Многогранник чертеж: Многогранники — Чертежи к урокам математики

Многогранники — Чертежи к урокам математики

Многогранники — урок. Геометрия, 9 класс.

Часть геометрии, которую мы изучали до сих пор, называется планиметрией — эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Это слово \(στερεομετρία\) происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение.
Простейшие фигуры стереометрии — точки, прямые и плоскости. Из этих фигур образованы геометрические тела и их поверхности. 

Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.

Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямую называют перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

Теперь можем ввести определение призмы.

\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.

Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.

Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.

Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.

Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.

Призмы бывают прямыми и наклонными.

Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.

У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B1E.

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом.

Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом.

Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.

На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, AB, AD и AA1 можно называть измерениями.

Так как треугольники ABC и ACC1 — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

AC12=AB2+AD2+AA12.

Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Основные формулы для расчётов в прямых призмах

1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.⋅H, где \(H\) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

2. Полная поверхность Sполн.=2⋅Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

3. Объём V=Sосн.⋅H. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

\(n\)-угольная пирамида — многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.

\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.

Треугольники — боковые грани пирамиды.

Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.

Рёбра, выходящие из вершины — боковые рёбра пирамиды.

Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

На рисунке — шестиугольная пирамида \(GABCDEF\), проведена высота пирамиды \(GH\).

Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют правильной.

У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.

Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.

На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды \(KO\) проведена от вершины \(K\) к центру основания \(O\).

Высота боковой грани \(KN\) — апофема.

Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:

ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп.

Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение.

На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.

Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах

1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.⋅h3, где \(h\) — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.

2. Полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

3. Объём V=13⋅Sосн.⋅H, где \(H\) — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

Начертательная геометрия | Лекция 6. Многогранники

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

6.1. Пирамида. Сечение пирамиды плоскостью. Развертка пирамиды

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками, которые называется гранями.

Грани, пересекаясь, образуют ребра.
Ребра, пересекаясь, образуют вершины.
Рассмотрим два основных вида многогранников:

Пирамида – многогранник, у которого боковыми гранями являются треугольники, а основанием – многоугольник.

Упражнение

Дана пирамида, основание которой  параллельно π₁. Основание представляет собой некоторый треугольник.

S – вершина пирамиды (Рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Пересечение поверхности пирамиды прямой

Требуется построить точки пересечения прямой m общего положения с поверхностью пирамиды.

Решение

1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.
2. Строим сечение ∆ (123) поверхности пирамиды с плоскостью σ.

Решение задачи сводится к нахождению линии пересечения плоскостей общего положения (боковые грани пирамиды) и плоскости частного положения (плоскость σ).

Примечание. При наличии круто падающих рёбер (близких к вертикали), построение недостающей проекции точки на ребре по одной данной проекции  необходимо выполнять при помощи пропорционального деления отрезка.

3. В сечении находим точки M и N принадлежащие прямой m.
4. Определяем видимость прямой m.

Развёрткой многогранника называется фигура, полученная в результате последовательного совмещения граней многогранника с плоскостью.

Развёртка всегда строится наружной (лицевой) стороной к наблюдателю.

Для построения развёртки пирамиды нужно определить истинные величины всех рёбер пирамиды и построить грани пирамиды в виде треугольников, последовательно присоединяя их друг к другу.

Основание можно присоединить к любой грани, например, АС (Рисунок 6.2).

Рисунок 6.2 – Построение развёртки пирамиды

В упражнении истинные значения ребер определены способом вращения. Для построения линии сечения на развертке, на истинных величинах рёбер построим точки \overline{1},\overline{2},\overline{3}, проведя горизонтальные линии (траектории перемещения точек 1, 2, 3) до пересечения с соответствующими истинными проекциями ребер.

6.2. Призма. Развертка призмы

Призма – многогранник, у которого боковыми гранями являются параллелограммы, а основания – многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Упражнение

Дана призма, основания которой параллельны плоскости проекций π₁.

Требуется построить точки пересечения прямой m с поверхностью призмы (Рисунок 6.3).

Рисунок 6.3 – Построение «точек встречи» прямой с поверхностью наклонной призмы

Порядок построения:

1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.
2. Строим сечение поверхности призмы с плоскостью σ →(∆(123)).
3. В сечении находим точки K и L принадлежащие прямой m.
4. Определяем видимость прямой m. Если грань АВ на π₂ видна, то точка К на π₂ видима, грань ВС невидима, следовательно, точка Lневидима.

Рассмотрим наклонную призму. Пусть основание призмы параллельно π₁, а ребра параллельны π₂.

Построим нормальное сечение, то есть сечение плоскостью σ, перпендикулярной ребрам призмы (Рисунок 6.4).

Это сечение развернется в прямую линию. Боковые ребра перпендикулярны к линии сечения.

Рисунок 6.4 – Построение развёртки призмы
Порядок построения:

1. Найдем истинную величину сечения – (1₀2₀3₀), для чего повернём сечение (123) вокруг оси n⊥π₂, (можно ввести ДПП π₃//σ).
2. Проведём горизонтальную линию на свободном месте листа. Отложим на ней отрезки:
   /1₀-2₀/; /2₀-3₀/; /3₀-1₀/.

3. Проведём направления рёбер перпендикулярно этой линии через точки: 1₀; 2₀; 3₀ и отмерим вверх и вниз расстояния от нормального сечения (на π₂) до верхнего и нижнего основания, откладывая их на линиях-ребрах.

6.3. Взаимное пересечение многогранников

В результате пересечения многогранников получим ломаную линию.

Возможны два случая пересечения многогранников (Рисунок 6.5):

Рисунок 6.5 – Варианты пересечения многогранников

Вершины ломаной – точки пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого.

Звенья ломаной – линии пересечения граней.

Для решения задачи нужно найти вершины ломаной, то есть точки пересечения всех рёбер, участвующих в пересечении.

Построенные точки соединить.

Упражнение

Построить линии пересечения призмы с пирамидой (Рисунок 6.6).

Рисунок 6.6. Построение линии пересечения призмы с пирамидой
Решение

1. Находим на π₂ проекции точек пересечения ребра пирамиды с проецирующими гранями призмы (точки 1₂ и 2₂). Находим их горизонтальные проекции.
2. Строим точки пересечения ребра призмы с боковыми гранями пирамиды (точки 3₂ и 4₂), для чего используем вспомогательную плоскость τ⊥π₂.
3. Полученные на π₁ точки 3, 2, 4, 1 соединяем отрезками прямых. Причем отрезки 1₁-3₁, 1₁-2₁, 1₁-4₁ невидимы. Получили замкнутую линию пересечения пирамиды с призмой.

Упражнение

остроить три проекции пирамиды с вырезом и развертку (Рисунок 6.7).

1. По двум проекциям построить третью;
2. На всех трех проекциях построить проекции линии пересечения призматического выреза с пирамидой;
3. Невидимые участки линии пересечения и участки рёбер многогранников показывать штриховой линией;
4. Построить развёртку пирамиды с нанесением линии пересечения.

