Объемный флексагон: Виды флексагонов — Сайт kozelrozel!

Содержание

Бумажный флексагон. Как сделать увлекательную головоломку? :: SYL.ru

Забавная геометрическая игрушка из бумажного листа, которая состоит из нескольких треугольников и меняет форму при сгибании, называется флексагон. С детства многие помнят «считалочки», сделанные из обычного тетрадного листа. Если делать сгибательные движения пальцами, держа игрушку, то можно прочитать сделанные заранее надписи на открывающихся поверхностях. Такая поделка-оригами — это простейший аналог флексагона.

флексагон как сделать

Откуда появилась головоломка флексагон?

В 30-х годах XX столетия юный англичанин Артур Стоун учился в Принстонском университете. В то время американские листы для бумаги имели не совсем стандартный размер — они были короче на 1,8 см. Артуру пришлось обрезать свои бумаги под новый формат, вследствие чего он случайно стал складывать из ненужных обрезков фигурки.

Он сложил полоску в трёх местах таким образом, что получил равносторонний шестиугольник. Концы он подрезал по форме граней. Когда Артур склеил края полоски, то получил увлекательную фигурку. Её можно раскрыть, как бутон цветка, если подогнуть один из уголков к центру. Причем после каждого раскрытия появляются новые шесть треугольников.

Вот так случайно был изобретен флексагон. Как сделать интересную головоломку увлекательней? Можно разукрасить каждую сторону нужным цветом, и тогда с каждым раскрытием фигура примет один из трех цветов.

как сделать флексагон

Развитие идеи

Артур Стоун захотел сложить многоуровневый шестиугольный флексагон. Как сделать это, студент понял на следующее утро. Артур собрал фигуру, в которой чередуются 6 разных поверхностей. Тогда, поняв, что существует математическая теория, позволяющая создавать интересные шестиугольники, юноша поделился своей поделкой с друзьями.

К слову, его друзья были настоящими гениями точных наук: Фейнман Ричард, Джон Тьюки, а также Брайан Таккерман. Они часто собирались в столовой и показывали друг другу придуманные головоломки. Именно эта дружная компания и дала название изобретенной Стоуном фигуре — флексагон.

Происходит оно от английского слова «flex», что значит «сгибать». Ученая троица шутливо назвали себя «Флексагонным комитетом» и даже приступила к написанию математических основ новой науки «флексологии».

К 40-м годам XX века Тьюки и Фейнман разработали теорию, согласно которой можно построить флексагон с абсолютно любым количеством поверхностей и сторон. Также они расписали все возможные способы, как это сделать.

Из чего сделать флексагон

Чаще всего встречается бумажный флексагон. Как сделать его более долговечным, не пришлось долго думать. Фигуру можно сделать из плотной бумаги или картона. Только линии сгиба нужно тщательно проворачивать в обе стороны, чтобы в дальнейшем было легче складывать форму.как сделать флексагон из бумаги

Еще один вариант, как сделать флексагон прочнее — использование тканевой подложки. Треугольники из бумаги или картона нужно наклеить на полоску ткани, оставляя около 1 мм на линии сгиба. Такая головоломка надежнее и выглядит оригинально.

Такие разные флексагоны

Самый простейший вариант — унагексафлексагон. Он представляет собой 3 треугольника, собранных в полоску. Конец подворачивается и соединяется с другим. Такая фигура не сгибается и имеет всего одну поверхность.

Дуогесафлексагон — это бумажный врезанный шестиугольник. Он имеет две стороны, но не складывается. Из полоски 10 равносторонних треугольников состоит тригексафлексагон. Эта фигура уже может сгибаться и имеет три разных поверхности.как сделать флексагон из 10 треугольников

Тетрагексафлексагон имеет четыре поверхности и складывается из зигзагообразной полоски. По аналогии с предыдущей фигурой пентагексафлексагон обладает пятью поверхностями.

Гексагексафлексагон можно сложить из 19-ти треугольников, собранных в полоску. У такой фигуры есть 6 сторон. Есть еще две разновидности гексагексафлексагона, они собираются из полос сложной формы.

Собрать и склеить такие флексагоны сложно, ведь если ошибиться, головоломка будет «заедать». Гептагексафлексагон включает в себя семь поверхностей. Его можно сложить тремя разными способами из сложных по форме полосок бумаги.

Квадратный флексагон

Существует еще одна разновидность флексагона — это тетрафлексагон. Судя по названию, их грани имеют квадратную, а не треугольную форму. Есть три вида таких головоломок:

  • тритетрафлексагоны;
  • тетратетрафлексагоны;
  • гексатетрафлексагоны.

Самый простейший из них — тритетрафлексагон, он имеет 3 стороны и складывается из зигзагообразной полосы. По такой схеме до сих пор делают шарнирные соединения. Во многих детских игрушках применяется эта конструкция.

Тетратетрафлексагоны имеют 4 поверхности. На принципе такого соединения работают складные игрушки, с помощью которых можно показывать фокусы с исчезновением предметов, например купюр.

Гексатетрафлексагон обладает пятью поверхностями. У такой фигуры есть отличительное свойство — ее можно сгибать вдоль горизонтальной и вертикальной оси. Гексатетрафлексагон складывается из полоски в виде квадратной рамки.

Делаем фигуру из 10 треугольников

Рассмотрим, как сделать флексагон из 10 треугольников. Точнее, у вас получится тригексафлексагон, а не флексагон. Как сделать поэтапно фигуру, поможет определить ниже представленная схема.

