Многоугольные фигуры: Многоугольник — определение и основные понятия, виды и свойства фигур

Многоугольник — определение и основные понятия, виды и свойства фигур

Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов.

Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон, по количеству которых получают свои названия многоугольники.

Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков — четырехугольником, из пяти — пятиугольником и пр.

Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку — по часовой стрелке или против нее.

Основные понятия

Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:

1. Если вершины являются концами одной стороны, они называются соседними.
2. Если отрезок соединяет между собой несоседние вершины, то он имеет название диагонали. У треугольника не может быть диагоналей.
3. Внутренний угол — это угол при одной из вершин, который образован двумя его сторонами, сходящимися в этой точке. Он всегда располагается во внутренней области геометрической фигуры. Если многоугольник невыпуклый, его размер может превосходить 180 градусов.
4. Внешний угол при определенной вершине — это угол смежный с внутренним при ней же. Иными словами, внешним углом можно считать разность между 180° и величиной внутреннего угла.
5. Сумма величин всех отрезков носит название периметра.
6. Если все стороны и все углы равны — он носит название правильного. Правильными могут быть только выпуклые.

Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:

1. Многоугольник называется плоским, если ограничивает конечную часть плоскости. Эта геометрическая фигура может быть вписанной в окружность или описанной вокруг окружности.
2. Выпуклым называется n-угольник, который соответствует одному из условий, приведенных ниже.
3. Фигура расположена по одну сторону от прямой линии, которая соединяет две соседних вершины.
4. Эта фигура служит общей частью или пересечением нескольких полуплоскостей.
5. Диагонали располагаются внутри многоугольника.
6. Если концы отрезка располагаются в точках, которые принадлежат многоугольнику, весь отрезок принадлежит ему.
7. Фигура может называться правильной, если у нее все отрезки и все углы равны. Примерами могут служить квадрат, равносторонний треугольник или правильный пятиугольник.
8. Если n-угольник невыпуклый, все стороны и углы его равны, а вершины совпали с таковыми правильного n-угольника, он называется звездчатым. У таких фигур могут иметься самопересечения. Примерами могут служить пентаграмма или гексаграмма.
9. Треугольник или четырехугольник называется вписанным в окружность, когда все его вершины располагаются внутри одной окружности. Если же стороны этой фигуры имеют точки соприкосновения с окружностью, это многоугольник описанным около некоторой окружности.

Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.

Виды фигур

Треугольник

Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.

Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.

По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:

1. Равносторонние — у которых длина всех отрезков одинаковая.
2. Равнобедренные — треугольники, у которых равны два отрезка из трех.
3. Разносторонние — если длина всех отрезков разная.

Кроме того, принято различать следующие треугольники:

1. Остроугольные.
2. Прямоугольные.
3. Тупоугольные.

Четырехугольник

Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.

1. Если все углы четырехугольника прямые — эта фигура называется прямоугольником.
2. Прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую величину, называется квадратом.
3. Четырехугольник, все стороны которого равны, называется ромбом.

На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.

Видео

Дополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.

Многоугольники. Подробная теория с примерами.

Важное замечание!

Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.

Точки   — вершины многоугольника. Отрезки   – стороны многоугольника.

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна  , где буква « » означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула  . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин:   Из вершины   можем провести диагонали во все вершины, кроме: Самой вершины   Вершины   Вершины

Значит всего диагоналей  . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на  . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно   треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно  .

Ну вот,   треугольника, в каждом по  , значит:

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

1. Разделение на треугольники.
2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был  -угольник:

Его сумма углов  . Провели диагональ, скажем  :

Получился пятиугольник   и семиугольник  . Сумма углов   равна  , а сумма углов   равна  . А вместе :   — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Правильные многоугольники

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна  . А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем   можно найти:

 .

Что мы еще должны знать?

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на  . В нем  

Значит,   — и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае  ?

Ровно половине  , представь себе!

Значит  . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника  .

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки  ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти   (то есть  ).