Рисунок 6.7. Построение проекций пирамиды с вырезом и развертки
Решение:

1. Проводим линии рёбер призмы на всех проекциях.
2. Введём плоскость σ⊥π₂, σ//π₁:

• σ//АВС – основанию пирамиды;
• σ пересекает пирамиду ’ сечение подобно ΔА₁В₁С₁.

Это сечение пересекается:

— с ребром D в двух точках 1 и 4;

— с ребром Е в двух точках 2 и 5.

Грань D₂E₂∩S₂B₂ =6₂.

Ребро F₂∩S₂B₂ =7₂.

Соединим найденные точки: 1-2-3-1; 4-6-5-7-4 и определим видимость.

Построение развертки рассмотрено ранее.

6.4. Задачи для самостоятельной работы

1-4. Построить линию пересечения гранных поверхностей. Показать видимость (Рисунки 6.8 – 6.11).

Рисунок 6.8

Рисунок 6.9

Рисунок 6.10

Рисунок 6.11

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

Сборник «Инструкции по изготовлению моделей правильных и некоторых полуправильных многогранников»

МКОУ «Средняя общеобразовательная школа №4»

Изготовление моделей правильных

и некоторых полуправильных многогранников.

• Куб

• Тетраэдр

• Октаэдр

• Икосаэдр

• Додекаэдр

• Усеченный куб

• Усеченный тетраэдр

• Усеченный октаэдр

• Усеченный икосаэдр

• Усеченный додекаэдр

• Кубооктаэдр

• Икосододекаэдр

Шадринск

2017

ТЕТРАЭДР

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка тетраэдра.

ГЕКСАЭДР (КУБ)

Алгоритм построения квадрата:

1. Проведите прямую а, на ней отметьте точки А и В. Отрезок АВ будет стороной квадрата.

2. Сейчас нужно провести два перпендикуляра к прямой а, проходящих через точки А и В.

3. Чертим окружность с произвольным радиусом с центром в точке А. Точки пересечения прямой а и окружности обозначаем Р и Н.

4. Строим две окружности с центрами Р и Н радиусом РН. Одну из точек пересечения данных окружностей обозначаем К.

5. Строим прямую АК. Она и будет перпендикулярна прямой а.

6. С помощью циркуля на прямой АК отмечаем отрезок АD, равный стороне квадрата, т.е. отрезку АВ.

7. Аналогично строим перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку В. На нем строим отрезок ВС, равный стороне квадрата.

8. Осталось соединить точки С и D. Квадрат готов.

Развертка куба.

ОКТАЭДР

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка октаэдра.

ИКОСАЭДР

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка икосаэдра:

ДОДЕКАЭДР

Алгоритм построения правильного пятиугольника:

1. В первую очередь необходимо построить окружность с центром в точке O.

2. Проведите произвольный диаметр окружности.

3. Далее необходимо построить еще один диаметр, перпендикулярный построенному диаметру. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Построенная окружность пересекает диаметр в точках Р и Н.

4. Постройте окружности с центрами Р и Н, радиусом РН. Эти окружности пересекутся в двух точках.

5. Постройте прямую, проходящую через эти две точки (она так же пройдет через точку О). Данная прямая будет перпендикулярна диаметру.

6. В точке пересечения этой прямой с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего пятиугольника. В точке пересечения другого диаметра с окружностью расположите точку D.

7. На отрезке OD найдите середину и обозначьте ее точкой А. Для этого постойте две окружности с центрами в точках О и D, радиусом ОD. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, делит отрезок ОD пополам.

8. После этого нужно построить окружность с центром в точке А. Кроме того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом АV. Точку пересечения диаметра и этой окружности обозначьте В.

9. Проведите окружность такого же радиуса, с центром в точке V. Точку пересечение этой окружности с первоначальной окружностью обозначьте как точку F. Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольника.

10. Проведите такую же окружность, тем же радиусом с центром в F. Точку пересечения только что проведенной окружности с первоначальной обозначьте G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольника. Аналогичным образом необходимо построить еще одну окружность с центром G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет L. Это последняя вершина правильного многоугольника.

11. Остается соединить пять вершин правильного пятиугольника.

Развертка додекаэдра.

УСЕЧЕННЫЙ ТЕТРАЭДР

Алгоритм построения правильного шестиугольника:

1. Построить окружность с радиусом, равным стороне будущего шестиугольника.

2. Затем данный радиус последовательно отложить по окружности шесть раз.

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка усеченного тетраэдра.

УСЕЧЕННЫЙ КУБ

Алгоритм построения правильного восьмиугольника:

1. Построить окружность с центром в точке О.

2. Провести произвольный диаметр АВ.

3. Построить окружность с центром в точке А радиусом ОА. Эта окружность пересекает первую в точках С и D.

4. Провести прямую СD. Прямая СD пересечет радиус ОА в точке Е.

5. Построить окружность с центром в точке Е радиусом ОЕ. Данная окружность пересечет прямую СD в точках М и N.

6. Построить прямые ОМ и ОN, пересекающие первую окружность в четырех точках.

7. Соединив данные точки отрезками с точками А и В соответственно, мы получим четыре стороны будущего правильного восьмиугольника.

8. С помощью циркуля отложить на окружности остальные стороны восьмиугольника.

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка усеченного куба:

УСЕЧЕННЫЙ ОКТАЭДР

Алгоритм построения правильного шестиугольника:

1. Построить окружность с радиусом, равным стороне будущего шестиугольника.

2. Затем данный радиус последовательно отложить по окружности шесть раз.

Алгоритм построения квадрата:

1. Проведите прямую а, на ней отметьте точки А и В. Отрезок АВ будет стороной квадрата.

2. Сейчас нужно провести два перпендикуляра к прямой а, проходящих через точки А и В.

3. Чертим окружность с произвольным радиусом с центром в точке А. Точки пересечения прямой а и окружности обозначаем Р и Н.

4. Строим две окружности с центрами Р и Н радиусом РН. Одну из точек пересечения данных окружностей обозначаем К.

5. Строим прямую АК. Она и будет перпендикулярна прямой а.

6. С помощью циркуля на прямой АК отмечаем отрезок АD, равный стороне квадрата, т.е. отрезку АВ.

7. Аналогично строим перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку В. На нем строим отрезок ВС, равный стороне квадрата.

8. Осталось соединить точки С и D. Квадрат готов.

Развертка усеченного октаэдра:

УСЕЧЕННЫЙ ИКОСАЭДР

Алгоритм построения правильного шестиугольника:

1. Построить окружность с радиусом, равным стороне будущего шестиугольника.

2. Затем данный радиус последовательно отложить по окружности шесть раз.

Алгоритм построения правильного пятиугольника:

1. В первую очередь необходимо построить окружность с центром в точке O.

2. Проведите произвольный диаметр окружности.

3. Далее необходимо построить еще один диаметр, перпендикулярный построенному диаметру. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Построенная окружность пересекает диаметр в точках Р и Н.

4. Постройте окружности с центрами Р и Н, радиусом РН. Эти окружности пересекутся в двух точках.

5. Постройте прямую, проходящую через эти две точки (она так же пройдет через точку О). Данная прямая будет перпендикулярна диаметру.