флексагон как сделать поэтапно

Сначала распечатываем на листе заготовку из треугольников. Если хотите, можете самостоятельно нарисовать треугольники и раскрасить. Затем вырезаем полоску и подгибаем концы, как показано на рис. 4. Далее загибаем треугольники, образуя шестиугольник. В конце (рис. 8) необходимо подклеить оставшийся треугольник. Теперь вы знаете, как сделать флексагон из бумаги.

Для открытия тригексафлексагона необходимо одной рукой ухватить за 2 соседних треугольника, а другой рукой потянуть два противоположных треугольника за их свободные края. При таком открытии шестиугольник выворачивается на обратную сторону, а наружу выходит скрывавшаяся ранее поверхность. Чтобы было интереснее раскрывать фигуру, ее поверхности нужно раскрасить в разные цвета.

Поделка флексагон. Как сделать объемную поделку?

Поделки из бумаги — это целый мир креативного многообразия. Многие фигуры из бумаги придуманы математиками. Например, известная всему миру поделка флексагон тоже придумана студентом-математиком Принстонского университета Артуром Стоуном в 1939 году. Чем занимателен флексагон? Как сделать разнообразные флексагоны и порадовать детей?

Забавная поделка из бумаги

Само латинское слово (flectere), положенное в основу названия, означает сгибаться или складываться. Поэтому флексагон — это многоугольник, который можно создать из обычной полосы белой бумаги. Каждый раз, изгибая многоугольник, мы находим новую плоскость.

флексагон как сделать

На что похож флексагон? Как сделать правильно эту фигуру? Обычно делают шестиугольный плоский флексагон, так как он самый простой. Используя разнообразные рисунки на этих плоскостях, мы можем порадовать детей необычной поделкой, да и привлечь их к созданию как плоской, так и объемной фигуры тоже полезно.

Флексагон: как сделать из бумаги?

С чего начать? Итак, мы решили создать флексагон. Как сделать поделку быстро? Многоугольник легко и быстро собирается из одного листа любой бумаги, но желательно выбрать не слишком мягкий. Флексагоны четырехугольной формы называются тетрафлексагонами. А фигура, имеющая форму шестиугольника, называется гексафлексагоном. Каждая его поверхность имеет 6 секторов-треугольников. Еще есть октафлексагоны (8 сторон) и додекафлексагоны (10 сторон). Как сделать флексагон из бумаги? Схемы очень разнообразны. Рассмотрим самую простую, по которой делается обычный гексафлексагон. Эта схема используется наиболее часто.

как сделать флексагон из бумаги схемы

Ее несложно нарисовать самостоятельно, ведь она состоит только из группы правильных треугольников. Но можно использовать уже разрисованную схему, по которой первый раз легче собрать поделку. После того как схема вырезана, сгибаем лист пополам и складываем поэтапно, загибая вниз каждый треугольник, составляющий часть отдельной плоскости. Когда флексагон будет полностью собран, склеиваем последнюю деталь.

На каждой из 4 поверхностей будет свой рисунок. Изучив эту схему, дальше можно подойти к работе креативно. На обычном листе бумаги рисуем такие же треугольники. Затем нумеруем секторы, которые образуют плоскости. Треугольники, по инструкции, необходимо загибать вниз, формируя необходимый многоугольник. Но каждый выбирает свой способ, как удобнее сложить. Аналогично этой схеме собирается любой многоугольник-флексагон. Более сложные схемы фигур лучше осваивать постепенно.

Открытка-флексагон

Математическая модель-флексагон непременно заинтересует ребенка. Это удивительное свойство бумаги можно применить разнообразно. На поверхности готовой фигуры изображаем героев детских мультфильмов и преподносим ребенку гениальное доказательство того, что математические модели могут быть интересны.

как сделать открытку флексагон

А также можно придумать отличную и необычную открытку, и это не шутка. Как сделать открытку-флексагон? Если нарисовать на поверхностях поздравительные слова для ребенка и елочные игрушки, это будет отличным подарком на Новый год. Но если рисунки у вас плохо получаются, найдите другой выход. Можно просто вырезать понравившуюся картинку и разделить на равные треугольники, которые потом придется аккуратно приклеить на каждый сектор поделки

Объемные изделия — разнообразие гармонии

Есть еще объемные фигуры. Как сделать объемный флексагон из бумаги? Для этого нужно взять для примера готовую схему, которая состоит из 10 равносторонних треугольников, служащих секторами. Эта фигура называется тригексафлексагон — то есть у данного объемного шестиугольника будет три поверхности. Конечно, это не предел. Модель может содержать и 4, и 5 поверхностей, и даже 10. Эти флексагоны более интересны, хотя основаны на той же идее. Но собрать такое чудо не так просто. Главное правило при построении модели — следовать инструкции. Схема гексафлексагона с 4 поверхностями будет выглядеть так:

как сделать объемный флексагон из бумаги

А вот пример, по которому собирается еще более грандиозная фигура — нонагексафлексагон. То есть объемный флексагон с шестью углами, а поверхностей здесь уже 9. Эта игрушка уже для взрослых, ребенку такую модель не осилить, во всяком случае, без помощи родителей.

флексагон как сделать

Чтобы разобраться в тонкостях схемы этой объемной фигуры, потребуется время. Заготовку лучше сразу разукрасить разными цветами, чтобы не запутаться при сборке. Пробуйте!

