Цифры оригами из бумаги: Оригами из бумаги числа, цифры от 0 до 9 и математические знаки

by alexxlab Posted in Разное on 14.03.198223.10.2021

Содержание

Как сделать цифру 6 из бумаги (оригами) своими руками

Распечатать
Спасибо, отличный урок +0

Цифра шесть очень напоминает девять только в перевернутом виде. Поэтому по такой схеме можно создать две объемные фигуры в технике оригами!

Необходимые материалы:

Лист односторонней цветной бумаги любого оттенка 12 х 12 см

Поэтапный фото урок:

Яркие объемные цифры помогут привлечь внимание, особенно если они яркого цвета. Для этого возьмем, например, бумагу квадратного типа оранжевого цвета. Переворачиваем ее цветной стороной вниз и начинаем сгибать по горизонтали и по вертикали для получения вспомогательных сгибов.

Теперь согнем до середины, а именно до горизонтальной линии сгиба, нижнюю и верхнюю часть листа пополам.

Еще раз беремся за стороны и складываем к центру.

Разворачиваем. Получились на белом фоне горизонтальные сгибы с одинаковыми расстояниями между ними по все длине листа.

Затем сгибаем пополам к вертикальному центральному сгибу боковые стороны листа.

Еще раз так проделаем и можно раскрывать все согнутые стороны квадратного листа.

Открываем. Получаем 8 квадратов по горизонтали на каждой линии и по 8 на каждой вертикали.

Сгибаем одну линию с 8 квадратами по вертикали с левой стороны в правую.

Затем на одну полоску складываем вверх еще одну линию, но уже с 8 квадратами по горизонтали.

Теперь отсчитываем три квадрата по горизонтали с правого бока и сгибаем эту часть в левый бок.

Отгибаем с нижней стороны уголок. Для правильности следует отсчитать 3 квадрата вверх и столько же по нижнему краю листа с левого уголка в правую сторону.

Также отгибаем уголок и вверху по таким же параметрам. Получилась фигура похожая на мягкий знак.

Для создания цифры есть согнем напоследок верхнюю линию в один квадрат вниз.

Вот и получилась отличная объемная цифра шесть из бумаги в технике оригами.

Видео урок

как из бумаги сделать цифры 1 и 2, 3 и 5, 8 и другие пошагово с детьми? Схемы сборки своими руками

Цифры из бумаги – это отличный материал для обучения детей. В процессе складывания цветных фигурок, ребенок изучает различные формы. Готовые поделки родители могут использовать для обучения малыша счету.

Как сделать единицу?

Для начала нужно понять, как сложить единичку в технике оригами. Процесс создания объемной фигурки состоит из следующих шагов.

Для начала узкий прямоугольник нужно сложить пополам, а затем развернуть.

После этого верхнюю и нижнюю половины листа надо подогнуть к середине. Далее каждую деталь нужно еще раз сложить пополам. Это делается для того, чтобы разделить лист на тонкие полоски одинаковой ширины.

Получившуюся гармошку надо развернуть и сложить пополам. Далее все предыдущие шаги необходимо повторить, разделяя лист на еще большее количество отдельных сегментов.

После этого верхнюю часть листа нужно аккуратно загнуть.

Заготовку нужно повернуть широкой стороной к себе, а потом собрать в гармошку.

Далее надо сформировать верхнюю часть бумажной единички. Для этого часть верхней полоски нужно аккуратно вытянуть из основания.

После этого гармошку нужно согнуть посередине. Нижнюю часть листа надо аккуратно расправить, а потом собрать обратно, формируя своеобразный веер.

Далее его нужно вновь развернуть. Нижнюю часть листа надо подогнуть к основе. Затем, согнув свободную часть листа пополам, из нее нужно собрать основу единички.

Фигурка получается устойчивой и оригинальной.

Складывание двойки

Перед созданием двойки лист бумаги нужно разделить на сегменты по описанной ранее пошаговой схеме. Сложив его в тонкую гармошку, можно приступать к дальнейшим действиям.

Верхнюю часть тонкой полоски нужно аккуратно загнуть. Развернув фигурку, надо аккуратно подогнуть углы гармошки внутрь.

После этого край верхней части фигурки таким же образом нужно загнуть вниз.

Развернув верхнюю часть листа, надо аккуратно подогнуть его края и собрать фигурку заново по намеченным линиям.

Далее основу надо еще раз согнуть. Место сгиба должно быть чуть выше середины полоски. Эту часть листа также надо собрать гармошкой.

Такой же сгиб делают ровно под краем верхней части «крючка». После этого, отступив несколько сантиметров, надо сделать последний сгиб. Все линии необходимо хорошо прогладить.

Немного попрактиковавшись, ребенок будет с легкостью мастерить такие фигурки, не теряя при этом интереса к творческому процессу.

Схемы сборки других цифр

Делать объемные фигурки своими руками можно и в технике модульного оригами. Для начала из цветной бумаги нужно заготовить нужное количество маленьких треугольных модулей. Для этого лист формата А4 нарезают на небольшие прямоугольники одинакового размера. После этого из них формируют модули. Этот процесс выглядит следующим образом.

Лист надо сложить пополам. Чтобы наметить линию сгиба, узкую заготовку еще раз складывают и разгибают обратно.

Нижнюю часть отводят от основы, а потом загибают обратно так, чтобы уголки оказались уже под полоской.

Эту фигурку остается только согнуть пополам и использовать в работе. Сделать из подобных заготовок различные цифры очень просто. Отдельные модули просто вставляются друг в друга. После этого длинные полоски сгибаются в нужном направлении. Отдельные края при необходимости очень легко соединить друг с другом. Таким образом можно сделать 8, 3, 5 и другие, более простые цифры.

Готовые фигурки можно также использовать для украшения детской комнаты ко дню рождения.

О том, как сделать цифру 8, смотрите в следующем видео.

схемы, шаблоны объемных цифр из картона и гофрированной бумаги

Изготовить объемную цифру без особых проблем можно своими руками. Достаточно подготовить нужный материал и уделить работе всего несколько часов личного времени. Благодаря усердию и настойчивости можно создать центральное украшение праздника, на котором отмечается какая-то значимая дата.

Необходимые материалы

Без подходящих приспособлений и материала создать красивую поделку точно не получится, поэтому любая подготовка начинается именно с этих пунктов. Сделать из бумаги объемные цифры можно посредством использования таких инструментов и материалов:

картон, который будет основой любой модели;
ножницы, линейка и простой карандаш пригодятся в самом начале работы для создания основной формы заготовки;
малярный скотч используется для фиксации частей именно объемного корпуса;
клеевой пистолет предназначен для приклеивания декоративных элементов к уже готовой основе.

Иногда для укрепления конструкции, особенно объемного каркаса, используется ткань. Текстиль просто наклеивается на швы или на всю поверхность заготовки.

Для изготовления украшений базы могут использоваться бумажные салфетки, гофрированная бумага, двухсторонняя цветная бумага.

Как сделать объемные цифры из бумаги

Чтобы понять, как сделать объемные цифры из бумаги, а именно произвести правильную сборку, нужно сначала подготовить подробный план действий и схему. На обычном листе бумаги нужно создать приблизительный макет заготовки с указанными на ней параметрами. Желательно соблюдать масштаб, чтобы хотя бы частично понимать, как будет выглядеть готовый макет.

После этого подготавливаются детали из картона, производится сборка и только в конце осуществляется декорирование готовой основы. В целом, изготовление такого рода декораций для праздника займет немного времени. Что касается стоимости, то она напрямую зависит от того, какие материалы будут использоваться в процессе декорирования, и какой величины будет заготовка.

Поэтапная сборка

В качестве основы могут использоваться разноплановые схемы и шаблоны. Важно, правильно произвести сборку такой основы в любой из ситуаций. Чтобы не возникло проблем на любом этапе работы желательно постоянно проводить промежуточные измерения. Так можно уберечь себя от ошибок.

Швы нужно тщательно обрабатывать и закреплять. В противном случае вся конструкция развалится. Подрезку на этих участках лучше производить канцелярским ножом. После сборки стоит проверить все соединения на предмет отслаивания малярного клея. Иногда появляются щели, которые лучше заделать посредством клеевого пистолета.

Цифры по возрастанию

Чтобы сделать аккуратную заготовку из бумаги или картона, стоит использовать готовые шаблоны. «Бумажные выкройки» состоят из нескольких деталей, каждая из которых уже оснащена специальными выступами для склеивания частей на углах.

Самые простые шаблоны объемных цифр:

Модели «6» и «9» могут изготавливаться по одному шаблону, поэтому специальный вариант эскиза здесь не нужен. Если увеличить масштаб любого шаблона и создать предложенный макет уже на картонной основе, то благодаря поэтапному склеиванию деталей можно получить заготовку с любым объемом внутри.

Варианты

Есть несколько вариантов изготовления основ и декора объемных моделей математических знаков. Самым популярным способом формирования прочного и весьма большого каркаса, является его изготовление из картона. Такой материал можно получить от обычных транспортировочных коробок.

Не менее интересным способом станет изготовление основы все из того же картона, но без сборки каркаса. А вот поверхность может украшаться помпонами и гофрированной бумаги. Благодаря использованию таких объемных деталей декора можно получить внушительный объем изделия.