Мы знаем, что в   сумма углов равна  . Значит:

Потому  

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.

Точки   — вершины многоугольника. Отрезки   – стороны многоугольника.

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Например: многоугольник c   сторонами называют четырехугольником, многоугольник с   сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.

Четырехугольник

Шестиугольник

Выпуклый многоугольник — многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна   или  , где   — внутренний угол многоугольника.

Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного  -угольника равен  .

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой:  , где  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Многоугольники — урок. Геометрия, 8 класс.

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков.

Точки называются вершинами ломаной, а отрезки — звеньями ломаной.

Виды ломаных

Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают.

Если концы ломаной не совпадают, то она называется незамкнутой.

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. Обе ломаные выше являются простыми.

На следующем рисунке — ломаная с самопересечением.

Многоугольник

Многоугольник — это простая замкнутая ломаная линия и конечная часть

плоскости, которую она ограничивает.

Вершины ломаной линии называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне, называется диагональю многоугольника.

\(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) — вершины;
\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(AE\) — стороны;
\(AC\), \(AD\), \(BE\), \(BD\), \(CE\) — диагонали.

Многоугольник, у которого все углы меньше 180°, называется выпуклым многоугольником.

Пятиугольник \(ABCDE\) является выпуклым многоугольником. 

Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника

В общем случае многоугольник можно назвать \(n\)-угольником, это означает, что у данного многоугольника \(n\) сторон и \(n\) вершин.

Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна 180°⋅n−2.

Любой выпуклый многоугольник можно разделить на треугольники. Количество треугольников на \(2\) меньше, чем количество сторон в многоугольнике.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Поэтому сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна 180°⋅n−2.

Пример:

вычисли сумму внутренних углов выпуклого одиннадцатиугольника.

Можно нарисовать рисунок, но это не обязательно для решения задачи.
Используем формулу:
180°⋅n−2=180°⋅11−2=180°⋅9=1620°.

Многоугольник — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тринадцатиугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости ограниченная замкнутой ломаной.

Варианты определений

Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
• Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников

Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

• Сумма внутренних углов плоского n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений равна (n−2)⋅180∘{\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}.
• Число диагоналей всякого n{\displaystyle n}-угольника равно n⋅(n−3)2{\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}.

Площадь

• Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,…,n{\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}, где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Многоугольники
Звёздчатые многоугольники
Паркеты на плоскости
Правильные многогранники и сферические паркеты
Многогранники Кеплера — Пуансо
Соты
Четырёхмерные многогранники	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Виды многоугольников

Виды многоугольников:

Четырехугольники

Четырехугольники, соответственно, состоят из 4-х сторон и углов.

Стороны и углы, расположенные напротив друг друга, называются противоположными.

Диагонали делят выпуклые четырехугольники на треугольники (см. на рисунке).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° (по формуле: (4-2)*180°).

Параллелограммы

Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник с противоположными параллельными сторонами (на рис. под номером 1).

Противоположные стороны и углы в параллелограмме всегда равны.

А диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Трапеции

Трапеция — это тоже четырехугольник, и в трапеции параллельны только две стороны, которые называются основаниями. Другие стороны — это боковые стороны.

Трапеция на рисунке под номером 2 и 7.

Как и в треугольнике:

— если боковые стороны равны, то трапеция — равнобедренная;

— если один из углов прямой, то трапеция — прямоугольная.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Помимо свойств параллелограмма, ромбы имеют своё особое свойство — диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят углы ромба пополам.

На рисунке ромб под номером 5.

Прямоугольники

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого каждый угол прямой (см. на рис. под номером 8).

Помимо свойств параллелограмма, прямоугольники имеют своё особое свойство — диагонали прямоугольника равны.

Квадраты

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (№4).

Обладает свойствами прямоугольника и ромба (так как все стороны равны).

Редактировать этот урок и/или добавить задание

Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Многоугольник — Википедия. Что такое Многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тринадцатиугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости ограниченная замкнутой ломаной.

