) n (y) e (четко) h (tak) n (es) h Fi (O) r
Fl (\ () p Fi (n) 14 b Fl (log) h Fi (n) p Fl (\)) 29 b (время) h (и) g (a) f (диапазон) f
(запрос) h (ясно) f (tak) n (es) h Fi (O) r Fl (\ (log) 15 b Fi (n) k
Fl (+) h Fi (k) s Fl (\)) 30 b (время) g (где) 150 3947 y Fi (k) h
Fl (is) c (the) h (размер) f (of) h (the) g (результат) f (set.) 150 4117
y (A) 37 b (простой) g (динамический) f (решение) h (w) n (ould) f (b) r (e) h (to) g (использовать) f (a)
g (\\ пропустить) g (список «.) 64 b (Пропустить) 37 b (списки) g (являются) f (lik) n (e) g (a) g (отсортировано) g
(ссылка) n (ed) h (список) 150 4217 y (that) d (supp) r (orts) f (вставки,) h
(удаления) f (и) g (поиск) n (hes) e (in) j (exp) r (ected) g Fi (O) r
Fl (\ (журнал) 15 b Fi (n) p Fl (\)) 33 b (время.) 55 b (Диапазон) 32 b (запросы) h (может) g
(b) r (e) 150 4317 y (p) r (исправлено) 27 b (in) h (the) f (то же самое) g (способ) g (as) g
(the) h (сортированный) e (array) n (y) -7 b (.) 35 b (первый) 27 b (поиск) n (h) f (for) h
Fi (x) 2659 4329 y Ff (1) 2724 4317 y Fl (и) g Fi (x) 2932
4329 л Ff (2) 2970 4317 л Fl (.) 37 b (Это) 27 b (tak) n (es) g (exp) r (ected) 150
4416 y Fi (O) r Fl (\ (log) 15 b Fi (n) p Fl (\)) 29 b (время.) 39
b (Тогда,) 29 b (так как) f (the) h (element) n (ts) f (are) f (организовано) g (in) n (to) h (a) g
(ссылка) n (ed) g (список,) h (a) f (линейный) f (сканирование) h (от) g Fi (x) 3497
4428 y Ff (1) 3563 4416 y Fl (к) g Fi (x) 3712 4428 y Ff (2) 150
4516 y Fl (будет) g (\ 014nd) g (все) f (запрос) g (результаты) g (дюйм) h
Fi (O) r Fl (\ () p Fi (k) s Fl (\)) h (время.) 150 4686 y (Другой) 38
b (решение) f (is) g (to) h (использование) g (a) f (сбалансированное) g (двоичное) g (поиск) n (h) f (дерево.)
67 b (W) -7 b (e) 38 b (store) f (eac) n (h) g (p) r (oin) n (t) h (in) g (a) f (уникальный) h
(лист) 150 4786 г (нет) р (де.) e (Eac) n (h) 24 b (in) n (ternal) h (no) r (de) g (con) n
(tains) f (the) h (maxim) n (um) g (v) -5 b (alue) 25 b (in) h (его) f (слева) h
(поддерево.) 36 b (Когда) 25 b (p) r (ошибка) g (a) f (диапазон) 150
4886 y (запрос) 31 b (o) n (v) n (er) e (the) j (in) n (terv) -5 b (al) 31
b ([) p Fi (x) 1087 4898 y Ff (1) 1125 4886 y Fi (;) 14 b (x) 1209
4898 y Ff (2) 1247 4886 y Fl (],) 32 b (w) n (e) g (w) n (an) n (t) e (to) i (ид.) N
(tify) g (все) f (лист) g (нет) r (des) h (b) r (et) n (w) n (een) f Fi (x) 2956
4898 y Ff (1) 3026 4886 y Fl (и) g Fi (x) 3238 4898 y Ff (2) 3276
4886 y Fl (.) 48 b (T) -7 b (o) 31 b (do) h (this,) 150 4985 y (w) n (e) h (поиск) n (h)
f (от) g (the) i (дерево) f (ro) r (ot) f (для) h Fi (x) 1421 4997
y Ff (1) 1492 4985 y Fl (и) g Fi (x) 1706 4997 y Ff (2) 1744
4985 л Fl (.) 53 b (A) n (t) 34 b (некоторые) f (v) n (ertex) f Fi (v) k
Fl (\ (p) r (возможно) d (the) h (ro) r (ot \)) f (the) g (t) n (w) n (o) g (search) n (h) p
эоп
%% Стр .: 6 6
6 5 bop 150 40 a Fg (Лекция) 27 b (18:) 36 b (12.11.2003) 2584
b Fl (18-6) 150 330 y (дорожки) 26 b (будет) g (div) n (erge.) 35
b (Whenev) n (er) 26 b (the) g (путь) h (от) e Fi (v) 30 b Fl (до) c
Fi (x) 1982 342 y Ff (1) 2046 330 y Fl (ветвь) n (hes) f (слева,) i (the) f (справа) n
(t-поддерево) f (ясно) g (con) n (tains) 150 430 y (lea) n (v) n (es) e (b) r (et) n (w)
n (een) h Fi (x) 749 442 y Ff (1) 811 430 y Fl (и) g Fi (x) 1016
442 л Ff (2) 1054 430 л Fl (.) 36 b (Аналогично) -7 b (,) 25 b (whenev) n (er) e
(the) i (путь) f (от) g Fi (v) k Fl (до) c Fi (x) 2577 442 y Ff (2) 2639
430 y Fl (ветвь) n (hes) f (справа) n (t,) h (the) h (левое поддерево) 150
529 y (con) n (tains) 30 b (lea) n (v) n (es) f (b) r (et) n (w) n (een) i
Fi (x) 1091 541 y Ff (1) 1160 529 y Fl (и) f Fi (x) 1371 541
y Ff (2) 1409 529 y Fl (.) 47 b (A) 31 b (момент) n (t’s) g (хотя) n (t) f (sho) n (ws)
g (что) h Fh (al) t (l) 41 b Fl (lea) n (v) n (es) 29 b (b) r (et) n (w) n (een) i
Fi (x) 3432 541 y Ff (1) 3501 529 y Fl (и) f Fi (x) 3712 541
y Ff (2) 150 629 y Fl (are) d (in) g (факт) h (con) n (tained) f (in) h (эти) g
(поддеревья.) 150 800 y (The) d (диапазон) g (запрос) f (алгоритм) h (p) r (ошибки) f (a)
h (глубина- \ 014rst) h (поиск) n (h) e (in) h (эти) h (идентификатор) n (ti \ 014ed) g (поддеревья) e
(и) i (выходы) f (все) 150899 y (p) r (oin) n (ts) 33 b (con) n (tained) f (in) i
(их) f (lea) n (v) n (es.) 51 b (Идентификация) n (определение) 34 b (suc) n (h) e (поддеревья) h
(очевидно) f (требует) f (at) i (большинство) g Fi (O) r Fl (\ (log) 15
b Fi (n) p Fl (\)) 34 b (время) 150 999 y (так как) c (что) h (is) g (the) g (длина) f
(of) h (the) g (пути) f (from) h (the) g (ro) r (ot) e (to) i Fi (x) 2179
1011 y Ff (1) 2247 999 y Fl (и) g Fi (x) 2459 1011 y Ff (2) 2496
999 л эт (.) 46 b (The) 31 b (всего) f (время) h (требуется) f (для) g (eac) n (h) 150
1098 y (глубина- \ 014rst) 25 b (поиск) n (h) e (is) i (линейный) f (дюйм) h (the) g (n) n (um) n
(b) r (er) f (of) h (lea) n (v) n (es,) f (так как) g (the) h (деревья) f (являются) g (сбалансированы) 35
b (Th) n (us) 25 b (the) g (всего) g (время) 150 1198 y (требуется) i (is) g
Fi (O) r Fl (\ (log) 15 b Fi (n) j Fl (+) g Fi (k) s Fl (\).) 150
1501 y Fj (18.2.2) 113 b (Диапазон) 37 b (Запросы) h (дюйм) e (2-d) 150
1725 y Fl (The) 28 b (двоичный) f (поиск) n (h) f (дерево) i (приближение) n (h) d (for) j (1-d)
f (диапазон) f (запросы) h (can) h (b) r (e) g (расширенный) g (to) f (a) h (структура) f (for) g
(2-г) г (диапазон) 150 1825 г (запросы.) 53 b (The) 34 b (структура) e (состоит) h
(из) g (a) g (двоичный) g (поиск) n (h) f (дерево) h (\ (называется) g (the) h
Fm (первичный) k (дерево) p Fl (\)) 33 b (con) n (taining) g (the) 150
1925 y Fi (x) p Fl (-co) r (ординаты) c (of) h (все) g (p) r (oin) n (ts;) h (as) f (b) r
(efore,) g (the) h (p) r (oin) n (ts) f (are) f (in) h (the) h (lea) n (v) n (es.) 43
b (F) -7 b (или) 29 b (eac) n (h) h (in) n (ternal) f (no) r (de) h Fi (n) g
Fl (дюйм) h (the) 150 2024 y (первичный) i (дерево,) j (w) n (e) e (создать) f (an) h (asso) r
(связанный) f Fm (вторичный) 40 b (структура) 35 b Fl (con) n (taining) e (все) h (p) r
(oin) n (ts) g (in) h (the) f (поддерево) 150 2124 y (b) r (eneath) 28
b Fi (n) p Fl (,) g (упорядоченный) e (b) n (y) h (их) h Fi (y) s Fl (-co) r (ординаты.)
150 2294 y (Supp) r (ose) f (w) n (e) f (w) n (an) n (t) g (to) g (p) r (erform) g (a) h
(диапазон) e (запрос) h (o) n (v) n (er) e (the) j (регион) f ([) p Fi (x) 2372
2306 y Ff (1) 2409 2294 y Fi (;) 14 b (x) 2493 2306 y Ff (2) 2531
2294 y Fl (],) 27 b ([) p Fi (y) 2668 2306 y Ff (1) 2705 2294
y Fi (;) 14 b (y) 2783 2306 y Ff (2) 2820 2294 y Fl (]) 27 b (используя) f (this) h
(структура) 36 b (W) -7 b (e) 150 2394 y (\ 014rst) 35 b (p) r (erform) f (a) g
(диапазон) g (запрос) g (in) h (the) g (первичный) f (tree) h (for) f (the) h (in) n (terv) -5
b (al) 35 b ([) p Fi (x) 2612 2406 y Ff (1) 2649 2394 y Fi (;) 14
b (x) 2733 2406 y Ff (2) 2771 2394 y Fl (].) 59 b (As) 35 b (описание) r (ed) f (дюйм) h
(the) h (1-d) 150 2494 y (case,) 24 b (this) h (op) r (eration) e (identity) n (ti \ 014es)
h (a) g (set) g (of) g (in) n (ternal) g (no) r (des) g (чьи) f (поддеревья) h (con) n
(tain) f (все) h (p) r (oin) n (ts) h (in) f (the) h (in) n (terv) -5
b (al) 150 2593 y ([) p Fi (x) 220 2605 y Ff (1) 258 2593 y Fi (;) 14
b (x) 342 2605 y Ff (2) 379 2593 y Fl (].) 35 b (F) -7 b (или) 22
b (eac) n (h) e (in) n (ternal) h (no) r (de,) i (w) n (e) f (p) r (erform) f (a) g (диапазон) g
(запрос) g (in) h (его) f (вторичный) f (структура) i (o) n (v) n (er) e (the) i (in) n
(terv) -5 b (al) 150 2693 y ([) p Fi (y) 214 2705 y Ff (1) 251
2693 y Fi (;) 14 b (y) 329 2705 y Ff (2) 366 2693 y Fl (].) 37
b (Это) 27 b (ясно) g (Iden) n (ti \ 014es) h (все) f (p) r (oin) n (ts) g (that) h
(lie) g (дюйм) g (the) g (область) e ([) p Fi (x) 2467 2705 y Ff (1) 2505
2693 y Fi (;) 14 b (x) 2589 2705 y Ff (2) 2626 2693 y Fl (],) 28
b ([) p Fi (y) 2764 2705 y Ff (1) 2801 2693 y Fi (;) 14 b (y) 2879
2705 ​​y Ff (2) 2916 2693 y Fl (].) 150 2863 y (W) -7 b (e) 25
b (нет) n (w) e (анализировать) g (the) i (пробел) f (требуется) f (b) n (y) h (this) g
(структура) 36 b (Ev) n (ery) 22 b (p) r (oin) n (t) j (is) f (сохранено) f (in) i
(точно) e (один) h (лист) g (of) h (the) 150 2963 y (первичный) d (дерево.) 35
b (F) -7 b (или) 22 b (eac) n (h) h (предок) e (of) i (this) g (лист,) h (the) g (p) r
(oin) n (t) f (m) n (ust) g (b) r (e) h (хранится) e (in) h (a) g (вторичный) e (структура.)
35 b (Так как) 150 3063 y (w) n (e) 28 b (предположим) g (что) h (the) g (первичный) f (дерево) g
(есть) h (сбалансированный) f (eac) n (h) g (лист) h (имеет) f Fi (O) r Fl (\ (log) 15
b Fi (n) p Fl (\)) 29 b (предки.) 38 b (It) 29 b (следующий) n (ws) f (что) h (eac) n
(h) 150 3162 y (p) r (oin) n (t) h (is) f (сохранено) g (in) g Fi (O) r
Fl (\ (log) 15 b Fi (n) p Fl (\)) 30 b (вторичный) e (структуры.) 41
b (Поскольку) 30 b (the) g (пробел) f (использованный) g (b) n (y) g (eac) n (h) g (вторичный) f
(структура) 150 3262 y (is) f (linear) g (in) h (the) g (n) n (um) n (b) r (er) g (of) f
(p) r (oin) n (ts) h (что) f (it) h (con) n (tains,) f (the) h (всего) g (пространство) e
(требуется) h (is) g Fi (O) r Fl (\ () p Fi (n) 14 b Fl (log) h Fi (n) p
Fl (\).) 150 3432 y (W) -7 b (e) 26 b (нет) n (w) f (анализировать) g (the) h (время) g
(обязательно) f (b) n (y) h (a) f (диапазон) g (запрос) g (использование) g (this) h (структура) 36
b (Пусть) 26 b Fi (k) i Fl (b) r (e) f (the) f (всего) f (n) n (um) n (b) r (er) 150
3532 y (из) k (запрос) g (результаты) 41 b (Let) 30 b Fi (S) k Fl (b) r (e) c (the) g (набор)
f (of) g (вторичный) f (структуры) g (that) i (w) n (e) f (запрос) -7
b (.) 41 b (By) 29 b (наш) g (аргумен) n (ts) f (in) i (the) 150 3632
y (1-d) c (случай,) f Fb (j) p Fi (S) 5 b Fb (j) 23 b Fl (=) g Fi (O) r
Fl (\ (log) 15 b Fi (n) p Fl (\).) 37 b (F) -7 b (или) 25 b (an) n (y) h
Fi (s) d Fb (2) g Fi (S) 5 b Fl (,) 27 b (let) f Fi (k) 1773 3644
y Fe (s) 1835 3632 y Fl (обозначить) h (the) f (n) n (um) n (b) r (er) g (of) h (запрос) e
(результаты) h (in) h (дерево) f Fi (s) p Fl (.) 36 б (Ясно) 150 3731
y Fi (s) 23 b Fl (con) n (tains) g (at) g (наиболее) h Fi (n) f Fl (p) r (oin) n (ts,) h (so) f
(the) h (время) g (требуется) f (to) g (запрос) g Fi (s) g Fl (is) h
Fi (O) r Fl (\ (log) 15 b Fi (n) 10 b Fl (+) g Fi (k) 2780 3743
y Fe (s) 2815 3731 y Fl (\).) 36 b (The) 24 b (всего) f (время) h (требуется) 150
3831 y (к) j (запрос) g (все) h Fi (s) 23 b Fb (2) g Fi (S) 32 b
Fl (is) c (следовательно) 722 3947 y Fd (X) 722 4125 y Fe (s) p Fc (2) p
Fe (S) 856 4026 y Fi (O) r Fl (\ (log) 15 b Fi (n) j Fl (+) g Fi (k) 1269
4038 y Fe (s) 1305 4026 y Fl (\)) 51 b (=) 1517 3947 y Fd (X) 1517
4125 y Fe (s) p Fc (2) p Fe (S) 1651 4026 y Fi (O) r Fl (\ (log) 15
б Fi (n) p Fl (\)) j (+) 2053 3947 y Fd (X) 2053 4125 y Fe (s) p
Fc (2) p Fe (S) 2187 4026 y Fi (O) r Fl (\ () p Fi (k) 2327 4038
y Fe (s) 2364 4026 y Fl (\)) 51 b (=) f Fi (O) r Fl (\ (log) 2767
3988 y Ff (2) 2818 4026 y Fi (n) p Fl (\)) 19 b (+) f Fi (O) r
Fl (\ () p Fi (k) s Fl (\)) 150 4291 y (Так как) 36 b (it) f (tak) n (es) g (только) g
Fi (O) r Fl (\ (log) 15 b Fi (n) p Fl (\)) 35 b (время) h (to) g (поиск) n (h) d (the) j
(первичный) e (дерево,) j (the) f (общий) f (время) h (требуется) f (для) f (a) h (диапазон) 150
4391 y (запрос) 27 b (используя) g (this) h (структура) f (is) h Fi (O) r
Fl (\ (log) 1405 4354 y Ff (2) 1456 4391 y Fi (n) 18 b Fl (+) g
Fi (k) s Fl (\).) p eop
%% трейлер
конец
userdict / end-hook известно {end-hook}, если
%% EOF