Мастер-класс «Флексагон: бумажная игрушка-калейдоскоп»

Муниципальное образовательное бюджетное учреждение

дополнительного образования

Дом детского творчества

Арзамасского района

Мастер – класс

Флексагон: бумажная игрушка-калейдоскоп

Подготовил: Соменкова Г.Н.,

педагог дополнительного образования,

высшей квалификационной категории,

руководитель объединения

«Мастерская рукоделия»

2018 год

Тема: Флексагон: бумажная игрушка-калейдоскоп

Цель: Приобщение к одному из виду декоративно-прикладного искусства – бумагопластика — оригами, область применения, техника выполнения.

Задачи: 1. Сформировать практические навыки работы с бумагой.

              2. Сформировать умение делать разметку с помощью линейки.

              3. Развить познавательный интерес, память, внимание, наглядно-образное мышление, мелкую моторику.

              4. Воспитать аккуратность, вежливость в совместной творческой деятельности.

Методическое оснащение занятия (оборудование, материалы):

— шаблон флексагона

— клей-карандаш;

— ножницы;

— цветные карандаши;

Ход работы:

Загадки

Всех листов плотнее он,

Белый и цветной… (картон)

 

Разноцветные листы,

Вырезай и клей их ты.

Аппликации, картинки,

Серебристые снежинки.

Можешь сотворить и флаги

Из листов… (цветной бумаги)

Пара острых, тонких ног

Без туфлей и без сапог.

На ногах — по голове

Для чего, скажите мне?

По бумаге ходят ноги,

Режут все, что на дороге. (Ножницы)

Чинишь рваную тетрадь?

Им листы намажь скорей.

Нужно крепко их прижать,

Чтоб быстрее высох… (клей)

Беседа:

— Из бумаги можно делать много интересных вещей.

— А какие еще забавные вещицы можно делать из бумаги?

— Вы слышали слово головоломка?

— Из каких двух слов оно получилось?

— Сегодня мы сделаем бумажная игрушка-калейдоскоп Флексагон.

(Приложение №2)

Флексагон – это многоугольник, обычно сложенный из полоски бумаги прямоугольной формы, который завораживает и детей, и взрослых не меньше, чем калейдоскоп с разноцветными стеклами. Любой флексагон обладает уникальным свойством – при каждом выворачивании проявляется другой рисунок. Поэтому такая бумажная головоломка для детей по праву считается уникальным взаимодействием математики и оригами. На сектора флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто раскрашивают в определенные цвета.

(Показ сложенных фигурок)

1. Показ разметки шаблона. (Приложение №1)

2. Изображение на шаблоне раскрасить цветными карандашами.

3. На бумаге сделать сгибы по всем вертикальным и диагональным линиям. При этом нужно очень хорошо заминать бумагу пальцами рук для того, чтобы полосы получились глубокими, четкими и ровными.

4. Нанести клей на указанные части. После этого произвести склеивание полосы бумаги по ним. (В процессе работы должна будет получиться объемная змейка.)

5. На торцевые концы шаблона нанести клей и вставьте их в открытую часть «трубки». Прижать бумагу, чтобы концы хорошо приклеились (дождаться тщательного высыхания клея).

6. Бумажная игрушка — калейдоскоп готова!

Итоговая рефлексия: Выставка готовых работ.

Приложение №1 к мастер-классу

«Флексагон: бумажная игрушка-калейдоскоп»

hello_html_m5e2a17fb.jpg

Приложение №2 к мастер-классу

«Флексагон: бумажная игрушка-калейдоскоп»

Создание флексагона: полезные советы

• Обычная бумага для принтера облегчает складывание флексагона, но такая игрушка-головоломка не будет долговечной. Если же использовать более плотную бумагу или картон, линии сгиба должны быть очень хорошо согнуты, чтобы флексагон легко проворачивался.

• Убедитесь, что каждая линия согнута очень хорошо. Используйте линейку при сгибании линий, чтобы они были острее.

• Младшим детям можно позволить не обращать внимание на отметки в треугольниках, а просто раскрашивать шаблон для флексагона по своему желанию.

• Используйте очень густой клей ПВА или другой хороший клей, и прежде чем вращать флексагон, убедитесь, что он высох. Ведь клеевые соединения будут находиться в постоянном движении и необходимо, чтобы они были надежно закреплены.

• Если вы заметите, что концы флексагона выскакивают, приклейте их на двусторонний скотч.

• Сначала проверьте ваш флексагон, выворачивая его медленно несколько раз. Это позволит выявить нежелательные складки и «прокачать» сгибы, чтобы в дальнейшем флексагон выворачивался легко и быстро.

Что такое флексагон | Журнал Популярная Механика

В стране, где человеческий рост измеряют в футах, расстояние до соседнего города считают в милях, а топливо в бак льют галлонами, чиновники выписывают справки на бумаге формата Letter. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница, возможно, мы бы до сих пор не знали о флексагонах — увлекательной игрушке, головоломке и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века.

В конце 1930-х годов англичанин Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, только начинал свою блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди прочих американских «странностей», к которым ему еще предстояло привыкнуть, был и необычный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая листы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков разные фигуры. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник — оставалось только обрезать концы по форме последней грани. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. После каждого очередного раскрытия на свет появлялась новая поверхность, состоящая из шести треугольников, а предыдущие шесть треугольников скрывались внутри конструкции. Можно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов.

Стоуну сразу же пришла в голову мысль, что можно сложить и более сложный шестиугольник, внутри которого прячется большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с этой идеей и убедился в правильности своей догадки, построив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за загадочным шестиугольником скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому некоторые источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать.

1. Чтобы раскрыть флексагон, сожмите два соседних треугольника, прижмите к ним противоположный край и раскройте фигуру из центра. 2. Чтобы пройти по «пути Таккермана», раскрывайте фигуру, держась за один угол, пока она будет раскрываться. Затем последовательно переходите к следующему углу.

Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского flex — сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, то есть число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура оказалась тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями — гексагексафлексагоном. Стоун, Таккерман, Фейнман и Тьюки в шутку окрестили себя «Флексагонным комитетом» и всерьез взялись за изучение математических основ «флексологии». К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учеными.

Тритетрафлексагон Самый первый флексагон с тремя поверхностями, изобретенный Артуром Стоуном, складывается из прямой полоски бумаги, поделенной на 10 равносторонних треугольников (один служит для склейки).

Строптивый калейдоскоп

Классический гексагексафлексагон можно сложить из прямой полоски бумаги. Полосу следует разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники можно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном на рисунке. Пустой треугольник на каждой стороне служит для склейки. Полоска складывается таким образом, чтобы треугольники с одинаковыми цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга. Получившуюся короткую полоску перегибают в трех местах так, чтобы получился шестиугольник (точно так же складывают из ленты простейший тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к пустому треугольнику. Флексагон готов.

Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольников. Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть противоположную пару треугольников. Флексагон явит миру свою новую поверхность и спрячет предыдущую. Играя с фигурой, вы вскоре обнаружите, что некоторые поверхности гораздо труднее вызволить на свободу, нежели остальные. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь лишь на знакомую пару «лиц» флексагона. Брайант Таккерман вывел простейший способ нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило позволяет увидеть все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку.

Тетрафлексагон Стоуну и компании удалось создать полную и всеобъемлющую теорию гексафлексагонов. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства — тритетрафлексагон — можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» — и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия — петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из его поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом. Рецепт тетрафлексагона: Темный цвет обозначает лицевую сторону выкройки, светлый — обратную. Крайние квадраты склеиваются полоской скотча.

Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на треугольники более замысловатую раскраску, можно увидеть, что каждый из них может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим, как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.

«Шутка гения»: как сделать простой флексагон для ребенка | MaMere

Флексагоны – это настоящее научное открытие 20 века. Невероятно, но конструкция, просто сложенная или склеенная из кусочков бумаги, может творить чудеса! При складывании (сгибании) флексагона его наружные поверхности уходят внутрь, а скрытые становятся видимыми. Флексагоны служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны и потенциал ещё не раскрыты. Однако не нужно быть математиком, чтобы сделать с ребенком один из простых плоских вариантов этой «шутки гения». С малышами удобно изучать по нему цвета. А старшие дети могут попробовать собственные силы в создании этой необычной конструкции.

Для воплощения идеи потребуется альбомный лист, ножницы и фломастеры. Делаем из прямоугольного листа квадратный, сложив его по диагонали и отрезав лишнее.

Складываем лист пополам, затем снова пополам по продольной линии.

Разворачиваем квадрат и повторяем ту же процедуру, но в поперечном направлении. Хорошо проглаживаем углы.

Оставляем квадрат согнутым пополам и вырезаем у него середину.

Можно сразу раскрасить заготовку с обеих сторон (как это правильно сделать, расскажу чуть ниже) или сделать это после сборки игрушки.

Теперь самое ответственное дело  – правильно собрать флексагон. Загните к центру последовательно левый край заготовки, потом верхний, потом правый, потом нижний.

Сгибая нижнюю часть листа вверх, нужно левую часть половину сгиба «вогнуть» между двумя слоями бумаги так, чтобы внешний край оказался внутри.

 

Это проще сделать, чем объяснить, но, возможно, сначала придется потренироваться.

Флексагон готов. Согните его по средней линии. Если все сделано верно, вы сможете вывернуть обратные половинки игрушки на лицевые стороны.

Осталось раскрасить игрушку. Это можно сделать на готовом флексагоне, закрашивая по очереди его грани, или перед сборкой (так получится аккуратнее). Можете воспользоваться этими фото или придумать что-то свое.

А теперь – волшебство! Сгибая флексагон по средней линии, можно 6 раз менять его цвет!

Для оформления флексагона вместо фломастеров можно использовать квадратики цветной бумаги, наклейки и любые доступные средства для творчества. Удачи!

Творческий проект «Флексагоны» | Социальная сеть работников образования

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение Тюменцевская средняя общеобразовательная школа
Тюменцевского района Алтайского края

Флексагоны

Творческий проект

               

  Авторы:

Землянухин Макар,

Шерстобитов Павел,

ученики 5а класса

МБОУ Тюменцевской СОШ

Тюменцевского района

Алтайского края

 Руководитель проекта:

Кузнецова Валентина Сергеевна,

учитель математики

МБОУ Тюменцевской СОШ

Тюменцевского района

Алтайского края

                                         

с.Тюменцево, 2013

Содержание

Ведение……………………………………………………………………………..3

1. История открытия флексагона…………………………………………………4

2. Изготовление флексагона………………………………………………………4

        2.1 Тригексафлексагоны……………………………………………………..4

        2.2 Гексагексафлексагоны……………………………………………………6

3. Путь Таккермана………………………………………………………………..7

4. Флексагоны  как средство математического моделирования…………………8

5.Теоретические и практические наработки изготовления флексагона……….8

6.Заключение………………………………………………………………………11

7.Литература……………………………………………………………………….12

Предмет математики настолько серьезен,

 что нужно не упускать случая делать его

немного занимательным.