6. В точке пересечения этой прямой с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего пятиугольника. В точке пересечения другого диаметра с окружностью расположите точку D.

7. На отрезке OD найдите середину и обозначьте ее точкой А. Для этого постойте две окружности с центрами в точках О и D, радиусом ОD. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, делит отрезок ОD пополам.

8. После этого нужно построить окружность с центром в точке А. Кроме того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом АV. Точку пересечения диаметра и этой окружности обозначьте В.

9. Проведите окружность такого же радиуса, с центром в точке V. Точку пересечение этой окружности с первоначальной окружностью обозначьте как точку F. Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольника.

10. Проведите такую же окружность, тем же радиусом с центром в F. Точку пересечения только что проведенной окружности с первоначальной обозначьте G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольника. Аналогичным образом необходимо построить еще одну окружность с центром G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет L. Это последняя вершина правильного многоугольника.

11. Остается соединить пять вершин правильного пятиугольника.

Развертка усеченного икосаэдра:

УСЕЧЕННЫЙ ДОДЕКАЭДР

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Алгоритм построения правильного десятиугольника:

1. В первую очередь необходимо построить окружность с центром в точке O.

2. Проведите произвольный диаметр окружности.

3. Далее необходимо построить еще один диаметр, перпендикулярный построенному диаметру. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Построенная окружность пересекает диаметр в точках Р и Н

4. Постройте окружности с центрами Р и Н, радиусом РН. Эти окружности пересекутся в двух точках.

5. Постройте прямую, проходящую через эти две точки (она так же пройдет через точку О). Данная прямая будет перпендикулярна диаметру.

6. В точке пересечения этой прямой с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего десятиугольника. В точке пересечения другого диаметра с окружностью расположите точку D.

7. На отрезке OD найдите середину и обозначьте ее точкой А. Для этого постойте две окружности с центрами в точках О и D, радиусом ОD. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, делит отрезок ОD пополам.

8. Построить окружность с центром в точке А, радиусом АО.

9. Построить отрезок VА. Точку пересечения этой прямой с последней окружностью обозначить К.

10. Длина отрезка VK будет равна стороне правильного десятиугольника. Останется лишь последовательно отложить данный отрезок по окружности.

11. Построить окружность с центром в точке А, радиусом АО.

12. Построить отрезок VА. Точку пересечения этой прямой с последней окружностью обозначить К.

13. Длина отрезка VK будет равна стороне правильного десятиугольника. Останется лишь последовательно отложить данный отрезок по окружности.

Развертка усеченного додекаэдра:

КУБООКТАЭДР

Алгоритм построения квадрата:

1. Проведите прямую а, на ней отметьте точки А и В. Отрезок АВ будет стороной квадрата.

2. Сейчас нужно провести два перпендикуляра к прямой а, проходящих через точки А и В.

3. Чертим окружность с произвольным радиусом с центром в точке А. Точки пересечения прямой а и окружности обозначаем Р и Н.

4. Строим две окружности с центрами Р и Н радиусом РН. Одну из точек пересечения данных окружностей обозначаем К.

5. Строим прямую АК. Она и будет перпендикулярна прямой а.

6. С помощью циркуля на прямой АК отмечаем отрезок АD, равный стороне квадрата, т.е. отрезку АВ.

7. Аналогично строим перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку В. На нем строим отрезок ВС, равный стороне квадрата.

8. Осталось соединить точки С и D. Квадрат готов.

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка кубооктаэдра:

ИКОСОДОДЕКАЭДР

Алгоритм построения правильного пятиугольника:

1. В первую очередь необходимо построить окружность с центром в точке O.

2. Проведите произвольный диаметр окружности.

3. Далее необходимо построить еще один диаметр, перпендикулярный построенному диаметру. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Построенная окружность пересекает диаметр в точках Р и Н.

4. Постройте окружности с центрами Р и Н, радиусом РН. Эти окружности пересекутся в двух точках.

5. Постройте прямую, проходящую через эти две точки (она так же пройдет через точку О). Данная прямая будет перпендикулярна диаметру.

6. В точке пересечения этой прямой с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего пятиугольника. В точке пересечения другого диаметра с окружностью расположите точку D.

7. На отрезке OD найдите середину и обозначьте ее точкой А. Для этого постойте две окружности с центрами в точках О и D, радиусом ОD. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, делит отрезок ОD пополам.

8. После этого нужно построить окружность с центром в точке А. Кроме того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом АV. Точку пересечения диаметра и этой окружности обозначьте В.

9. Проведите окружность такого же радиуса, с центром в точке V. Точку пересечение этой окружности с первоначальной окружностью обозначьте как точку F. Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольника.

10. Проведите такую же окружность, тем же радиусом с центром в F. Точку пересечения только что проведенной окружности с первоначальной обозначьте G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольника. Аналогичным образом необходимо построить еще одну окружность с центром G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет L. Это последняя вершина правильного многоугольника.

11. Остается соединить пять вершин правильного пятиугольника.

Алгоритм построения правильного треугольника:

1. Для построения правильного треугольника АВС, с помощью линейки начертим отрезок АВ, это будет одна из сторон треугольника, а точки А и В его вершинами.

2. Используя циркуль, начертим окружность, центр которой будет в точке А, а радиус равен отрезку АВ.

3. С помощью циркуля начертим еще одну окружность, центр которой будет в точке В, а радиус равен отрезку ВА.

4. Окружности будут пересекаться в двух точках. Выберем любую из них. Назовем ее С. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

5. Соединим вершины между собой. Получившийся треугольник будет правильным.

Развертка икосодедекаэдра:

Построение многогранников — Мегаобучалка

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогранником. К наиболее часто используемым в практике многогранникам относятся призма и пирамида.

Чертёж любого многогранника состоит из сочетания многоугольников. Каждая линия на чертеже многоугольника — это либо проекция линии пересечения двух граней (ребра), либо проекция самой грани (плоскости), если эта грань перпендикулярна плоскости проекций. При проецировании многогранника на плоскость чертежа необходимо уметь мысленно разделять его на составные части и правильно определять порядок их изображения.

Вспомним из курса черчения, как изображаются на чертеже плоские фигуры, различно расположенные относительно плоскостей проекций:

— плоская фигура, параллельная плоскости, проецируется на неё без искажения;

— плоская фигура, перпендикулярная к плоскости, проецируется на неё в прямую линию;

— плоская фигура, наклонённая к плоскости, проецируется на неё с искажением.

Плоскости, наклонённые к плоскостям проекций, называются плоскостями общего положения. Рассмотрим построение многоугольников в случае, когда они являются плоскостями общего положения.

Проекцией треугольника в общем случае является треугольник. Чтобы построить на чертеже проекции треугольника, необходимо построить проекции его вершин (точек). Следует помнить, что они должны лежать на одной линии связи. Проекцией четырёхугольника в общем случае будет четырёхугольник. При этом у квадрата, прямоугольника, ромба и параллелограмма сохраняется параллельность противоположных сторон (проекции параллельных прямых — параллельны).