Проект DLR TuLam: проектирование транспортного самолета малой и средней дальности с крылом NLF прямой стреловидности

Конструкция аэродинамического профиля

В качестве расчетной точки для профилей образующих секций ламинарного крыла прямой стреловидности центр крейсерской области в полете огибающая была определена (рис. 5). Соответственно, число Маха набегающего потока составляет Ma = 0,78, а эшелон полета 35 000 футов, что приводит к хордовому числу Рейнольдса Re _AMC = 24 миллиона, в то время как средний общий коэффициент подъемной силы во время расчетной миссии приходит к C _L = 0.52.

На первом этапе были спроектированы две генераторные секции для установки в крыло на станциях безразмерного размаха η = 0,294 и η = 0,56, где число Рейнольдса и требуемый коэффициент подъемной силы были адаптированы к местным условиям ( т.е. масштабирование Re через локальную хорду, в то время как местный коэффициент подъемной силы cl берется из распределения подъемной силы по размаху предварительного проекта самолета). В качестве дополнительного геометрического ограничения была предписана требуемая относительная максимальная толщина обеих секций в соответствии с результатами LamAiR, рис.9, должно быть t / c = 13,0% при η = 0,294 и t / c = 11,5% при η = 0,560.

Используя метод 2,75d FLOWer, разработанный Стрейтом [9], расчет был выполнен в обратном порядке, то есть геометрия профилей профиля на линии полета вычислялась итеративно до тех пор, пока не будет согласовано заданное целевое распределение давления, в результате чего эффекты развертки и конусности учтено.

Результаты этапа проектирования профиля представлены на рис.6. Показаны распределение давления и геометрия секций генератора на пролетных постах η = 0,294 (внизу) и η = 0,560 (вверху). На верхней поверхности давление следует типичной последовательности трансзвуковых ламинарных профилей. На той же диаграмме можно найти распределения N -факторов, показывающие рост амплитуды поперечного потока ( N _CF ) и нестабильности Толлмина-Шлихтинга ( N _TS ). Амплитуды обоих семейств возмущений сохраняются низкими на всем ламинарном участке верхнего поверхностного пограничного слоя и значительно ниже предела, который составляет примерно N = 9–10.Затем переход происходит за пределами минимума давления примерно на 60% хорды из-за сильного роста N _TS , который следует за повышением давления, которое происходит вместе с скачком сжатия в том же месте. Оценка лобового сопротивления для этого ламинарного аэродинамического профиля дает коэффициент c _d = 47dc (счетчик сопротивления), включая волновое сопротивление всего 1dc (для сравнения: типичный полный хордовый турбулентный профиль с примерно такой же толщиной и требованиями к подъемной силе при сопоставимых значениях Рейнольдса). число будет иметь сопротивление порядка c _d = 80 — 88dc, из которых волновое сопротивление около 10dc).

Рис. 6

Распределения давления и N-фактора вместе с интегральными коэффициентами секций крыла генератора при η = 0,294 (внизу) и η = 0,560 (вверху)

Из-за использования Krüger в качестве ведущего краевое устройство и, следовательно, неизбежно ранний переход из-за зазоров и ступенек, ламинарное распределение давления не требуется на нижней стороне крыла. Поэтому было решено реализовать там фронтальную загрузку. Таким образом можно было удовлетворить потребность в подъемной силе c _l = 0.582 с умеренной задней загрузкой. Это дает два преимущества: во-первых, коэффициент продольного тангажа может быть низким, и, во-вторых, рекомпрессия на верхней поверхности за амортизатором может быть спроектирована с умеренным градиентом, который ослабляется даже к задней кромке. Такой тип умеренного повышения давления (примерно по идее Стратфорда) ограничивает рост толщины потери импульса турбулентного пограничного слоя на верхней задней части профиля. Из исследования дозвукового профиля Эпплера [10] хорошо известно, что эта локальная мера способствует низкому общему лобовому сопротивлению профиля.Однако при использовании стратфордского типа распределения давления срыв может происходить внезапно, потому что пограничный слой на верхней поверхности при большом угле атаки близок к разделению в каждом положении по хорде x / c от передней кромки до задней кромки.

Для данной работы характеристики сваливания (на низкой скорости) или наступление столкновения (на высокой скорости) спроектированных профилей не исследовались подробно, но был сделан быстрый просмотр на основе распределений давления, рассчитанных с помощью 2.Код 75d FLOWer был выполнен в двух точках диапазона полета, чтобы проверить, свободен ли поток в этих рабочих точках от разделения (полет на низкой скорости на VS1 в 24 000 футов и полет на высокой скорости в MMO 0,82 на 35 000 футов). Хотя эти проверки показали отсутствие эшелонирования, утверждение с более высокой степенью уверенности может быть сделано только с использованием методов численного анализа для окончательной полной конфигурации воздушного судна. Однако окончательное доказательство, а также оценка поведения сваливания должны быть выполнены экспериментальным исследованием.

Для других точек диапазона полета (красные точки на рис. 5) возникли вопросы, можно ли еще ожидать увеличения сопротивления за счет ламинаризации. В качестве примера на рис. 7 показан результат аэродинамического анализа для левой границы области крейсерского полета для участка при η = 0,560. При уменьшенном числе Маха набегающего потока Ma = 0,76 и постоянной общей подъемной силе расчет проводился для немного более высокого местного коэффициента подъемной силы c _l = 0.613. Можно заметить, что распределение давления на стороне всасывания было заполнено в передней области за счет увеличения угла атаки. Это приводит к уменьшению градиента давления, что, в свою очередь, отрицательно сказывается на росте нестабильности Толлмина-Шлихтинга. По сравнению с расчетной точкой N _TS достигает критического значения уже на 42% хорды. Хотя по-прежнему есть преимущество лобового сопротивления по сравнению с турбулентной конструкцией с полной хордой, усиление уже снижено и, что еще хуже, показанное распределение N _TS подразумевает быстрое перемещение перехода в направлении передней кромки, если угол атака увеличена только немного больше.Очевидно, что в этих условиях крыловой профиль работает на краю своего ламинарного ковша в поляре сопротивления.