Во втором и первом случае гофробумага и обычная бумага, могут заменяться салфетками. Результат получится не менее эффектным, а затрат на материал будет меньше.

Наиболее простым вариантом считается такой способ формирования поделки. Подготовить плоскую основу из картона, которую потом можно обклеить цветочками из бумаги.

Из картона

Проще всего делать объемные цифры из картона. Базовый материал жесткий, плотный, хорошо держит форму. Такую основу хорошо декорировать любыми материалами. Принцип изготовления картонного макета 3D на примере модели «4»:

Подготовить шаблон на картонной основе. Для начала вырезается 2 плоские заготовки нужного размера.
Следующим этапом станет формирование «скелета» всех сторон. Именно эти детали помогут сделать поделку объемной.
Измеряя каждую часть каркаса из картона вырезать полоску соответствующей длины и крепить ее к основе с помощью малярного скотча.
Когда все внутренние части и внешние стороны будут обустроены, можно сверху прикрепить вторую часть плоского шаблона. В качестве крепителя стоит использовать все тот же малярный скотч.

Благодаря такому принципу изготовления можно получить макет любой цифры. Важно, следовать всем рекомендациям относительно создания макета и его сборки.

Из гофрированной бумаги

Данный вариант изготовления упрощается тем, что объем приобретается посредством использования пышного декора. Формировать полый каркас не нужно. Сделать объемную цифру из гофрированной бумаги можно в соответствии с такой схемой:

1. Из жесткого картона вырезать шаблон любой цифры. При желании основу можно оклеить декоративной мешковиной или другой плотной тканью.

2. Из гофрированной бумаги нарезать много квадратиков разного цвета. Оптимальная величина элемента 7×7 см².

3. Сложить в стопку 10-15 квадратов и скрепить их посередине скобкой из степлера. Чтобы получить более пышную деталь, нужно после сборки стопки распределить все составляющие так, чтобы углы были смещены относительно друг друга.

4. От скобы поднять края квадратов к центру. Каждый ярус нужно расправить так, чтобы скрыть место соединения всех квадратов.

5. С помощью клеевого пистолета приклеить готовые цветочки из гофрированной бумаги к основанию цифры, повторяя контур.

Такой вариант объемной цифры можно подвесить на веревку или установить ее на подставке. Пышное и яркое украшение может стать центром праздничной композиции.

Обычная бумага

Есть масса вариантов относительно того, как сделать объемные цифры из бумаги. Самым простым и доступным всем вариантом станет изготовление каркаса из прочного картона, который потом украсится декоративными элементами из бумаги.

Если рассматривать такой вариант бумажной цифры на примере четверки, то можно получить такой результат:

Используя такую технику изготовления цифры, можно получить фигуру с небольшим поперечным объемом.

Благодаря созданию цветов из обычной цветной бумаги методом спирали, можно получить много декоративных элементов. Можно изготавливать цветы разной величины и цвета, а потом приклеивать по всему периметру готового шаблона.

Такую цифру можно подвесить к стене в фотозоне, с изделием можно фотографироваться, держа его в руках. Функциональность украшения не хуже, чем у самой обычной цифры из картона.

Правила создания больших цифр

Чтобы получить красивые, аккуратные цифры больших размеров из бумаги и картона, стоит знать несколько особенностей, касающихся их изготовления:

Если каркас цифры состоит из нескольких деталей, и тем более симметричных, то внимательно нужно следить за параметрами. Каждый уголок и сторона должны быть точно одинаковыми. В противном случае фигура получится перекошенной.
Для изготовления стоит подбирать «пластичные» бумажные материалы. Бумага или картон должны легко принимать любую допустимую форму. При этом не должно возникать разрывов и сгибов.
В процессе склеивания частей шаблона лучше использовать малярный скотч. Такой материал легко и прочно соединяет бумажные основы, не рвется, к нему легко приклеить любые детали. Если же использовать обычный клей, то шансов на успех становится меньше – заготовка может просто развалиться.
Чтобы еще больше увеличить объем цифры, стоит изготавливать декоративные элементы из легких и воздушным материалов. Вот почему для украшения используют бумажные салфетки или фольгированную бумагу.

Чтобы получить качественные объемные цифры из бумаги, стоит следовать указанным выше правилам. Каждый этап в изготовлении фигуры сопровождается массой рисков, которые касаются деформации, расслоения или порывов. Нужно умело и правильно избегать таких неприятностей.

Идея оформления салфетками

Самым простым в плане подготовки декора являются бумажные салфетки. Обычно изготавливаются небольшие гвоздики, которые потом крепятся к основанию готового каркаса.

Рекомендации относительно того, как сделать объемную цифру из салфеток:

Нужно разложить 6 салфеток. Потом уложить их стопкой и разрезать по линиям сгибов.
Все полученные квадраты сложить друг на друга. Должно получится 24 яруса. Потом собрать их в гармошку.
Связать посредине ниткой гармошку и срезать края, формируя полукруг.
Потом расправить каждый слой салфеток, подымая их к центру. Данную процедуру нужно повторить с другой стороны от нитки.

Такое украшение хорошо крепится к бумажной основе с помощью клеевого пистолета. Можно делать разноцветные помпоны, из которых потом будет формироваться интересный узор. Не обязательно заполнять всё пространство основы такими декоративными элементами. Можно делать в какой-то определенной последовательности.

Дополнительно можно сделать свисающие помпоны, которые на веревочках крепятся к нижним частям конструкции. Такой вариант декорирования придаст некоторой особенности дизайну, и визуально увеличит и так большой объем фигуры.

Объемные цифры используются для оформления детских и взрослых праздников. Декорация подойдет для празднования дня рождения, юбилея, годовщины. Сделать такой вариант украшения достаточно просто, если использовать в качестве основы картонную основа, а декором может стать гофрированная бумага, салфетки, нитки и многое другое.

Бумажный мир | Планета Оригами

Бумажный мирОригами машина: инструкция с фото

Фев 24, 2020103

Эта машинка-оригами будет отличной альтернативой обычным игрушечным машинам. Сделать такую машину очень просто по фото-инструкциям.

Бумажный мирОригами Скамейка: инструкция с фото

Фев 24, 2020108

Эти оригами выглядят очень просто, но все таки придется потрудиться, чтобы сделать прекрасную скамейку. Эти оригами для детей, поэтому такую скамейку можно

Бумажный мирОригами зубастик: инструкция с фото

Янв 1, 2020267

Эти оригами можно назвать просто «зубастик», потому что он с большими и острыми зубами. Эти оригами сделаны из прямоугольной бумаги и очень легко складываются.

Бумажный мирОригами звезда ниндзя: инструкция с фото

Дек 20, 201973

Если вы хотите быть настоящим ниндзя, вы должны иметь возможность создавать свое собственное оружие. Звезду ниндзя оригами делать весело и легко.

Бумажный мирСложные объемные оригами строчная буква u: пошаговая фото-инструкция

Дек 13, 201916

Строчная или маленькая буква «u» представляет собой ни что иное, как перевернутую букву «n». Поэтому для того, чтобы собрать «u» нужно для начала научиться

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 8: пошаговая фото-инструкция

Дек 13, 201970

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 8. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами потребуется время и внимательность, так как есть сложные складки.

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 7: пошаговая фото-инструкция

Дек 13, 201913

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 7. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами потребуется немного времени. Уделите внимание и выполняйте

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 6: пошаговая фото-инструкция

Дек 6, 201920

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 6. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами потребуется немного времени и внимательности, так как есть

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 5: пошаговая фото-инструкция

Дек 6, 201964

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 5. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами потребуется немного времени и внимательности, так как есть

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 4: пошаговая фото-инструкция

Дек 6, 20197

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 4. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами сделать проще, чем предыдущую цифру. Уделите немного времени

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 3: пошаговая фото-инструкция

Дек 6, 201918

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 3. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами потребуется немного времени и внимательности, так как в

Бумажный мирОбъемные оригами — цифра 2: пошаговая фото-инструкция

Дек 6, 201954

В этой подборке предлагаем сделать объемную цифру 2. Для того, чтобы сделать эту цифру-оригами потребуется немного времени и внимательности, так как есть

Презентация изготовление объемных цифр оригами. Презентация «Модульное оригами – бумажное волшебство»

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Тюльпан Оригами технология

1.Согните квадратный лист бумаги по диагоналям. 2.Разверните в исходное положение. 3.Согните лист пополам по горизонтали. Разверните. 4.Вогните продольные сгибы внутрь, что бы получился треугольник со складками внутри. Это базовая модель — треугольник.

1.Верхние нижние уголки отогнуть вверх до вершины. 2.Перевернуть модель и проделать лицом вниз то же самое с еще одними нижними уголками. 3.Отогните правый угол, что бы получился ромб со сгибом посередине, переверните модель и повторите.

1.Следите за тем, чтобы кромки и уголки смотрели вверх. 2.Загните правый угол к центру, немного заходя за центр. 3.Загните левый угол внахлест так, чтобы он полностью закрывал правый угол. Переверните фигурку и повторите процедуру. 4.Заправьте один угол в другой. Повторите этот шаг, перевернув фигуру.