На чертеже четырёхугольника произвольно можно построить только одну его проекцию и три вершины на другой проекции (три точки определяют плоскость). Проекцию четвёртой вершины нужно строить исходя из принадлежности её плоскости четырёхугольника (найти её на одной из диагоналей) (рис. 3.6).

а) б) в) г)

Рис. 3.6

Аксонометрические проекции многогранников, так же как и многоугольников, строятся при помощи координат вершин многогранника.

Построение геометрического тела в аксонометрии начинается с построения плоской геометрической фигуры — многоугольника. При построении правильного шестиугольника в изометрии или диметрии центровые линии заданной фигуры принимаются за координатные оси (рис. 3.7), относительно которых ориентируются вершины рассматриваемой фигуры. Например, координата вершины 1 определяется радиусом R; вершины 6- отрезками R/2 и hдля изометрии (рис. 3.7б) и отрезками R/2 и h/2для диметрии (рис. 3.7в).

а) б) в)

Рис. 3.7

Построим прямоугольную изометрию правильной шестиугольной пирамиды. На свободном месте поля строят основание (рис. 3.7б), из точки пересечения осей проводят отрезок прямой, равный высоте пирамиды (рис. 3.8). Вершину пирамиды соединяют прямыми линиями с вершинами шестиугольного основания.

Построение прямой шестигранной призмы в диметрии (рис. 3.9) также начинают с построения нижнего основания (рис 3.7в). Затем из каждой вершины нижнего основания проводят вертикальные прямые, на которых откладывают высоту призмы. Полученные точки соединяют отрезками и получают верхнее основание.

Построение наклонной призмы в аксонометрии начинают с проведения аксонометрических осей и построения нижнего основания. Затем строят одно ребро боковой грани, для чего по координатам определяют верхнюю точку ребра (рис. 3.10). После этого можно построить верхнее основание и провести остальные рёбра боковых граней.

Рис. 3.10

Построение проекций точек, лежащих на поверхности многогранника. При выполнении заданий по проекционному черчению приходится строить линию пересечения двух поверхностей. Для этого необходимо уметь находить точки, расположенные на поверхности геометрических тел.

На чертеже для построения горизонтальной проекции точки А, расположенной на поверхности пирамиды, через заданную проекцию точки А″ проводят прямую линию и находят её горизонтальную проекцию (рис. 3.11а). На горизонтальной проекции прямой с помощью линии связи находят горизонтальную проекцию А′ точки А. При построении точки А в изометрической проекции необходимо сначала построить на основании пирамиды её проекцию А₁, определяемую координатами X_A и Y_A (рис. 3.11б). Затем через построенную точку А₁ нужно провести линию параллельно вертикальной оси и отложить на ней координату Z_A . Полученная точка А и будет изображением точки А в изометрии. Аксонометрическое изображение является обратимым изображением, что подтверждается возможностью построения аксонометрической координатной ломаной любой точки поверхности, принадлежащей пирамиде.

а) б)

Рис. 3.11

Координатными ломаными пользуются, если нельзя применить какой-либо частный приём. Например, по наглядному изображению точки В(рис. 3.11б), принадлежащей боковой грани пирамиды, можно определить координаты точки и построить её горизонтальную и фронтальную проекции. Для этого через точку В проводим прямую линию, параллельную ребру 1 6, до пересечения с ребром S 1 и получаем точку 7, лежащую в координатной плоскости хОу. Строим проекцию точки 7 на основании пирамиды (точку 7₁) и проводим отрезок прямой параллельно 1 6, на котором определяем точку В₁ .

По координатам точки В, определённым на аксонометрической проекции (рис. 3.11б), можно построить горизонтальную и фронтальную проекции точки В на чертеже (рис. 3.11а).

Тела вращения

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями. Цилиндрическая поверхность вращения образуется при вращении прямой линии g (образующей) вокруг оси i, параллельной образующей (рис. 3.12 а). Если часть цилиндрической поверхности отсечь двумя плоскостями, перпендикулярными к оси вращения, то ограниченное этими плоскостями и цилиндрической поверхностью тело будет являться прямым круговым цилиндром.

а) б) в)

Рис. 3.12

Отметим на прямой g ряд точек, при вращении каждая точка опишет окружность (параллель). Если на этом цилиндре отметить ряд промежуточных меридианов, то можно получить изображение цилиндра с каркасом, нанесённым на его поверхность (рис. 3.12б).

На рис. 3.12в представлены три проекции прямого кругового цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости. Проводим фронтальную проекцию образующей цилиндра через A″. Она является горизонтально-проецирующей прямой и проецируется в точку на окружности. В этой точке будет находиться и горизонтальная проекция A′ точки A , так как точка видна относительно фронтальной плоскости проекций. Профильная проекция точки A находится в проекционной связи с проекциями A′ и A″. Чтобы найти профильную проекцию A″′, надо провести линию связи из точки A″ и отложить расстояние y от оси z. Все три проекции точки видимы.

Конус — геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью. Коническая поверхность образуется вращением прямой g вокруг оси i, которая пересекает эту прямую (рис. 3.13а). Точка S пересечения образующей и оси вращения называется вершиной конической поверхности.

а) б) в)

Рис. 3.13

Отметим на прямой g ряд точек, при вращении каждая из них опишет окружность (параллель). Если на этом конусе отметить ряд промежуточных меридианов, то можно получить изображение конуса с каркасом, нанесённым на его поверхность (рис. 3.13б).

На рис. 3.13в представлены две проекции прямого кругового конуса, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. На поверхности задана проекция точки A″. Проводим фронтальную проекцию образующей конуса через A″ и S″ — S″1″. Находим горизонтальную проекцию образующей S′1′, используя линии связи и принадлежность точки 1 окружности основания конуса. Горизонтальная проекция точки A′ находится на пересечении линии связи с горизонтальной проекцией образующей S′1′. Чтобы найти горизонтальную проекцию точки В по заданной В″, проведём через неё параллель h″ и построим h′, которая проецируется на горизонтальную плоскость проекций в окружность. Горизонтальная проекция точки В′ находится на пересечении линии связи с горизонтальной проекцией h′.

Шар — геометрическое тело, ограниченное сферической поверхностью. Сферическая поверхность образуется вращением дуги окружности m вокруг диаметра i (рис. 3.14а). Отметим на дуге m ряд точек, при вращении дуги каждая точка опишет окружность (параллель). Если на этой сфере отметить ряд промежуточных меридианов, то можно получить изображение шара с каркасом, нанесённым на его поверхность (рис. 3.14б).

а) б) в)

Рис. 3.14

Рассмотрим нахождение горизонтальной проекции точки А, принадлежащей сфере, по заданной её фронтальной проекции А» (рис. 3.14в). Через фронтальную проекцию точки А» проведём параллель (линия, параллельная горизонтальной плоскости). От точки пересечения параллели и окружности главного меридиана проведём линию связи до горизонтальной проекции главного меридиана (горизонтальная осевая линия). Через найденную точку проведём окружность (горизонтальная проекция параллели). От фронтальной проекции точки проведём линию связи, которая пересечёт окружность в двух точках. Поскольку А» видима, то выбираем точку с большей координатой y и обозначаем А’.