Рис. 7

Эффект закрылка задней кромки, который улучшает характеристики нерасчетного лобового сопротивления ламинарного профиля

В качестве простой меры для улучшения нестандартных характеристик был введен закрылок задней кромки с хордой 10% и его действие исследовано. Результат показан в правой части рис. 7 для профиля толщиной 11% при η = 0.560: Отклонение закрылков вниз на + 5 ° решает проблему за счет увеличения развала и, следовательно, задней нагрузки. Это возможно из-за первоначально умеренного повышения давления в верхней задней части при отклонении закрылка 0 °, которое было связано со стратфордским типом распределения давления. Как можно видеть на правой стороне фиг. 7, благоприятный уклон на передней части профиля был восстановлен, в то время как N _TS можно было значительно снизить.

Дальнейшие расчеты показывают, что этот эффект также можно ожидать для рабочих точек на подъеме, где при соответствующих отклонениях закрылков, увеличении высоты полета и, следовательно, увеличении числа Маха, но уменьшении числа Рейнольдса крыло будет постепенно становиться ламинарным от вершины к вершине. корень.Тем не менее, эта гипотеза должна быть подтверждена для окончательной конструкции крыла в подробных расчетах 3D HiFi.

Конструкция крыла

Путем определения конфигурации мишени TuLam и этапа предварительного проектирования некоторые из классических работ по проектированию крыла уже завершены, то есть определены форма крыла в плане, подъемная сила и распределение кручения. С помощью ранее спроектированных профилей крыла было получено монотрапециевидное крыло, показанное на рис. 8. Профиль толщиной 11,5% расположен на законцовке крыла и η = 0.560 (поз. 5), а профиль толщиной 13,0% находится при η = 0,294 (поз. 4). Корневая часть, обтекатель и фюзеляж взяты из проекта LamAiR. Между генераторными секциями крыло линейно интерполировалось. Результат аэродинамического анализа комбинации крыло-корпус в указанной выше расчетной точке с помощью структурированного решателя RANS FLOWer показан слева на рис. 8. Можно видеть, что распределение давления в поз. 4 и 5 соответствуют дизайну 2.75d. Кроме того, изобары представляют собой прямые линии, которые совпадают с линиями постоянного процента даже в месте удара.Но при подходе к руту через поз. Изобары 3, 2 и 1 имеют тенденцию становиться все более и более изогнутыми линиями с постепенным уменьшением размаха на скачке уплотнения. Этот «эффект центра» возникает из-за того, что фюзеляж действует на поток как плоскость симметрии, а пересечение изобар и фюзеляжа может быть только перпендикулярным. Как следствие, скачок уплотнения уже не наклонный, а прямой с соответствующим увеличением местного волнового сопротивления.

Рис. 8

Дизайн крыла ТуЛам 3d; слева: отправная точка; справа: окончательный дизайн; показаны изобары на стороне всасывания крыла

Очевидно, чисто геометрической стреловидности крыла недостаточно в области, близкой к фюзеляжу.Фактически, должны быть применены дополнительные меры аэродинамического дизайна, чтобы адаптировать секции крыла таким образом, чтобы изобары совпадали с линиями постоянного процента, насколько это возможно. В данном случае для достижения этой цели были использованы возможности трехмерного инверсного проектирования кода FLOWer. Результат представлен в правой части рис. 8. Поскольку турбулентный клин в любом случае будет исходить от пересечения передней кромки крыла и фюзеляжа, в поз.1, который постепенно меняется через поз. 2 на ламинарные распределения в поз. 3 и 4. Как и ожидалось, секции аэродинамического профиля, сформированные для положений по размаху вблизи корня, довольно толстые (например, относительная толщина 16% в поз. 1), в то время как положение максимальной толщины по хорде в этих секциях смещено назад. На рисунке 9 показано распределение относительной толщины t / c по размаху, полученное в конструкции крыла TuLam, в сравнении с результатами LamAiR.

Рис. 9

Максимальная относительная толщина t / c проектируемых секций крыла ТуЛама

Раздел: 03.Геометрические характеристики

Глава: 03. Геометрические характеристики

Глава: 03. Геометрические характеристики

03.01 Допущения конфигурации

Геометрия самолета основана на традиционной, дозвуковой и коммерческой конфигурациях. Это подразумевает отдельное крыло и фюзеляж (в отличие от комбинированного корпуса), гондолы некоторой формы (на крыле, фюзеляже или киле), а также горизонтальные и вертикальные хвостовые оперения (стабилизатор и киль), расположенные в кормовой части. Фортепиано не рассматривает утки, тандемные крылья или другие необычные многоплоскостные конфигурации.

Вы определяете основные геометрические характеристики с помощью таких параметров, как площадь крыла, ширина взрывателя и т. Д. Фюзеляж и гондолы могут использоваться произвольной формы. Piano автоматически определяет все размеры, площади и объемы, необходимые для аэродинамических и массовых расчетов. Подробные выходные данные производятся с помощью пункта « Geometry » в меню « Report ».

03.02 Базовая форма крыла в плане

Базовая форма крыла в плане определяется как простая трапеция с помощью параметров крыла: площадь, удлинение (или, альтернативно, размах), угол стреловидности и конусность.Важно помнить, что эти параметры относятся к трапецеидальным значениям . Вы можете указать дополнительный разрыв в плане (и разрыв по толщине) отдельно.

Рисунок # 01крыло

Коэффициент конусности определяется как (хорда кончика) / (условная трапецеидальная хорда на центральной линии). Площадь крыла относится ко всей трапеции, включая часть, скрытую внутри фюзеляжа. Вы можете указать либо соотношение сторон, либо диапазон, но не то и другое одновременно. (В том маловероятном случае, если ни один из них не поставляется, Piano выбирает типичное соотношение сторон из статистических тенденций структурных соотношений консолей).Угол развертки (градус развертки) обычно указывается на линии четверти хорды. (Вы можете использовать параметр xi-sweep, чтобы изменить эту хордовую дробь). В размахе крыла нет крылышек. Они рассматриваются как отдельные предметы.

Крыло установлено на фюзеляже в высокой, низкой или средней конфигурации, в зависимости от установки крыла, под двугранным углом двугранного градуса. Его продольное расположение вдоль фюзеляжа определяется процедурой балансировки самолета, описанной в главе №08, раздел 13, если он не фиксируется пользователем с помощью крыла-вершина-предохранитель.

Исходные коды: Основная функция — геометрия крыла.

03.03 Дополнительный разрыв формы крыла в плане

К крылу может быть добавлен единственный излом в плане. Это образует дополнительную треугольную область вдоль внутренней задней кромки, иногда называемую «Иегуди». Его размер определяется параметрами planform-break-дробь и planform-break-t.e.-Adjustment. Такой разрыв обеспечивает подходящее место для установки ходовой части, а также позволяет местное увеличение хорды и толщины конструкции возле корня.Обычно фракция разрыва плоской формы указывается как часть открытого полуразрыва. (Вы можете изменить это, установив для параметра break-fraction-definition значение: general-semispan). Задний край внутри точки останова будет не развернут (то есть под прямым углом к ​​фюзеляжу), если вы не укажете иное с помощью параметра planform-break-t.e.-adjust.

03.04 Соотношение толщины и хорды

Отношение толщины / хорды у основания крыла определяется как t / c-root.(«Корень» здесь означает соединение крыла с фюзеляжем или «боковую часть корпуса», а не осевую линию). Соотношение t / c на других станциях по размаху затем определяется как часть этого «корневого» значения, как показано ниже:

На законцовке крыла t / c является произведением параметра t / c-tip / root (по умолчанию = 1) и t / c-root. Точно так же, если есть «разрыв толщины», t / c в этом месте является произведением t / c-break / root (по умолчанию = 1) и t / c-root.

Вы можете указать положение «разрыва толщины» (если есть) по размаху с помощью вычисляемого параметра «Толщина-разрыв-фракция».Если не указан, это совпадает со значением дроби-планформ.

Фигурка № 04, передняя

Во время внутренних расчетов предполагается, что физическая толщина крыла на промежуточных станциях изменяется линейно от основания до точки разрыва и от точки разрыва до вершины. Внутри любого разрыва в плане все отношения т / п, естественно, относятся ко всему локальному аэродинамическому профилю, а не к местной трапециевидной хорде.

03.05 Базовая площадь крыла (и другие)

Не существует единого общепринятого определения площади крыла.Номера брошюр часто цитируются без объяснения или последовательности, что приводит к неправильному толкованию и грубым ошибкам. Поэтому важно знать, как обрабатывать область крыла:

Базовая опорная площадь , используемая в Piano, — это площадь крыла, трапециевидная область . Все соответствующие входные параметры и коэффициенты основаны на нем. Внутренние аэродинамические расчеты также используют эту эталонную область, делая соответствующие поправки на любой разрыв формы в плане.

Начиная с трапециевидного крыла и дополнительного разрыва в плане, как описано в предыдущих разделах, Piano также вычисляет следующие альтернативные определения площади:

Фигурка # 05wings

Определение Airbus (или Airbus Gross): = открытая площадь крыла + (площадь прямоугольника внутри фюзеляжа между передней и задней кромками у основания).

Определение Boeing (или Wimpress): = трапециевидная площадь + (открытая область разрыва «yehudi») + (покрытая область разрыва «yehudi») * (доля открытого пролета на разрыве).

Определение ESDU: = площадь условной трапеции, имеющая ту же открытую площадь, что и фактическое открытое крыло, и с тем же хордой и размахом законцовки. (Эта условная трапеция задумана как грубый аэродинамический эквивалент всего крыла. Она отличается от базового трапециевидного крыла).

Определение Piano Gross: = общая площадь, охватываемая при продолжении линий передней и задней кромок через фюзеляж до осевой линии.

Рассчитанные значения всех этих областей показаны в отчете « Геометрия ».

Когда вы создаете модель существующего самолета, вы можете знать значение, указанное производителем для одной из указанных выше областей. Если это так, используйте функцию « Re-Size Wing » (в меню « Plane »), чтобы найти соответствующую трапециевидную площадь крыла.Это позволяет избежать ручных расчетов или рисования эскизов. В таком упражнении вы должны сначала присвоить значения доле излома формы в плане, конусности и градусу развертки на основе имеющихся чертежей или с использованием ваших лучших оценок. Задайте произвольное начальное значение площади крыла, а затем используйте диалоговое окно « Re-Size Wing », чтобы выбрать желаемое определение и установить известную площадь. Вам нужно будет указать либо диапазон, либо соответствующее определение соотношения сторон в диалоговом окне (это соотношение сторон, конечно, может отличаться от соотношения сторон трапеции).

Проверка реальности !: Некоторые формы крыльев в плане очень сложные, с небольшими множественными изломами. Вам всегда придется действовать осмотрительно, чтобы преобразовать такие замысловатые формы в трапецию с одним разрывом формы в плане. В любом случае методы расчета массы и сопротивления Piano основаны на этой наиболее распространенной конфигурации. Было бы бессмысленно и также вводить в заблуждение вводить дополнительные подробные варианты определения, которые не соответствуют ограничениям методологии.

Еще несколько комментариев к площади крыла в контексте аэродинамических расчетов можно найти в главе № 05section03.

Наконец, можно сказать, что путаница в отношении площадей крыльев — устоявшаяся традиция в аэронавтике. Исторически сложилось так, что основные игроки, такие как Airbus, Douglas и Boeing, выбирали разные эталонные определения (Дуглас был трапециевидным, Boeing переключился на Wimpress в эпоху 747), и даже разные отделы одной компании могли конфликтовать. Когда ранние модели 737 получили увеличенную площадь крыла, старая площадь, похоже, была сохранена для целей аэродинамики. Такие примеры указывают на простую истину: у каждого варианта есть небольшие плюсы и минусы с точки зрения удобства использования, но в конечном итоге любой из них хорош, если вы последовательны в его использовании.

