Исследовательская работа флексагоны: Исследовательская работа по математике «Флексоры и флексагоны»

by alexxlab Posted in Разное on 28.06.202108.10.2020

Содержание

Исследовательская работа «Шутка гениев- Флексагон»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №22»

Городская научно – практическая конференция

«В науку шаг за шагом»

Направление: Математические науки

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Шутка гениев – флексагон

Автор: Малых Мария Леонидовна, учащаяся 6 класса

Руководитель: Гришина Наталья Александровна, учитель математики

Артемовский городской округ

2017

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру. Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико, полуостровом Флорида и называется «бермудским треугольником». А ещё его называют «дьявольский треугольник», «треугольник проклятых». Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа «бермудского треугольника» остаётся тайной и по сей день. Что таит в себе треугольник?

Треугольник — «жесткая» фигура. Если заданы три его стороны, то форму его изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике.

У треугольника есть пространственные родственники.

1) тетраэдр, 2) октаэдр, 3) икосаэдр. Эти геометрические тела являются родственниками треугольника потому, что грани этих тел – треугольники.

Родственником треугольника является геометрическая бумажная игрушка, так как её поверхность состоит из треугольников. Эта игрушка называется флексагон.

Кусочек бумаги, способный увлечь не только ребенка, но и взрослых. Для некоторых это не просто игрушка-головоломка, а настоящий первый шаг в мир математики. Яркие линии скрученной бумажки завораживают не хуже детского калейдоскопа с разноцветными стеклышками. Да еще и название такое звучное и загадочное – флексагон [7]. Что же это такое на самом деле? Очень часто тема «головоломок» в школе является сложной и непонятной, но у некоторых учащихся все же вызывает интерес.

Все вышеперечисленные факторы и обусловили актуальность моей работы.

На первый взгляд, флексагоны и им подобные фигуры (обладающие удивительной способностью изгибаться, показывая новые грани) ‒ всего лишь игрушки. Но они сумели привлечь внимание в различных отраслях. Вот несколько тому доказательств:

Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах (Рис.1).
Флексагоны связаны со многими математическими понятиями: лентой Мёбиуса (Рис. 2), Тором (тороидом) (Рис. 3). Помимо этого эти «игрушки» подчинены строгим правилам математики, которые изучает наука флексология [1].

Необычный цикл изгибания фигур привлекает к ним внимание, из-за этого его используют в рекламных акциях. Помимо этого к любому флексагону можно прикрепить плоский предмет (то, на что изготовители хотят обратить внимание), и можно быть уверенным, что этим предметом заинтересуются (также используется в маркетинге) (Рис. 5).

Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ (журнал «Химия и жизнь») (Рис. 6), в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки (Рис. 7).

Наконец, флексагоноподобные фигуры используются как самодельные открытки, игрушки (к сожалению, массовое производство так и не налажено). Они служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны ещё не раскрыты (Рис. 8-10) [6] .

Гипотеза моей работы: Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, фокуса, парадокса…

Целью работы является изучить мир флексагонов и показать, что головоломки бывают не только из дерева и железа — привычных для нас форм, но и из бумаги, которые мы можем сделать своими руками.

В соответствии с поставленной целью решалась основная задача:

— познакомиться с методикой изготовления флексагонов.

Методы исследования:

— обработка, анализ научных источников;

— анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Объект исследования – флексагоны.

Методика работы — сбор информации по данной теме, анализ периодической и научной литературы, необходимые расчеты при построении, создание наглядных моделей и конкретизация имеющегося материала

Источниками для данного исследования послужили материалы, размещенные в сети Интернет, беседы с учителем математики.

Итак, я приглашаю вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров, флексманов — бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун (Рис. 11), 23-х летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, что бы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник, взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного треугольника были бы разного цвета, то после их перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех [3].

Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» — из-за шестиугольной формы, «флексагонами»-из-за их способности складываться [1].

Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Х. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок [3].

Гексафлексагон (Hexaflexagons): «г1кса» — из-за их шестиугольной формы (От греческого «гекс», что означает шесть.), «флексагонами» — из-за их способности складываться (to flex [англ.] – складываться, сгибаться, гнуться.). Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» — шесть — также означает число поверхностей этой модели) [1].

Унагексафлексагон — этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его и можно назвать унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не складывается. Поэтому он интересен лишь как иллюстрация топологии Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов (Рис. 12).

Дуогексафлексагон – обыкновенный плоский шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала) (Рис. 13). Он, разумеется, также не складывается и особого интереса не представляет.

Тригексафлексагон – первый «настоящий» гексафлексагон. Существует только одна его разновидность. Тригексафлексагон – сплющенный в шестиугольник лист Мёбиуса. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом (Рис. 14).

Тетрагексафлексагон – также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски (Рис. 15).

Пентагексафлексагон — единственную разновидность этого флексагона складывают из и-образной полоски бумаги (Рис. 16) [5].

Гексагексафлексагон – существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых обладает неповторимыми свойствами. На рисунке приведено описание самой простой формы (Рис. 17), а также

формы полосок, из которых можно сложить остальные [4]. Собранный мной гексагексафлексагон очень интересен тем, что у него 6 поверхности, и можно наблюдать 8 различных картинок. (Приложение, рис. 1-8)

Гептагексафлексагон – таких флексагонов существует четыре типа. Один из них складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами»: их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на «пути Таккермана» они встречались по порядку номеров, как дома на улице (Рис. 18) [5].

Тетрафлексагоны – в тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов. Простейшийтетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном (Приложение, рис.9-11). Более интересен гексатетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей (Приложение, рис.19-25).

Кроме гексатетрафлексагона, я сделала тетрафлексагон из четырех поверхностей (Приложение, рис. 12-15).

Кольцевые флексагоны – представляют из себя кольцо, сделанное из трех квадратов, разлинованных на треугольники. Затем загибаем с каждой стороны по треугольнику, и получаем игрушку, которая сворачивается по кругу, меняя расцветку (Рис.19).

Кольцевой флексагон, который сделала я (Приложение, рис.16-18), получился не сразу. Были затруднения в сгибании треугольников [5].

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги, разделенную на девятнадцать равносторонних треугольников. В треугольнике с одной стороны нужно вписать цифры 1, 2, 3. девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга – 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. в результате у нас получится заготовка гексогексофлексагона. Перегнув его по линиям ab и cd, получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.

Если все сделано, верно, то во всех треугольниках на видимой стороне шестиугольника должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на другой стороне – цифра 2. в таком виде гексофлексагон готов к перегибаниям. Взявшись за два смежных треугольника, согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона, при этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, обнаружатся и другие поверхности, однако поверхности с цифрами 4, 5, 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2, 3 [1].

4.1. Путь Таккермана

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон, за какой либо угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексогексофлексагонов за один цикл за двенадцать перегибаний. Поверхности с цифрами 1,2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы. Стрелки указывают, в каком порядке становятся

видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона [3].

Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

Дж. М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10 (рис. 4). Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может заузливаться.

Для изготовления модели кольца достаточно одного листа. В случае n = 6, нужно разместить фигуру, состоящую из 24 правильных треугольников и 9 клапанов. Вырезав ее, нужно сделать сгибы по внутренним линиям – по штриховым линиям вверх, а по пунктирным вниз – и приклейте клапаны в соответствии с буквенными обозначениями [2].

5.1. Магическое кольцо из восьми тетраэдров.

Магическое кольцо из восьми тетраэдров – является магическим в нескольких смыслах. На нем расположены числа от 1 до 32. Четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, 1+12+31+21+2+11+32+22 = 132) [1] . (Приложение, рис. 26)

Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров.

Надо вырезать из плотной бумаги квадрат со стороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналям сгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз. А затем сложить, чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четыре одинаковые операции. Результат первой из них – сгиб по штриховой линии изображен на рисунке 20(а), окончательный результат–на рисунке 20 (г). Остаются еще четыре одинаковые завершающие операции – отгибание маленьких треугольников, и перед нами – флексман [7].

Самое примечательное свойство флексманов – это их умение ходить по наклонным плоскостям. Стоит поставить флексмана на достаточно пологую наклонную плоскость, и он тут же начинает мелкими шажками спускаться по ней. Каждый из флексманов обладает своеобразным характером или, уж во всяком случае, своеобразной походкой.

Флексагоны и флексоры могут быть основой творчества. Например, известно, что когда изобретатель флексагонов Артур Х. Стоун и его друзья создали и исследовали игрушку, они попутно придумали историю об одном джентельмене, у которого в флексагон попал кончик галстука. Порвать любовно сделанную игрушку, было жаль, и он продолжал играть, напрасно надеясь, что при очередном перегибании удастся освободиться. Эта сочиненная история легла в сюжет любительского фильма «Осторожно, математика!» [3].

Изучив флексагоны и флексоры, мы смогли убедиться, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений:

Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне – 36. Таким образом, флексагон станет для ребенка не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом [6].
Флексагоны и флексоры можно применять на уроках математики, если на их сторонах написать числа и знаки «+»,«-»,«×»,«:». Выворачивая флексагон, можно числа складывать, вычитать, умножать и делить. Правда, при вычитании может получиться отрицательное число, а при делении – не всегда получится целое.
Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Есть только опасность, что до нужной подсказки придется очень долго добираться, ведь известно, что 1, 2 и 3 стороны открываются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6.
Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии (например, друзей). Такой фоторамке не требуется специальная подставка [1].
Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.
Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны и флексоры воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного нам «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.