Аксонометрические проекции тел вращения. Основанием ряда геометрических тел вращения является окружность. Чтобы построить геометрическое тело в аксонометрии, надо уметь строить, прежде всего, его основание. Изображения окружностей в изометрии и диметрии во всех трёх плоскостях проекций представляют собой эллипсы. В практике выполнения аксонометрических чертежей допускается сложные лекальные построения эллипсов заменять более простыми построениями овалов, вычерчиваемых при помощи циркуля.

Построим изометрическую проекцию окружности радиуса R, расположенной в горизонтальной плоскости, заменив эллипс четырехцентровым овалом (рис. 3.15).

Малая ось эллипса (0₁ 0₁) параллельна оси, отсутствующей в горизонтальной плоскости, т.е. оси z (рис. 3.15). Большая ось перпендикулярна малой. Необходимо также провести аксонометрические оси х, у и вспомогательную окружность радиуса R. Построенный овал должен проходить через точки 1, так как только в этом случае сохранятся размеры вдоль координатных осей.

Центры большой дуги овала (0₁) находятся на пересечении вспомогательной окружности с продолжением малой оси (рис. 3.15). Радиус большой дуги R₁ равен расстоянию от 0₁ до точки 1. Точки пересечения отрезков 0₁1 с большой осью будут центрами 0₂меньших дуг овала. Отрезок 0₂1 равен радиусу меньшей дуги. Проведя теперь меньшие дуги овала, получим четырехцентровой овал.

В прямоугольной диметрии, так же как и в изометрии, малая ось эллипса параллельна той аксонометрической оси, которая перпендикулярна плоскости проекций, где расположена изображаемая окружность.

Рассмотрим построение в плоскости х0z овала радиусом R (рис. 3.16). Из точки пересечения осей хиz проводим окружность радиуса Rи на пересечении с осями получаем точки 1,которые являются точками касания дуг овала. Затем строим центры дуг, для чего из точек 1, принадлежащих оси х, проводим горизонтальные прямые до пересечения с большой и малой осями эллипса и получаем точки 0₁ и 0₂. Точки 0₁, лежащие на малой оси, являются центрами больших дуг овала, а точки 0₂ — центрами малых дуг. Из центров 0₁ радиусом R₁, равным отрезку 0₁1, проводим большие дуги овала, а из центров 0₂ — малые дуги овала.
На рис. 3.17 приведено построение овала в плоскости х0у. На оси х строим точки 1 касания дуг овала. Для нахождения центров 0₁ больших дуг овала от пересечения осей хиувверх и вниз по направлению малой оси откладываем отрезки, равные 2R. Центры малых дуг овала 0₂ находим на пересечении отрезка 0₁1 и большой оси эллипса. Большие дуги овала проводим из центров 0₁ через точки 1, малые дуги — из центров 0₂.

Построение аксонометрической проекции поверхности вращения (конуса, цилиндра) начинают с построения кругового основания. Затем на вертикальной оси откладывают высоту. Для цилиндра (рис. 3.18) строят верхнее основание и проводят очерковые образующие — касательные к двум овалам оснований. У конуса вершину S соединяют касательными с основанием (рис. 3.19).

Для построения точки А на поверхности цилиндра в прямоугольной изометрии сначала строят проекцию точки А₁ на основании цилиндра по координате Х_А , взятой с горизонтальной проекции (рис. 3.12в). От точки А₁ параллельно оси 0z проводят прямую и откладывают координату Z_А, взятую с фронтальной проекции (рис. 3.12в).

Рис. 3.18 Рис. 3.19

Построение точки С на поверхности конуса в изометрии (рис. 3.19) выполняют в следующей последовательности: строят проекцию точки С₁ на основании конуса по координатам X_А и Y_А , взятым с горизонтальной проекции (рис. 3.13в), от точки С₁ параллельно оси 0z проводят прямую и откладывают координату Z_С, взятую с фронтальной проекции (рис. 3.13в).

Если же по наглядному изображению точки Стребуется определить её координаты, то вначале через заданную точку С проводят образующую S1 и строят её проекцию 01 на основание конуса, а затем из точки С проводят прямую, параллельную оси 0z, и строят точку С₁. Выполненные построения позволяют определить координаты точки С на наглядном изображении.

Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие / Хабр

Введение. Постановка вопроса.

В школьной программе, к сожалению, сферическую геометрию и геометрию Лобачевского не изучают. Тем временем, их изучение совместно с Евклидовой геометрией, позволяет глубже понять происходящее с объектами. Например, понять связь правильных многогранников с разбиениями сферы, разбиениями плоскости Евклида и разбиениями плоскости Лобачевского.
Знания геометрии пространств постоянной кривизны помогает подниматься над трёхмерием и выявлять многогранники в пространствах размерности 4 и выше. Вопросы нахождения многогранников, нахождения разбиений пространств постоянной кривизны, вывода формулы двугранного угла правильного многогранника в n-мерном пространстве — так тесно переплетены, что выносить всё это в название статьи оказалось проблематично. Пусть в центре внимания будут, всем понятные, правильные многогранники, хотя они не только результат всех выводов, но и, одновременно, инструмент для постижения пространств высших размерностей и равномерно искривлённых пространств.

Для тех кто не знает (забыл) сообщаю (напоминаю), что в привычном нам трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять правильных многогранников:

В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все вершины равны между собой, все рёбра равны между собой, все грани равны между собой и грани являются правильными многоугольниками.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Вершины равны между собой означает, что количество рёбер и количество граней подходящих к каждой вершине одинаковое и подходят они под одинаковыми углами, в каждой вершине.

Оказывается, правильные многогранники удобно обозначать их символом Шлефли {p1, p2}, характеризующим их комбинаторное строение. Который означает, что p1 угольники, сошлись по p2 штук в вершине. Т.е. по определению p1, p2 — целые числа, большие либо равные 3. Для тех кто не знаком с понятием Символ Шлефли написал отдельную статью с картинками Символ Шлефли. Часть 2.6

В такой записи наши многогранники получат обозначения:

1. Тетраэдр {3, 3},

2. Куб {4, 3},

3. Октаэдр {3, 4},

4. Додекаэдр {5, 3},

5. Икосаэдр {3, 5}

Например, {4, 3} — куб имеет 4 угольные грани, в каждой вершине сходится по 3 таких грани.

У октаэдра {3, 4} наоборот, грани 3 угольные, сходятся по 4 штуки в вершине.

Таким образом символ Шлефли полностью определяет комбинаторное строение многогранника.

Почему правильных многогранников всего 5? Может быть их больше?

Чтобы сполна дать ответ на этот вопрос, нужно сначала получить интуитивное представление о геометрии на сфере и на плоскости Лобачевского. Тем у кого такого представления ещё нет постараюсь дать необходимые объяснения.

Сфера

1. Что такое точка на сфере? Думаю, что всем интуитивно понятно. Мысленно не сложно представить точку на сфере.