Паскаль

Ведение

        Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

      Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы  хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

      В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру. Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто- Рико, полуостровом Флорида и называется « бермудским треугольником». А ещё его называют «дьявольский  треугольник», « треугольник проклятых». Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа « бермудского треугольника» остаётся тайной и по сей день. Что таит в себе треугольник?

      Треугольник — « жесткая» фигура. Если заданы три его стороны, то форму его изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике.

    У треугольника есть пространственные  родственники.

1) тетраэдр, 2) октаэдр, 3) икосаэдр. Эти геометрические тела являются родственниками треугольника потому, что  грани этих тел – треугольники.

Родственником треугольника является геометрическая бумажная игрушка,  так как её поверхность состоит из треугольников. Эта игрушка называется флексагон.

Кусочек бумаги, способный увлечь не только  ребенка, но и взрослых. Для некоторых не это не просто игрушка-головоломка, а настоящий первый шаг в мир математики. Яркие линии скрученной бумажки завораживают не хуже детского калейдоскопа с разноцветными стеклышками. Да еще и название такое звучное и загадочное – флексагон. Что же это такое на самом деле? Очень часто тема «головоломок» в школе является сложной и непонятной, но у некоторых учащихся все же вызывает интерес. В творческий процесс по изготовлению игрушек флексагонов включаются родители. На дополнительных занятиях этому вопросу уделяется внимание.

Все вышеперечисленные факторы и обусловили актуальность нашего проекта.

Целью работы является изучить мир флексагонов и  показать, что головоломки бывают не только из дерева и железа — привычных для нас форм, но и из бумаги, которые мы можем сделать своими руками. 

В соответствии с поставленной целью решалась  основная задача:

— познакомиться с методикой изготовления флексагонов.

Методы исследования:

— обработка, анализ научных источников;

— анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Объект исследования –  флексагоны.

Методика работы —  сбор информации по данной теме, анализ периодической и научной литературы, необходимые расчеты при построении, создание наглядных моделей и конкретизация имеющегося материала

Источниками для данного послужили  материалы, размещенные в сети Интернет, беседы с учителем математики.

Флексагон – это уникальный сплав математики и оригами. Можно сказать, единственное явление в своем роде. Бумажная головоломка, при выворачивании которой мы получаем другую плоскость с иным рисунком, но фактически идентичную предыдущей.

Эту занимательную головоломку создали в результате скуки. А развивали и совершенствовали уже как серьезное увлечение.

Я приглашаю на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов — бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

История открытия флексагона

Флексагон пришел к нам из Англии. Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур X. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник.

Первый флексагон имел три плоскости. Потом появились флексагоны с шестью и более плоскостями, а так же были изобретены тетрафлексагоны. В свое время был создан даже «Флексагоновый комитет», который вполне серьезно занимался изучением и развитием флексагона, как математического явления.

В Россию, точнее тогда еще Советский Союз, флексагон попал при помощи развивающих журналов: «Наука и техника», «Юный механик» и т.д.

Сейчас флексагоны умело используют на уроках и занятиях в  школах и детских садах.

Флексагон можно сделать интересной игрушкой для ребенка, если использовать вместо цифр и геометрических узоров, например, рисунки зверей, птиц, насекомых, игрушек и т.д. Разворачиваешь «бутон», а там кролик, развернул снова – птичка. Или можно сделать поздравительную открытку, где каждое «раскрытие» это сюрприз – поздравление.
Кроме того, флексагон – игрушка-головоломка для разных возрастов. Есть варианты попроще, а есть посложнее. И здорово сближает семью, если посидеть вместе собирать флексагоны, соревнуясь на сложность, яркость и оригинальность идеи.

Как сделать свой первый флексагон?

Изготовление флексагона

Тригексафлексагоны

Понадобятся: лист бумаги, карандаш, линейка и клей для бумаги. Вот и все, что нужно для того, чтобы собрать свой первый флексагон.

Для начала  нужно вырезать длинную полоску. Её расчерчиваем треугольниками, как на схеме а)  

Затем  намечаем линии сгибов, чтобы бумажка легче сгибалась. И сворачиваем эту бумажную полоску.

 

В итоге  получится шестиугольник с одним торчащим треугольником

 Этот хвостик-треугольник смазываем клеем и приклеиваем.

Получился тот самый первый флексагон, с которого все и начиналось когда-то. Он называется тригексафлексагоном.

Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету.

Гексагексафлексагоны

    Другая модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое “гекса” — шесть –  означает число поверхностей этой модели).

От греческого “гекс”, что означает шесть, to flex (англ.) – складываться, сгибаться, гнуться.

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента для кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. порядке цифры 1, 2, 3.

Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным.

Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой  пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона. Перегнув ее по линиям АВ и СD, получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

 

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне шестиугольника должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на обратной стороне — цифра 2. В таком виде флексагон готов к перегибаниям. Взявшись за два смежных треугольника согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад,  без труда можно обнаружить и остальные поверхности.

                                                                                             

Теперь, если  раскрасить все три поверхности разными цветами, вывернуть этот неровный кружок будет в разы интереснее. И можете узоры какие-нибудь нанести. Или рожицы нарисовать.

Путь Таккермана

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой либо угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она “открывается”, а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как “путь Таккермана”, позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл за двенадцать перегибаний. Поверхности с цифрами 1,2 и 3 будут появлятся в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы. Стрелки указывают в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона.

Флексагоны как средство математического моделирования

Флексагоны как средство математического моделирования имеют следующие отличительные черты:

1)  Экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм.

2)  Доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке.

3)  Развитие: флексагоны способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование различных представлений.

Теоретические и практические наработки изготовления флексагона

Открытка — флексагон.