Найдите внизу дырочку и надуйте бутон. Аккуратно отогните лепестки.

Складываем стебель с листиком 1.Разверните квадратный лист углом верх. 2.Правый и левые углы загните вперед до середины 3.Теперь получившиеся боковые углы согните до середины по схеме

1.Верхние боковые углы опять сложите до середины. 2.Согните фигуру пополам по горизонтали. 3.Теперь сложите пополам по вертикали. 4.Потяните за внутренний треугольник и слегка вытяните его вправо, закрепите новую линию сгиба.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

http:// ejka.ru/blog/origami/2072.html

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ОРИГАМИ «рыбка»

Не хожу и не летаю, А попробуй догони! Я бываю золотая, Ну-ка в сказку загляни!

ВАМ ПОНАДОБЯТСЯ: Квадратный листок. Идеально подойдет листок из блока бумаги для записей:

Приготовьте листок бумаги. 1. Согните листок пополам по диагонали.

2. Затем разогните. 3. Загните один уголок бумажного квадратика вовнутрь.

4. Снова сложите поделку по первому сгибу. 5. Для удобства дальнейшей работы поверните заготовку, как показано на фото.

6. Верхний угол заготовки загните вниз так, чтобы он оказался на линии основания фигуры. 7. Загните правый (или левый) угол вверх, как показано на фото.

8. Рыбка готова — это ее задняя сторона. Переверните ее на лицевую сторону. 9. И нарисуйте глазки, ротик, жабры, чешую…

Ребята, берегите зрение!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Авторская программа «Волшебный цветок» (интегрированный курс «Оригами» и «Экология») для учащихся начальных классов

Многолетний опыт работы показал, что не всегда дети правильно поступают по отношению к природе, хотя на уроках окружающего мира этому уделяется большое количество времени. При отборе материала для дан…

Творческий проект «Шахматы и оригами»

Данный проект был представлен на Х научно-практической конференции, проходившей в нашем городе в 2010 году, в номинации «Юные исследователи». В архиве презентация и защитное слово. В своей работе учен…

«ВОЛШЕБНЫЙ МИР — ОРИГАМИ»

Составила:

учитель начальных классов

Кречетова Юлия Станиславовна

МБОУ «Школа №38» (филиал)

“ Остановись в изумлении перед красотой,

и в твоем сердце тоже расцветет красота”. Сухомлинский В.А.

Таинственный мир превращенья бумаги. Здесь все чародеи, волшебники, маги. Творят они сказки своими руками, И мир тот чудесный зовут оригами.

Дословный перевод слова ОРИГАМИ —

«складывать бумагу»
. Профессиональных умельцев называют оригамистами
.

Их изделия можно назвать настоящим произведением искусства.

Создание бумажных фигурок напоминает настоящее волшебство — постепенно обыкновенный лист бумаги превращается в красивую фигурку.

Это искусство уже давно перешагнуло границы своей

родины — Японии, получив широкое распространение

во многих странах,

где проводятся различные представительные выставки, организованы

Центры оригами.

Искусство оригами развивает воображение, пространственное мышление, внимание, фантазию, терпение.

Мастера говорят, что если человек однажды приобщился к удивительному миру оригами, он останется его поклонником навсегда.

Оригами — одно из самых доступных искусств,

ведь для того, чтобы сложить фигурку требуется

лишь листок бумаги.

Классическое (простое) оригами

Этот вид оригами является самым простым в исполнении. С него обычно начинается знакомство с техниками складывания фигурок из бумаги, классическое оригами по праву можно считать оригами для начинающих.

Модульное

оригами

Этот вид оригами отличается тем, что поделка

будет выполнена не из одного-двух листов

бумаги, а из отдельных одинаковых треугольных элементов(модулей).

Оказалось, что маленький бумажный треугольничек таит в себе фантастические возможности.

Оригами паттерн

Паттерн – весьма необычная техника складывания фигурок из листа бумаги.

Паттерн является одним из самых сложных видов оригами.

«Что такое оригами?»

«Что такое оригами?» Задала вопрос я маме. И ответила она: «Это — целая страна!» Там чудесно оживают Птицы, звери и цветы. Там таинственно, как в сказке Все сбываются мечты. И тогда решила я: Это чудо — оригами Буду я любить всегда!

Ты в сказочном царстве фигурок бумажных Научишься добрым, уверенным быть, И множество разных подарков приятных
Ты сможешь родным и друзьям подарить.

Дорогие, ребята!

Удивляйте своих друзей и близких простыми и сложными красивыми сувенирами-поделками в технике оригами.

Это радость творчества, которая возвышает душу человека.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ВОЛШЕБНОЕ ИСКУССТВО — ОРИГАМИ Воспитатель ГБДОУ д /с №52 Лобачева Ю.И.

Орига́ми- древнее искусство складывания фигурок из бумаги. «Ори» в переводе с японского — «складывать», « Ками » – бумага. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была изобретена бумага. Первоначально оригами использовалось в религиозных обрядах. Долгое время этот вид искусства был доступен только представителям высших сословий, где признаком хорошего тона было владение техникой складывания из бумаги. ОРИГАМИ

Немного истории Две тысячи лет назад китайцы изобрели бумагу. Примерно тогда же и появилось искусство оригами. Но считается, что искусство оригами зародилось в Японии и оно даже старше, чем бумага. Первые фигурки оригами возникли из искусства драпировки ткани при изготовлении традиционной японской одежды.

Знаменитый японский мастер оригами Акира Йошизава придумал «азбуку оригами». Это условные знаки и базовые формы

Базовые формы

Условные знаки

Виды оригами

Простое оригами

Модульное оригами

Мокрое складывание

Кусудама

Оригами из денег

Железные модели оригами

Интересные факты Самый маленький японский журавлик был сложен из квадрата всего 1 мм. Гигантский журавлик изготовлен из квадрата со сторонами в 33 метра!

Значение оригами — Оригами развивает мелкую моторику рук. — Укрепляет внимание и усидчивость. — Занятия оригами безопасны, ведь для работы не требуется ничего кроме бумаги. — Развивает творчество (можно показать целый театр с помощью поделок оригами) — Развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность — Оригами, гармонично развивает оба полушария головного мозга, движения пальцев становятся более точными. Ведь чтобы получилась красивая фигурка, нужны аккуратность, внимание, сосредоточенность.(это очень важно для тех, кто учится писать)

Что дают ребенку занятия оригами совершенствование координации тонких движений пальцев; терпение и внимательность; развитие способности четко формулировать мысль; обучение элементам логического и абстрактного мышления; развитие усидчивости, наблюдательности, памяти и пространственного конструирования

Изготовление поделок из бумаги: увлекает дошкольников; будит детское воображение; приносит радость детям, так как в руках ребенка бумага оживает и за считанные минуты превращается в цветы, животных, птиц, поражающих правдоподобием своих форм и замысловатостью силуэтов; развивает креативность.

Использование оригами в современном мире В архитектуре. В хореографии. В арттерапии. В оформлении интерьера. В театрализованной деятельности. В различных играх. В развитии ребёнка.

Художественно – эстетическое развитие ребёнка Модели выполненные из цветной бумаги доставляют удовольствие своим видом, радуют глаз создателя и зрителя.

Приобщение ребёнка к общечеловеческим ценностям Оригами дает возможность выразить свои чувства близким в виде подарка, сделанного своими руками

Развитие речи дошкольников Оригами способствует развитию речи ребенка. Выполнив поделку ему необходимо о ней рассказать маме, бабушке, папе, другу и т.д. Ребенок неоднократно рассказывает как он делал, использует знакомые термины. Дети очень любят играть с поделками, обыгрывая знакомые произведения. Игрушки – оригами провоцируют детей на ведение диалога, что служит стимулирующим фактором для развития диалогической речи.

Развитие пространственного воображения, глазомера, внимания, памяти На занятиях оригами это происходит автоматически. Каждое действие требует участие глаз, требует участие памяти (помнишь, как мы делали…?), внимания (пропустив операцию, не знаешь, что делать дальше) И так на каждом занятии. Но важно, что все это скрыто от ребенка, он просто делает поделку.

Знакомство с основными геометрическими понятиями. Оригами знакомит детей на практике с основными геометрическими понятиями (угол, сторона, квадрат, треугольник и т.д.), одновременно происходит обогащение словаря специальными терминами. Дети учатся читать чертежи, запоминают условные обозначения.

Стимулирование самообразования Увлечение оригами стимулирует детей к самостоятельным занятиям, поискам совместно с родителями книг по оригами, выполнение незнакомых моделей или повторение дома интересных поделок. Часто дети, увлекшись оригами, начинают заниматься и другими видами творчества.

Спасибо за внимание!

Давно смотрю влюбленными глазами.

На древнее искусство — Оригами. Здесь не нужны волшебники и маги,

Здесь нечего особенно мудрить,

А нужно просто взять листок бумаги

И постараться что-нибудь сложить. Долидудо Т.А.