2. Что такое отрезок на сфере? Берём две точки и соединяем их кратчайшим расстоянием на сфере, получится дуга, если смотреть на сферу со стороны.

3. Если продолжить этот отрезок в обе стороны, то он замкнётся и получится окружность. При этом плоскость окружности содержит центр сферы, это следует из того, что две исходные точки мы соединили кратчайшим, а не произвольным, расстоянием. Это со стороны она выглядит, как окружность, а в терминах сферической геометрии это прямая, так как была получена из отрезка, продолжением до бесконечности в обе стороны.

4. И, наконец, что такое треугольник на сфере? Берём три точки на сфере и соединяем их отрезками.

По аналогии с треугольником можно нарисовать произвольный многоугольник на сфере. Для нас принципиально важно свойство сферического треугольника, заключающееся в том, что сумма углов у такого треугольника больше 180 градусов, к которым мы привыкли в Евклидовом треугольнике. Более того, сумма углов у двух различных сферических треугольников различна. Чем больше треугольник, тем БОЛЬШЕ у него сумма углов.

Соответственно, появляется 4-й признак равенства треугольников на сфере — по трём углам: два сферических треугольника равны между собой, если у них соответствующие углы равны.

Для простоты саму сферу проще не рисовать, тогда треугольник будет выглядеть немного раздутым:

Сферу ещё называют пространством постоянной положительной кривизны. Кривизна пространства как раз и приводит к тому, что кратчайшим расстоянием является дуга, а не привычный нам прямолинейный отрезок. Отрезок как бы искривляется.

Лобачевский

Теперь, когда мы познакомились с геометрией на сфере, понять геометрию на гиперболической плоскости, открытую великим русским учёным Николаем Ивановичем Лобачевским, будет тоже не сложно, так как тут всё происходит аналогично сфере, только «наизнанку», «наоборот». Если дуги на сфере мы проводили окружностями, с центром внутри сферы, то теперь дуги надо проводить окружностями с центром за пределами сферы.

Приступим. Плоскость Лобачевского будем представлять в интерпретации Пуанкаре II (Жюль Анри́ Пуанкаре́, великий французский учёный), эту интерпретацию геометрии Лобачевского ещё называют диском Пуанкаре.

1. Точка в плоскости Лобачевского. Точка — она и в Африке точка.

2. Отрезок на плоскости Лобачевского. Соединяем две точки линией по кратчайшему расстоянию в смысле плоскости Лобачевского.

Кратчайшее расстояние строится следующим образом:

Надо провести окружность ортогональную диску Пуанкаре, через заданные две точки (Z и V на рисунке). Центр этой окружности будет находиться всегда за пределами диска. Дуга соединяющая исходные две точки будет кратчайшим расстоянием в смысле плоскости Лобачевского.

3. Убрав вспомогательные дуги, получим прямую E1 — h2 в плоскости Лобачевского.

Точки E1, h2 «лежат» на бесконечности плоскости Лобачевского, вообще край диска Пуанкаре — это всё бесконечно удалённые точки плоскости Лобачевского.

4. И наконец, что такое треугольник в плоскости Лобачевского? Берём три точки и соединяем их отрезками.

По аналогии с треугольником, можно нарисовать произвольный многоугольник на плоскости Лобачевского. Для нас принципиально важно свойство гиперболического треугольника, заключающееся в том, что сумма углов у такого треугольника всегда меньше 180 градусов, к которым мы привыкли в Евклидовом треугольнике. Более того, сумма углов у двух различных гиперболических треугольников различна. Чем больше треугольник по площади, тем МЕНЬШЕ у него сумма углов.

Соответственно, тут тоже имеет место 4-й признак равенства гиперболических треугольников — по трём углам: два гиперболических треугольника равны между собой, если у них соответствующие углы равны.

Для простоты сам диск Пуанкаре иногда можно не рисовать, тогда треугольник будет выглядеть немного «усохшим», «сдутым»:

Плоскость Лобачевского (и вообще пространство Лобачевского любой размерности) ещё называют пространством постоянной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ кривизны. Кривизна пространства как раз и приводит к тому, что кратчайшим расстоянием является дуга, а не привычный нам прямолинейный отрезок. Отрезок как бы искривляется.

Правильные разбиения двумерной Сферы и правильные трёхмерные многогранники

Всё сказанное про сферу и плоскость Лобачевского относится к двумерию, т.е. поверхность сферы — двумерна. Какое это имеет отношению к трёхмерию, указанному в заголовке статьи? Оказывается, каждому трёхмерному правильному Евклидову многограннику взаимно однозначно соответствует своё разбиение двумерной сферы. Лучше всего это видно на рисунке:

Чтобы из правильного многогранника получить разбиение сферы, нужно описать вокруг многогранника сферу. Вершины многогранника окажутся на поверхности сферы, соединив эти точки отрезками на сфере (дугами), получим разбиение двумерной сферы на правильные сферические многоугольники. Для примера сделана видео демонстрация как икосаэдр соответствует разбиению сферы на сферические треугольники и обратно, как разбиение сферы на сферические треугольники, сходящиеся по пять штук в вершине, соответствует икосаэдру.

Чтобы по разбиению сферы построить многогранник, соответствующие дугам вершины разбиения нужно соединить обычными, прямолинейными, Евклидовыми отрезками.

Соответственно символ Шлефли икосаэдра {3, 5} — трёхугольники, сходящиеся по пять штук в вершине, задаёт не только структуру этого многогранника, но и структуру разбиения двумерной сферы. Аналогично и с другими многогранниками, их символы Шлефли задают и структуру соответствующих разбиений. Более того, разбиения плоскости Евклида и плоскости Лобачевского на правильные многоугольники, тоже можно задавать символом Шлефли. Например, {4, 4} — четырёхугольники, сходящиеся по четыре — это всем привычная нам тетрадь в клеточку, т.е. это разбиение плоскости Евклида на квадраты. А есть ли другие разбиения плоскости Евклида? Увидим дальше.

Построение разбиений двумерной сферы, плоскости Евклида и плоскости Лобачевского

Для построения разбиений двумерных пространств постоянной кривизны (таково общее название этих трёх пространств) нам потребуется элементарная школьная геометрия и знание того, что сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов (больше Пи), что сумма углов гиперболического треугольника меньше 180 градусов (меньше Пи) и что такое символ Шлефли. Обо всём об этом уже сказано выше.

Итак, возьмём произвольный символ Шлефли {p1, p2}, он задаёт разбиение одного из трёх пространств постоянной кривизны (для плоскости это верно, для пространств высших размерностей дело обстоит сложнее, но ничто нам не мешает исследовать все комбинации символа).

Рассмотрим правильный p1 угольник, проведём отрезки, соединяющие его центр и вершины. Получим p1 штук равнобедренных треугольника (на рисунке показан только один такой треугольник). Сумму углов каждого из этих треугольников обозначим за t и выразим t через пи и коэффициент лямда.