Пасхальные открытки.
Интересная открытка перевертыш с пасхальной темой. Волшебная открытка своими руками. С каждым разворотом этой открытки открываются новые картинки, а разворотов здесь — целых четыре.

 

Для изготовления  понадобятся:
Белая плотная бумага или тонкий картон. Эта открытка выполнена из бумаги для визиток. Если у  бумаги есть лицевая и изнаночная сторона — внимательно следите за схемой сгибов и сборки.
Цветная бумага для аппликации.

 

 

 

Способ изготовления открытки:

Нарисуйте на изнаночной стороне листа большой прямоугольник 280 х 140 мм. Разделите его на прямоугольники, но пока не разрезайте. Прочертите линии сгиба и пройдитесь по ним краем ножниц, чтобы сгибы были ровнее.

Теперь вырежьте прямоугольники и согните, как показано на схеме по готовым линиям сгиба. Разверните.

Возьмите два прямоугольника и лицевой стороной положите на стол в плотную друг к другу. Линия соприкосновения — по вертикали.

Наклейте по уголкам получившегося квадрата двухсторонний скотч, размером примерно 30 х 30 мм, можно и меньше.

Приготовьте рядом другой квадрат из сдвоенных прямоугольников. Он должен быть лицевой стороной вверх и линия соединения прямоугольников у него по горизонтали.

Аккуратно по очереди приклеивайте прямоугольники верхнего квадрата к нижнему квадрату.

Покрутите открытку в руках и если где-то заедает — срежьте лишнее. Особо срезкой не увлекайтесь, а то получатся щели в некоторых позициях.

Основа для открытки перевёртыша готова.

 

Схема изготовления флексагона «Открытка – перевертыш»

 

Теперь можно заняться аппликацией. Клеим все, что хотим, соблюдая простое условие — на линии сгиба ничего не клеить.
В этой открытке мы использовали пасхальную тему. Курица с петухом — пасхальное яйцо — цыпленок — курица. Наверху размещены только три стороны открытки из четырех.

В одном месте соединения прямоугольников мы сделали декоративный разрез в виде расколотого яйца, но это не обязательно.

Советы по изготовлению флексагонов

Прежде чем приступать к изготовлению флексагона, полезно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это намного облегчает последующие манипуляции с флексагонами.

Для более долговечных моделей, нужно вырезать треугольники из картона или металла и соединить их липкой лентой или же наклеить на длинную полоску ткани.

Между треугольниками остаются небольшие зазоры, что позволяет легко сгибать флексагоны.

Заключение

     Данная тема вызывала  интерес у всех учащихся  класса и даже некоторых родителей, потому что изготовление  флексагонов  —это  очень интересный и глубоко творческий процесс. Для этого нужно хорошо изучить теоретические и практические наработки по данной теме и  создавать свои. Представленные  материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще не знали. 

Литература

Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.

Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. — М.: Просвещение, 1990.

Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. — М.: Просвещение, 1991.

Оригами и педагогика: Материалы первой Всероссийской конференции преподавателей оригами. — СПб., 1996.

http://book.tr200.net/v.php?id=61285″>Мартин Гарднер — Математические головоломки и развлечения.

http://models-paper.com/index.php?option=com_kunena&Itemid=11&func=view&catid=30&id=222

http://usamodelkina.ru/soveti/page,6,39-bumaga-vse-sterpit.html

http://frg-64.ucoz.ru/publ/modelirovanie_fleksagony/1-1-0-4

Бумажный флексагон. Как сделать увлекательную головоломку? Делаем флексагон из бумаги по шаблону или схеме, гексафлексагон в видео Как сделать объёмный флексагон

Флексагона.
Различные шаблоны флексагонов можно найти в сети, выполнив соответствующий поисковый запрос по фразам “флексагон”, “флексагон с тремя поверхностями” или “флексагон с шестью поверхностями”. В результатах поиска вы найдете шаблоны с разными сочетаниями узоров. Выберите среди них то, что вам подойдет лучше всего, и распечатайте.

  • Также можно распечатать чистый шаблон, чтобы потом раскрасить флексагон по своему усмотрению.
  • Вырежьте деталь шаблона.
    Возьмите ножницы и осторожно вырежьте деталь шаблона по ее внешней границе. Постарайтесь резать как можно ровнее и строго по линиям. Срезы должны быть точными, чтобы в последующем правильно сложить бумагу.

    • Детям рекомендуется работать с ножницами под присмотром взрослых.
  • Продавите центральную линию сгиба на шаблоне и согните бумагу в этом месте.
    Когда вы вырежете шаблон, вам потребуется сделать на нем серию сгибов, чтобы получить флексагон. Первый сгиб нужно сделать посередине. Продавите намеченную центральную линию, проведя по ней пустой шариковой ручкой с помощью линейки. Так вам будет проще ровно согнуть бумагу.

    • Сложите бумагу таким образом, чтобы цветная сторона детали оказалась снаружи.
    • Сложив бумагу, окончательно промните сгиб ребром линейки.
    • Склейте более короткую половинку шаблона с более длинной.
  • Наметьте все линии сгибов и выполните сгибы у каждого треугольника шаблона.
    Когда две половинки шаблона будут склеены, потребуется наметить (продавить пустой шариковой ручкой) и выполнить сгибы по ребрам каждого треугольника в шаблоне. Делая сгибы по очерченным черным цветом линиям, несколько раз согните бумагу то в одну, то в другую сторону.