03.06 Геометрия фюзеляжа

Фюзеляжи разделены на три отдельных сегмента (передний, средний и задний). Общая длина фюзеляжа складывается из параметров: длина переднего взрывателя, длина среднего взрывателя и длина заднего взрывателя.

Рисунок # 02 Предохранитель

Средний сегмент определяется как параллельная труба постоянного поперечного сечения (не обязательно круглой). Его внешняя ширина определяется параметром fuse-width, а его внешняя глубина является произведением глубины / ширины предохранителя (значение по умолчанию = 1) и ширины предохранителя.Несколько вариантов формы поперечного сечения обеспечивает параметр fuse-xsection-type.

Фигурка # 03xsections

Передний и задний сегменты фюзеляжа могут быть произвольной формы. Эти формы видны на плане и в вертикальной проекции на чертежах с 3 видами. Каждый раз, когда вы изменяете размеры сегмента фюзеляжа, соответствующие формы автоматически масштабируются («прорезинены»), чтобы соответствовать новой длине, ширине или глубине.

Исходные коды: Соответствующая функция — fuse-geometry.

03.07 Фигуры и «Редактор форм»

Вы можете выбрать одну из множества предопределенных форм или ввести свои собственные произвольные формы для переднего и заднего сегментов фюзеляжа, а также для любых гондол. Фигуры хранятся в виде отдельных файлов в папке «shape» отдельно от плоскостей. Если вы явно не укажете форму при создании новой плоскости, будут использоваться файлы с именем «default».

Используйте « Shape Editor » в меню « Misc », чтобы создать новую форму или отредактировать существующую.Вы также можете предварительно просмотреть форму и определить ее смоченные и проецируемые области. (Примечание: редактирование формы — это отдельный процесс от загрузки ее в текущую плоскость).

Форма состоит из ряда продольных станций, каждая из которых имеет соответствующее значение для локальной высоты верхнего контура, нижнего контура и локальной ширины. Таким образом, формы симметричны, если смотреть сверху, но не обязательно сбоку.

Станции измеряются слева направо (как показано на трех видах).Вы можете использовать любые единицы измерения (метры, мм, футы, дюймы), потому что размеры фигуры в любом случае можно «прорезинить». Первая станция всегда должна быть равна нулю, но интервалы между станциями не обязательно должны быть постоянными. Для передней части фюзеляжа начните с носовой части и двигайтесь к корме. Для гондол начните спереди (заборник) и двигайтесь к корме. Для задней части фюзеляжа начните с конца середины фюзеляжа (максимальный диаметр) и двигайтесь к корме. Высота (для верхнего или нижнего контура) может быть измерена относительно любого произвольного горизонтального уровня, обычно низа фигуры.Отрицательные значения не допускаются. Ширина может быть полной или полушириной. Одно ограничение состоит в том, что форма должна быть номинально открытой на обоих концах, то есть зазор между верхним и нижним контурами может быть очень маленьким, но не нулевым.

При сохранении формы (через «Редактор формы ») обязательно выберите соответствующую папку из «передних фюзеляжей», «задних фюзеляжей», «гондол» или «гондол на плавниках» (все они находятся в поверните, расположенный внутри папки ‘shape’).Piano не сможет найти какие-либо формы, которые были сохранены за пределами назначенных им папок.

После того, как форма была определена, вы загружаете ее, используя « Загрузить форму » (в меню « Разное »). Он будет автоматически масштабирован до размеров текущей плоскости. Если вы затем сохраните плоскость с помощью « Сохранить плоскость … », фигура станет постоянно связанной с ней. Связывание файла формы с плоскостью достигается с помощью параметров front-fuse-name, rear-fuse-name, nac-name и nac -name.Они просто содержат имя файла соответствующей формы. Нажатие на такие параметры — альтернативный способ загрузки фигур.

Данная форма может использоваться несколькими плоскостями, каждая из которых имеет разные размеры. Это важно помнить, если вы решите изменить существующую форму: вы можете воздействовать не только на текущую плоскость!

Исходные коды: соответствующие функции: load-all-solid, setup-front-fuse, setup-rear-fuse, setup-nac, setup-nac .

03.08 Геометрия гондол

Гондолы двигателей могут быть установлены на крыле, фюзеляже или киле (например, как у MD-11). Также возможно размещение двигателей внутри фюзеляжа.

Основным размером гондолы является ее максимальная ширина, определяемая через nac-width. Затем глубина и длина указываются как доли этой ширины с помощью nac-depth / width (по умолчанию = 1) и nac-length / width (по умолчанию = 2). Эти размеры применимы ко всем гондолам, установленным на крыле и / или фюзеляже.Если установлена ​​гондола на ребрах, ее размеры задаются по отношению к основным гондолам с помощью параметров nac -width-ratio, nac -depth-ratio и nac -length-ratio. Поскольку параметры определены в таких относительных единицах, легко масштабировать всю форму гондолы равномерно, изменяя только ширину nac.

Расположение гондол на крыле по размаху (и, неявно, их количество) задается с помощью единственного параметра nacs -ounted-on-wing.В продольном направлении положение гондолы регулируется посредством nac-location-forward-of-wing, а в вертикальном направлении — nac-location-below-wing.

Рисунок # 08nacs

Количество и поперечное расположение гондол, установленных в хвостовой части фюзеляжа, определяется параметром nacs-installed-on-fuse. Их положение в продольном направлении контролируется встроенным предохранителем. (В вертикальном направлении гондолы на фюзеляже располагаются приблизительно так, чтобы их ось проходила через конец хвостовой части фюзеляжа).

Рисунок # 07nacfin

Одиночная гондола с оперением (стиль MD-11) определяется параметром nac -ounted-on-fin, а ее положение определяется параметрами nac -longitudinal-location и nac -vertical-location.

Если есть двигатели, установленные внутри фюзеляжа, их можно указать с помощью параметра nacs-installed-in внутренне. Это диктует как количество, так и продольное размещение такого двигателя (ов). Размеры гондолы в данном случае явно не актуальны.

Исходные коды: Соответствующие функции: nac-geometry, nac -geometry.

03.09 Геометрия стабилизатора и ребра

По умолчанию области стабилизатора (горизонтальное оперение) и киля (вертикальное оперение) определяются во время процедуры балансировки самолета, описанной в главе № 08, раздел 13. При моделировании существующего самолета вы можете ввести любую известную площадь хвоста, указанную производителем, напрямую через функцию « Set Tail Areas » (в меню « Plane »).В качестве альтернативы, вы можете установить площади косвенно через параметры «коэффициент объема хвоста» required-stab-vol-coeff и required-fin-vol-coeff.

Рисунок # 06vbars

И стабилизатор, и киль моделируются как простые трапециевидные поверхности с постоянным отношением толщины к хорде по всему размаху. Основными геометрическими параметрами являются соотношение сторон ножки, конусность, угол наклона, угол поворота, угол наклона ребра, соотношение сторон ребра, конусность ребра, угол поворота ребра и угол наклона ребра. По определению, площадь стабилизатора — это общая величина, включая любую часть, скрытую в фюзеляже.(Открытая площадь стабилизатора, конечно, также оценивается Piano и используется при расчетах сопротивления). Предполагается, что область плавников полностью обнажена (общая площадь = открытая площадь). На трех видах киль просто изображен как отдельная трапеция, прикрепленная к верхним контурам фюзеляжа в корневой точке четверти хорды.

Стабилизатор и оперение расположены непосредственно перед концом фюзеляжа. Вы можете перемещать их вперед и назад через зазор между хвостовым конусом и зазор между оперением и конусом. Они представляют собой типичную длину хвостовой части, которая остается позади задней кромки хвостовой части.

В вертикальном направлении размещение стабилизатора определяется стойкой крепления. Низко расположенные стабилизаторы расположены на одном уровне с концом хвостовой части. Стабилизаторы средней или высокой установки (крестообразные или Т-образные) располагаются вдоль плавника так, чтобы их точка четверти хорды у основания совпадала с четвертью хорды плавника (в этом случае, кстати, значение ударно-хвостового конуса). разрыв становится неактуальным).

Примечание. Если не указано иное, значения stab-sweep-deg, fin-sweep-deg, относительного удлинения киля и конусности киля выбираются из статистических корреляций с градусом стреловидности крыла и установкой стойки.

Небольшой «спинной плавник» можно определить с помощью доли высоты спинного плавника и доли длины спинного плавника. Спинные части часто добавляются для предотвращения срыва плавников или ударов плавников при высоких углах бокового скольжения, а Piano просто рассматривает их как дополнительный элемент сопротивления и массы, а не как часть области плавников.

Исходные коды: Соответствующие функции — геометрия ножа, геометрия плавника.

03.10 Геометрия крылышек

Крылышки традиционного типа указываются с помощью параметра exist-winglets.Их размер относительно крыла определяется размахом крыла / полуразмахом крыла и хордой основания крыла / хордой законцовки крыла. Угол наклона наружу winglet-cant-deg включен только из эстетических соображений. Обратите внимание, что размах параметра относится только к крылу и не включает крылышки. Однако общий размах, включая крылышки, показан в отчетах о геометрии и в трех видах.

Исходные коды: См. Функцию winglet-geometry.

03.11 Геометрия ходовой части

Длина ходовой части определяется (вычисляемым) параметром u / c-length-below-fuse.Эта длина используется в оценках массы U / C, а также для получения приблизительных пределов вращения во время разбега (см. Главу № 10, раздел 08). Основное шасси устанавливается либо на фюзеляже, либо на крыле, в зависимости от u / c-монтируется, в положении по размаху, указанном eta-u / c. Если не поставляется, типичное значение длины u / c-ниже взрывателя выбирается исходя из грубой корреляции с размером фюзеляжа. Из-за большого разнообразия возможных конфигураций, как правило, лучше всего вводить этот параметр напрямую.

Исходные коды: См. Функцию u / c-geometry, переменные main-u / c-length, нос-u / c-length.

03.12 Закрылки, предкрылки и спойлеры

Для целей расчета площади и трех видов предполагается, что закрылки задней кромки проходят от основания крыла до положения по размаху, определяемого параметром эта-закрылки. Их хордовая протяженность определяется хордовой долей лоскута. Эта дробь применяется за пределами любого разрыва формы в плане. Предполагается, что внутренний откидной борт имеет постоянный хорд, равный его значению в точке останова.

Если есть какие-либо предкрылки (в зависимости от существующих-предкрылков), они занимают (трапециевидную) долю хорды, заданную параметром «фрак-пояс-предкрылка», и долю открытого пролета, заданную параметром «эксп-пролет-предкрылка». Если последнее меньше 1, ламели начинаются с кончика и выходят внутрь.

Спойлеры — это просто прямоугольники, размер которых задается с помощью параметра spoiler-exp-span-дробь (ноль, если спойлеров нет) и спойлера-аккорда-дроби (номинальное значение на среднем хорде).

03.13 Лобовое стекло и окна

Ветровое стекло используется для незначительной корректировки при расчете сопротивления фюзеляжа.Обычно Piano рисует лобовое стекло в том месте, где форма передней части фюзеляжа сначала показывает «изгиб». Это может быть изменено с помощью фракции верха ветрового стекла. Фронтальная площадь рассчитывается в зависимости от глубины ветрового стекла и доли ширины ветрового стекла. Окна располагаются вдоль салона в соответствии с количеством окон (обычно определяется количеством пассажиров и мест рядом). Их размер задается глубиной и шириной окна (предполагается, что они эллиптические или круглые).