Тогда если лямда = 1, то треугольник Евклидов, т.е. находится в Евклидовой плоскости, если лямда в интервале (1, 3), то это значит, что сумма углов больше пи и значит этот треугольник сферический (не трудно представить, что при увеличении сферического треугольника в пределе получается окружность с тремя точками на ней, в каждой точке угол треугольника получается равным пи, а в сумме 3*пи. Это объясняет верхнюю границу интервала = 3). Если же лямда в интервале (0, 1), то треугольник гиперболический, так как сумма углов у него меньше пи (т.е. меньше 180 градусов). Коротко это можно записать так:

Не трудно посчитать, что:

С другой стороны, для сходимости в вершине p2 штук (т.е. целого числа) таких же многоугольников нужно, чтобы

Приравнивая выражения для 2*бетта, найденные из условия сходимости и из многоугольника:

Получили уравнение которое показывает какое из трёх пространств разбивает фигура заданная своим символом Шлефли {p1, p2}. Для решения этого уравнения надо вспомнить, так же, что p1, p2 — целые числа, большие либо равные 3. Это, так сказать, следует из их физического смысла, так как это p1 угольники (не меньше 3 углов), сходящиеся по p2 штук в вершине (тоже не меньше 3, иначе это не вершина получится).

Решение этого уравнения заключается в переборе всех возможных значений для p1, p2 больших либо равных 3 и вычислении значения лямда. Если оно получится равным 1, то {p1, p2} разбивает плоскость Евклида, если больше 1 но меньше 3, то это разбиение Сферы, если от 0 до 1, то это разбиение плоскости Лобачевского. Все эти вычисления удобно свести в таблицу.

Откуда видно, что:

1. Сфере соответствует всего 5 решений, когда лямда больше 1 и меньше 3, они выделены зелёным цветом в таблице. Это: {3, 3} — тетраэдр, {3, 4} — октаэдр, {3, 5} — икосаэдр, {4, 3} — куб, {5, 3} — додекаэдр. Их картинки были представлены в начале статьи.

2. Разбиениям Евклидовой плоскости соответствует всего три решения, когда лямда = 1, они выделены синим цветом в таблице. Вот как выглядят эти разбиения.

3. И наконец, все остальные комбинации {p1, p2} соответствуют разбиениям плоскости Лобачевского, соответственно таких разбиений бесконечное (счётное) количество. Осталось только проиллюстрировать некоторые из них, для примера.

{3, 7}

{4, 5}

{4, 6}

{4, 7}

{5, 4}

{5, 5}

{5, 6}

{5, 7}

{6, 4}

Итоги

Таким образом, правильных многогранников всего 5, они соответствуют пяти разбиениям двумерной сферы, разбиений плоскости Евклида всего 3, и разбиений плоскости Лобачевского счётное количество.
Какое приложение этих знаний?

Есть люди, которые напрямую интересуются разбиениями сферы: dxdy.ru/topic62800.html,

Есть статьи на Хабре (вот), где также рассматриваются интерпретации геометрии Лобачевского. Данная статья, возможно поможет кому-то лучше понять и познакомиться с геометрией Лобачевского.

Знание многогранников так же помогает ответить на вопрос: сколько у футбольного мяча правильных шестиугольников и сколько пятиугольников. Зная, что футбольный мяч — это усечённый икосаэдр, сразу можно дать ответ на этот вопрос: пятиугольников столько, сколько вершин у икосаэдра, шестиугольников столько, сколько граней у икосаэдра, значит, пятиугольников 12, шестиугольников 20.

Да, хотелось бы ещё рассказать про комбинаторную формулу вычисления количества вершин, рёбер и граней у этих пяти правильных многогранников, но это уже в следующий раз. И без того как-то сложновато получилось, хотя я рассчитывал на школьный уровень знаний читателей.

Так же в следующей статье при наличии интереса читателей планирую показать, как обобщается данный подход на пространства высших размерностей.

Лично для меня знание разбиений позволяет понять структуру этих пространств, особенно это актуально в размерностях выше 3.

Если вам мало трёхмерного пространства, вам понятна эта публикация и хочется забраться повыше, по размерности, то «переходите на следующий уровень» 🙂

Ссылки:
Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2.5 (вспомогательная)
Символ Шлефли. Часть 2.6

Способы моделирования правильных многогранников

Моделирование правильных многогранников

1. Модели многогранников из разверток

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Чертеж развертки переносится на бумагу, дополняется небольшими выступами для склеивания. Вырезаем фигуру по контуру, сгибаем основным линиям. На выступы наносим клей и аккуратно склеиваем модель.

Рис. 49. Развертка тетраэдра

Рис. 50. Развертка октаэдра

Рис. 51. Развертка гексаэдра

Рис.52. Развертка икосаэдра

Рис. 53. Развертка додекаэдра

2. Каркасные модели многогранников

— Конструктор из гороха нут, размоченного в воде в течение 5-6 часов, и зубочисток – это отличный способ построить правильные многогранники.

Начнем наше конструирование с самого маленького многогранника – тетраэдра, всего он имеет 4 треугольные грани, которые являются равносторонними треугольниками и напоминает нам пирамиду (рис. 54). Что нам необходимо для сборки: 4 горошины – вершины и 6 ребер – зубочисток. В каждую вершину-горошину должно прийти 3 ребра, соединяем горошины зубочистками [41].

Рис. 54. Модель тетраэдра

Еще одна не очень сложная для сборки из конструктора фигура — это октаэдр (рис. 55) Если рассмотреть его половинку, то это пирамида с 4 гранями, которая похожа на Египетские пирамиды. Считаем сколько у октаэдра должно быть вершин и ребер: всего 6 вершин и 12 ребер. В каждую горошину-вершину должно подойти 4 ребра – зубочистки.

Рис. 55 Модель тетраэдра

Теперь приступим к сборке всеми любимого гексаэдра (рис. 56). Этот многогранник имеет 6 квадратных граней. Подсоединяем к вершинам нужное количество ребер, и наш куб готов.

Рис. 56. Модель куба

Сложный многогранник – додекаэдр (рис. 57), у которого 12 правильных пятиугольных граней. В каждую из 20 вершин-горошин нужно подсоединить по 3 ребра – зубочистки.

Рис. 57. Модель додекаэдра

А самый большой многогранник из нашей компании – икосаэдр (рис. 58), он состоит из 20 равносторонних треугольников. В идеале эта фигура похожа на футбольный мяч. В каждую из 12 вершин икосаэдра должно войти по 5 ребер. Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 тетраэдров.

Рис. 58. Модель додекаэдра

— Каркасные модели многогранников можно изготовить из трубочек.

Трубочки соединяются между собой леской[43;45].

В качестве примера рассмотрим инструкцию по сборке тетраэдра.

Таблица 7.Сборка тетраэдра из трубочек

3. Многогранник с помощью конструктора

Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек – основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники (рис. 59-61) в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунках.

Рис. 59 Рис. 60

Рис. 61

4. Многогранники из ленты

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 62 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Рис. 62

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 63). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата .

Рис. 63

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков – иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Рис. 64

Построение октаэдра (рис. 64) и икосаэдра (рис.65) осуществляется на основе узора из правильных треугольников. Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра – из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Рис. 65

Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные – совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

Рис. 66

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр..