Мне было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать флексагоны и флексоры, я через геометрию занимательную погрузилась в мир геометрии научной. Я познакомилась с трудами известных математиков, изучила свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника и тетраэдра, изучила вопрос жесткости многогранников. Рассмотрела возможности применения флексагонов – в виде игрушек, открыток и т.д. Большого распространения данные фигуры не имеют, но, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химии, математике, биологии, технике (детали машин).

Моя работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров.

Гексафлексагоны // http://www.еvrika-clab.net
Долбилин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников. / Квант, №5, 1988. с.6-14.
История создания флексагонов // http://www.еvrika-clab.net
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: Дрофа, 2015. с.26-30.
Панов А.А. Флексагоны, флексоры, флексманы. / Квант, №1,1989. с.10-14.
Белошистая А.В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций. — М.: ВЛАДОС, 2003. — С. 11–77.
И. Кан. Треугольные флексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №12, С. 42 – 43.

Учебно-исследовательская работа по математике «Флексагоны»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Засижьевская средняя школа Ярцевского района Смоленской области

Областная научно – практическая конференция студентов и обучающихся школьников « Шаг в науку»

Секция « Я – исследователь»

Учебно — исследовательская работа

«ФЛЕКСАГОНЫ»

Учебный предмет: математика

Выполнил обучающийся 6 класса Базуев Артём

Руководитель: Базуева Надежда Александровна

2016 г.

Оглавление

Введение………………………………………………… .. 2

Основная часть

1.Треугольник – основа многогранника……………………4

2.История открытия…………………………………………5

3.Флексагон – изгибаемый многоугольник…………….. …6

4.Виды флексагонов…………………………………….. .. .9

5.Применение флексагонов ……………. …………………10

Заключение………………………………………………….11

Список ресурсов…………………………………………….12

Приложения…………………………………………………13

Введение

В мире существует много неоткрытых, поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами, как удивили меня цветные полоски бумаги, полученные с призами международного математического конкурса «Кенгуру». Оказалось, это флексагон (англ. to flex — складываться, сгибаться, гнуться). Изгибая бумагу, я не задумывался о том, что уже сталкиваюсь с математикой. Даже не предполагал, что мои занятия подчинены строгим математическим правилам. Значит, познание такого мудрёного предмета с уравнениями и формулами, вполне возможно через игру, через изгибание полоски бумаги, у которой такое звучное и загадочное название – флексагон и это делает математику, увлекательной, более доступной. Стали понятны слова Д. Пойа: «Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому». Так появилась цель работы:- изучить мир флексагонов.

Объект исследования — предмет математика.

Предмет исследования – геометрия гнущихся многоугольников.

Задачи исследования:

1.Теоретические: изучить историю флексагонов и схемы для складывания, применение флексагонов в жизни человека;

2.Практические: — представить в работе ряд математических игрушек, и показать, что в их основе лежит чистая математика;

3.Пробудить интерес школьников, продемонстрировав своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Методы исследования: — сбор информации по данной теме, анализ периодической и научной литературы, работа с источниками, размещёнными в сети Интернет, необходимые расчеты при построении, создание наглядных моделей.

С элементами занимательной математики, сложные для понимания задачи превращаются в нечто увлекательное и необычное, в то, что хочется познавать. В этом заключается актуальность работы.

Выполнить работу без обыденной математики не получилось бы. Поэтому я изучил интересные сведения о треугольнике – основе многоугольника. Узнал историю возникновения флексагонов и применение их в обычной жизни.

Работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, многоугольников и пространственных фигур.

Что же такое флексагоны – обычное оригами, или серьёзная математика?

Итак, я приглашаю вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, — бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

«Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать»

Галилео Галилей

1.Треугольник – основа многоугольника

Математики называют треугольник двумерным симплексом. «Симплекс» по латыни означает простейший. Что таит в себе простейшая плоская фигура треугольник?

Треугольник — « жесткая» фигура. Если заданы три его стороны, то форму его изменить нельзя, не разрушив его. У треугольника есть пространственные родственники: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр. Грани этих тел – треугольники. Родственником треугольника является и бумажная игрушка флексагон, так как её поверхность состоит из треугольников. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более четырех тысяч лет. Через две тысячи лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня. Особенно глубоко свойствами треугольников занимались древнегреческие ученые Пифагор и Герон. У Герона впервые встречается знак ∆ вместо слова треугольник. В XV – XVI веках эти исследования составили большой раздел, получивший название «Новая геометрия треугольника». Свойствами треугольников занимался в это время Леонард Эйлер. Даже император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой, в частности, треугольникам. В математике есть понятие «внешний треугольник Наполеона» — это теорема, приписанная ему. В XV – ХIХ веках ученые математики изучили треугольник буквально со всех сторон, написали о нем массу работ. Любят треугольник за его «жёсткость» инженеры: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить. Взгляните на металлические формы мостов – составляющие их балки образуют треугольники. Любой многоугольник можно разбить на треугольники. (Приложение 1)

2.История открытия

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун (рис.1), 23-х летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, что бы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок различные фигуры. Одна, из сделанных им фигур, оказалась особенно интересной. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда сложенный им из треугольников шестиугольник раскрывался словно бутон, видимыми становились совсем другие треугольники. Стоун был математиком. Простому человеку, сложи он даже случайно раскрывающийся многоугольник, вряд ли было бы понятно, какое открытие он сделал. И, как настоящий математик, Стоун не оставил свое маленькое открытие. Поразмыслив над этим ночью, наутро он убедился в правильности своих умозаключений. Друзьями Стоуна был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей, но все схемы строились из равносторонних треугольников. Так, через развлечение, был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями.

Флексагоны (от англ. to flex, лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться и греч. ωνος — угольник) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Рис.1

3.Флексагон – изгибаемый многоугольник

Как уже было сказано выше, треугольник – это простейшая плоская фигура, следовательно, из соединенных треугольников можно составить любой многоугольник: квадрат; прямоугольник; ромб; параллелограмм (Приложение 2). По выкройкам я изготовил флексагоны с тремя поверхностями (Рис.2) Далее мне захотелось изготовить флексагоны с четырьмя и пятью поверхностями. И тут возникла проблема: выкройки есть, а описания их складывания — нет! Обратился к поиску литературы и интернет-ресурсам. И везде один результат — только чертежи, без подробных инструкций. Появилась необходимость разработать инструкции для интересующих меня моделей.

Приступая к разработке схем было понятно, что:

1) нужно найти такой способ расстановки чисел на имеющихся чертежах, чтобы получилась полоска из десяти треугольников,как в случае с флексагоном из трёх поверхностей, схема сборки которой имеется в литературе.

рис.2

2) Если каждый треугольник пометить числом или символом, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать определенной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, цифры будут располагаться в такой последовательности: 123123123123123123 -лицевая, 445566445566445566 –обратная (Приложение 2).

Теперь, методом проб и ошибок, мне предстояло определить порядок расстановки чисел в имеющихся чертежах, так, чтобы флексагоны «заработали», стали изгибаться. В результате получились следующие схемы сборки: 1.- Тетрагексафлексагон:

2. Пентагексафлексагон:

В результате я пришёл к выводу: сборку флексагона нужно начинать с наибольшего числа и складывать так, чтобы треугольники, имеющие одинаковые числа, оказались наложенными друг на друга. Например, сначала собирают все 6 на 6, затем 5 на 5, 4 на 4, 3 на 3, после чего получаем полоску из 10 треугольников, как показано на втором рисунке. При сборке любой модели всегда приходим к полоске из 10 треугольников!

Простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона был найден Таккерманом: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод так и называется «путь Таккермана». Он позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагона за один цикл из 12 сгибаний. (Приложение 3)

Чтобы вращение флексагона доставило ещё больше эмоций и удовольствия, каждую поверхность флексагона нужно раскрасить. И для этого тоже существует правило! Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность флексагона может появляться, по крайней мере, в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие её треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рисунке 3, и выкрасить в различные цвета, то геометрический узор, который нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид.

Рис .3

Все необходимые правила для сборки и изгибания собраны в приложении «Рекомендации по изготовлению флексагонов». Проверено утверждение, что слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях, всегда равно числу поверхностей данного флексагона.

Существуют флексагоны, построенные на основе квадрата. В работе рассматриваются только те флексагоны, в схеме сборки которых правильный треугольника.

4.Виды флексагонов

Существуют различные виды флексагонов. Это:

а) унагексафлексагон — этот простейший экземпляр представляет собой лист Мёбиуса¹ с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его можно назвать гексафлексагоном, хотя у него нет шести сторон, и он не складывается. В связи с этим он интересен лишь, как иллюстрация топологии² Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов.

б) дуогексафлексагон — представляет собой простой шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, и он также не складывается.

в) тригексафлексагон — шестиугольник, имеет три поверхности, сгибаем. Каждая поверхность имеет два варианта изображений. В результате имеем шесть различных изображений.

г) тетрагексафлексагон — шестиугольник, имеет четыре поверхности, сгибаем. Первая и вторая поверхности имеют по три варианта, третья и четвертая — по два. Всего различных изображений — десять.