Актуальность

Актуальность
использования оригами в образовательном процессе в первую очередь конечно-же связана с возможностью использования его как средства развития мелкой моторики рук. Использование оригами обеспечивает хорошую тренировку пальцев, способствует выработке движений кисти, развивает точность, скоординированность мелких движений пальцев. Как известно, всё это стимулирует развитие речи у детей.
Многое должен знать и уметь ребенок вступая в школьную жизнь. Подготовить ребёнка к этому важному моменту в жизни поможет оригами. Оно является не только увлекательным способом проведения досуга, но и средством решения многих педагогических задач.

Как воспитатель я вижу актуальность данной темы на современном этапе при подготовке школьника к письму. В школе на первом этапе обучения дети часто испытывают затруднения с письмом: быстро устает рука теряется рабочая строчка, не получается правильное написание букв. Эти затруднения обуславливаются неразвитостью мелкой моторики пальцев руки и недостаточной сформированностью зрительно- двигательной координации. Все это может привести к возникновению негативного отношения к учебе, тревожного состояния ребенка в школе. Поэтому в дошкольном возрасте важно развивать механизмы, необходимые для овладения письмом, создать условия для накопления ребенком двигательного и практического опыта, развития навыков ручной умелости.
Я считаю, что большие возможности для развития творческих способностей детей таит в себе искусство оригами.

1.Развитие у детей мелкой моторики пальцев рук, что оказывает положительное влияние на речевые зоны коры головного мозга, сенсорное восприятие, глазомера, логического мышления, воображения.
2.Познакомить детей с базовыми формами оригами.
3.Обучать техническим приёмам и способам создания различных поделок.
4.Формировать умение следовать устным инструкциям, работе по схеме.
5. Воспитание волевых качеств: усидчивости, терпения, старательность, умения доводить работу до конца.
6. Воспитывать интерес к конструированию из бумаги.

Организация работы кружка

Проводиться 1 раз в неделю
Продолжительность: 25-30 мин
Количество детей: 12
Форма организации деятельности детей на занятии кружка: фронтальный –одновременно со всеми детьми.

Необходимые условия кружковой работы это:

а) создание пооперационных карт-схем;
б) возможность демонстрации детских работ;
в) материал для работы: цветная бумага, ножницы, клей;
д) литература, иллюстрации.

Методы и приемы:

В процессе занятий используются различные методы и приемы: словесный (беседа, рассказ), показ с объяснением образца выполнения последовательности работы, рассматривание иллюстраций, практический (выполнение работ по инструкционным картам, схемам), оказание индивидуальной помощи.

История оригами

Оригами – это японское искусство создания моделей различных предметов, животных, птиц, цветов путем сгибания листа бумаги. Единственный рабочий материал — это бумага. Единственный инструмент – руки. Это уникальное занятие складывать своими руками красивые игрушки и геометрические фигуры.
Оригами родилось в Японии много веков назад. Слово «оригами» в переводе с японского языка означает «сложенная бумага» Во второй половине 19 века оригами перешло границы Японии. В настоящее время оригами распространено во многих странах мира.
«азбука оригами» понятна любому человеку. Азбука оригами представляет собой последовательность картинок с этапами складывания фигурки.

Предполагаемый результат:

Для того чтобы приступить к первому занятию, не требуется почти ничего – листы бумаги. Именно доступность бумаги как материала и простота ее обработки привлекают детей, ведь если фигурка не получится с первого раза, ничего не стоит взять еще один лист и попробовать снова.
С самого начала я знакомила детей с понятием «базовая форма».
Изготовление любой фигурки оригами начинается с определенной заготовки – базовой формы. На основе знаний базовых форм оригами строиться вся последовательная работа. Каждая форма имеет своё название -воздушный змей, дверь, книжка, конверт, косынка, Конфетка и др. Складыванию каждой фигурки посвящено отдельное занятие, которое начинается с определения мотива и цели занятия в форме загадки, стихотворения, вопроса, беседы. Вторая часть занятия представляет собой складывание фигурки, а третья заключается в обыгрывании, оценке результата.

Базовая форма воздушный змей

Базовая форма треугольник

Всё–таки оригами прежде всего – искусство, призванное дарить людям радость. Складывание фигурок из бумаги оказалось делом невероятно увлекательным. Отличное занятие для всех. Перечислять плюсы такого увлечения можно долго. Это и развитие моторики, абстрактного мышления, усидчивости, внимания, концентрации и координации. И просто это интересно! Попробуйте – не пожалеете!

Мастер-класс в технике оригами «Звездные буквы и цифры» — Вектор-успеха.рф

Мастер –класс в технике оригами расширяет коммуникативные способности детей. Совершенствует трудовые навыки, формирует культуру труда. Учит аккуратности, умению бережно и экономно использовать материал, содержать в порядке рабочее место. Большое внимание при обучении оригами уделяется созданию сюжетно-тематических композиций, в которых используются изделия, выполненные в технике оригами.

Материалы и инструменты

Цветная бумага
Клей ПВА
Клеевой пистолет
Ножницы
Карандаш
Пенопласт или твердый картон

Делаем заготовки трафареты и шаблоны. Для пятиконечной звезды вырезаем квадраты, 10х10,8х8,5х5, количество квадратов может быть любое, чем больше звезд, тем объемнее смотрится цифра ил и буква.

Для нашей цифры и буквы делает трафарет на листе бумаги.

Из картона или пенопласта вырезаем по трафарету наши цифры и буквы.

Пятиконечная звезда.

Возьмем квадратный лист бумаги нужного вам размера.Сложим его пополам. Необходимо следить, чтобы получившаяся линия сгиба всегда располагалась сверху.Еще раз сложим пополамУ нас получилось два квадратика. Возьмем верхний угол левого квадрата и сложим по диагоналям. Расправляем, затем берем нижний угол левого квадрата и сложим еще раз по диагонали. Расправляем. Верхний правый угол листа соединяем с центром пересечения диагоналей левого квадрата.

Уголок отгибаем назад. Верхнюю левую сторону листа соединяем с получившимся изгибом. Получившуюся заготовку складываем пополам. С одной стороны заготовки у нас образовался маленький уголок. Отгибаем маленький уголок к крайней стороне.По намеченной линии отрезаем ножницами.Расправляем. Длинные углы должны смотреть вверх, короткие — вниз.

Получаем вот такие объемные звезды. Далее при помощи клеевого пистолета или клея ПВА приклеиваем наши звезды к заготовкам.

Вот что у нас получилось!

Калантарова Светлана Айгуновна (a21vu_9916)

03.10.2020 г.

Цифра из гофрированной бумаги — советы по выбору материалов и идей для оформления цифр

Цифра, выполненная из гофрированной бумаги, безусловно, станет интересным украшением любого торжественного вечера. Благодаря объемным цифрам можно украсить комнату не только на день рождения ребёнка, но также на годовщину свадьбы или новый год.

Самостоятельно сделать запоминающееся оформление достаточно легко. Понадобится гофробумага разного цвета, продающаяся сегодня почти в любом магазине.

Содержимое обзора:

Красивые цифры — залог интересного оформления

Плоская цифра 1 из гофрированной бумаги, которую часто делают на годовасие — праздник для малыша в честь его первого дня рождения, используя популярную технику торцевания, может получиться достаточно пушистой.

При этом есть различные способы её украшения. В любом случае для начала необходимо будет вырезать шаблон из картона.

Можно сразу использовать несколько слоёв картона. Это позволит сделать шаблон плотным, и он не будет сгибаться.

Например, в некоторых странах почти на любом празднике у ребенка есть пиньята — своеобразная игрушка, которая выполнена из основного материала, вроде картона и дополнительно украшенная различными полосками из бумаги яркого цвета.

В аналогичной технике очень часто сегодня украшается объемная цифра из гофрированной бумаги для детей.

Если сравнивать с техникой торцевания, то украшения полосками из простой бумаги можно сделать гораздо легче. После того как будет готов шаблон, он обклеивается полосками гофры. Лучше если будет использоваться бумага самых ярких цветов. Это позволит сделать поделку, привлекающую внимание.

Листы бумаги нарезаются на несколько полос. Ширина каждой из них примерно 5 см. После этого, каждая из полосок дополнительно нарезается ещё перпендикулярно, таким образом, чтобы получилось нечто похожее на «травку».

Во время декорирования шаблона лучше всего начинать с той его части, что находится ниже. Клеем смазывается только та часть полоски из бумаги, которая не была надрезана так называемой «травкой».

Каждая из следующих полос приклеивается таким образом, чтобы бахрома обязательно скрывала большую часть предыдущей полоски, которая была до этого
приклеена.

Именно таким способом необходимо обклеить полностью весь шаблон. После того, как высохнет клей можно переходить к дальнейшему оформлению помещения для праздника. Преимущество такой поделки заключается в том, что ее можно без проблем использовать многократно.

Если вам необходимо сделать обычную цифру из гофрированной бумаги в форме единички на день рождения девочке, то отличным декором выступит ткань, в которой будет цифра одинакового цвета с её платьем или любым нарядом.

Для этого необходимо приготовить заранее лишь толстый картон, ткань заранее выбранного цвета, клей, любые ножницы, и линейку с карандашом.

Пошаговая инструкция создания декора своими руками

Во-первых, из приготовленного картона выполните шаблон для будущей цифры. Для того, чтобы ткань аккуратно легла на картон, проследите за тем чтобы ширина цифры была меньше в три раза, чем ширина отреза.