Варианты определений

Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
• Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников

Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

• Сумма внутренних углов плоского n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений равна (n−2)⋅180∘{\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}.
• Число диагоналей всякого n{\displaystyle n}-угольника равно n⋅(n−3)2{\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}.

Площадь

• Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,…,n{\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}, где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Многоугольники
Звёздчатые многоугольники
Паркеты на плоскости
Правильные многогранники и сферические паркеты
Многогранники Кеплера — Пуансо
Соты
Четырёхмерные многогранники	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Правильные многоугольники — урок. Геометрия, 9 класс.

Правильными называют многоугольники, у которых равны все стороны и все углы.

На рисунке видны некоторые правильные многоугольники: треугольник, четырёхугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

 

 

Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:

из диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника — гексаграмма, а из диагоналей семиугольника — даже две разные гептаграммы.

 

 

Если провести все диагонали из одной вершины, любой \(n\)-угольник можно поделить на \(n-2\) треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле 180°⋅n−2.

 

Так как все углы правильного \(n\)-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна 180°⋅n−2n.

Около любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обеих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника.

 

Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины.

 

 

&angmsd;AOH=360°n;&angmsd;AOK=360°2n=180°n.

 

В треугольнике \(AOK\) связаны сторона \(a\) (половина стороны \(AH\)), радиус описанной окружности \(OA = R\) и радиус вписанной окружности \(OK = r\).

 

a2=R⋅sin180°n;a=2R⋅sin180°n;R=a2sin180°n;a2=r⋅tg180°n;a=2r⋅tg180°n;r=a2tg180°n;r=R⋅cos180°n;R=rcos180°n.

 

Так как \(n\)-угольник состоит из \(n\) треугольников, равных \(AOH\), то

 

Sn−уг.=n⋅SAOH=n⋅AH⋅r2=p⋅r2.

 

Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.

полигональных фигур PNG изображений | Векторные и PSD файлы

творческие абстрактные геометрические линии с многоугольниками

1200 * 1200

светло-желтый фон многоугольной формы

1200 * 1200

многоугольные формы на прозрачном фоне

1200 * 1200

зеленый фон многоугольной формы

800 * 800

/ourmid/pngtree-abstract-hexagon-black-background-hexagon-texture-effect-png-image_532623.jpg» alt=»abstract hexagon black background hexagon texture effect, 3d, Backdrop, Background PNG and Vector»/>

абстрактный шестиугольник черный фон эффект текстуры шестиугольника

1200 * 1200

векторный баннер с многоугольными формами

800 * 800

900

абстрактная геометрическая многоугольная форма фона иллюстрации

1200 * 1200

красный фон многоугольной формы

800 * 800

многоугольные формы на прозрачном фоне

1200 * 1200

рукопожатие логотип в форме многоугольника

9000 4 6667 * 6667

низкий поли абстрактный синий фон, состоящий из треугольников

800 * 800

/ourmid/pngtree-yellow-polygonal-shape-background-png-image_487420.jpg» alt=»yellow polygonal shape background, Yellow, Polygonal, Minimal PNG and Vector»/>

желтый фон многоугольной формы

3000 * 3000

абстрактный геометрический фон многоугольной формы, иллюстрация

1200 * 1200

абстрактная геометрическая многоугольная форма фоновой иллюстрации

1200 * 1200

3d геометрическая буква м значок

1200 * 1200

многоугольная форма медведь логотип вектор животных

4000 * 4000

рекламный баннер с многоугольными формами

2000 * 2000

синяя визитная карточка многоугольной формы

1200 * 1200

баннер многоугольной формы

2000 * 2000

многоугольная форма

фон индийский день республики празднование вектор 26 ja nuari

1200 * 1200

форма многоугольника бесплатное изображение

2000 * 2000

/ourmid/pngtree-polygonal-shape-design-png-image_488024.jpg» alt=»polygonal shape design, Geometry, Text, Shapes PNG and Vector»/>