д) пентагексафлексагон — шестиугольник, имеет пять поверхностей, сгибаем. Первая, вторая и третья поверхности имеют по три варианта, четвертая и пятая — по два. Всего различных изображений — тринадцать.

е) гексагексафлексагон — шестиугольник, имеет шесть поверхностей, сгибаем.

ж) гептагексафлексагон — шестиугольник, имеет семь поверхностей, сгибаем.

Первая, вторая, третья и четвертая поверхности имеют по три варианта; пятая, шестая и седьмая — по два. Всего восемнадцать изображений.

з) додекагексафлексагон — шестиугольник, сгибаем, имеет двенадцать поверхностей.

Занимаясь изучением флексагонов, я узнал, что это изгибаемые многоугольники. А существуют ли изгибаемые многогранники? Как треугольник считается жёсткой геометрической фигурой, так пирамида – жёсткое геометрическое тело, его нельзя изменить, не сломав. Оказалось, что этот вопрос занимал умы многих математиков и многогранники могут выворачиваться, меняя свою форму, но в этом случае они уже называются флексоры.

Флексор – кольцо из тетраэдров, обладающее удивительной способностью изворачиваться и изгибаться до бесконечности (рис.4). Рис.4

5. Применение флексагонов

Понятно, что флексагоны ипредставляют собой занимательные головоломки и необычные игрушки. Но где ещё встречаются эти модели?

Фигуры способные изгибаться, показывая новые грани сумели привлечь внимание в различных отраслях. Вот несколько тому примеров:

Шарнир двойного действия используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах (это соединение присутствует на всех тетрафлексагонах).
Необычный цикл изгибания фигур используют в маркетинге, рекламных акциях. К любому флексагону можно прикрепить плоский предмет (то, на что изготовители хотят обратить внимание), и можно быть уверенным, что этим предметом заинтересуются.
В стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки
Флексагоны связаны с различными науками.В форме флексагонов закручены молекулы веществ.
Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» — устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках.
Флексагоны связаны со многими математическими понятиями: лентой Мёбиуса . (Приложение 4).

Флексагоны — это один из подходов к математическому развитию и, как средство математического моделирования, имеют следующие отличительные черты:

1) экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм;

2) доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке;

3) многоплановый развивающий характер: способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения.

Флексагонам можно найти много других применений.

1.Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне – 36. Таким образом, флексагон станет не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом.

2.Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии.

3.Флексагоны и флексоры могут быть основой творчества. Их можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить делать эти геометрические игрушки. (Приложение 5)

Заключение

Флексология — одна из немногих наук, которой можно заниматься как в одиночку, так и коллективами. Плодотворным занятиям этой наукой не мешают ни молодость, ни преклонный возраст. А главное, что подробного изложения теории нет до сих пор, и ничто не мешает, играя с самодельными флексагонами, попытаться вывести собственную теорию.

Я не ставил перед собой глобальную цель, но свои задачи постарался выполнить. Научившись практически изготавливать флексагоны, производя расчёты и измерения, через занимательную геометрию, я погрузился в мир геометрии научной. Нельзя флексагоны воспринимать как обычное оригами. Работа с ними выходит за рамки привычного нам «бумаголомания». В их основе лежит чистая математика. Этим вопросом занимались известные математики. Я изучил свойства треугольника, способы построения равностороннего треугольника, выполнял много измерений, чертежей, т.е. заложена основа для изучения геометрии в 7 классе уже как нового предмета. На примере флексагона и флексора я наглядно представляю отличие пространственной фигуры от плоской. Приятно осознавать, что сделанная работа принесла удовлетворение не только мне, но и многим ребятам, которые увидели такую серьёзную науку, как математика, с другой стороны. Используя флексагон на уроке, отрабатывали вычислительные навыки. Было интересно наблюдать, как старшеклассники брали в руки флексагон и через несколько минут были в недоумении: как отыскать те стороны, где записаны нужные им формулы.

Мною были изучены флексагоны — шестиугольники, но возможны и другие формы. Не рассмотрен флексагон, построенный на основе квадрата

( это мой второй приз от «Кенгуру»), поэтому работа будет продолжена.

Список ресурсов

1. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986, С. 471.

2. ВИКИПЕДИЯ. — URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон.

3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ. Ю.А. Данилова. — М.: «Мир», 1971. С.11-17, С.162-169.

4. Гексафлексагоны // http://www.еvrika-clab.net

5.Дженкинс Д., Биар М. Математические головоломки. — М.: Центрполиграф, 2000, С. 32.

6. Долбинин Н.Жесткость выпуклых многогранников.//Квант1988.№5.С.6 -14.

7. Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник. // Квант. 1978. № 9. С. 13 — 19.

8.Панов А. А. Флексагоны, флексоры, флексманы. //Квант. 1989. №1.С.10 -14.

9.Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС. 1995г. С. 240.

10.Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.

Приложение 1

Разложение многоугольника на треугольники

Два равнобедренных и прямоугольных треугольника = квадрат

Два прямоугольных треугольника = прямоугольник

Два равнобедренных треугольника = ромб

Два равных треугольника = параллелограмм

Два равносторонних треугольника = ромб

Три равносторонних треугольника = трапеция, у которой равны три стороны

Четыре равносторонних треугольника = параллелограмм, у которого каждая боковая сторона в два раза меньше основания

Шесть равносторонних треугольника = правильный шестиугольник

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Применение флексагонов и флексоров — 1

1-шарнирное соединение двойного действия

2-Тор и лента Мёбиуса

3.-применение флексагонов в лампе

4 — применение тетрафлексагонов в рекламе(сайт /tracks/4188813.html)

Приложение 5

Применение флексагонов и флексоров-2

Рекомендации по сборке флексагонов

Сначала делается разверстка. Она состоит из десяти правильных треугольников, расположенных так, как на рисунке 1. На полоске можно начертить только один треугольник, а остальные подравнять под него путем перегиба бумаги. Раскрасьте полоску с двух сторон в соответствии с рисунком 1 или расставьте цифры. Перегните полоску по сторонам треугольников и сложите, как показано на рисунке 2. Оставшийся треугольник подогните вниз, склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности, и флексагон готов (рисунок 3). Одна сторона у него должна быть красная, другая фиолетовая, третья – желтая. Или же на одной стороне должны быть только цифры 1, на другой – 2, на третьей – 3.

Сборка гексагексафлексагона

а)

б)

Чтобы сложит гексагексафлексагон (первое гекса – число сторон — шесть, второе гекса – числоуглов – шестиугольник), берут полоску бумаги, разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рисунке 1а порядке цифры 1, 2, 3 или раскрасить их в цвета, но в определенной последовательности. Переверните полоску и на обратной стороне в соответствии с рисунком 1б пронумеруйте цифрами 4, 5, 6 (или раскрасьте в соответствии со схемой).

После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры (или цвет), оказались наложенными друг на друга – 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате получится заготовка, показанная на рисунке 2. Перегнув ее по линиям ab (рисунок 2) и cd (рисунок3), получим шестиугольник (рисунок 4). Остается лишь подогнуть вниз правый пустой .

Рекомендации по сборке флексагонов.

Вас заинтересовали модели и вы хотите приступить к их изготовлению?Тогда примите к сведению следующие рекомендации.

1. Модель прослужит дольше, если бумага будет плотная (картон).

2. Приступая к изготовлению флексагона, нужно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это облегчит последующие манипуляции с моделями.

3. Модель собрана правильно, если во всех треугольниках на одной стороне должна стоять цифра 1, на другой стороне — 2. В таком виде флексагон готов к вращению.

4. Запомните правило: число слоёв бумаги в двух соседних треугольных секциях — всегда равно числу поверхностей данного флексагона.

5. Если каждую поверхность флексагона пометить каким-нибудь числом или символом, и этот символ поставить на всех треугольниках, принадлежащих данной поверхности, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать определенной периодичностью.

6. Если каждую поверхность разделить на части и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А, и области В, и области С.

7. Чтобы правильно «открыть» флексагон, его нужно взять за два соседних треугольника примыкающих к какой-нибудь вершине шестиугольника, а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников. Если флексагон не открывается, нужно перейти к паре других треугольников.

8. Чтобы обнаружить все имеющиеся поверхности, применяют «путь Таккермана» (см. рис), держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу.

УДАЧИ!

1^{Август Фердинанд Мёбиус — немецкий математик и астроном-теоретик.}

2 Топология — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности.

Внеурочная деятельность. Исследовательский проект «Флексагон»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 17

с углубленным изучением отдельных предметов

Щелковского муниципального района

Исследовательская работа

Удивительный мир флексагонов

Автор:

Кочубей Даниил Сергеевич

ученик 5А класса

Руководитель:

Оханова

Светлана Валерьяновна

учитель математики

Щелково

2018

Содержание

Введение.

Основная часть.

2.1.

История появления флексагонов.

2.2.

Изучение и изготовление простейших флексагонов по схеме.

2.3.

2.4.

2.5.

Виды флексагонов.

Применение флексагонов.

Выводы.

Заключение.

Литература.