Во-вторых, основу фигуры необходимо смазать тщательно клеем и сформировать произвольные складки прямо на ткани, после чего приклеить их к цифре.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Таким образом, необходимо осуществить декор всей передней части цифры из гофрированной бумаги своими руками, которую вы решили сделать.

В-третьих, переднюю часть ткани, после того, как она будет готова, необходимо аккуратно завернуть и приклеить ее по краям на задней части фигуры, чтобы украсить цифру гофрированной бумагой и тканью тоже.

Создание бахромы для декора

Еще одним оригинальным украшением любой цифры станет использование бахромы. По сути бахрома, выполненная из гофрированной бумаги — это самый лёгкий и при этом быстрый способ для декорации любого элемента декора для рождества или любого другого праздника.

Необходимо лишь нарезать бумагу на широкие и достаточно длинные полосы. После этого каждая полоска складывается в форме прямоугольника и нарезается бахромой.

Остается лишь расправить и приклеить такой элемент декора к фигуре, как на фото цифры из гофрированной бумаги любого цвета. Для этого можно использовать клей или двусторонний скотч.

Фото цифр из гофрированной бумаги

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Также рекомендуем просмотреть:

Буквы и цифры оригами — Выражения оригами

«Больше, чем поцелуи, буквы объединяют души»
Джон Донн

Сегодняшний пост в блоге посвящен буквам и цифрам оригами. Я был вдохновлен написать об этом после того, как моя страница в Instagram набрала 500 подписчиков, и я подумал, что должен сказать «спасибо» всем людям, которые следят за мной. Если вы хотите взглянуть на мою страницу в Instagram (и, возможно, подписаться?), Нажмите здесь.

Модель

Существует несколько разных дизайнов букв и цифр оригами — у Сары Адамс есть хороший набор видеоуроков для одного набора, разработанный Андреем Лукьяновым на ее сайте happyfolding.com. Эти созданы Джо Накашима. Я предпочитаю этот набор, так как они трехмерные и отдельно стоящие. Вся бумага идет на создание фактической формы — в отличие от некоторых других дизайнов, где буква / цифра сформированы рельефно, окруженными фоном.

Складывание букв и цифр Накасимы

Все буквы и цифры оригами Дзо Накасимы состоят из прямоугольника 2: 1 или половины квадрата. Я рекомендую использовать обычную ками (бумагу для оригами) размером 15 x 15 см, желательно бумагу одинакового цвета с обеих сторон, иначе широкая сторона бумаги будет видна в окончательной модели, как показано на рисунке выше. .

Буквы и цифры Накашимы имеют низкий средний уровень сложности. В этих моделях нет действительно сложных складок, и я рекомендую попробовать всем, кто способен. Первые два шага для каждой буквы или цифры точно такие же — разделите бумагу на восьмые по длине и сложите. После этого почти каждый шаг — это либо внутренняя, либо внешняя обратная складка.

Единственная причина, по которой я оценил их как «низко-промежуточные», заключается в том, что из-за того, что бумага гофрирована, все эти обратные сгибы должны выполняться одновременно.Это не так сложно, как кажется, но для того, чтобы результат выглядел хорошо, требуется достаточно точная фальцовка.

Оригами буквы и цифры. Инструкции

У Джо Накашима есть отличная серия видеороликов о его буквах и цифрах, показывающих, как складывать все буквы и цифры в верхнем и нижнем регистре английского алфавита на его канале YouTube. Видео Накашимы очень хорошего качества, с субтитрами на английском языке и диаграммой каждого шага, показанной в правом верхнем углу видео по мере его выполнения.

Плейлист с обучающими программами по складыванию всех букв алфавита доступен по этой ссылке, а плейлист для чисел от 0 до 9 находится здесь.

Удачи в складывании оригами букв и цифр Джо Накашимы.

Примите участие

Я хотел бы услышать ваше мнение об этой модели алфавита оригами. Не стесняйтесь, дайте мне знать, что вы думаете, в комментариях ниже, или вы можете найти меня в Instagram или Twitter. Посмотрите и мои доски в Pinterest!

Вы также можете подписаться на список рассылки, указав свой адрес электронной почты в поле ниже:

Учебное пособие по трехмерным числам оригами — цифровой от 0 до 9

Сделайте несколько модульных трехмерных цифр оригами в цифровом формате.Скачайте и распечатайте бесплатные шаблоны этих цифр оригами.

Каждый номер состоит из 7 модулей. У меня есть набор для печати для каждого модуля. Всего 3 разных вида.

Для выпуска номеров на 2019 год:

Загрузите бесплатные шаблоны здесь.
Распечатайте PDF-файл, заканчивающийся на «02 -положительно», на бумаге, на которой должны быть числа.
Распечатайте PDF-файл, заканчивающийся на ’03 -negative ’, на бумаге, на которой должно быть негативное пространство.
Посмотрите видео, чтобы узнать, как набрать очки и сложить все три модуля.

В папку загрузки включены шаблоны для маленьких номеров, а также полные шаблоны страниц, если вы хотите сделать большую версию.

Пока у меня есть только числа 2019, доступные в виде небольших шаблонов, я создаю шаблоны для всех остальных чисел и букв. Вы также можете решить это самостоятельно, если хотите ..

Чтобы сделать другие номера:

щелкните изображение, чтобы увеличить

Загрузите бесплатные шаблоны здесь. Вам понадобятся только документы, оканчивающиеся на модули a, b и c.
Посмотрите на изображение слева, чтобы определить, сколько модулей каждого модуля вам нужно для чисел, которые вы хотите сделать.
Распечатайте необходимые шаблоны модулей.
Посмотрите видео, чтобы узнать, как набрать очки и сложить все три модуля.

Для своего я использовал стандартную бумагу для принтера. Для больших, я думаю, лучше всего подойдет толстая бумага.

Рекомендуется использовать два контрастных цвета бумаги. Имейте в виду, перед какими числами будут отображаться числа.Например, если вы планируете разместить их на черной полке, темный цвет подойдет для «отрицательного пространства», а яркий светлый цвет для чисел.

Для цифр оригами клей не требуется.

Дизайн: © Paper Kawaii Информация об авторских правах
Уровень: ★★★ ☆☆

Вам понадобится:

Распечатайте шаблоны
Подрезной инструмент и линейка (или сложите вручную)
Режущий инструмент (ножницы или лезвие)

Квадраты бумаги 8 x 8 см
Размер индивидуального номера: 5 x 8.5 х 1,5

Большой квадрат: 18 x 18 см
Размер номера: 11,3 x 19 x 3,4 см

Больше Модульное и единичное оригами

Как сложить деньги оригами, или оригами долларовая купюра

Почему деньги оригами? Иногда деньги — самый практичный подарок, который вы можете подарить.

Особенно когда вы знаете, что получатель копит на что-то важное для него. Однако в подарке наличными может быть что-то безличное.

Решение: оригами из долларовых купюр! Или оригами на 10 долларов, или на 100 долларов …

Сложив деньги, вы можете превратить несколько купюр в творческий и запоминающийся подарок, например

сердце

или

Роза

Кстати, если вы думаете подарить подарочную карту вместо наличных, вот что нужно учесть: в 2006 году Best Buy, магазин бытовой электроники, получил выручку в размере 43 миллионов долларов от неиспользованных подарочных карт.Действительно безопаснее просто отдавать наличные — у них нет срока годности, и их можно использовать где угодно.

Сделав подарок оригами, вы продолжите давнюю традицию. В древней Японии синтоистские аристократы упаковывали свадебные подарки из рисового вина в оригами бабочек мужского и женского пола, изображающих жениха и невесту.

Воины-самураи

также обменивались жетонами удачи под названием «носи», сделанными из свернутой бумаги и полосок сушеного мяса.

Есть буквально десятки способов сложить деньги, поэтому вы можете адаптировать дизайн к случаю. Здесь мы просто сосредоточимся на нескольких дизайнах, которые заслуженно популярны, потому что они

отлично выглядят и легко складываются

. Готовый? Давайте займемся складыванием денег оригами:

Одежда и аксессуары Складные деньги

Кольцо с долларовой купюрой

: Немного шика для пальца!

Рубашка Оригами

: Сложите рубашку оригами из денег с помощью моих простых пошаговых инструкций.

Рубашка оригами и галстук

: Сложите рубашку

с галстуком

, все из одного счета!

Оригами Брюки

: Сложите брюки идеального размера, чтобы они подходили к рубашке. Я покажу вам два простых варианта.

Оригами Платье

: Сложите это стильное платье из цельной купюры.Прекрасно смотрится рядом с рубашкой и галстуком — идеально подходит для денежного свадебного подарка.

Рождественские деньги складывающиеся

Звезда

: Шестиконечная звезда Давида, сделанная из цельного клюва, с надписью «Бог, которому мы доверяем» прямо посередине!

Модульная звезда

: Пятиконечная звезда из 5 купюр, соединенных вместе (без клея).

Рождественская елка

: Вставьте это в рождественскую открытку.

Милые и романтичные оригами из денег

Декоративное сердце

: Сложнее сложить, чем простое сердечко, но выглядит действительно потрясающе.