03.14 Проверка салона

Детали компоновки салона и конфигурации сидений выходят за рамки возможностей Piano.Тем не менее, проводятся некоторые проверки, чтобы гарантировать, что геометрия фюзеляжа может (по крайней мере, в принципе) вместить указанное количество пассажиров и количество сидячих мест рядом. Единая одноклассная компоновка исследуется в соответствии со значениями расстояния между сиденьями, шириной сиденья и шириной прохода салона. По умолчанию кабина занимает средний сегмент фюзеляжа (постоянное поперечное сечение). Он также может вторгаться в передний и задний сегменты фюзеляжа, как указано в параметрах «кабина-в-перед-предохранитель» и «кабина-в-заднем-предохранителе».Вертикальное расположение пола кабины определяется положением пола кабины. Если существует полная вторая дека (например, в А380), это должно быть указано в exist-2nd-deck. (Примечание: небольшая верхняя палуба B747 необычна, и этот самолет считается одноэтажным). Эти проверки геометрической безопасности могут быть отменены с помощью параметра ignore -nding-tests.

Исходные коды: См. Функцию cabin-geometry.

03.15 Расчет площади увлажнения

При расчете сопротивления поверхностного трения необходимо множество смачиваемых участков.Смачиваемая площадь среднего сегмента фюзеляжа зависит от его типа поперечного сечения, определяемого параметром fuse-xsection-type. Смачиваемые области передней части фюзеляжа, задней части фюзеляжа и формы гондолы (см. ‘ Shape Editor ‘ ) получены в соответствии с процедурами [данные недоступны в Интернете]. Предполагается, что локальные поперечные сечения таких форм имеют примерно эллиптическую форму по всей длине, масштабируемую до заданной ширины и глубины на каждой станции. Для плавного соединения различных форм предполагается, что некоторая форма смешения форм происходит вдоль оси фюзеляжа вблизи стыков отдельных сегментов.Этот метод обеспечивает чрезвычайно высокую точность при расчете площади, избегая при этом необходимости в сложных сетках трехмерных характеристик поверхности.

Крыло разделено на несколько панелей по размаху и рассчитывается смачиваемая площадь каждой с эмпирической поправкой на «коэффициент формы» для местного отношения толщины к хорде аэродинамического крыла. Смачиваемые участки стабилизатора, киля и крылышка (если есть) обрабатываются аналогичным образом с использованием отдельных панелей. Часть стабилизатора, утопленная в фюзеляже, вычитается.

Воздействие соединения крыла и фюзеляжа на смачиваемую зону сложное и зависит от деталей трехмерного контура. С одной стороны, часть площади фюзеляжа покрыта корневым аэродинамическим профилем, с другой стороны, дополнительная площадь создается корневым обтекателем и частями крыла внутри бокового положения. Эмпирическая поправка на эти вклады использует параметр типа обтекателя, который предлагает выбор общих конфигураций обтекателя. Это основано на ограниченных данных и представляет собой корректировку токена.Для больших или необычных обтекателей может оказаться целесообразным применить дополнительный коэффициент к лобовому сопротивлению фюзеляжа (лобовое сопротивление взрывателя).

Смачиваемые участки гондолы имеют соответствующие формы аналогично секциям фюзеляжа. Нет никаких попыток явно учитывать геометрию пилона или влажную зону. Вместо этого типичные поправки вносятся непосредственно в расчеты сопротивления гондолы (см. Главу № 05, раздел 09).

Также вносятся корректировки в общую смачиваемую площадь, чтобы учесть любую область, покрытую гондолой, установленной на стабилизаторе, областями крылышек и областью спинного плавника (если применимо).Автономные значения для отдельных компонентов и общая смачиваемая площадь, включая все корректировки, указаны в отчете « Геометрия ».

Исходные коды: Соответствующие функции — это самолет, движение крыла между этами, геометрия обтекателя, периметр взрывателя и другие функции, указанные в предыдущих разделах о геометрии.

03.16 Расчет объема топлива

Piano определяет доступный объем топлива (также называемый «запас топлива») непосредственно из геометрии самолета и в соответствии со следующими критериями:

Структурный кессон крыла предполагается «мокрым» (т.е. способный удерживать топливо) между лонжеронами переднего и заднего крыла. Расположение лонжеронов определяется на станциях корня и законцовки крыла с помощью xi-front-spar-root, xi-front-spar-tip, xi-rear-spar-root, и xi-сзади-лонжерона-законцовки, как доли локальных трапециевидных аккорд. Позиции на промежуточных станциях интерполируются линейно. В направлении размаха мокрая область простирается от корневой части крыла до положения эта-мокрое крыло. Центральное сечение коробки (рассматриваемое как прямой перенос корневой части для всей ширины предохранителя) может быть влажным или сухим, в зависимости от параметра centersection-is-wet (значение по умолчанию = true).

Область, охватываемая изломом крыла в плане (если таковой имеется), обычно считается сухой, потому что ее цель в любом случае состоит в том, чтобы обеспечить место для хранения ходовой части. Это можно изменить с помощью параметра planform-break-is-wet (значение по умолчанию = false).

Стабилизатор и плавник также обычно сухие, если вы не укажете иное в параметрах stab-is-wet и fin-is-wet.

Общая доступная мощность рассчитывается исходя из приведенных выше соображений. Затем его можно отрегулировать с помощью параметра Fuel-Vol-Adjust.Такая поправка может быть положительной или отрицательной и может отражать наличие сухих отсеков, дополнительных баков на фюзеляже и т. Д. В качестве альтернативы ее можно использовать для сопоставления заявленной емкости топлива существующего самолета. Для этого выберите функцию « Set Fuel Capacity » в меню « Plane » и введите известную емкость, после чего Piano вычислит соответствующее значение регулировки объема топлива. (Обратите внимание, однако, что если вы впоследствии измените геометрию самолета, грузоподъемность может снова измениться).

Доступный запас топлива показан в отчете « Геометрия », где он также сравнивается с «требуемым» объемом (необходимым для учета расчетной массы топлива, см. Главу № 04, раздел 14), в зависимости от значения плотности топлива.

Проверка реальности! Как и в случае со всем крылом, детальная геометрия структурной коробки может включать сложные изломы в плане и будет зависеть от контуров крыла. Ребра и другая внутренняя конструкция и стационарное оборудование займут часть доступного объема.Запас топлива в хвостовой части может изменяться из-за неопределенностей в геометрии руля. В расчеты включены различные статистические факторы, чтобы учесть эти эффекты, и общее значение мощности обязательно является приблизительным.

Исходные коды: См. Функции box-geometry, tank-geometry, find-fin-vol, find-stab-vol, box-vol-in-web, box-csa-at-eta, final-fuel-tests.

03.17 Чертежи в 3-х проекциях

Чертежи самолетов создаются с помощью элемента « 3-View » (в меню «Отчет »).

« 3-View » обеспечивает визуальную проверку входной геометрии и может помочь обнаружить грубые ошибки или потенциальные конфликты. Эти рисунки представляют собой компактные технические наброски, а не презентации в маркетинговом стиле. Вся информация извлекается непосредственно из текущих входных параметров. Piano не использует методы конечных элементов или CFD, и не предпринимает попыток создания потенциально вводящих в заблуждение трехмерных моделей.

Рекомендуется использовать « 3-View » (или его эквивалент на клавиатуре Command-3 ) в качестве удобного способа «перепроектировать» летательный аппарат после изменения каких-либо геометрических параметров.Конечно, любой другой запрос на вывод после модификации также вызовет «редизайн», но без этой визуальной проверки.

Обычно все 3 вида (в плане, спереди и сбоку) показаны вместе на одном чертеже с некоторым перекрытием. Вы можете избежать какого-либо перекрытия, используя подменю « View Options … », чтобы отображать « только вид сверху, » или « вид спереди и сбоку, » по отдельности.

Параметр « Set Up 3-View » позволяет управлять различными аспектами чертежа, такими как масштабирование и примечания, следующим образом:

Каждая плоскость обычно масштабируется, чтобы заполнить доступную область рисования, которая всегда имеет квадратную форму.Однако вы можете сравнивать разные летательные аппараты в одном масштабе, если вы укажете фиксированный размер в « Установить размеры чертежа » (метры или футы). Например, в 80-метровом ящике поместится что угодно, вплоть до А380. Это особенно эффективно, если для параметра «Режимы изображения » установлено значение «Сохранить», а затем использовать клавишу для переключения между разными рисунками. Подробнее об этом трюке см. В главе 13section03.

Вы можете подобрать любые цвета для плана, вида спереди и сбоку.По умолчанию топливный бак отображается черным цветом. Желтые галочки вдоль центральной линии отмечают ц.г. пределы, а зеленый цвет обозначает нейтральную точку. Синий крест — это аэродинамический центр летающей поверхности, а желтый крест на крыле — центр тяжести. топлива.

Можно создавать негабаритные рисунки больше, чем ваш экран (до 175%), в зависимости от вашего выбора « Размер окна ». Вы можете перемещать такие рисунки по экрану, используя клавиши со стрелками для просмотра различных частей.Крупные чертежи иногда полезны для получения более качественных отпечатков без неровных линий.

Обычно на виде сверху отображается только несколько рядов сидений, чтобы было видно расстояние. Вместо этого вы можете нарисовать все места или ни одного. Также показаны простая человеческая фигура и масштабная линейка.

Когда вы будете довольны настройкой, нажмите « Save Prefs … », чтобы выбрать ее при каждом запуске Piano.

Образец геометрического отчета

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ _______________ Ребро стабилизатора крыла ---- ---------- --- Площадь трапециевидной формы 112.15 31.00 21.50 кв.м Площадь, фортепиано брутто 124,47 31,00 21,50 кв.м Площадь аэробуса брутто 122,40 кв. М. Площадь, boeing wimpress 119,83 кв.м. Площадь, esdu 119,58 кв.м. Площадь, открытая 98,40 23,54 21,50 кв.м Площадь увлажненная 201,10 47,93 43,78 кв.м Соотношение сторон, трапеция 10,25 5.00 1,60 Соотношение сторон, фортепиано брутто 9,24 5,00 1,60 Соотношение сторон, airbus брутто 9,39 Соотношение сторон, boeing wimpress 9.60 Соотношение сторон, esdu 9,62 Размах (без крылышек) 33,91 12,45 5,87 м Поворот на 1/4 хорды 25,00 28,50 35,00 градусов Коэффициент конусности (трапециевидный) 0,29 0,31 0,35 т / ц у корня 0,153 0,110 0,110 т / ц при разрыве по толщине 0,115 т / ц на кончике 0.108 0,110 0,110 Объемный коэффициент (V-бар) 1,319 0,093 Средняя аэродинамическая хорда 3,63 2,72 3,95 метра Рука между аккордами MAC 1/4 17,34 16,39 метра Хорда крыла на законцовке 1,51 метра Хорда крыла при разрыве формы 3,76 м Хорда крыла у основания (брутто) 6,02 метра Хорда крыла на к / линии (брутто) 7,05 метра Хорда крыла на c / line (условная трапеция) 5.11 метров Место разрыва формы в плане 0,290 (доля открытого полуразрыва) Место разрыва толщины 0,290 (доля открытого полуразрыва) Расположение крыла (станция выдвинутой передней кромки на с / лине): 12,02 метра (32,0% длины предохранителя) Расположение лонжеронов (доли местной трапеции. Хорды): Корень крыла: 0,14, 0,64 Кончик крыла: 0,14, 0,64 Запас топлива avail / reqrd = 1.030 ------------- центральная часть мокрая В наличии: 23,86 куб. М (геометрическая вместимость) Требуется: 23.18 кубометров (при штатной и расчетной полезной нагрузке) Геометрия фюзеляжа ----------------- фюзеляж макс. ширина 3,99 метра фюзеляж макс. глубина 3,95 метра длина, общий фюзеляж 37,57 метра длина, передняя часть 6,40 метра длина, мидель 17,47 метра длина, задняя часть 13,70 м смачиваемая площадь, общий фюзеляж 400,65 кв.м. увлажненная зона, передняя часть 59,75 кв.м. увлажненная зона, средняя часть 217.74 кв.м смачиваемая площадь, задняя часть 123,16 кв.м. Геометрия гондолы ---------------- длина гондолы 3,67 метра гондола макс. ширина 2,25 метра гондола макс. глубина 2,51 метра смачиваемая площадь на пер. 25,88 кв.м Габаритные размеры ------------------ Размах крыльев 33,91 метра Общая длина самолета 37,57 метра Высота в верхней части ребра 12,00 метров Общая площадь контакта с самолетом 748.34 кв.м.