    • Предварительная подготовка сгибов облегчает дальнейшую сборку флексагона.
  • Загните четыре треугольника слева.
    Более короткая часть детали должна оказаться сверху. Вы должны видеть перед собой два незакрашенных (внутренних) треугольника на концах бумаги и восемь цветных треугольников между ними. Отсчитайте четыре треугольника справа и выполните сгиб по дальней грани четвертого треугольника (который также будет третьим цветным треугольником, так как на конце бумаги присутствует белый треугольник).

    • Загните бумагу по направлению вниз, чтобы сам сгиб остался вверху.
  • Загните еще четыре треугольника с другой стороны.
    Переверните деталь на другую сторону и отсчитайте четыре треугольника с левого края шаблона. Складывайте бумагу так, чтобы она начинала приобретать очертания шестиугольника. Если вы все сделае

  • Шестигранник

    Гексафлексагон состоит из 6 треугольников, встречающихся в центре. Здесь описаны три варианта:

    • равносторонний из 60-60-60 треугольников
    • бронза из 60-30-90 треугольников
    • звезда из 60-14-106 треугольников

    Равносторонний треугольник Hexaflexagon

    Если кто-то что-то знает о флексагонах, он, скорее всего, знает шестиугольник, составленный из равносторонних треугольников.Это был первый обнаруженный флексагон, и он является самой популярной разновидностью.

    Хотя многие люди писали об этом раньше, немногие исследовали богатое разнообразие гибких возможностей, которые вы можете использовать на нем.
    Обычный изгиб, который описывают люди, называется зажимным изгибом.
    а иногда можно найти ссылку на v-flex.
    Гораздо менее известны гибкость паза,
    карманный флекс, пирамидальная перетасовка,
    и подвернуть гибку. Следующее видео демонстрирует эти изгибы.

    Чтобы сделать этот шестиугольник, щелкните следующие два эскиза, чтобы получить увеличенные версии.Распечатайте их, а затем вырежьте.
    Вставьте их вплотную, чтобы на одном конце полосы было 5 с одной стороны и 4 с другой.
    а на другом конце — 3 с одной стороны и 2 с другой.
    Предварительно сложите по пунктирным линиям.
    Теперь сложите вместе соседние пары пятерок, затем соседние пары двоек, затем тройки.
    Теперь у вас должен получиться шестиугольник со всеми единицами с одной стороны и всеми четырьмя с другой.
    Склейте скотчем первый и последний треугольники в полоске, чтобы завершить ее.

    Один из типов лент, используемых для изготовления шестиугольников равностороннего треугольника, называется тесьмой.Косы оказались единственным способом сделать четырехугольник равностороннего треугольника, и они также образуют интересный шестиугольник.
    Первые несколько косичек можно найти здесь.
    Обратите внимание, что на видео показана 5-сторонняя версия, где стороны пронумерованы от 1 до 5 вместо 0-4.

    В качестве примеров я разместил диаграммы состояний для нескольких гексафлексагонов.
    о том, как вы можете отобразить все состояния флексагона, используя различные изгибы.

    Бронза Hexaflexagon

    Он состоит из 30-60-90 (бронзовых) треугольников.Когда углы в 60 градусов находятся в центре, у вас получается плоский треугольник.
    Когда углы 90 градусов находятся в центре, он не лежит ровно, давая вам форму цветка.
    Когда углы 30 градусов находятся в центре, вы получаете конус, который не открывается полностью, поэтому вы не можете согнуться до следующего положения.

    Вырежьте сетку и предварительно загните все края. Скопируйте маленькие числа на оборотную сторону. Для трехсторонней версии согните смежные 3 штанги вместе и приклейте выступы к соответствующим сторонам, помеченным 2.Сгибание со стороны 1 дает конус с 3 на внутренней стороне. Сгибание стороны 2 дает вам сторону 3 в качестве штатива. Второе сгибание дает вам конус со стороной 1 внутри.

    С этой шестигранной версией начните со складывания 6 на 6, 5 на 5 и 4 на 4. Если затем сложить 2 на 2, вы можете сложить его в форме конуса с единицами снаружи и тройками внутри, что позволит вам наклеить откидные створки на соответствующие грани.Отсюда два последовательных сгибания щипка дают треугольник с тремя с одной стороны и двумя с другой. Поэкспериментировав, вы сможете найти все 6 лиц. Это эквивалент гексагексафлексагона, сделанного из прямой полосы, поэтому знание траверса Такермана для этого поможет вам разобраться в этом.

    Однако из-за прямых углов вы можете сделать дополнительные изгибы. Начните с состояния, когда двойки находятся на одной стороне, а тройки — на другой.Сложите пополам в любую сторону. Вы должны найти лоскут, который раскладывается в форме ромба с дополнительным треугольником, торчащим из края. Этот клапан можно откинуть назад по противоположной диагонали. Когда вы откроете получившуюся фигуру, у вас будет конус со смешанными гранями. Вы можете согнуть отсюда в треугольник.

    Следующий 6-сторонний вариант показан на видео выше, включая его складывание.Чтобы сделать это, сначала щелкните два эскиза, чтобы получить более крупные версии.
    Либо распечатайте вторую сторону на обратной стороне первой, либо распечатайте их отдельно и склейте их вместе.
    Вырежьте по черным линиям, затем увеличьте размер по серым пунктирным линиям.
    Склейте скотчем два края с одной * на них, чтобы получилась одна полоса.
    Теперь сложите вместе соседние шестерки, а затем пятерки, четверки и тройки.
    В завершение склейте две стороны вместе с парами ** на них.