дизайн многоугольной формы

3000 * 3000

многоугольная форма медведь логотип вектор животные

форма многоугольника свободное изображение

2000 * 2000

форма многоугольника

2000 * 2000

стрелка с векторным логотипом многоугольной формы, иллюстрация значка

1200 * 1200

9180008

финансовая инвестиции векторный логотип дизайн форма многоугольника

5000 * 5000

Wi-Fi значок вектор низкополигональная каркасная геометрия треугольник линии точки многоугольники формы

1200 * 1200

абстрактные геометрические 3d структура сплетения изолированные многоугольники связанные концепции декоративные предметы в футуристическом стиле

5000 * 5000

абстрактный фон из коричневых треугольников

1200 * 1200

абстрактная геометрическая 3d структура сплетения изолированные многоугольные формы, связанные концепции декоративных объектов в футуристическом стиле

8000 * 8000

абстрактный шестиугольник черный фон эффект текстуры шестиугольника

1200 * 1200

вектор геометрических треугольников фон абстрактный многоугольный дизайн

1200 * 1200

синий геометрический фон абстрактной формы

1200 * 1200

дизайн логотипа современного дома, вдохновение в дизайне многоугольника форма

5000 * 5000

низкий поли абстрактный синий фон, состоящий из треугольников

800 * 800

синий освежающий абстрактный фон многоугольника

1200 * 1200

.

многоугольных форм Png, вектор, PSD и клипарт с прозрачным фоном для бесплатной загрузки

творческих абстрактных геометрических линий с многоугольниками

1200 * 1200

светло-желтый фон многоугольной формы

1200 * 1200

логотип рукопожатия в форме многоугольника

6667 * 6667

многоугольные формы на прозрачном фоне

1200 * 1200

векторный баннер с многоугольными формами

800 * 800 8

абстрактная геометрическая многоугольная форма фона иллюстрации

1200 * 1200

зеленый фон многоугольной формы

800 * 800

баннер с многоугольными формами

2000 * 2000

рекламный баннер с многоугольными формами

2000 * 2000

красный многоугольная форма фон

800 * 800

многоугольная форма медведь логотип вектор животные

8333 * 8333

многоугольные формы на прозрачном фоне

1200 * 1200

/ourmid/pngtree-yellow-polygonal-shape-background-png-image_487420.jpg» alt=»yellow polygonal shape background, Yellow, Polygonal, Minimal PNG and Vector»/>

9000 желтый многоугольный фон

3000 * 3000

форма многоугольника свободное изображение

2000 * 2000

/ourmid/pngtree-polygonal-shape-design-png-image_488024.jpg» alt=»polygonal shape design, Geometry, Text, Shapes PNG and Vector»/>

дизайн многоугольной формы

3000 * 3000

синий многоугольник визитная карточка

1200 * 1200

15

1200 * 1200

15

форма многоугольника бесплатное изображение

2000 * 2000

форма многоугольника

2000 * 2000

финансовый и инвестиционный векторный дизайн логотипа многоугольной формы

5000 * 5000

многоугольной формы животные

4000 * 4000

абстрактные геометрическая многоугольная форма фоновой иллюстрации

1200 * 1200

абстрактная геометрическая многоугольная форма фоновой иллюстрации

1200 * 1200

стрелка с многоугольной формой вектор значок логотипа иллюстрации

1200 * 1200

современный

дом здание дизайн логотипа вдохновение в форме многоугольника

5000 * 5000

фон формы многоугольника вектор празднования дня республики Индии 26 января

1200 * 1200

абстрактные геометрические 3d структура сплетения изолированные формы многоугольника связанные концепции декоративные объекты в футуристическом стиле

8000 * 8000

современные абстрактные красочные геометрические многоугольные формы с кругом органические линии каракули декоративные объекты

5000 * 5000

абстрактные геометрические 3d структура сплетения изолированные многоугольные формы соединяются d концептуальные декоративные объекты в футуристическом стиле