Оригами Сердце Простые Деньги

: Отлично подходит для установки открытки ко Дню святого Валентина.

Доллар Оригами Бабочка

: Эту бабочку легко сделать, и она мило выглядит! Сложенный из двух записок.

Оригами Деньги Цветы

: Сделайте денежный букет, чтобы сказать «Поздравляю!».Идеально подходит для свадеб и выпускных. Я не уверен, что это за цветы, но они точно красивые. В качестве дополнительного бонуса их тоже очень легко сделать.

Доллар Билл Роуз

: Лучший дизайн с денежной розой, с которым мне приходилось сталкиваться, и я пробовал несколько. Сделайте один, и вы будете поражены тем, насколько он великолепен и реалистичен.

Вот и все учебные пособия на моем веб-сайте, но если вы хотите узнать больше, то почему бы не проверить одну из множества книг по оригами на деньги на Amazon.

Другим людям тоже нравится …

Ищете более уникальные идеи для подарков в домашних условиях? Ознакомьтесь с нашими быстрыми и удобными подарками для печати. Настолько легко персонализировать и распечатать дома!

Купоны для печати, плакаты «Нравится», плакаты ко дню рождения «Год вашего рождения», пенсионные плакаты, персонализированные газеты … у нас есть так много замечательных идей, которые помогут вам отпраздновать большинство случаев.

Чисел оригами — 3 кварка ежедневно

Джонатан Куджава

Invicta Роберт Ланг

В прошлый раз на 3QD мы говорили о конструктивных числах.Мы пошли по стопам древних греков и спросили, какие числа мы можем получить как длину отрезков, сделанных с помощью только циркуля и линейки. В конце концов мы обнаружили, что, начав с отрезка длиной один, циркуля и линейки, и достаточно терпения, мы можем получить любое рациональное число, квадратный корень из любого рационального числа и, действительно, любое число, которое может быть получено с помощью конечные последовательности сложений, вычитаний, умножений, делений и квадратных корней. Даже сумасшедшие числа вроде √ (13/2 +14.3 (√7)) конструктивны. Короче говоря, конструкции компаса и линейки эквивалентны возможности решать произвольные квадратные уравнения.

С другой стороны, это все. Логарифмы, экспоненты, π и даже корни высших степеней — все это невозможно. Как бы мы ни старались, кубический корень из 2 невозможно построить. Задача удвоения куба, поставленная 2000 лет назад, навсегда недостижима.

Эллипс (из Википедии).

Но, конечно, все зависит от нашего первоначального решения разрешить только компас и линейку.Если бы вы также дали мне две булавки и веревку, я мог бы использовать их, чтобы сделать эллипс. «Так что вы говорите. В конце концов, что дает вам возможность рисовать эллипс? Что ж, на протяжении веков было известно, что вы можете удвоить куб и разрезать угол пополам, если вам разрешено использовать параболы и гиперболы. В 1997 году Карлос Видела точно определил, какие числа можно построить, используя линейку и коники (круги, эллипсы, гиперболы и параболы). Короче говоря, добавление коников позволяет получить кубические корни.Не больше, не меньше. Примечательно, что в 2003 году Патрик Хаммел доказал, что гиперболы и параболы избыточны. Каждое число вы можете построить с помощью линейки, а коники можно построить только с помощью циркуля, линейки и эллипсов. Дайте мне эллипс, и я решу ваше кубическое уравнение!

Конечно, это все очень евроцентрично. Мы используем циркуль, линейку и конусы, потому что придерживаемся западных традиций, и это то, что использовали греки.

А как насчет тех из нас, кто вырос в Японии? Здесь древней геометрической традицией является оригами.С таким же успехом мы могли бы спросить, какие числа можно построить с помощью складывания бумаги. Мы можем сделать прямую линию в виде складки, образовавшейся при складывании бумаги. Если две складки пересекаются, это имеет значение. Если мы обозначили две точки, мы можем построить прямую линию, соединяющую их, складывая складки через точки. Поскольку мы можем строить линии и точки, мы можем сказать, что число можно построить в оригами, если мы можем начать с одного листа бумаги за другим и использовать складывание бумаги, чтобы сделать отрезок такой длины; так же, как мы сделали с компасом и линейкой.

Какие числа можно создать в оригами?

Удивительно, но, несмотря на столетия усилий по пониманию математики греческой геометрии, математика оригами по-настоящему взлетела только в последние несколько десятилетий. Тем не менее, был достигнут большой прогресс!

Кажется довольно очевидным, что складывание бумаги более ограничивает, чем циркуль и линейка. В конце концов, со складыванием бумаги все, что вы можете сделать, — это прямая линия. Круга не видно. Действительно, в середине 1990-х Дэйв Окли и Джон Кливленд написали статью, в которой они определили четыре геометрических операции , которые можно выполнить с помощью складывания бумаги (складывание складки для соединения двух точек, складывание бумаги так, чтобы одна складка лежала точно сверху. другой складки и т. д.), и они точно описали, какие числа вы можете получить, используя их операции. В частности, хотя вы можете получить квадратные корни в форме √ (1 + a ²), вы не можете получить произвольные квадратные корни, как с циркулем и линейкой. То есть, безусловно, есть числа, которые можно построить с помощью циркуля / линейки, но нельзя построить с помощью оригами.

Или так казалось! Окли и Кливленд упустили из виду некоторые возможные операции сгиба бумаги [1]. Они не знали, что в 1989 году в протоколах Первого международного совещания по науке и технике оригами Хузита и Джастин отдельно представили расширенный список операций сгибания бумаги.Самое главное, Окли и Кливленд пропустили теперь знаменитую шестую операцию :

Волшебный шестой ход!

Если у вас уже есть две линии и две точки, в оригами вы можете сложить бумагу так, чтобы две точки располагались поверх двух линий. Вроде нет ничего страшного, но мы увидим, что в этом движении есть волшебство!

Хорошая новость заключается в том, что около десяти лет назад Роберт Лэнг, Альперин и Лэнг доказали, что список из семи операций складывания бумаги, составленный Джастином, действительно исчерпывает все возможные движения, которые вы можете сделать с оригами [2].Не беспокойтесь о другой оплошности.

Еще лучшая новость заключается в том, что волшебная шестая операция — это все, что вам нужно! С помощью одной только магической шестой операции вы можете построить любое число с помощью полного набора из семи операций [3]. Меня удивляет, что вам нужна всего одна операция.

Но как насчет вопроса о том, какие числа можно построить в оригами? Окли-Кливленд показал, что их четыре операции определенно меньше, чем циркуль и линейка, но что произойдет, когда мы добавим оставшиеся операции складывания бумаги? Оказывается, включение волшебного шестого хода равносильно решению произвольных кубических уравнений! С помощью оригами мы можем удвоить куб, разрезать пополам любой угол и решить любое кубическое уравнение! Несмотря на то, что оригами кажется более ограниченным, чем циркуль и линейка, на самом деле оно намного мощнее! Например, составить кубический корень из 2 невозможно с помощью циркуля и линейки, но требуется всего несколько складок, а с оригами это совершенно тривиально.

История шестой операции имеет неожиданный поворот. В 1936 году итальянский математик Маргарита Белох показала, как использовать магический шестой ход (обычно называемый в ее честь складкой Белоха) для решения произвольного кубического уравнения. За прошедшие десятилетия ее работы были почти забыты. На протяжении десятилетий никто не уделял особого внимания математике складывания бумаги. Лишь недавно она и ее работа были оценены по достоинству. Она опередила свое время на полвека! Я рекомендую обзорную статью Томаса Халла, если вы хотите узнать о методе Белоха.

Недавнее развитие математики оригами произвело революцию в складывании бумаги. Роберт Лэнг, Мегуро Тосиюки и другие используют математику и компьютеры для создания конструкций, о которых раньше мастера оригами даже не мечтали. Вот единственный лист бумаги, правильно сложенный:

Chrysina Beetle, Роберт Ланг

Недавняя работа Эрика Демейна и Томохиро Тачи показывает, что любую трехмерную форму, созданную из многоугольников, можно сложить из достаточно большого листа бумаги. Они даже дали алгоритм и программное обеспечение для этого.

Почему весь интерес к математике оригами? Ну, конечно, стоит учиться просто для удовольствия. Но в последние годы оригами стало очень полезным. Возможность предсказуемо и эффективно складывать и раскладывать — ценный навык в современном мире. Он используется во всем, от создания подушек безопасности и солнечных панелей на спутниках до достижений медицины. Знание того, что вы можете и чего нельзя делать, фолдив, — это первый ключевой шаг. Этой весной Нова показала документальный фильм о математике оригами и обо всех крутых вещах, которые мы теперь умеем делать со складыванием.Я очень рекомендую это. Вы можете посмотреть серию «Нова» здесь.

[1] Полный список операций можно найти здесь.

[2] В списке Хузиты было всего шесть операций. Но поскольку оба списка дают вам одну и ту же коллекцию чисел, которые можно построить оригами, люди обычно не делают особой разницы между ними. Кроме того, Хатори независимо обнаружил тот же список из семи операций.

[3] Это обсуждается здесь Хатори.