Лента имеет лицо и оборот, которые попеременно или одновременно участвуют в построении граней тела; каждый перегиб позволяет вести формообразование в двух направлениях. Отсюда нетрудно представить целое семейство игр-головоломок на основе ленты. Например, сложить рисунок, узор, орнамент, фрагменты которого разбросаны по ленте в заданном порядке.

5. Создание моделей правильных многогранников методами оригами.

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин — «оригамика». Остановимся более подробно на создании моделей правильных многогранников методами оригами. Существует несколько методов оригами для создания одного и того же многогранника:

— Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Шеремет Г.Г. [10].

Этот модуль представляет собой правильный шестиугольник, который в результате перекладываний превращается либо в три равносторонних треугольника с двумя «вставками» и одним «карманом», либо в два равносторонних треугольника с двумя «карманами» и одной «вставкой».

Рис.67.

Схема сборки модуля Шеремета :

1. Построение начинаем с правильного шестиугольника

2. Наметить три линии сгиба, совмещающие стороны шестиугольника через одну с соответствующей диагональю

3. Наметить средние линии получившегося правильного треугольника

4. Одновременно согнуть по всем указанным линиям

5 Заправить нижнюю полоску под слой бумаги

6. Получилась фигура, составленная из трех равносторонних треугольников. Средний треугольник – основная часть. Одна сторона этого треугольника имеет удобный карман в форме равного ему треугольника. Два оставшихся треугольника играют роль вставок .

6. Так как у треугольника нечетное число сторон, а при построениях желательно, чтобы число карманов и вставок совпадало, то второй вариант модуля получается из этого выворачиванием вовнутрь одного из треугольников-вставок

При желании, преобразуя этот модуль дальше, можно получить треугольный модуль с тремя карманами и без вставок.

— Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги

Данные модели наименее трудоемкие и одни из самых простых в сборк.

Схема их сборки:

Итак,можно изготовить многогранник любого размера без всякой выкройки. Нужно только выбрать размер листа бумаги. /В этом мастер-классе показано, как строится модуль «Сонобе» и на его основе построен гексаэдр/

Для того, чтобы построить такой гексаэдр, необходимо сделать 6 одинаковых модулей. Модель интереснее будет, если просчитать цвета модулей.

Построение модуля «Сонобе». Согнуть квадратный лист бумаги пополам и четко выделить его осевую линию.

Развернуть согнутый лист и завернуть два противоположных конца к выделенной линии. Никаких отклонений не должно быть.

Один конец полученного прямоугольника согнуть к противоположной стороне. Выделить линию сгиба.

Аналогично поступить с противоположным концом. Получим параллелограмм. В этом параллелограмме необходимо получить еще две линии сгиба.

Вот такой модуль должен получиться. Параллелограмм, имеющий два кармана для соединения с другими параллелограммами. По сути здесь 4 кармана, но используются только два, те которые имеют продолжения.

Острый конец вставляем в карман.

Аналогично проделываем со всех сторон. Боковые стенки сделали. Остается тоже самое проделать снизу и сверху.

Получили гексаэдр без клея

Многогранники

Многогранник — это твердое тело с плоскими гранями
(от греческого многоугольника — «много» и -эдр — «грань»).

Каждая грань представляет собой многоугольник (плоскую форму с прямыми сторонами).

Примеры многогранников:

Куб
Его лица все квадраты
Треугольная призма
Его грани — треугольники
и прямоугольники
Додекаэдр
Какие у него лица?

Итак, без изогнутых поверхностей : конусы, сферы и цилиндры — это , а не многогранники.

Простые многогранники

Примечание: многогранника во множественном числе означает многогранников или многогранников

Многие другие

Подсчет граней, вершин и ребер

Когда мы подсчитываем количество граней (плоских поверхностей), вершин (угловых точек) и ребер многогранника, мы обнаруживаем интересную вещь:

Количество граней
плюс количество вершин
минус количество ребер равно 2

Это можно записать в виде небольшого уравнения:

F + V — E = 2

Она известна как формула Эйлера (или «многогранная формула») и очень полезна, чтобы убедиться, что мы правильно посчитали!

Пример: Куб

В кубе:

• 6 граней
• 8 вершин (угловые точки)
• 12 кромок

F + V — E = 6 + 8 — 12 = 2

Пример: треугольная призма

У этой призмы:

• 5 граней
• 6 вершин (угловые точки)
• 9 кромок

F + V — E = 5 + 6 — 9 = 2

Но бывают случаи, когда не работает! Прочтите формулу Эйлера, чтобы узнать больше.

Диагонали

Диагональ — это прямая линия внутри фигуры, идущая от одного угла к другому (но не края).

У многогранника может быть много диагоналей. Вы можете придумать один без диагоналей?

.

Векторный рисунок многогранника. Иллюстрация геометрической

Дизайнеры также выбрали эти стоковые иллюстрации

Геометрический рисунок

Геометрический рисунок

Геометрический рисунок

Абстрактный серый геометрический фон технологии

Геометрический рисунок

Геометрический элемент

Набор геометрических элементов, линейный дизайн

Набор невозможных фигур

Серая геометрическая форма с соединенными линиями и точками.Векторная иллюстрация

Геометрические формы, линейный дизайн, треугольник

Круговой астральный геометрический узор Мандала Звезда черный и белый — мистический фон

Многоугольный геометрический колибри

Штриховая графика Мандала

Штриховая графика Мандала

Другие стоковые иллюстрации

Октаэдр старинные иллюстрации

Изолированный минерал ювелирных изделий утеса розового алмаза.Геометрический многоугольник хрустальный камень. Набор акварельных фоновых иллюстраций.

Набор из золота Геометрический многогранник, Бордюр с копией

Вектор многогранник плоский дизайн ретро цветной набор иллюстрации

Изолированная Золотая коллекция геометрического многогранника с листьями и розой, стиль арт-деко для свадебного приглашения, роскошные шаблоны.

Полые геометрические фигуры и элементы с линиями, многогранники

Наброски цветочных горшков.Векторный набор модных геометрических минимальных плантаторов. Различные формы многогранников

Кристалл белый куб вектор текстуры синий цвет рисунок иллюстрации кристалл многогранник геометрический на белом фоне

3d-рендеринг, черный шестиугольный куб, компьютерный цифровой рисунок

Квадратная акварельная рамка с белым многогранником.

Группа геометрии для рисования от руки с рамкой.

Загадка лабиринта многогранника, найди свой путь. Помогите индейке найти кукурузу.

Векторный дизайн цветочные карты. Зеленый папоротник лесные листья травы, растение

Эскизная идея символа многогранника

.

Рисование трехмерных многогранников Вороного над точками человеческого тела в MATLAB

Переполнение стека

1. Около

2. Продукты

3. Для команд

1. Переполнение стека
   Общественные вопросы и ответы

2. Переполнение стека для команд
   Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

3. Вакансии
   Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

4. Талант
   Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

5. Реклама
   Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

6. О компании

Загрузка…

2. Авторизоваться
   зарегистрироваться

3. текущее сообщество
   

.