САМОЛЕТ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

Перейти в конец страницы

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

ЛЕКЦИЯ 4
Chee Yap

САМОЛЕТ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

В предыдущей главе мы рассматривали геометрические
отношения между точками.
Такие отношения определяются
предикаты, такие как LeftTurn (p, q, r).
Теперь рассмотрим отрезки и точки, а также их
отношения.Очевидное предикат здесь, пересекаются ли два отрезка.
Если рассматривать отношения между точками
и сегменты, мы получаем предикаты
например, заболеваемость (есть точка на сегменте?)
и односторонность (есть точка слева от сегмента?).

Мы изучаем некоторые вычислительные проблемы, возникающие
от таких отношений в самолете.
Фундаментальный вычислительный метод,
вводится « плоская стреловидность ».
Этот вычислительный метод тесно связан с
в структуру данных, называемую трапециевидной картой .В приложениях сегменты обычно организованы таким образом, чтобы
образовывать более сложные конструкции, например,
разбиение плоскости на многоугольные области.
Мы вводим иерархию проблем (в совокупности
называемые проблемами регуляризации сегмента), которые
имеет практическое значение. Техника развертки самолета
и трапециевидная карта оказывается ключом к
единый каркас решения.

[Перейти к следующей лекции:] Вычисления, манипулирование и поиск
такое подразделение нетривиально и
были изобретены различные структуры данных
представлять их.

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

1 пересечение сегмента

Начнем с простейшей вычислительной задачи для отрезков.
Пусть S — набор из n замкнутых отрезков.
Задача о пересечении отрезков
состоит в том, чтобы вычислить все попарные пересечения отрезков S.
Существует тривиальный алгоритм O (n ² ), а в
условия стандартной меры размера вводимых ресурсов
сложности, это оптимально в худшем случае.Но это не конец нашей истории.

Выходная чувствительность.
Мы вводим алгоритмическую идею, что
широко применяется в вычислительной геометрии:
алгоритмов, чувствительных к выходу .
Пусть I = I (S) —
количество попарных пересечений отрезков в S.
Мы называем I размер вывода для экземпляра S.
Четко,

Чувствительный к выходу алгоритм — это алгоритм, сложность которого
зависит от n = | S | а также на I = I (S).
Ввиду наивного алгоритма ищем время
сложность T (n) вида

где f (n) = o (n ² ) и g (n, I) не намного хуже, чем n ² .
В частности, мы опишем
алгоритм со сложностью T (n) = O (n + I) logn).
Этот алгоритм равен Θ (n ² logn) в худшем случае,
но когда I = o (n ² / logn), это лучше, чем наивный.

Алгоритм Sweepline.
Мы представим чувствительный к выходу алгоритм из Bentley and Ottmann (1979).
В геометрических алгоритмах используется хорошо известная парадигма Sweepline.
Представьте себе горизонтальную линию H, идущую от
сверху (y = + ∞) вниз (y = −∞).
Для любого действительного значения t пусть
H (t) обозначает горизонтальную линию {y = t}.
Мы думаем о t как о времени, хотя вы
можно отметить, что эта интерпретация своеобразна, поскольку
t фактически уменьшается.

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 1: Подвижная линия H, охватывающая набор из 4 сегментов.

Иногда мы просто хотим знать для входного набора сегментов S
Обозначим через S (t) ⊆ S множество отрезков в S, которые
пересекает H (t). На рисунке 1 мы видим, что S (t) = {s ₁ , s ₂ , s ₃ }.
Пересечение индуцирует линейный порядок « \ prec _t » на S (t),
где каждый s ∈ S (t) упорядочен
координатой x точки пересечения s∩H (t).
Таким образом, на рисунке 1 мы имеем

По мере увеличения времени t набор S (t) или порядок \ prec _t
изменяется только в определенные критических моментов времени : это времена, когда
соответствуют y-координатам конечных точек сегмента или
пересечение двух отрезков.Поэтому определим критическую точку S как
либо конечная точка сегмента, либо пересечение двух сегментов S.
Два сегмента s, s ′ правильно пересекают , если
s∩s ′ — единственная точка p; Кроме того,
либо p — конечная точка s и s ′,
или p находится внутри s и s ′.
Таким образом, p является либо пересечением конечной точки
или внутренний перекресток .

Для простоты сделаем несколько предположений о невырожденности S.
Вырождение означает наличие любого из следующих состояний:
(1) две критические точки S имеют одинаковую y-координату,
(2) Пара отрезков неправильно пересекается,
а также
(3) три сегмента пересекаются в точке.Обратите внимание, что мы позволяем двум или более сегментам использовать общую конечную точку.

Отслеживание изменений множества S (t).
Две конечные точки отрезка [p, q] называются
его начальный конец и конечный конец , в зависимости от
в том порядке, в котором они встречаются на линии H.
Пусть t ₀ — критическое время.
Если t ₀ — координата y начала конца сегмента s,
тогда s ∈ S (t ₀ ⁺ ) \ S (t ₀ ^— ).
Если t ₀ — координата y конечного конца сегмента s,
тогда s ∈ S (t ₀ ^— ) \ S (t ₀ ⁺ ).Обратите внимание, что одновременно может происходить несколько изменений.
переход с S (t ₀ ^— ) на S (t ₀ ⁺ ).

Очередь событий.
Чтобы обновить S (t) по мере увеличения t, мы
нужна приоритетная очередь Q данных
структура для хранения конечных точек сегментов в S.
В общем, элементы в Q можно рассматривать как событий ,
и мы обрабатываем события в зависимости от их приоритетов.
Если s = [p, q], то интуитивно мы хотим сохранить
p и q как события, используя их координаты y
как приоритеты.Однако мы представим эти события как
соответственно start (s) и stop (s).
Они называются событиями начала и останова
соответствующий s.
Если p.y> q.y, то стартовое событие будет иметь приоритет p.y,
и событие остановки будет иметь приоритет q.y.
Обратите внимание, что Q должна быть « очередью с максимальным приоритетом »
в отличие от « очереди с минимальным приоритетом ».

Отслеживание изменений в заказе \ prec _t .
Представим линейное упорядочение \ prec _t множества S (t)
сохраняя S (t) в листах
некоторая эффективная структура данных двоичного дерева T.« Эффективный » здесь может означать любое сбалансированное двоичное дерево.
или растопыренное дерево.
Можно считать, что элементы S (t) равны
хранится только на листьях T.

Линейное упорядочение \ prec _t of S (t)
может измениться, даже если S (t) не изменится.
Это происходит, когда H (t) проходит через внутреннее пересечение
из двух сегментов. Если сегменты s, s ′,
то их относительный порядок будет обратным как H (t)
проходит через ссь.
Таким образом, мы хотели бы сохранить такие правильные пересечения
в Q тоже. Возникла проблема. Эти
это точки, которые наш алгоритм должен
вычислить в первую очередь! Мы застряли в
круговое рассуждение, если мы не будем осторожны.
Хитрость заключается в том, чтобы хранить в Q только некоторые
этих правильных пересечений. Особенно,
для каждой пары s, s ′ ∈ S (t) такой, что
s и s ′ смежны в линейном
заказ < _т ,
если s и s ′ определяют
внутреннюю точку пересечения p, то мы сохраняем
событие swap (s, s ′) в очереди Q с приоритетом
равно p.x.Легко доказать, что до того, как пройдет t разверток
критическое время p.x пара (s, s ′) имеет
уже вставлен в Q. Это интуитивно понятно.

Обработка событий.

• Вставка события:
  Нам нужно вставить сегмент s в
  дерево T. Предположим, что s появляется между
  два существующих s ₁ , s ₂ . Мы тогда
  обязан проверить внутренние пересечения
  s с s ₁ и s ₂ . Эти пересечения
  будет вставлен в очередь Q, если найден.
• Удалить событие:
  После удаления мы должны проверить, есть ли
  вновь соседняя пара сегментов пересекается и
  при необходимости вставьте Q.
• Событие обмена:
  в этом случае мы располагаем в T
  два отрезка s, s ′, пересечение которых вызывает
  своп события. Затем мы меняем их местами (остальная часть T
  не нужно менять). Опять же, могут быть события,
  быть вставлен в Q.

Отметим, что даже с нашими предположениями о невырожденности
может быть несколько событий с одинаковым приоритетом в Q.Но легко видеть, что нас не волнуют
порядок, в котором мы обрабатываем события с одинаковым приоритетом.

Реализация дерева поиска T.
Как и в задаче круговой сортировки в предыдущем
лекция, « ключевые сравнения », которые мы
make при поиске в T — это некоторая абстракция
сравнение чисел. Но есть кое-что интересное
тоже происходит. Предположим, что ключи, хранящиеся в T, являются
сегменты. Когда мы сравниваем два
сегментов s и s ′, нам нужно указать третий параметр,
некоторое время t ₀ .Это сравнение сводится к сравнению
x-координаты s∩H (t ₀ ) и s′∩H (t ₀ ).
Предоставление этого параметра t ₀ необходимо, потому что
с некоторыми вариантами t ₀ , мы можем получить
неверный результат сравнения. Дерево поиска T
правильно упорядочен относительно некоторого значения t ₀ .
Таким образом, нам нужно сохранить t ₀ с деревом T.
Предположим, мы обрабатываем событие в момент времени t ₁ .
Каким должно быть значение t ₀ при поиске в T?
В случае события обмена мы можем установить t ₀ на
быть средним от t ₁ и t ′ ₁ , где t ′ ₁
критическое время до t ₁ .В этом случае
события запуска или остановки, выбор t ₀ = t ₁ будет
адекватный.

Сложность.
Предполагая, что реализованы две структуры данных
какими-то сбалансированными или амортизированными бинарными деревьями,
мы видим, что каждое событие может быть обработано за время O (logn).
Следовательно, как заявлено, общая временная сложность составляет O (n + I) logn).

А что насчет космоса? Размер T равен O (n), а размер
размер Q равен O (n + I). Действительно, в нашей обработке событий
выше мы не упомянули о необходимости удаления свопа
события из Q, которые больше не представляют собой соседние пары в T.Но мы можем легко выполнить такие удаления, чтобы убедиться, что
размер Q равен O (n). Обратите внимание, что удаленные события свопа могут быть
повторно представлен позже. Например, на рисунке 1 мы видим, что
событие подкачки (s ₁ , s ₂ ) будет удалено так же, как
мы читаем начало конца s ₀ , и снова вставляем
как мы проскальзываем через упор s ₀ .

есть ли у S какие-либо внутренние пересечения,
I (S)> 0 или нет. Но это
легко изменить алгоритм, чтобы решить эту
« проблема обнаружения перекрестка » за время O (nlogn).

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

2 клеточных комплекса и линейных сегментов

Поскольку мы будем обсуждать несколько проблем с линейными сегментами,
полезно унифицировать некоторые определения и концепции.
Другие проблемы, такие как дегенерация, которую мы избегаем выше,
также обсуждаются здесь.

Мы используем термин сегмент
для ссылки на любую непустую связанную часть строки. Для
В настоящее время линия лежит на плоскости.Сегменты могут быть конечными или бесконечными.
Бесконечные отрезки — это либо сплошные, либо полупрямые линии.
Таким образом, сегменты могут иметь 0, 1 или 2 конечных точки.
Сегмент может иметь только одну конечную точку по двум разным причинам:
это может быть полупрямая линия, или это может быть вырожденный сегмент, который только
единственная точка. Однако по большей части мы опишем
наши алгоритмы только для конечных сегментов.