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным».
Б. Паскаль

1. Введение

Актуальность работы: складывание флексогонов может оказаться полезным и занимательным хобби и времяпровождением, позволяющее изучить геометрические свойства этих фигур, развить пространственное воображение и совершенствовать мелкую моторику рук. Кроме того, знакомство с флексагонами позволит по-новому взглянуть на мир математики и внести разнообразие в привычные окружающие нас предметы быта и интерьера.

Гипотеза: Флексагоны — это не просто игрушка или обычное оригами, а занимательная математическая головоломка.

Объект исследования: различные виды флексагонов

Предмет исследования: история возникновения флексагонов, способы конструирования, принципы вращения флексагонов, применение.

Цель работы: изучение и изготовление простейших флексагонов

Методы исследования:

— поисковый метод с использованием научной и учебной литературы и интернета;

— исследовательский метод при определении видов флексогонов и принципов их

вращения

— практический метод при конструировании флексагонов;

Практическая значимость.

Практическая значимость данной работы заключается в возможности построения разнообразных моделей флексагонов из любых материалов и для любых предметов, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни.

2. Основная часть

Почему именно флексагоны?

Впервые я узнал о флексагонах в летнем математическом лагере, а потом еще раз прочитал о них в журнале для любознательных «Квантик».

Итак, что такое флексагоны? Ответ кроется в названии: от английского to flex — сгибаться, складываться и a polygon — многоугольник, а вместе эти слова значат «гнутоугольник».

Флексагоны — многоугольники, сложенные из самых обычных полосок бумаги, однако они обладают очень необычным свойством — при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу.

Если бы не одно случайное обстоятельство — различие в формате английских и американских блокнотов, — флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

2.1. История появления флексагонов

Как-то раз один английский учёный-математик, которого звали Артур Стоун, поехал учиться в Америку.

Американский блокнот оказался больше по размеру, чем английский, поэтому учёный его обрезал до привычных размеров. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник.

Так был открыт первый флексагон с тремя поверхностями. За ним немедленно последовали и другие фигуры: Стоун и его друзья организовали целый «Флексагонный комитет». Комитет обнаружил, что, если удлинять цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Существует действующую модель флексагона с 48 поверхностями!

Нападение японцев на Перл-Хабор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны.

2.2. Изучение и изготовление простейших флексагонов по схеме

1. Для изготовления простейшего флексагона нам понадобятся: лист бумаги, карандаш, линейка и клей для бумаги. Для начала нужно вырезать длинную полоску. Её расчерчиваем равносторонними треугольниками (рис. а).

2. Затем намечаем линии сгибов, чтобы бумажка легче сгибалась. Аккуратно сгибаем полоску взад-вперёд по всем пунктирным линиям. После этого складываем её по линии AB «на себя» (пунктирная линия сгиба должна оказаться внутри) так, чтобы левый конец полоски теперь смотрел вниз (рис. в).

3. Теперь складываем полоску по линии CD «от себя» (чтобы пунктирная линия сгиба оказалась снаружи) и вытаскиваем «язычок» так, чтобы он лежал сверху (рис. г).

4. Последний штрих: подворачиваем торчащий треугольный язычок назад и склеиваем его с задней поверхностью фигурки. (Лучше всего для этого использовать клей-карандаш или ПВА). Получился тот самый первый флексагон, с которого все и начиналось когда-то. Он называется тригексафлексагоном.

Другая модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое “гекса” — шесть – означает число поверхностей этой модели). От греческого “гекс”, что означает шесть, to flex (англ.) – складываться, сгибаться, гнуться. Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги, разделенную на 19 равносторонних треугольников. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.

2.3. Виды флексагонов

Работая над проектом, мы столкнулись с огромным количеством видов флексагонов с очень длинными и пугающими названиями. Но всё оказалось очень просто. Есть всего два вида флексагонов: тетрафлексагоны и гексафлексагоны.

Тетрафлексагоны имеют вид четырёхугольника и выглядят так:

Гексафлексагоны имеют вид шестиугольника:

Рассмотрим подробнее виды гексафлексагонов.

Самый простой флексагон, который мы сделали только что, называется тригексафлексагон потому что у него три поверхности. Существует только одна разновидность этого флексагона.

Тетрагексафлексагон имеет четыре поверхности. «Тетра-» по-древнегречески означает «четыре». Он также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски, изображенной на рис. 7, а.

Пентагексафлексагон. «Пента» в переводе с древнегреческого – «пять». Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рис. 7, б.

Гексагексафлексагон. Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из них обладает неповторимыми свойствами. Как складывается один из них, мы смотрели на видео. Два остальных можно сделать из полосок, форма которых показана на рис. 7, в.

Гептагексафлексагон – флексагон с семью поверхностями.

Артур Стоун и его друзья придумали:

— 4 вида гептагексафлексагонов (7 поверхностей),

— 12 видов октагексафлексагонов (8 поверхностей),

— 27 видов эннагексафлексагонов (9 поверхностей) и

— 82 вида декагексафлексагонов (10 поверхностей).

Поверхностей может быть сколько угодно, даже 1 000 000, только такой флексагон будет почти невозможно крутить. И заготовку подобрать под такой флексагон очень сложно.

2.4. Применение флексагонов

Флексагоны можно использовать как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Это один из перспективных подходов к математическому развитию ребенка, в основе которого лежит математическое моделирование. Математическое моделирование позволяет активно овладеть навыками построения и использования разного рода предметных, графических и мысленных моделей. Флексагоны, как средство математического моделирования, способствуют развитию мелкой моторики, пространственному воображению, памяти, вниманию и терпению.

К сожалению, флексагоны не получили широкого распространения в современной науке и технике, но уже несколько столетий известно шарнирное соединение двойного действия — петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Кроме того, шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.

Флексагоны всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. К примеру, флексагоны используются как открытки на различные темы и календари.

Изображение календаря, сложенного из флексагона

Изображение открытки-флексагона

Простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или для необычного оформления праздника.

Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.

Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон. Флексагоны можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки. Более того, флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения.

Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу.

Свое применение объёмный многогранник может найти в дизайнерском искусстве, так как цикл перегибаний интересен при создании мебели – трансформеров: диванов, кресел, стульев и других предметов.

2.5 Выводы

Флексагон – не только увлекательная и забавная игрушка, но и интереснейшая математическая головоломка, обладающая удивительными свойствами.

3. Заключение

Работа над исследовательским проектом подошла к концу. В ходе работы были изучены и выяснены следующие вещи:

— мы познакомились с понятиями «флексагон»;

— познакомились с историей появления флексагонов;

— изучили информацию о конструировании флексагонов;

— подобрали схемы и развертки флексагонов;

— изготовили некоторые модели флексагонов;

— провели мастер-класс в 5А классе с целью знакомства с удивительным миром флексагонов;

— выявили области и сферы практического применения флексагонов в повседневной жизни.

Наша работа будет интересна для ребят, любящих нестандартную и занимательную математику. Некоторые знания, полученные при изучении флексагонов, можно будет использовать и на уроках математики и геометрии при изучении свойств треугольников и шестиугольников. Складывать флексагоны и изучать их свойства можно также на занятиях математического кружка или в летних математических школах.

4. Список литературы

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V—VI классов.- МИРОС, 1995

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, Москва, «Мир», 1999 г.

3. Журнал для любознательных «Квантик», 2012 год, №4, стр. 14-18

Интернет – ресурсы

http://www.arbuz.uz/z_flex.html

http://textarchive.ru/c-2938354.html

Творческая работа учащихся на тему: Удивительный мир сгибаемых многогранников. Флексоры. Флексагоны. Флексманы.»

ХI Грачёвская районная научная конференция школьников

Секция: математика

Название работы:

«Удивительный мир сгибаемых многогранников. Флексоры. Флексагоны. Флексманы.»

Автор работы: Черний Владислав

Место выполнения работы: с. Бешпагир

МКОУ СОШ №2, 6 класс

Научный руководитель:

Ефименко Светлана Ивановна,

учитель математики,

первая квалификационная категория

Бешпагир, 2014 год

Содержание:

1. Введение _______________________________________________ 2

2. История открытия________________________________________ 3

3. Складывание гексагексафлексагона_________________________ 6

4. Путь Таккермана_________________________________________ 6

5. Изготовление флексора____________________________________ 7

6. Спор о существовании флексора____________________________ 8

7. Магическое кольцо из восьми тетраэдров_____________________ 8

8. Изготовление и свойства флексмана__________________________ 8

9. Применение флексагонов и флексоров_________________________ 9

10. Заключение______________________________________________10

11. Литература_______________________________________________ 12

12. Приложение______________________________________________13

1. Введение

В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру. Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто- Рико, полуостровом Флорида и называется «бермудским треугольником». А ещё его называют «дьявольский треугольник», « треугольник проклятых». Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа « бермудского треугольника» остаётся тайной и по сей день. Что таит в себе треугольник?

Треугольник — « жесткая» фигура. Если заданы три его стороны, то форму его изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике.

У треугольника есть пространственные родственники.

Кусочек бумаги, способный увлечь не только ребенка, но и взрослых. Для некоторых не это не просто игрушка-головоломка, а настоящий первый шаг в мир математики. Яркие линии скрученной бумажки завораживают не хуже детского калейдоскопа с разноцветными стеклышками. Да еще и название такое звучное и загадочное – флексагон. Что же это такое на самом деле? Очень часто тема «головоломок» в школе является сложной и непонятной, но у некоторых учащихся все же вызывает интерес.

Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.
Флексагоны связаны со многими математическими понятиями: лентой Мёбиуса, Тором (тороидом). Помимо этого эти «игрушки» подчинены строгим правилам математики, которые изучает наука флексология.
Необычный цикл изгибания фигур привлекает к ним внимание, из-за этого его используют в рекламных акциях (канал сайта http://rutube.ru/tracks/4188813.html). Помимо этого к любому флексагону можно прикрепить плоский предмет (то, на что изготовители хотят обратить внимание), и можно быть уверенным, что этим предметом заинтересуются (также используется в маркетинге).
Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ (журнал «Химия и жизнь»), в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки (страница сайта http://www.osvetleni-daylight.cz/designova-stolni-lampa-flexagon-white-p-1466.html?zenid=f80a554ef57c674b587d29e31e443d52).
Наконец, флексагоноподобные фигуры используются как самодельные открытки, игрушки (к сожалению, массовое производство так и не налажено). Они служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны ещё не раскрыты.

Гипотеза моей работы: Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, фокуса, парадокса…

Целью работы является изучить мир флексагонов и показать, что головоломки бывают не только из дерева и железа — привычных для нас форм, но и из бумаги, которые мы можем сделать своими руками.

В соответствии с поставленной целью решалась основная задача:

— познакомиться с методикой изготовления флексагонов.

Методы исследования:

— обработка, анализ научных источников;

— анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Объект исследования – флексагоны.

Методика работы — сбор информации по данной теме, анализ периодической и научной литературы, необходимые расчеты при построении, создание наглядных моделей и конкретизация имеющегося материала

Источниками для данного послужили материалы, размещенные в сети Интернет, беседы с учителем математики.

2. История открытия.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун,23-х летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнот, что бы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник, взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного треугольника были бы разного цвета, то после их перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех.

Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» — из-за шестиугольной формы, «флексагонами» — из-за их способности складываться. Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагон, так как у него было три поверхности. Вторая, не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» — шесть тоже означает число поверхностей этой модели).

От греческого «гекс», что означает шесть.

То flex(англ.) — складываться, сгибаться, гнуться.

Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» — устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках.

3. Складывание гексагексафлексагона.

4. Путь Таккермана

Таккерман (см рис 1 ПРИЛОЖЕНИЕ) довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон, за какой либо угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексогексофлексагонов за один цикл за двенадцать перегибаний. (см рис 4-5 Приложение) Поверхности с цифрами 1,2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы. Стрелки указывают, в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона.

5. Изготовление флексора

Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

6. Спор о существовании флексора.

Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений.

Во — первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником.

Чтобы избежать всяких сомнений, при поиске флексоров можно было бы ограничиться только выпуклыми многогранниками, т.е. многогранниками, лежащими по одну сторону от каждой из своих граней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том, что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Она была доказана в 1813 году. Хотя эта теорема не исключала существования невыпуклых флексоров, но многие математики считали, что и таких флексоров тоже не существует.

7. Магическое кольцо из восьми тетраэдров.

8. Изготовление и свойства флексмана

Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров. (см рис.2 Приложение)

Надо вырезать из плотной бумаги квадрат со стороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналям сгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз (рис 5). А затем сложить, чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четыре одинаковые операции. Результат первой из них – сгиб по штриховой линии рисунка 5, б – изображен на рисунке 5, в, окончательный результат – на рисунке 5, г. Остаются еще четыре одинаковые завершающие операции – отгибание маленьких треугольников, и перед нами – флексман.

9. Применение флексагонов и флексоров.

Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне – 36. Таким образом, флексагон станет для ребенка не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом.
Флексагоны и флексоры можно применять на уроках математики, если на их сторонах написать числа и знаки «+»,«-»,«×»,«:». Выворачивая флексагон, можно числа складывать, вычитать, умножать и делить. Правда, при вычитании может получиться отрицательное число, а при делении – не всегда получится целое.
Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Есть только опасность, что до нужной подсказки придется очень долго добираться, ведь известно, что 1, 2 и 3 стороны открываются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6.
Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии (например, друзей). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.
Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.
Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

Заключение

Мне было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать флексагоны и флексоры, я через геометрию занимательную погрузился в мир геометрии научной. Я познакомился с трудами известных математиков, изучил свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника и тетраэдра, изучил вопрос жесткости многогранников. Рассмотрел возможности применения флексагонов – в виде игрушек, открыток и т.д. Большого распространения данные фигуры не имеют, но тем не менее широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, технике (детали машин).

Литература

Гексафлексагоны // http://www.еvrika-clab.net (26.02.03)
Долбинин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников. / Квант, №5, 1988. с.6-15.
История создания флексагонов // http://www.еvrika-clab.net (26.02.03)
4.Многогранник-флексор, предложенный Клаусом Штеффеном. / Квант, №5, 1988. Обложка.
5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов. – М.: МИРОС, 1995. с.42-45.
6. Панов А.А. Флексагоны, флексоры, флексманы. / Квант, №1,1989. с.10-14.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис. 1

Флексманы – это существа населяющие мир флексагонов и флексоров. Примечательное свойство флексманов – это их умение ходить по наклонным плоскостям.

Рис. 2

Получение флексора

Рис. 3

Получение гексафлексагона

Чтобы сложить гексагексафлексагон (берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента от кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников.

Рис. 4

В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на первой части рисунка порядке цифры 1,2,3. Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на второй части рисунка пронумеровать цифрами 4,5,6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рисунке:

Рис. 5

Перегнув ее по линиям ab и cd,

получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.

Вращающееся кольцо тетраэдров

Рис. 6

Сравнение представителей видов флексагонов:

Общее
Изгибаются на основе шарнирного соединения двойного действия
В конечном виде имеют вид прямоугольника
Входят в вид тетрафлексагонов.
Тритетрафлексагон	Гексатетрафлексагон
Имеет три поверхности	Имеет шесть поверхностей
Делается из Z-образной полоски.	Делается из бумажной рамки
Можно сгибать по одной оси.	Сгибается по перпендикулярным осям.

Три- и гекса- тетрафлексагоны:

Уна- и три- гексафлексагоны:

Общее
Являются сложенными лентами Мёбиуса
Входят в вид гексафлексагонов
Имеют лишь одну разновидность
Унагексафлексагон	Тригексафлексагон
Треугольный лист Мёбиуса	Шестиугольный лист Мёбиуса
Имеет одну поверхность	Имеет три поверхности
Не сгибается	Может сгибаться.

Сравнение видов флексагонов:

Гексафлексагоны и тетрафлексогоны:

Общее
Изгибаясь, показывают поверхности, ранее спрятанные внутри
Тетрафлексогоны	Гексафлексагоны
В сложенном виде‒ прямоугольники	В сложенном виде ‒многоугольники
Сгибаются на основе двойного шарнирного соединения	Проворачиваются по прямым, обозначенным при их изготовлении.

Общая классификация флексагонов:

Гексагексафлексагон Флексотрубка

Тетрагексафлексагон Флексагоны

Дуогексафлексагон

Унагексафлексагон Гексафлексагоны Тетрафлексагон

Тригексафлексагон

Тритетрафлексагон Тетратетрафлексагон

Пентагексафлексагон Гексатетрафлексагон

Гептагексафлексагон

Исследовательская работа по математике «Мир флексагонов»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Демьяс»

Мир флексагонов

Секция «Современные проблемы в естественных науках»

Математика

Работу выполнила: Башаева Анастасия,

6 класс

Руководитель: Телешева Галина Львовна,

учитель математики

Демьяс

2014 г.

Оглавление

Цели и задачи исследования…………………………………………………3
Введение……………………………………………………………………….4
История открытия флексагонов……………………………………………..6
Флексагоны. Виды флексагонов……………………………………….…….8
Складывание флексагонов …………….……9
Применение флексагонов…………………………………………………..…13
Заключение………………………………………………………………….…14
Литература ……………………………………….. 15

Цели исследования:

Изучить информацию о флексагонах, научиться складывать тригексафлексагоны и гексагексафлексагоны, тетрафлексагоны.

Задачи исследования:

теоретические: изучить схемы для складывания флексагонов, применение флексагонов в жизни человека;
практические: создание моделей простейших флексагонов.

Введение

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Тема данной работы «Мир флексагонов». Актуальность темы очевидна, если посмотреть на мир флексагонов со стороны занимательной математики. Анализ структуры флексагонов очень трудоемок, статьи о них можно встретить даже в специализированных журналах, например, таких, как «Наука и жизнь», «Квант». Всегда интересно встретить что-то необычное, будь то предметы интерьера или даже стенды с рекламой. Такие вещи привлекают внимание, и если они сделаны качественно, то поднимают нам настроение и радуют глаз. К таким предметам и относятся флексагоны. В начале, может показаться, что это всего лишь игрушки, но они таят в себе много загадок и головоломок.

Практическая значимость данной работы исходит из возможности построения различного рода моделей флексагонов из любых материалов и для любых предметов, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни.

Структура работы:

составление реферата – объединение данных, оформление сведений;
создание презентации – представление имеющейся информации, используя информационные технологии, в привлекательном виде;
практическая часть на основе теоретической – создание материальной составляющей работы.