Сложите долларовые банкноты в числа «Wonder How To

Как к

Сложите фейерверк оригами из долларовых купюр

Для всех ваших энтузиастов оригами поднимите свое искусство оригами на новый уровень, используя долларовую купюру для создания невозможного — фейерверка! В этом видеоуроке, состоящем из двух частей, вы узнаете, как сложить фейерверк оригами из однодолларовой купюры.Отличный проект оригами для 4-го числа … подробнее

Как к

Сложите головы оригами долларовыми купюрами

В этом видео рассказывается о некоторых головах оригами из долларовых купюр, из которых можно сделать собаку, змею, мышь, лису, гекко, крокодила, ящерицу, кошку и многое другое.Изучите искусство оригами из денег и мгновенно начните складывать долларовые купюры. Деньги Оригами — легкое хобби для освоения и, безусловно, … еще

Как к

Сложите звезды оригами с открытым центром из долларовых купюр

Если вы уже освоили журавль и основную счастливую звезду оригами, то эта пятиконечная звезда — следующий логичный шаг, который нужно сделать.Этот проект оригами, сделанный из долларовой банкноты, даже не требует специальных материалов для сборки. Посмотрите видео, чтобы узнать, как построить … больше

Как к

Сложите оригами Статуя Свободы из долларовых купюр

Самым большим препятствием для оригами, помимо времени и сложностей, когда вы переходите к более сложным деталям, является просто бумага для оригами.Это не дорого стоит, но, как и любой другой вид ремесла, требует определенных денежных затрат. Избавьтесь от бумажного вопроса оригами b … больше

Как к

Сложите восьмиугольную фрисби-оригами из долларовых купюр

У вас валяется пара долларовых купюр? Тогда ты сможешь сделать себе фрисби! Однако обратите внимание, что, хотя эта бумажная фрисба действительно летает, мы не рекомендуем вам использовать ее, чтобы играть с Фидо в ближайшее время.Ознакомьтесь с этим руководством по оригами, чтобы узнать, как это сделать.

Как к

Сделайте кольцо оригами из однодолларовой купюры

Moneygami — это именно то, что вы думаете — гибрид денег и оригами.Вместо того, чтобы складывать оригами из обычной папиросной бумаги для оригами, вы можете создать себе что-то по-настоящему особенное, используя деньги. Этот конкретный туториал по манеггами объясняет, как складывать рин … подробнее

Как к

Сложите истребитель Origami F-18 из долларовой купюры

Оригами — это искусство, но оригами с использованием долларовых купюр? Это выводит этот вид искусства на совершенно новый уровень! В этом видеоуроке, состоящем из трех частей, вы узнаете, как сложить истребитель F-18 Hornet из долларовой банкноты в стиле оригами.Чтобы загрузить диаграмму в формате PDF для этого проекта, щелкните ее … подробнее

Как к

Сделайте бумажник оригами из долларовой купюры

Нужен новый кошелек? Почему бы не сделать одну из долларовых купюр? В этом видео профессиональная папка для бумаги и соучредитель Origamido Studio Майкл Лафосс показывает здесь и сейчас WBUR, как складывать в стиле оригами «X-кошелек» из долларовых купюр.

Как к

Оригами из денег, чтобы заработать гавайские деньги лей

В этом видеоуроке по оригами показано, как сложить долларовые купюры и прикрепить их к ожерелью с леями, чтобы получить гавайские денежные леи.Смотрите, следите за происходящим и никогда больше не дарите дешевый и скучный подарок. Видео: . Для получения обновленных инструкций по этим гавайским денежным леям ознакомьтесь с макияжемN … больше

Как к

Сделайте кошелек из настоящих американских денег

Сходите в магазин US Money Factory, чтобы получить листовые деньги http: // www.moneyfactory.gov/ Это демонстрация быстрого складывания. Он показывает, как именно сложить купюры, чтобы получился простой бумажник с листами долларовых купюр. Это обеспечит отличную маскировку за ваши деньги и … подробнее

Как к

Сложите 5 долларов, чтобы увидеть башни-близнецы

Произведите впечатление на своих друзей этим трюком с баром.Узнайте, как сделать изящный волшебный трюк, складывая банкноту в 5 и 20 долларов. Этот трюк станет хитом на вашем следующем собрании. Следуйте инструкциям и выучите пошаговые инструкции, как сложить пяти- или двадцатидолларовую купюру, чтобы увидеть ее …

Как к

Сложите бабочку оригами долларовой купюрой

Это видео показывает зрителю, как сложить бабочку оригами из долларовой купюры.Женщина на видео демонстрирует пошаговую технику создания бабочки с долларовой купюрой. В целом есть семь необходимых шагов, чтобы взять обычную долларовую купюру и сложить ее … подробнее

Как к

Сложите очень простой кубик оригами из долларовой купюры

Хотите отточить свои навыки складывания оригами, но не хотите тратить деньги на покупку (иногда дорогой) бумаги для оригами? Тогда не беспокойтесь; просто посмотрите это простое руководство по оригами, чтобы узнать, как сложить простой куб, используя однодолларовую купюру (что, мы надеемся, у вас есть…более

Как к

Сложите галстук-бабочку оригами долларовой купюрой

Собираетесь на вечеринку с черным галстуком, и у вас нет галстука-бабочки? Что ж, это видео вам ни в малейшей степени не поможет — но пока вы пытаетесь понять, что делать, вы можете нервно сложить оригами-бабочку из долларовой банкноты… Не знаю как? Посмотрите это видео от Fold Something.

Как к

Сложите очень легкое кольцо для долларовой банкноты

Если вы сидите в классе и задаетесь вопросом, почему минутная стрелка часов застряла и не может перейти на 14:00, чтобы вы могли убраться к черту из школы, быстро скоротайте время, сложив это забавное кольцо с долларовой банкнотой в стиле оригами.Легко и круто, это отличный способ отточить свое начало … подробнее

Как к

Сложите симпатичную рубашку с долларовыми купюрами и галстук в стиле оригами

Мы знаем, что День отца, кажется, уже далеко, но весна быстро приближается (мы видим, что снег уже тает на улице), и случай наступит раньше, чем вы думаете! Приготовьтесь ко Дню отца, сложив эту простую рубашку в стиле оригами с галстуком.Он сделан из … еще

Как к

Сложите кольцо из долларовой банкноты оригами

Мы знаем, что это кольцо из долларовой банкноты в стиле оригами делали бесчисленное количество раз, но это всегда крутой трюк, который можно сделать, чтобы скоротать время или произвести впечатление на девушку, в которую вы влюблены, каким-то «шиком».»Это классическое кольцо для долларовой банкноты. Вы, конечно же, можете использовать обычную бумагу, чтобы сделать … еще

Как к

Сложите бумажное сердце из долларовой купюры оригами

Узнаем простой и увлекательный способ сделать сердце оригами из долларовой купюры.Никаких расходных материалов не требуется. Только долларовая купюра и две умелые руки. Сначала загните нижнюю часть купюры. Затем сложите пополам. Сложите обе стороны в треугольники, доводя их до середины. Переверни. Фол … больше

Как к

Сделайте рубашку оригами из сложенной долларовой купюры

Когда новая рубашка стоит доллар? Когда сделаешь сам.Из этого руководства вы узнаете, как сделать рубашку из сложенной долларовой банкноты, используя оригами, традиционное японское народное искусство складывания бумаги. Для получения дополнительной информации, включая пошаговый обзор … больше

Как к

Сложите из долларовой купюры кольцо в форме сердца

Любите деньги и ремесла? Из этого руководства вы узнаете, как сделать денежное кольцо в форме сердца из долларовой банкноты с помощью оригами — традиционного искусства японского складывания бумаги.Для получения дополнительной информации, в том числе пошагового обзора процесса складывания, а также для получения дополнительной информации …

Как к

Сложите кольцо из однодолларовой купюры

В этом видео мы узнаем, как сложить кольцо из однодолларовой купюры.Сначала загните белые края вверху и внизу. Затем сложите его пополам и поверните на 180 градусов. Затем снова сложите его пополам, затем возьмите белый край с правой стороны и сложите его вниз …

Как к

Сложите крошечного жирафа оригами из долларовой купюры

У всех есть любимое животное, верно? В то время как большинству из нас нравятся обычные животные, такие как собаки и милые панды, другим нравятся более экзотические животные в стиле сафари, такие как жирафы.Если вы знаете любителя жирафов, посмотрите это видео, чтобы узнать, как дать ему / ей идеальный «просто потому, что» д … еще

Как к

Сложите кролика оригами из долларовой купюры

В нескольких вариациях вы также можете превратить этого кролика в лису или кошку.Из этого туториала Вы узнаете, как взять долларовую купюру и использовать несколько простых техник оригами, чтобы превратить купюру в кролика. Это простая техника, которую вы можете использовать, чтобы сделать подарок маленькому ребенку или в … подробнее

Как к

Сделайте оригами цветок лотоса из долларовых купюр

Хотите добавить образцы в свой бумажный сад? Сделайте бумажный цветок лотоса из долларовых купюр, используя оригами — традиционное японское искусство складывания бумаги.В этом бесплатном видеоуроке по оригами представлены подробные инструкции по изготовлению цветов лотоса в виде долларовой купюры из свернутой бумаги … подробнее

Как к

Оригами долларовая купюра павлин

Оригами из долларовых купюр — это весело, просто и мило.Все, что вам нужно, это долларовая купюра и некоторые навыки складывания оригами. Потратьте лишний доллар на творчество … и вы получите симпатичную фигурку оригами. Посмотрите этот урок оригами о деньгах, чтобы узнать, как сложить долларовую купюру в … еще

Как к

Оригами шкатулка для долларовых купюр

Как к

Оригами сердечко долларовой купюры

Как к

Оригами кукла-пальчик для долларовой банкноты

Как к

Оригами долларовая купюра жираф

Оригами из долларовых купюр — это весело, просто и мило.Все, что вам нужно, это долларовая купюра и некоторые навыки складывания оригами. Потратьте лишний доллар на творчество … и вы получите симпатичную фигурку оригами. Посмотрите это руководство по оригами на деньги, чтобы узнать, как сложить жирафа из долларовой банкноты.