Пусть S — множество замкнутых отрезков.
В приложениях у S есть
дополнительная конструкция. Например,
S может представлять собой простой многоугольник или
в более общем плане — политическая карта.Представьте себе политическую карту региона R ⊆ \ mathbb R ²
быть подразделением R на различные « страны ».
Страна может не быть подключенной, но иметь
несколько связанных компонентов — эти компоненты будут
быть окрашенными в один цвет. Поскольку наши алгоритмы
обычно не обращают внимания на политические реалии (, т.е. , цвета),
мы думаем о карте как о совокупности попарно непересекающихся связанных
устанавливает, что « подразделяет » R.
точек на границе каждой области формализуем
Концепция карты заключается в следующем.

Для простоты пусть R будет всей декартовой плоскостью \ mathbb R ² .
Мы определяем комплекс ячеек из \ mathbb R ² как раздел
из \ mathbb R ² в конечный набор K непустых связных множеств (называемых
ячеек при соблюдении следующих условий:

• Каждая ячейка представляет собой либо одноэлементный набор, либо открытый сегмент (конечный
  или бесконечное), или открытое подмножество плоскости. Они известны как
  0-ячейки, 1-ячейки или 2-ячейки соответственно.Мы также называем вершин , ребер и гранями
  клеточного комплекса К.
• Конечная точка каждого ребра — вершина.

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 2: Неклеточные комплексы

Размер из K — это просто количество | K ячеек.
Мы также можем разделить K на множество вершин V, множество ребер E
и множество граней F. Таким образом,

Сначала покажем разбиение K, не являющееся клеточным комплексом.Рассмотрим перегородку на рисунке 2,
состоящий из трех граней F = {f ₀ , f ₁ , f ₂ },
два ребра E = {e ₁ , e ₂ } и ни одной вершины V = ∅.
K = E∪F не является клеточным комплексом, так как конечная точка e ₂
не является вершиной.
Отметим следствие нашего определения (его доказательство оставлено в качестве упражнения).

Лемма 1
Граница каждой грани клеточного комплекса равна
объединение множества вершин и ребер.

Доказательство.
Граница ∂ (f) грани f заведомо содержится
in (∪V ′) ∪ (∪E ′), где V ′ ⊆ V и E ′ ⊆ E.
Предположим, что V ′ и E ′ минимальны. Лемма может быть только
На границе нарушена собственная подчасть некоторого e ∈ E ′.
Пусть e ′ = e \ ∂ (f). Поскольку ∂ (f) замкнуто,
e ′ относительно открыта. Пусть v ′ — точка на ∂e ′.
Возьмем любой достаточно малый шар B вокруг v ′.
Ясно, что B пересекает некоторое ребро e ′ ′ ∈ E ′, отличное от e ′.
Если шар достаточно мал, это означает, что v ′
конец e ′ ′. Но v ′ не является вершиной, поскольку она
является точкой e ′.Таким образом, K не является комплексом.

Q.E.D.

Наше определение намеренно общее,
и принимает определенные « отклонения »:
(я)
Вершина может быть изолированной (это не конец какого-либо ребра).
(ii)
У нас могут быть « защемленные » вершины.
(iii)
Кромка может иметь одинаковую грань с обеих сторон (такие кромки могут
называться перешейками. Если перешеек не соединяет
отверстие к внешней границе лица, мы говорим, что край
« болтающийся ».
(iv)
Лицо не может быть односвязным, i.е. , г.
в области могут быть дыры.

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 3: Неровности:
а) изолированные (v ₀ ) и защемленные (v ₁ ) вершины
(б) перешеек,
(c) свисающий сегмент,
(d) дыры.

Эти неровности показаны на рисунке 3.
Даже если конечный результат
наших алгоритмов не допускают возможности, алгоритм
может производить их на промежуточных этапах строительства.
Например, если мы хотим постепенно создавать
клеточный комплекс, может быть полезно предположить, что все новые
добавленные ребра соединяют две существующие вершины.В этом случае,
мы хотели бы разрешить введение новой изолированной вершины,
непосредственно перед тем, как мы добавим края, чтобы не изолировать его!
Точно так же свисающие сегменты могут появиться до того, как мы окончательно завершим
цепочка сегментов для формирования нового региона.
Это явление проявляется в конструктивной геометрии, где
мы допускаем очень простой набор примитивных операций (« операции Эйлера »).

Скелеты и непересекающиеся сегменты.
Клеточный комплекс K по существу определяется своими ребрами:

Лемма 2
(а) Клеточный комплекс K определяется
своим множеством ребер E и множеством
изолированных вершин V ′ ⊆ V.
(б)
Наоборот, для любого множества S попарно непересекающихся точечных множеств,
где каждый набор в S либо
открытый отрезок или синглтоны, мы получаем уникальный клеточный комплекс.

В общем, любой набор K ₁ попарно
непересекающиеся отрезки прямой, где каждый отрезок
либо открытый отрезок, либо вырожденный синглтон,
называется скелетом (иногда его называют 1-скелетом).
В частности, ограничение клеточного комплекса K его 0- и 1-клетками,
получаем его каркас К ₁ .В качестве альтернативы мы можем думать
скелета, как определено набором S замкнутых отрезков
то есть непересекающихся в том смысле, что
если два сегмента пересекаются, то они пересекаются в единственной точке
который является общей конечной точкой сегментов.
Концы сегментов в S называются вершинами из S.

Наша лемма говорит, что K ₁ или S определяет клеточный комплекс.
Мы принимаем любую точку зрения на S как удобную.
Однако представим их иначе.
Мы представляем S как некоторый список или набор отрезков.Представим K ₁ в виде списка вершин (с
x- и y-координаты) и список ребер.
Каждое ребро — это просто указатель на две вершины.
Так что основное отличие — K ₁ угощение
вершины как независимые объекты, а ребра как отношения
среди этих вершин, а вершины из S не имеют
независимое представительство.

Подразделений.
Клеточный комплекс K называется делением (плоскости) , если

• Каждая грань f является « правильной » в том смысле, что эта грань
  равна внутренней части его замыкания [f].
• Каждая ограниченная грань односвязна.

Первое свойство исключает свисающие сегменты или перешеек.
См. Рисунок 3.
Однако это не устраняет « вершины защемления ».
Второе свойство исключает отверстия на гранях.
Но обратите внимание: ¹
что неограниченные грани не обязательно должны быть односвязными.

Бесконечные сегменты.
Большинство наших алгоритмов предполагают, что сегменты конечны.
Это не является существенным ограничением, но упрощает
презентация.Обратите внимание, что каждый клеточный комплекс имеет хотя бы одну бесконечную грань.
Если все ребра конечны, то есть ровно одна бесконечная грань,
и это лицо не односвязно.

Давайте посмотрим, как мы можем добавить бесконечные сегменты в нашу структуру.
Бесконечный сегмент имеет хотя бы одну конечную точку « на бесконечности ».
Направление θ — это просто угол в диапазоне [0, π).
Мы можем идентифицировать каждое направление с бесконечно удаленной точкой.

Вырождение.
Еще одна большая практическая проблема — это вырожденные входные данные.В этой главе мы постараемся избежать этой проблемы, но она
рассматриваться подробно, когда мы обсуждаем символические
методы возмущения. Символическое возмущение
можно рассматривать как бесконечно малые возмущения.
С помощью таких возмущений можно решить многие проблемы вырождения.
Ниже приводится структура, предложенная Япом:
предположим, что алгоритм A может правильно
решить все невырожденные входные экземпляры.
Такой алгоритм называется общим .
Идея состоит в том, чтобы построить « трансформацию »
из A в некоторый A ‘, в значительной степени независимый от программирования
детали в A, так что A ′ будет работать « правильно »
на всех входах.Более того, A ′ будет неразличим
из A на невырожденных входах. Предположим, что для вырожденного входа I,
выход A ′ равен A ′ (I). Что такое A ′ (I)?
Ответ: правильный ответ для бесконечно малого возмущения.
из I . Тогда проблема состоит в том, чтобы построить алгоритм постобработки
B, который берет A ′ (I) и выводит правильный ответ для
фактический вход I. В конкретных примерах мы видим, что B
довольно просто. Более того, B является « общим », так что он также
независимо от выбора А.Это означает, что как только мы
построили B, он будет работать для любого общего A.

Есть некоторые проблемы, которые трудно решить
в рамках этой общей структуры. В частности, проблемы пересечения.
Например, если s, s ′ — два сегмента, которые « просто пересекаются »
(скажем, конечная точка s находится внутри s ′).
Тогда возмущение s, s ′ может или не может увидеть это пересечение.
В некоторых приложениях это несущественно. Но предположим, что мы настаиваем
при обнаружении этого пересечения.Мы рассмотрим одну идею:
возмущать s и s ′ в двух противоположных направлениях, обеспечивая
что хотя бы один из них обнаружит перекресток.

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

3 Карта трапеции и ее перевернутая

Трапецеидальная карта (вертикальная) для набора S сегментов
определяется как две функции, α и β
которые сопоставляют отрезки (или ∞) α (p) и β (p)
к каждой конечной точке p сегментов в S.См. Рисунок 4.
Отрезок α (p) — это первый отрезок,
пересекается вертикальным лучом, который стреляет вертикально на выше
п; α (p) = ∞ в случае, если луч не пересекает ни одного
сегмент S.
Аналогично определяется отрезок β (p) для
луч, стреляющий вертикально ниже р.
Это отображение легко построить за O (nlogn)
время, используя модифицированный алгоритм Бентли-Оттмана, где
линия подметания проходит слева направо.

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 4: Вертикальная трапециевидная карта

Есть аналогичная горизонтальная трапецеидальная карта, и
алгоритм Sweepline для вертикального трапециевидного
map может одновременно построить эту карту
(см. Упражнение).Это также показывает, что при построении
вертикальную трапециевидную карту, мы могли бы
если хотите, переместите линию Sweepline сверху вниз.

Мы можем определить обратную трапециевидную форму .
map для S означает функции A, B, которые присваиваются каждому
На отрезке s ∈ S два списка A (s) и B (s).
Перечислите магазины A (соответственно, B)
конечные точки S, которые видны вертикально
(соответственно) выше и ниже с.
Точки в этих списках отсортированы по их x-координатам.Обратите внимание, что p находится в A (s) тогда и только тогда, когда β (p) = s,
и p находится в B (s) тогда и только тогда, когда α (p) = s.
Эти списки могут быть построены одновременно
что мы строим трапециевидное отображение.

Примечание из карты обратной трапеции,
мы можем построить трапециевидное отображение в линейном
время. Наоборот, мы можем построить
обратная трапецеидальная карта из трапециевидной карты за линейное время,
при условии, что у нас также отсортированы конечные точки
по y-координатам. См. Упражнение.
Если только одно из двух отображений α и β
необходимо, мы можем соответственно упростить наши процедуры.

Деление трапециевидной формы.
Пусть S — множество непересекающихся отрезков.
Ключевым преимуществом трапециевидной карты является то, что
это приводит к разделению на плоскость любого такого множества S.
Обозначим это подразделение через K (S).
Грани K (S) — это « трапеции » (выпуклая грань
с 4 сторонами, две из которых параллельны), отсюда и название
соответствующие карты.
Трапеции могут быть неограниченными (с одним, двумя или тремя
стороны), а ограниченные трапеции вырождаются в
треугольник. См. Рисунок 5.

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 5: Различные конфигурации leftp (∆)

Для каждой ограниченной трапеции ∆ ∈ K (S)
мы определяем четыре ограничивающих объекта:
два сегмента S, вершина (∆) и бот (∆),
и два конца S, leftp (∆), rightp (∆).
Эти четыре объекта однозначно определяют ∆.
Если ∆ не ограничено, некоторые из этих определяющих объектов могут
не определено (или принято равным ∞).

Две трапеции ∆, ∆ ′ на примыкают к , если они
разделяют ненулевую длину вертикальной границы.Предполагая условия невырожденности, каждая трапеция смежна
максимум до 4 других трапеций. Кроме того, четыре ограничивающих
объекты также однозначно определены в этом случае.