    Звездочка Hexaflexagon

    Его сложно сложить из-за острых углов.Это также не так интересно, как некоторые другие звездообразные флексагоны, например звездный додекафлексагон.

    Вырежьте по сплошным линиям и предварительно сложите по пунктирным линиям.
    Скопируйте маленькие числа на оборотную сторону треугольников.
    Сложите каждую пару соседних тройок вместе, чтобы получилась трехконечная звезда.
    Склейте скотчем первый и последний треугольники, оставив все единицы с одной стороны и все двойки с другой.

    Один изгиб, который работает на этом звездообразном флексагоне, — это изгиб шарнира.


    Далее: Heptaflexagon

    Некоторые из возможных шлейфов

    Бронзовый шестиугольник-пазл

    Вернуться в Бестиарий Triangle Flexagon

    .

    Розовое золото Dainty Animal Flexagon Ожерелье ленивца

    Упаковка и доставка

    мы также принимаем упаковку в индивидуальной коробке:

    Наши услуги

    1.0003 отправка вам новейших стилей после того, как вы разместите первый заказ;

    2. Бесплатные образцы для VIP-клиентов.

    3. Через 1-6 месяцев после получения.

    FAQ

    1.Вы производитель ?

    — Да, мы производим завод.

    2. Как я могу получить товар после оплаты, ?

    — Если товар в наличии, мы организуем доставку в течение 3-5 дней экспресс-почтой, затем мы отправим вам экспресс-отслеживание и дату, пока вы не получите.

    Если товар отсутствует на складе, мы организуем производство после получения оплаты, время производства зависит от количества заказа, обычно 15-28 дней. Мы сделаем фотографии для вас перед отправкой, после того, как вы утвердите, мы организуем доставку.

    3. Я рассчитываю получить оптовые продукты , а не ?

    — Мы можем изготовить для вас образец полипропилена и организовать массовое производство после вашего утверждения.

    4. Если я получу плохой товар, как я могу сэкономить деньги?

    — Скорее всего. Если произойдет, мы отправим товар повторно.

    5. Принимаете ли вы оплату через Paypal ?

    — Да, мы принимаем. Для заказа образца и небольшого заказа мы можем принять PayPal.

    Если вы беспокоитесь о первом заказе, вы можете заплатить через Alibaba, потому что Alibaba отправит нам деньги после того, как вы получите товар.

    .

    flexagon — перевод — English-French Dictionary

    Примеры предложений с «flexagon», память переводов

    добавить пример

    en А еще есть последние инновации в технологии flexagon и все крутые способы их окраски и другие вещи, но что придется подождать до следующего раза.

    QED от Членов персонала визитов в статью № по действующим местам в связи с предоставлением услуг или необходимыми условиями службы по праву на возмещение ущерба F # за километраж парка, охраняемый километр

    ru Редактируя журнал Шалтая-Болтая, он сконструировал множество бумажных складных головоломок, и это привело его к интересу к флексагонам, изобретенным британским математиком Артуром Х. Стоуном.

    WikiMatrix от Arrete ta nostalgie et begin à réfléchir pour m ‘aider à choper ces types

    ru Flexagons стали чем-то вроде причуды, и вскоре люди по всему Нью-Йорку начали их делать.

    WikiMatrix fr De l ‘expérience

    en В любом случае, ваш друг показывает вам то, чего вы никогда раньше не видели — большой флексагон, который он сделал из ткани.

    QED fr 2005 — Pensez, imagenz, créez 2004 — Encourager la créativité 2003 — La propriété intellectuelle, c’est aussi votre affaire 2002 — Encourager la créativité

    en Вы могли только согнуть старый в одну сторону, неустойчивый вверх.

    QED от Ça fait trois meurtres

    en Вы решаете вместе создать комитет по флексагонам, чтобы исследовать тайны флексагона.

    QED от D ‘Accord, je te propose que tu me donnes le reste de ton sandwich, et je suis partant

    en Мне нравится держать некоторые готовыми к развертыванию из моего бумажника или крошечного желтого кошелька, в случае аварии с флексагоном.

    QED от Chaque proposition sumise sera évaluée en fonction descrires definis dans le program de travail eContentplus

    ru Если вы возьмете бумагу меньшего размера, вы сделаете меньший флексагон.

    ted2019 fr le combat pour la survival, la croissance … Et la pourriture

    en Потому что внезапно появляются важные военные дела, а флексагоны в значительной степени забываются.

    QED fr Elle savait ce qui se passait sous son nez

    en И вы думаете: «Эй, это круто! Может быть, другие люди захотят узнать об этом« флексагоне »».

    QED fr Mais pas moi parce que je n ‘en ai pas

    en Такерман разработал топологический метод, называемый траверсом Такермана, для выявления всех граней флексагона.

    WikiMatrix от Il est à nous maintenant

    en Я отмечаю это, снимая эти видео, и мне просто нравится изображение флексагонов повсюду.

    QED от Vu l’avis du Commissaire général du Gouvernement près l’Institut royal des Elites du Travail de Belgique, donné le # septembre

    ru Комитет Flexagon одобряет вашу диаграмму и решает назвать их «Feynman» Диаграммы ».

    QED fr Totalement paralysée

    Показана страница 1.Найдено 14 предложения с фразой flexagon.Найдено за 1 мс.Накопители переводов создаются человеком, но выравниваются с помощью компьютера, что может вызвать ошибки. Найдено за 0 мс.Накопители переводов создаются человеком, но выравниваются с помощью компьютера, что может вызвать ошибки. Они поступают из многих источников и не проверяются. Имейте в виду.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    Any Queries? Ask us a question at +0000000000