История открытия флексагонов

Благодаря разнице в системах измерения стран мира и различным дизайнерским решениям обычных для нас вещей, а именно, разница размера «официального» американского листа, который короче привычного для нас листа формата А4 на 18 мм, была открыта необычная математическая модель, занимательная игрушка под названием флексагон.

В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон — 82 способами…

Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и в детских игрушках.

Флексагоны. Виды флексагонов

Таким образом, флексагоны — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу .

В Советском союзе, а в последствии и в России также занимались изучением флексологии, в периодическом издании «Наука и жизнь» публиковались серии статей про эти занимательные головоломки. Были представлены развертки простейшего флексагона – с тремя сторонами, развертка гексагексафлексагона , крестообразная развертка тетрагексафлексагона, ряд исследований И.Д. Кана по гемитетра- и гемигексафлексагонам. Флексагон (от англ. to flex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет. Флексагоны бывают следующих видов:

Унагексафлексагон.
Дуогексафлексагон.
Тригексафлексагон.
Тетрагексафлексагон.
Пентагексафлексагон.
Гексагексафлексагон.

Гексафлексагон: «гекса» — из-за их шестиугольной формы (От греческого «гекс», что означает шесть.) Тригексафлексагон: «три» — число поверхностей, «гекса» — число углов. Гексагексафлексагон: «гекса» — число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов

Складывание флексагонов Флексагоны низших порядков Унагексафлексагон

Полоска из трех треугольников, с соединенными концами, в виде листа Мёбиуса с треугольным краем. Это лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоин из шести треугольников, поэтому его можно назвать унагексафлексагоном, но при этом, у него нет шести сторон и он не может складываться. Следовательно, как представитель класса флексагонов, унагексафлексагон мало интересен.

Дуогексафлексагон

Шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала) (рис. 3). По сравнению с унагексафлексагоном он имеет две стороны, но также не складывается.

Рисунок 3 — Дуогексафлексагон

Тетрагексафлексагон

Существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски (рис. 4):

Рисунок 4 – Полоска бумаги для складывания тетрагексафлексагона

Пентагексафлексагон

Э
тот вид флексагона складывают полоски бумаги, изображенной на рис. 5:

Рисунок 5 — Полоска бумаги для складывания пентагексафлексагона

Гептагексафлексагон

Число форм таких флексагонов четыре, так как складывают его из трех полосок бумаги (рис. 7), при этом первую можно сложить двумя различными способами. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами»: их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на «пути Таккермана» они встречались по порядку номеров, как дома на улице [2].

Рисунок 7 — Полоски бумаги для складывания гептагексафлексагона

Складывание тригексафлексагона.

Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рисунке. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см.

Складывание гексагексафлексагона

Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне — цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

Применение флексагонов

Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей, нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.

Одна из разновидностей флексагонов, а именно тетрафлексагон, применяется при сборке игрушек.

Флексагоны настолько замечательны, что их можно использовать в качестве открыток на различные темы: на день рождения, пасхальные открытки.

Заключение

В данной работе мною были рассмотрены флексагоны. Большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника (детали машин). Подводя итог по данной работе, отмечу, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения простейших флексагонов. Найдены примеры практического применения флексагонов.

В жизни, на мой взгляд, флексагоны найдут свое применение в рекламных проектах, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы). Многогранник можно использовать в качестве открытки – трансформера. Можно сделать из многогранника необычную форму для фотографий. Большое применение многогранник найдет в дизайнерском деле, так как цикл перегибаний интересен при создании диванов, кресел, стульев и других предметов.

В мире существует много неоткрытых поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами. Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XX века, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.

В дальнейшем я планирую изучать данную область и, возможно, научиться создавать новые модели флексагонов.

Литература

Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС. 1995г.
Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.
http//www.jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm
http//www.models-paper.com›index.php…

Исследовательская работа по математике «Математические свойства флексагона»

МКУ «Управление образования Исполнительного комитета Елабужского муниципального района»

МБОУ «Старо Юрашская средняя общеобразовательная школа» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Муниципальная ученическая научно-практическая конференция

«Поиск и творчество»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКА

Математические свойства флексагона

Исследовательская работа

Выполнила ученица

8 класса

МБОУ «Стар –Юрашская СОШ»

ЕМР РТ Закирова Назиля

Hуководитель –

учитель математики

МБОУ «Старо –Юрашская СОШ »

ЕМР РТ

Гатауллина Гулсияр Равиловна

Елабуга, 2019

Содержание

Введение……………………………………………………
Основная часть

1.Что такое флексагон…………………………………………………

2. История создания флексагонов……….…………………………….

3. Виды флексагонов…….…………………………………………

4. Применение флексагонов…………….…………………………..

Заключение
Список используемой литературы……………………………
Приложение

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика– это прежде всего математика, причем в лучших своих образцах– математика прекрасная.

Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу про демонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Так и появилась цель найти и познакомиться с математическими объектами, которые не изучаются в школьном курсе и имеют практическое применение.

Изгибая бумагу, я не задумывалась о том, что уже сталкиваюсь с математикой. Даже не предполагала, что мои занятия подчинены строгим математическим правилам. Значит, познание такого мудрёного предмета с уравнениями и формулами, вполне возможно через игру, через изгибание полоски бумаги, у которой такое звучное и загадочное название – флексагон и это делает математику, увлекательной, более доступной.

И в своей работе буду рассматривать один из моментов занимательной геометрии – флексагоны. Мы узнаем интересные сведения о треугольнике – основе многоугольника, изучим вопрос об изгибаемости многогранника, о том, как собираются флексагоны и где их можно применить на практике.

Актуальность темы: флексагоны способствуют развитию пространственного воображения и имеют практические приложения. На первый взгляд может показаться, что это всего лишь игрушки, меняющие форму и цвет, но они таят в себе много загадок и головоломок.

Объект исследования — предмет математика.

Предмет исследования – геометрия гнущихся многоугольников

Цель исследования: Проведение анализа имеющейся информации о флексагонах и освоение методик складывания простейших флексагонов.

Задачи исследования:

изучить историю возникновения флексагонов;
получить представление о математической теории флексагонов;
изучить алгоритмы конструирования флексагонов познакомиться с применениями флексагонов и разработать свои приложения.
систематизировать изученный материал и подготовить презентацию;
познакомить с флексагонами одноклассников и провести мастер-класс по их конструированию
пробудить интерес школьников, продемонстрировав своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Таким образом, объектом нашего исследования являются флексагоны, а предметом – история возникновения, математическая теория, способы конструирования, применения.

Структура работы:

— сбор и анализ информации – изучение материала по теме;

— составление реферата – объединение данных, оформление сведений;

— создание презентации – представление имеющейся информации, используя информационные технологии, в привлекательном виде;

Гипотеза: флексагоны способствуют развитию творчества, логического мышления.

Методы исследования: — сбор информации по данной теме, анализ периодической и научной литературы, работа с источниками, размещёнными в сети Интернет, необходимые расчеты при построении, создание наглядных моделей.

Что такое флексагон

Мало кто знает, что в геометрии существуют фигуры, в основании которых лежит правильный многоугольник, и они могут изгибаться. Такие фигуры называют флексагонами. Целью проведенного исследования было изучение класса фигур, обладающих таким необычным свойством. В работе рассмотрели различные определения флексагона:

Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу

Флексагон – это склеенный из бумаги многоугольник, который, изгибаясь и складываясь, может переходить во все новые и новые состояния. Таким образом, мы назвали флексагоном бумажную модель, имеющую форму плоского многоугольника, состоящую из нескольких слоев бумаги и обладающую возможностью непрерывно изгибаться.

Происходит это слово от английского toflex, что означает «складываться, гнуться».

2.История открытия

Своему появлению флексагоны обязаны различию в форматах английских и американских блокнотов. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун 23-х летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, что бы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок различные фигуры. Одна, из сделанных им фигур, оказалась особенно интересной. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда сложенный им из треугольников шестиугольник раскрывался словно бутон, видимыми становились совсем другие треугольники.

Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка.

Рис.2. Места сгиба полоски бумаги Рис.3. Раскрытие шестиугольника

Стоун был математиком. Простому человеку, сложи он даже случайно раскрывающийся многоугольник, вряд ли было бы понятно, какое открытие он сделал. И, как настоящий математик, Стоун не оставил свое маленькое открытие. Поразмыслив над этим ночью, наутро он убедился в правильности своих умозаключений. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Друзьями Стоуна был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей, но все схемы строились из равносторонних треугольников. Так, через развлечение, был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Таккерману удалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон — аж 82 способами… Таккерман довольно быстро нашёл простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: нужно держать его за какой-либо угол и открывать до тех пор, пока он не перестанет раскрываться, и лишь затем переходить к следующему углу. Этот метод, известен как «путь Таккермана»; его удобно изображать в виде схемы. Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Она в частности указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности, которая требуется. Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур X. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках.

Артур Стоун, Ричард Фейнман, Джон Тьюки, Брайан Таккерман.

3.Виды флексагонов

Человек незнакомый с флексагонами будет удивлен, увидев следующие названия: дотриаконтагектагексафлексагон, дотриаконтагектатетрафлексагон. Разобраться в этих названиях на самом деле не сложно, если, что каждое название состоит из трех частей: двух приставок и слова «флексагон». Первая приставка показывает порядок флексагона (число чередующихся поверхностей), вторая определяет форму флексагона. Приставки образуются из корней греческих и латинских числительных, применяемых для обозначений соединений по правилам номенклатуры органических соединений.