5000 * 5000

Wi-Fi значок вектор низкополигональная каркасная геометрия треугольник линии точки многоугольники формы

1200 * 1200

многоугольный Wi-Fi значок вектор низкополигональная каркасная геометрия треугольник линии точки многоугольники формы

1200 * 1200

абстрактные красочные геометрические многоугольные формы с кубом точек треугольники линии в стиле мемфис декоративные объекты

5000 * 5000

абстрактный дизайн логотипа в форме многоугольника простирается вверх и вниз для вашего бизнес или торговая марка

5000 * 5000

.

полигональных изображений PNG | Векторные и PSD файлы

творческие абстрактные геометрические линии с многоугольниками

1200 * 1200

светло-желтый фон многоугольной формы

1200 * 1200

многоугольные формы на прозрачном фоне

1200 * 1200

зеленый фон многоугольной формы

800 * 800

/ourmid/pngtree-abstract-hexagon-black-background-hexagon-texture-effect-png-image_532623.jpg» alt=»abstract hexagon black background hexagon texture effect, 3d, Backdrop, Background PNG and Vector»/>

абстрактный шестиугольник черный фон эффект текстуры шестиугольника

1200 * 1200

векторный баннер с многоугольными формами

800 * 800

900

абстрактная геометрическая многоугольная форма фона иллюстрации

1200 * 1200

красный фон многоугольной формы

800 * 800

многоугольные формы на прозрачном фоне

1200 * 1200

рукопожатие логотип в форме многоугольника

9000 4 6667 * 6667

низкий поли абстрактный синий фон, состоящий из треугольников

800 * 800

/ourmid/pngtree-yellow-polygonal-shape-background-png-image_487420.jpg» alt=»yellow polygonal shape background, Yellow, Polygonal, Minimal PNG and Vector»/>

желтый фон многоугольной формы

3000 * 3000

абстрактный геометрический фон многоугольной формы, иллюстрация

1200 * 1200

абстрактная геометрическая многоугольная форма фоновой иллюстрации

1200 * 1200

3d геометрическая буква м значок

1200 * 1200

многоугольная форма медведь логотип вектор животных

4000 * 4000

рекламный баннер с многоугольными формами

2000 * 2000

синяя визитная карточка многоугольной формы

1200 * 1200

баннер многоугольной формы

2000 * 2000

фон индийский день республики празднование вектор 26 ja nuari

1200 * 1200

форма многоугольника бесплатное изображение

2000 * 2000

/ourmid/pngtree-polygonal-shape-design-png-image_488024.jpg» alt=»polygonal shape design, Geometry, Text, Shapes PNG and Vector»/>

дизайн многоугольной формы

3000 * 3000

многоугольная форма медведь логотип вектор животные

форма многоугольника свободное изображение

2000 * 2000

форма многоугольника

2000 * 2000

стрелка с векторным логотипом многоугольной формы, иллюстрация значка

1200 * 1200

9180008

Wi-Fi значок вектор низкополигональная каркасная геометрия треугольник линии точки многоугольники формы

1200 * 1200

абстрактные геометрические 3d структура сплетения изолированные многоугольники связанные концепции декоративные предметы в футуристическом стиле

5000 * 5000

абстрактный фон из коричневых треугольников

1200 * 1200

абстрактная геометрическая 3d структура сплетения изолированные многоугольные формы, связанные концепции декоративных объектов в футуристическом стиле

8000 * 8000

абстрактный шестиугольник черный фон эффект текстуры шестиугольника

1200 * 1200

вектор геометрических треугольников фон абстрактный многоугольный дизайн

1200 * 1200

синий геометрический фон абстрактной формы

1200 * 1200

дизайн логотипа современного дома, вдохновение в дизайне многоугольника форма

5000 * 5000

низкий поли абстрактный синий фон, состоящий из треугольников

800 * 800

синий освежающий абстрактный фон многоугольника

1200 * 1200