Мы представляем K (S) как набор трапеций, каждая из которых связана
с 4 ограничивающими объектами и указывающими не более чем на
4 смежных трапеции.

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

4 Регуляризации непересекающихся сегментов

Пусть S — конечное множество непересекающихся отрезков.Концы отрезков в S называются его вершинами.
В этом разделе мы рассмотрим некоторые
свойства « регулярности », которыми может обладать S.

Множество X θ-монотонно в направлении θ
если каждая линия перпендикулярна
к направлению θ пересекает X в связном
набор (возможно, пустой).
Если θ = 0 (соответственно θ = π / 2), мы говорим
множество x-монотонно (соответственно, y-монотонно), терминология
полученные из направлений осей x и y.
Простой многоугольник является θ-монотонным, если его внутренность θ-монотонна.
На рисунке 6 показаны примеры монотонных и немонотонных многоугольников.

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 6: Многоугольники: (a) x-монотонный, (b) y-монотонный,
(c) немонотонность в любом направлении.

Монотонное подразделение представляет собой подразделение, в котором
все ограниченные грани θ-монотонны при некотором фиксированном θ.
Выпуклая секция — секция, в которой
каждая ограниченная грань выпукла.
Четырехугольник (выпуклый) элемент представляет собой подраздел, в котором
каждая ограниченная грань представляет собой выпуклый четырехугольник.
Триангуляция — это подразделение, в котором
каждая ограниченная грань треугольная.Мы рассматриваем следующую иерархию « регулярности »
условия на S:

• S не пересекается.
• S определяет подразделение.
• S определяет монотонное подразделение.
• S определяет выпуклое подразделение.
• S определяет четырехугольник.
• S определяет триангуляцию.

Ясно, что каждое условие регулярности в этом списке влечет за собой все
предшествующие ему условия.
Добавляя достаточно много новых сегментов, соединяющих
вершин S, можно достичь любого из указанных выше условий регулярности.Проблема « дробления », « монотонизации », « выпуклости »
или « триангуляция » набора непересекающихся сегментов — это
добавление таких сегментов для достижения
желаемое условие регулярности.
Мы также будем заинтересованы в минимизации
количество добавленных сегментов.
Мы увидим, что трапециевидное отображение и его обратное
позволит нам добиться этой регулярности
цели в линейное время.

Далее для простоты предполагается, что все сегменты
конечны. Следовательно, есть единственная неограниченная грань.При регуляризации нам никогда не нужно добавлять бесконечные сегменты.

Классифицирующие вершины.
Мы хотим классифицировать вершины клеточного комплекса K.
Самый интуитивный способ сделать это — исходить из
частный случай к самому общему.

Сначала мы классифицируем вершины простого многоугольника на
следующие типов : пусть v — вершина и H (v)
— горизонтальная линия, проходящая через v.

• начало :
  два инцидентных v отрезка лежат ниже H (v),
  а внутренний угол при v лежит ниже H (v).
• стоп :
  два инцидентных v отрезка лежат выше H (v).
  а внутренний угол при v лежит выше H (v).
• сплит :
  два инцидентных v отрезка лежат ниже H (v),
  а внешний угол при v лежит ниже H (v).
• объединить :
  два инцидентных v отрезка лежат выше H (v).
  а внешний угол при v лежит выше H (v).
• обычный :
  Он имеет один сегмент над H (v)
  и один под H (v).

Изображение опущено

Изображение опущено

Рисунок 7: Типы вершин простого многоугольника

Для простоты мы предполагаем, что все вершины наших многоугольников
подпадает ровно под один из 5 типов.Это предположение будет
быть хорошо оправданным, потому что это одна из тех ситуаций
с которым легко справиться
символические техники возмущения. Это будет описано в
следующая глава.

Затем рассмотрим вершины подразделения K.
мы классифицируем его вершины следующим образом:
мы говорим, что вершина — это разбиение или слияние вершины, если это
разделить или объединить вершину для
любая из многоугольных граней подразделения,
В противном случае он классифицируется как обычный .
Следует отметить, что данная классификация однозначна:
вершина не может быть одновременно классифицирована как разделенная и как объединенная.

Наконец, рассмотрим клеточный комплекс K.
Во-первых, нам удобно разбить каждую вершину на две
« полувершины »: верхняя полувершина — это
ссылка только на другие вершины (или полувершины) с более крупными
y-координата. Аналогично определяется нижняя полувершина .
Каждую вершину можно рассматривать как пару этих вершин.
Верхняя степень вершины — это степень ее
Аналогично определяется верхняя полувершина и нижний градус .
Мы можем легко включить в это обсуждение вырождения, но
оставьте это для упражнения.По горизонтальной линии, идущей сверху вниз,
мы предполагаем, что верхняя полувершина заметается перед
нижняя полувершина.

Не все грани клеточного комплекса K
представляют собой простые многоугольники, поэтому предыдущая схема не совсем работает.
На самом деле есть только два новых вида вершин:
вершина начало щели
вершина, если ее верхняя степень равна 0, а ее нижняя степень равна 1.
Если эти градусы равны 1 и 0, это будет вершина для щелевого упора .
Вместе они называются вершинами щели .

Лемма 3
(a) Простой многоугольник является y-монотонным, если он не имеет вершин разбиения или слияния.

(b) Подразделение является монотонным, если оно не имеет вершин разделения или слияния.

(c) Клеточный комплекс является подразделением, если он не имеет вершин прорезей.

Доказательство.
(а) См. учебники.

(б)

(в)

Q.E.D.

Подразделение.
Теперь мы обращаемся к проблеме
разбиение непересекающегося множества S.
Согласно предыдущей лемме это составляет
удаление всех вершин щели.Мы также заинтересованы во введении минимального
количество ребер для достижения этого
(в противном случае мы могли бы использовать, скажем, алгоритм триангуляции).

Мы будем использовать горизонтальную линию H, но с изгибом:
сначала мы делаем развертку вниз, а затем — вверх.
Как обычно, пусть H (t) обозначает его положение в y = t.

Две ограничивающие вершины для каждого сегмента обозначаются вершиной (ами).
и bot (s), где мы предполагаем, что
sweepline достигает вершины (ей) раньше, чем бот (ы).
В общем, пусть H (t) пересекает отрезки s ₁ ,…, s _k
от S в этом порядке.Это определяет последовательность
граней f ₀ , f ₁ ,…, f _k где f ₀ = f _k — уникальный
безграничное лицо. Обратите внимание, что f _i не нужно
быть отличным. Фактически, два последовательных региона f _i , f _{i + 1}
могут быть идентичными. События, которые мы рассматриваем
вверху (s ₁ ,…, s _k ), где s _i — это недавно встреченные сегменты.
У нас также есть бот (s ₁ , s ₂ ,…, s _k ), где
s ₁ ,…, s _k — текущие сегменты, которые одновременно
оканчиваются в общей вершине.

Наша цель — ввести регуляризующие ребра.
Чтобы указать на некоторые проблемы, предположим, что в начале
имеем k = 1. Нам нужно добавить хотя бы одно ребро для соединения
наверх (s ₁ ). Но мы не знаем, должно ли это новое преимущество
левая или правая сторона s ₁ .

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

5 Наложение карты

Две основные проблемы в делении самолетов:
(1) Проблема наложения подразделений — с учетом двух подразделов
S ₁ , S ₂ плоскости, вычислить их « оверлейное » деление O (S ₁ , S ₂ ).(2) Проблема местоположения точки — с учетом подразделения S предварительно обработать его.
в некоторую структуру данных, которая эффективно поддерживает запросы местоположения точки.
Запрос местоположения точки задается точкой p, и мы
необходимо определить фасету f ∈ S, содержащую p.

Карту можно рассматривать как интеграцию
разнообразных тем карт:
население (города, городские районы и т. д.),
коммуникации (автомобильные, железнодорожные и т. д.),
коммунальные услуги (газ, электричество и т. д.),
растительность
землепользование,
политические границы,
наземные знаки,
и т.п.

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

6 Банкноты

Ли и Препарата (1977) были первыми, кто использовал полигон мототонов.
в плоском точечном расположении.
Первый алгоритм триангуляции простого многоугольника
Гэри, Джонсон, Препарата и Тарджан (1978), которые первыми
монотонизирует многоугольник, а затем триангулирует каждую монотонную часть.
Хертель и Мельхорн (1983) дали алгоритм выпуклости
простой многоугольник, у которого не более чем в 4 раза больше минимального числа
г выпуклых частей.Грин (1983) дал алгоритм O (r ² n ² ).
найти минимальную выпуклость;
Кейл (1985) улучшил время до O (r ² nlogn).
Трапецеидальное разложение было введено Фурнье (1984).
и Chazelle и Incerpi (1984) в контексте
триангуляция полигонов. Главный результат в этой области —
Доказательство Шазеля, что триангуляция простого многоугольника
линейное время. Два предшествующих результата:
Яп (198?) Показывает, что триангуляция монотонного многоугольника
может быть достигнуто быстро параллельно, двумя вызовами трапециевидной карты.Книги О’Рурка и де Берга и др. Описывают
задача триангуляции простого многоугольника с помощью монотонных подразделений.

Наш подход, описанный выше, обеспечивает новую основу для рассмотрения нескольких
связанных процессов, которые мы называем регуляризацией.
Кроме того, показано, что трапециевидная карта является ключом к
это единое мнение.
Мы можем сформулировать все проблемы регуляризации
в настройке, где могут быть введены новые вершины « точки Штейнера ». Этот
особенно актуален для задачи минимальной выпуклости.Например, Chazelle (1980) показывает, что minumum Steiner point
выпуклость простого многоугольника может быть выполнена за O (n + r ³ ),
где r теперь относится к минимальному количеству
Выпуклые детали с острием Штейнера.

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

Упражнения

Упражнение 4.1:

Расширить алгоритм пересечения отрезков гладкой линии на
позволяя сегментам быть вдвойне бесконечными или полубесконечными.♦

Упражнение 4.2:

Рассмотрим следующий вариант пересечения отрезков.
Даны два набора отрезков R, B.
Думайте о них как о « красном » и « синем » сегментах.
Проблема состоит в том, чтобы вычислить все бихроматические пересечения.
Конечно, мы можем свести это к монохроматическому случаю,
и выберите подмножество пересечений, которые
является двухцветным, но это не будет зависеть от вывода.
Приведите алгоритм, чувствительный к выводам.♦

Упражнение 4.3:

Мы можем сократить случай неодносвязных
лица к односвязным лицам путем введения
« перешейки », соединяющие каждое озеро с крайним
граница (возможно, через другие озера). Если там
озер k, достаточно ввести k
края. Что касается полуребер, то оба полуребра
связаны с тем же регионом. Это можно считать
определение края перешейка.
Обсудите это расширение в
наши алгоритмы на самолетных делениях.♦

Упражнение 4.4:

Если у нас есть карта трапеции и
список конечных точек, отсортированный по y-координатам,
мы можем построить обратное трапециевидное отображение
в линейное время.

♦

Упражнение 4.5:

Измените развертку горизонтальной плоскости так, чтобы мы
вычислить как горизонталь, так и вертикаль
трапециевидная карта. Подать заявку
имея эти две карты одновременно.♦

Упражнение 4.6:

Ограничьте простые подразделения, чтобы не было защемленных вершин.
Соответственно измените вышеуказанные алгоритмы.

♦

Упражнение 4.7:

Если S — непересекающееся множество из n конечных сегментов,
какое минимальное количество вершин в S?

♦

Упражнение 4.8:

Дайте прямое лечение
вырожденные случаи в задачах регуляризации.♦

(Конец упражнения)

[Предыдущий раздел]

[Следующий раздел]

Перейти к началу страницы

Сноски:

¹
Мы могли бы потребовать, чтобы неограниченные грани были односвязными.