Первая созданная Артуром Стоуном фигура – тригексафлексагон, т.е. она состояла из трех поверхностей и имела форму шестиугольника.

Ниже приведена классификация, рассматриваемых в нашей работе флексагонов.

Унагексафлексагон. Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его и можно назвать унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не складывается. Поэтому он интересен лишь как иллюстрация топологии Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов

Дуогексафлексагон (флексагон с двумя поверхностями) представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

Тригексафлексагон (флексагон с тремя поверхностями). Существует только одна разновидность этого флексагона. Тригексафлексагон – сплющенный в шестиугольник лист Мёбиуса. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников

Тетрагексафлексагон (флексагон с четырьмя поверхностями) также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски

Пентагексафлексагон (флексагон с пятью поверхностями). Единственную разновидность этого флексагона складывают из И-образной полоски.

Гексагексафлексагон (флексагон с шестью поверхностями). Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых обладает неповторимыми свойствами.

Гептагексафлексагон. Таких флексагонов существует четыре типа. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки.

Кольцевые флексагоны — представляют из себя кольцо, сделанное из трех квадратов, разлинованных на треугольники. Затем загибаем с каждой стороны по треугольнику, и получаем игрушку, которая сворачивается по кругу.

Если флексагоны – это изгибаемые многоугольники, то кольцевой флексагон (флексор) – изгибаемый многогранник, собранный из «кольца» многоугольников.

Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон – кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая; тригемициркогексафлексагон – флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса).

Внешне флексоры выглядят привлекательнее, чем флексагоны, но математический интерес вызывает только кольцо из 8 тетраэдров, которое по-другому называют магическим. Математик Ройал В. Хит на заготовке для кольца из 8 тетраэдров расставил числа от 1 до 32 следующим образом:

По этой заготовке изготавливается флексор. Он состоит из восьми тетраэдров. При вращении флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом:

1) 1+16+25+24+2+15+26+23=132; 2) 28+22+3+13+27+21+4+14=132;

3) 7+9+32+18+8+10+31+17=132; 4) 19+6+11+29+20+5+12+30=132;

Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани каждого тетраэдра в сумме дают 66.

Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона

Складывание тригексафлексагона.

Складывание гексагексафлексагона

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФЛЕКСАГОНОВ

— Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне – 36. Таким образом, флексагон станет для ребенка не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом.

— Флексагоны и флексоры можно применять на уроках математики, если на их сторонах написать числа и знаки «+»,«-»,«×»,«:». Выворачивая флексагон, можно числа складывать, вычитать, умножать и делить. Правда, при вычитании может получиться отрицательное число, а при делении – не всегда получится целое.

— Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Есть только опасность, что до нужной подсказки придется очень долго добираться, ведь известно, что 1, 2 и 3 стороны открываются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6.

— Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии (например, друзей). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.

— Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.

— Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

На первый взгляд, флексагоны и им подобные фигуры (обладающие удивительной способностью изгибаться, показывая новые грани) всего лишь игрушки. Но они сумели привлечь внимание в различных отраслях. Вот несколько тому доказательств:

— Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.

— Флексагоны связаны со многими математическими понятиями: лентой Мёбиуса, Тором (тороидом). Помимо этого эти «игрушки» подчинены строгим правилам математики, которые изучает наука флексология.

— Необычный цикл изгибания фигур привлекает к ним внимание, из-за этого его используют в рекламных акциях. Помимо этого к любому флексагону можно прикрепить плоский предмет и можно быть уверенным, что этим предметом заинтересуются.

— Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ, в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки;

— Наконец, флексагоноподобные фигуры используются как самодельные открытки, игрушки . Они служат темами как научных, так и ненаучных дискуссий, но до конца их тайны ещё не раскрыты.

ВЫВОДЫ: Флексагон – это математическая головоломка. Очень увлекательная, забавная игрушка, обладающая удивительными свойствами. Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.

Флексагоны, как средства математического моделирования имеют следующие отличительные черты:

экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм;
дступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке;
многоплановый развивающий характер: флексагоны и флексоры способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизирует формирование представлений по всем разделам математик для школьников; хороши для освоения понятий «время», «величина», «пространство» и многое другое.

Подводя итог по данной работе, хочется отметить, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения флексагонов. Найдены примеры практического применения флексагонов. В дальнейшем планируется дальнейшее изучение данной области и создание новых моделей флексагонов.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрел возможности применения флексагонов – в виде игрушек, открыток и т.д. Большого распространения данные фигуры не имеют, но, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника.

Далее планируется:

изучить другие виды флексагонов, подготовить соответствующие заготовки, разработать подробные инструкции по их изготовлению.
продолжить работу по поиску практических приложений флексагонов.

«Несведущим в геометрии вход воспрещен», — гласила надпись над входом в помещение, где учил Платон. Для нашей работы эту надпись можно перефразировать: «Несведущим в геометрии вход разрешен».

Список используемой литературы

ВИКИПЕДИЯ. — URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон
Дженкинс Д., Биар М. Математические головоломки. — М.: Центрполиграф, 2000, С. 32.
Гексафлексагоны // http://www.еvrika-clab.net
www.myspace.com/flexagoncommittee (портреты членов флексагонного комитета).

Проект «ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ»

ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ

(Математика)

реферативно-исследовательская работа

Исследовательская (творческая) работа на Челябинский

молодежный интеллектуальный форум «Шаг в будущее-Созвездие-НТТМ»

(секция 3.1.б «Фундаментальная математика»)

Содержание:

Введение

1. Флексагоны

История открытия
Гексагексафлексагон
Путь Таккермана
Двойное шарнирное соединение

2. Вращающие кольца тетраэдров

Изготовление флексора
Спор о существовании флексора
Магическое кольцо из восьми тетраэдров

3. Флексманы

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д. Относится ли занимательная математика к чистой или прикладной математике? С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой стороны, она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре. Вероятно, такая потребность в игре лежит в основе даже чистой математики. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.

Я приглашаю на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов, флексоров, флексманов, — бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Цель работы:

– изучить мир флексагонов, флексоров и флексманов.

Задачи

– представить в работе ряд математических игрушек, и показать, что в их основе лежит чистая математика;

– продемонстрировать своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Для выполнения намеченных задач, мною были использованы следующие методы: сбор и анализ литературы, описание, поиск информации, обработка информации.

1.1 История открытия

Флексагоны — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство — различие в формате английских и американских блокнотов, — флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис.1). Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексологии» был организован «Флексагонный комитет». Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Бриан Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.

Рис. 1

Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» — из-за их шестиугольной формы (От греческого «гекс», что означает шесть.), «флексагонами» — из-за их способности складываться (To flex [англ.] — складываться, сгибаться, гнуться.). Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» — шесть — также означает число поверхностей этой модели).

1.2 Гексафлексагон

Гексагексафлексагон – это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника.

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента от кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников (рис.2). В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. 2 порядке цифры 1, 2, 3. Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на рис. 2 пронумеровать цифрами 4,5,6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рис. 2, б. Перегнув ее по линиям ab и cd (рис. 2,в), получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

Рис. 2 Рис. 3

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на другой стороне — цифра 2. В таком виде тригексафлексагон готов к перегибанию. Взявшись за два смежных треугольника (рис. 3), согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, вы без труда обнаружите и остальные поверхности. Однако поверхности с цифрами 4, 5 и 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу: сколько бы вы ни бились, перед вами будут открываться лишь одни и те же уже успевшие надоесть вам поверхности.

1.3 Путь Таккермана

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексафлексагонов за один цикл из 12 перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы, показанной на рис. 4. Стрелки указывают, в каком порядке становится видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление ее обхода будет противоположным.

Рис. 4

Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги (то есть из полоски с зубчатым, а не прямым краем) можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй — из полоски, предварительно сложенной в виде шестиугольника, и третий — из полоски, форма которой напоминает лист клевера. Разновидностей декагексафлексагона (с десятью поверхностями) намного больше — их 82. Заготовки для всех 82 типов декагексафлексагонов имеют вид бумажных полос, сложенных самым причудливым образом. В принципе можно построить флексагон с любым числом поверхностей, но если поверхностей больше 10, то число разновидностей флексагонов катастрофически возрастает. Кстати, все флексагоны с четным числом поверхностей делаются из двусторонних полос, а флексагоны с нечетным числом поверхностей, подобно листу Мёбиуса, имеют одну сторону.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов «флексологии» следует назвать отца Таккермана известного физика Луи Таккермана. Таккерман старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать путь Таккермана в виде дерева.

Нападение японцев на Пирл-Хабор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны.

Комитет все еще надеется как-нибудь собраться и написать одну или две статьи с подробным изложением теории флексагонов. Но пока этого не случилось, ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами, попытаться вывести собственную теорию.

1.4. Двойное шарнирное соединение

Двойное шарнирное соединение – это конструктивный элемент, служащий основой для еще одного ряда флексагонных моделей. Вырежем из бумаги два прямоугольника 2,5 х 5 см и две полоски размером 1 х 7 см. На обоих концах каждой полоски отогнем по квадрату 1 х 1 см. Раскрасим прямоугольники и полоски, как прямые, так и оборотные стороны.

Приклеим обе полоски к одному из прямоугольников, соединяя незакрашенные квадраты с незакрашенными, и завернем обе полоски на красную сторону прямоугольника.

Рис.5

Сверху красной стороной наложим второй прямоугольник и снова склеим незакрашенные квадраты. Это и есть двойное шарнирное соединение. Оно само является простейшим флексагоном, который может находиться в двух состояниях. Чтобы перейти от одного состояния к другому, нужно сблизить удаленные стороны прямоугольников.

Рис. 6

2. Вращающиеся кольца тетраэдров

Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

Дж.М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10 (рис. 7). Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может заузливаться.

2.1 Изготовление флексора

Флексор (латин. flexor — сгибатель) – вращающиеся кольца тетраэдров

Рис.7

2.2 Спор о существовании флексора

Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений. Во- первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником.

2.3 Магическое кольцо из восьми тетраэдров – является магическим в нескольких смыслах. На нем расположены числа от 1 до 32. Четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, 1+12+31+21+2+11+32+22 = 132).

Рис. 8

Магическое вращающееся кольцо

3. Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров.

3.1 Изготовление флексмана.

Надо вырезать из плотной бумаги квадрат со стороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналям сгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз (рис 9). А затем сложить чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четыре одинаковые операции. Результат первой из них – сгиб по штриховой линии рисунка 9, б – изображен на рисунке 9, в, окончательный результат – на рисунке 9, г. Остаются еще четыре одинаковые завершающие операции – отгибание маленьких треугольников, и перед нами – флексман.

Рис. 9

3.2 Свойство флексмана

Заключение

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я продемонстрировал своей работой, что математика разноплановая наука, и показал, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

В своей работе я рассмотрел флексагоны, флексоры и флексманы, которые обладают удивительными свойствами изменять свою форму и цвет.

В ходе работы я изготовил из бумаги, рассмотренные объекты и наглядно увидел все перечисленные свойства.

Данную работу можно использовать на занятиях в математическом кружке, для заинтересованности учащихся к изучению математики, для развития логического мышления.

Литература

Математические головоломки и развлечения. (Mathematical puzzles and diversions) 2-е издание, исправленное и дополненное. Перевод с английского Ю.А.Данилова под редакцией Я.А.Смородинского. М.: Мир. Редакция научно-популярной и научно-фантастической литературы, 1999 — Математическая мозаика
А.А. Панов «Флексагоны, флексоры, флексманы»/ журнал «Квант» №7 1998 г.
Мартин Гарднер. Гексафлексагоны и Другие Математические Развлечения http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex.html

Приложение

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Всего 5344руб + Отзыв о Reebok Flexagon Force

Обновления Reebok Flexagon Force

Reebok Flexagon Force — это обувь, разработанная для того, чтобы выдерживать изнурительные тренировки в тренажерном зале. Он изготовлен из прочных материалов, таких как верхняя сетка из сетки, усиленная технологией 3D Fuse Frame для усиления боковой поддержки в средней части стопы.
Подошва изготовлена из мягкого пенопласта, который снижает удары.Платформа также служит подошвой тренера. Тем не менее, область под мячом покрыта углеродистой резиной, чтобы защитить его от истирания и улучшить сцепление в разных направлениях.
Эта модель совсем не похожа на оригинальный Reebok Flexagon. В более старой версии используется верх из искусственной сетки с видимыми вентиляционными порами, чтобы внутренняя часть оставалась свежей. Его межподошва также служит подошвой, но резиновые вставки размещены на пятке и носке. Flexagon Force был обновлен, чтобы противостоять более интенсивным действиям.

Размер и посадка

Reebok Flexagon Force подходит как для мужчин, так и для женщин. Мужская версия представлена в американских размерах от 7 до 14, а женская — в американских размерах от 5,5 до 12. Обе версии продаются в полном и половинном размерах. Что касается ширины, то женский вариант предлагается только с профилем B — Medium, а мужчины могут выбирать между D — Medium и 4E — Extra Wide. Посадка может быть изменена с помощью системы шнуровки в средней части стопы.Мягкий язычок и воротник обеспечивают надежную опору.

Подошва

Открытая межподошва также служит основной подошвой Reebok Flexagon Force. Однако износостойкая поверхность под подушечкой стопы покрыта углеродистой резиной. Этот состав прочен и обеспечивает сцепление при быстрой смене направления движения. Он также имеет гибкие канавки на нижней стороне, которые способствуют естественным движениям стопы.

Межподошва

Единая амортизирующая платформа работает как межподошва, так и подошва Reebok Flexagon Force. Он мягкий, чтобы обеспечить комфорт и в то же время уменьшить удары, чтобы предотвратить травмы или дискомфорт.

Внутри обуви находится стелька MemoryTech Massage. Этот элемент усиливает амортизацию, обеспечиваемую межподошвой, для длительного комфорта.

Верхний

Как и большинство кроссовок, Reebok Flexagon Force отличается низким вырезом.Он отличается легким верхом из сетки, который способствует естественному изгибу стопы. Он также является воздухопроницаемым, благодаря чему камера для ног остается прохладной во время тренировки.

Технология 3D Fuse Frame применяется по бокам средней части стопы и продолжается до глаз. Синтетические накладки непосредственно переходят в ткань без каких-либо отстрочек. Каркасная конструкция обеспечивает поддержку при боковых движениях.

Слой синтетического материала также обхватывает пятку, чтобы она была устойчивой во время динамических движений.Он простирается вверх до задней части воротника и служит язычком, чтобы пользователям было легче надеть кроссовки.

Традиционная застежка на шнуровке находится на средней части стопы. Он имеет шесть пар люверсов, которые позволяют регулировать посадку. Мягкий язычок и воротник обеспечивают плотную посадку и предотвращают раздражение кожи.

Заявление об ограничении ответственности

Flexagon Capital Solutions LLP — это инвестиционная консалтинговая компания (*), которая сочетает в себе опыт в области инвестиционного банкинга, выдачи кредитов и управления кредитами с дисциплиной в области управления рисками.

Flexagon имеет налаженную детализированную сеть контактов на интересующих территориях, чтобы из первых рук получить информацию о специальностях и нишевых возможностях.

Flexagon может предлагать свои услуги профессиональным и институциональным клиентам, а также инвестиционным менеджерам или консультантам фондов.

* Flexagon является назначенным представителем Robert Quinn Advisory LLP

Flexagon обеспечивает четкое понимание того, что ищут инвесторы, и может структурировать значимые сделки, сочетая вклад основного инвестора — структуры, цены, доходность, оценки, секторы, согласование интересов руководства и варианты выхода, с вкладом предпринимателя — маржинальный рост, новые рынки , новый и более гибкий источник финансирования, четкие стимулы для реализации максимального потенциала роста с полным выходом или без него.

Flexagon Capital Solutions LLP .. авторизована и регулируется Управлением финансового надзора Соединенного Королевства («FCA»). Этот веб-сайт предназначен для доступа в Соединенном Королевстве только профессиональным клиентам и правомочным контрагентам, как определено FCA, в соответствии с разделом 21 Закона о финансовых услугах и рынках 2000 года. Информация на этом веб-сайте не предназначена для использования и не следует полагаться на кого-либо, кто может квалифицироваться как Частный клиент согласно определению FCA.Если вы не уверены, соответствуете ли вы критериям профессионального клиента или правомочного контрагента, вам следует обратиться за независимой юридической консультацией. Материалы, содержащиеся на этом веб-сайте, предназначены только для общего ознакомления. Ничто на этом веб-сайте не должно восприниматься как приглашение или побуждение к инвестиционной деятельности. Заявления, содержащиеся на этом веб-сайте, не должны рассматриваться как инвестиционный совет в отношении каких-либо ценных бумаг и / или инвестиций, упомянутых на нем, или как совет относительно юридических или налоговых последствий, регулируемых их продажей покупки.Доступ к этому веб-сайту за пределами Соединенного Королевства может быть ограничен правовыми, нормативными и / или другими положениями, и поэтому лица, которые получают доступ к этому веб-сайту и содержащимся на нем материалам, должны знать и соблюдать любые такие ограничения. Любое несоблюдение этих ограничений может представлять собой нарушение законодательства о ценных бумагах любой такой юрисдикции.

Я НЕ СОГЛАСЕН

Исследовательская работа флексагоны: Исследовательская работа по математике «Флексоры и флексагоны»

Исследовательская работа «Шутка гениев- Флексагон»

4.1. Путь Таккермана

5.1. Магическое кольцо из восьми тетраэдров.

Учебно-исследовательская работа по математике «Флексагоны»

Внеурочная деятельность. Исследовательский проект «Флексагон»

Творческая работа учащихся на тему: Удивительный мир сгибаемых многогранников. Флексоры. Флексагоны. Флексманы.»

Исследовательская работа по математике «Мир флексагонов»

Исследовательская работа по математике «Математические свойства флексагона»

Проект «ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ»

Всего 5344руб + Отзыв о Reebok Flexagon Force

Обновления Reebok Flexagon Force

Размер и посадка

Подошва

Межподошва

Верхний

Заявление об ограничении ответственности

Добавить комментарий Отменить ответ