Как к

Оригами долларовая купюра носорог

Как к

Оригами долларовая купюра верблюд

Как к

Оригами слоник из долларовой банкноты

Как к

Оригами ботинок и галстук для долларовой купюры

Как к

Оригами рубашки и брюки из долларовой банкноты

Оригами из долларовых купюр — это весело, просто и мило.Все, что вам нужно, это долларовая купюра и некоторые навыки складывания оригами. Потратьте лишний доллар на творчество … и вы получите симпатичную фигурку оригами. Посмотрите это руководство по оригами на долларовую банкноту, чтобы узнать, как сложить рубашку и бума …

Как к

Сложите самолет-оригами из долларовой купюры

Эти истребители выглядят потрясающе, они сложены из того, что мы ЗНАЕМ, что у вас есть — долларовой купюры — и они действительно могут летать! Как это круто? Что ж, вы узнаете, когда соберете этот проект оригами.Идеально подходит для того, чтобы скоротать время или бросить другу в лицо, этот ори … больше

Как к

Сделайте оригами бабочку из денег

Ваша любовь к деньгам и бабочкам превосходит только любовь к ремесленным проектам? Мальчик, тебе повезло.Из этого руководства вы узнаете, как сделать бабочку из долларовой банкноты с помощью оригами — традиционного искусства японского складывания бумаги. Для получения дополнительной информации, включая пошаговую инструкцию … больше

Как к

Сложите модульный доллар оригами 5- или 6-конечную звезду

Вам понадобится немного денег, чтобы сделать эту остроконечную звезду оригами, но не так много, если только вы не мистер Мистер.Мешки с деньгами или что-то в этом роде. Чтобы сохранить эту дешевизну, вы можете использовать долларовые купюры — их пять, что означает пять долларов. Вы можете использовать пятидолларовые купюры, но это будет означать, что у вас будет … еще

Как к

Оригами Четырехлистный клевер с несколькими долларовыми купюрами

Оригами из денег (или долларовой купюры) — это дешево, весело, просто и мило.Чтобы сделать действительно крутые вещи, понадобится всего лишь долларовая купюра с некоторыми навыками складывания бумаги. Потратьте этот лишний доллар в кармане на какое-нибудь старомодное творчество — вы получите крутой четырехлистник … еще

Как к

Сделайте сердечко из доллара оригами

Это видео показывает зрителям, как сделать сердечко из простой долларовой купюры.Сначала вы должны взять долларовую купюру и сложить треугольник от одного угла к нижнему краю купюры, повторяя этот шаг на следующем ближайшем крае. Затем создайте пирамидальную складку, чтобы получился небольшой … подробнее

Как к

Сделайте из долларовой купюры галстук-бабочку

нас учат, как сделать уникальный галстук-бабочку из обычной долларовой банкноты всего за несколько коротких шагов.Нет никаких инструментов, нужны расходные материалы, только пальцы и долларовая купюра. Складываем низ вверх, затем снова пополам. Открывая стороны, он образует «палатку» с обеих сторон … подробнее

Как к

Сделайте рубашку оригами из однодолларовой купюры

Ищете развлечения по дешевке? Есть доллар? Из этого руководства вы узнаете, как сделать рубашку из сложенной бумаги из долларовой банкноты, используя оригами, традиционное японское народное искусство складывания бумаги.Для получения дополнительной информации, включая пошаговый обзор складки … подробнее

Как к

Оригами сердечко из долларовой купюры

Сложите эти лишние доллары в очаровательное сердечко.В этом видеоуроке по оригами показано, как сложить денежную купюру любого достоинства в сердечко. Следуйте инструкциям и сложите свои собственные.

Как к

Выполните магический трюк с долларом вверх тормашками

Хотите узнать, как заставить долларовую купюру волшебным образом перевернуться вверх дном? Райан Оукс покажет вам, как! Вам понадобится хрустящая долларовая купюра.Иногда мы используем материалы, требующие присмотра взрослых … например, ножницы, поэтому, когда вы занимаетесь магией, убедитесь, что у вас есть друзья и семья … больше

Как к

Оригами кольцо долларовая купюра

Оригами из долларовых купюр — это весело, просто и мило.Все, что вам нужно, это долларовая купюра и некоторые навыки складывания оригами. Потратьте лишний доллар на творчество … и вы получите симпатичную фигурку оригами. Посмотрите этот урок оригами о долларовой банкноте, чтобы узнать, как сложить долларовое кольцо.

Как к

Сделать четверть из долларовой банкноты

Это учебное пособие по трюку «Монета из долларовой купюры».Просто выполните следующие простые шаги: покажите долларовую банкноту и четко покажите, что к ней ничего не прикреплено. Затем сложите его вчетвером и сделайте из складок каплю монеты. Практикуйте этот волшебный трюк и поразите своих друзей … подробнее

Как к

Оригами долларовая купюра в сердечко

Вы, вероятно, должны кому-то доллар, и выразите ему дополнительную благодарность, отдав его в виде сердечка.Узнайте, как использовать традиционное японское искусство оригами, чтобы сложить долларовую банкноту в форме сердца. Любая деноминация работает, если вы чувствуете себя очень щедрым.

Математика с бумагой: используйте математику в свой день!

Сара Исон, Мишель Херст, Мадлен Освальд, Кэсси Керр, Абреа Грин и Сьюзан Левин (Чикагский университет) и Эми Клессенс (Университет Висконсин-Мэдисон)

Есть много забавных математических заданий, которые можно выполнять вместе семьями, не требующих специальных материалов.Фактически, имея всего несколько листов бумаги, семьи могут найти интересные способы изучить математические идеи и решить проблемы!

Зачем заниматься математикой с бумагой?

Дети могут много узнать о математике дома с помощью практических игровых занятий, которые вдохновляют на разговоры о числах, геометрии и пространственных отношениях.

Упражнения, описанные ниже, знакомят с математическими концепциями и укрепляют их, поощряя творчество. Их также легко адаптировать для разных возрастов, и их можно проводить с несколькими детьми одновременно.Поскольку семьи могут выполнять их вместе, это прекрасная возможность поговорить о математике.

Расходные материалы, которые вам понадобятся

Многие из этих действий можно выполнить с любой доступной бумагой — подойдут даже макулатура, газеты или журнальные страницы. Также пригодятся ножницы, дыроколы, карандаши или маркеры.

Математика на бумаге

Оригами

Оригами отлично подходит для размышлений о формах и пространстве.Один и тот же лист бумаги может выглядеть совершенно по-разному в зависимости от того, где и как он сложен.

Быстрый поиск в Интернете приведет вас к множеству руководств по оригами. Вот несколько проектов, с которых можно начать:

Paper Math Wizard

Мысленные образы — способность представлять себе, как выглядит форма или перемещать объекты в уме — важная часть математики. Это задание помогает детям научиться думать о пространственной информации и представлять, как можно преобразовать пространство, не видя этого на самом деле.

Еще больше математики с бумагой

Есть много способов изучать математику с помощью бумаги! Ознакомьтесь с нашим печатным руководством «Математика с бумагой» [Загрузить], чтобы узнать, как продолжать и поддерживать математическое мышление детей во время всех этих занятий. Вы также можете проявить творческий подход и придумать свои собственные способы делать математику с бумагой.

Авторы — участники проекта DREME Family Math.

Загрузить все ресурсы Math with Paper:

(PDF) Математическая теория чисел и конструкций оригами

124 Роджер К.Альперин

Доказательство. Части i) и iii) непосредственно следуют из замечаний выше и следующих

. Пусть 1 = u, x ∈ X, y ∈ Y. Тогда по лемме 2.7,1 / y ∈ Y и, значит,

1 / (xy) ∈ Y; следовательно, по лемме 2.7 снова xy ∈ Y. Таким образом, Xy ⊂ Y. Снова следуя приведенным выше замечаниям

, где v, y ∈ Y, x ∈ X, xy ∈ Y, sovx / (xy) ∈ X. Таким образом, v ∈ Xy,

, так что Y ⊂ Xy.

Для ii) построить (x, y). Линия от начала координат, проходящая через (x, y), пересекает линию

, параллельную оси x, на высоте xy, конструктивную конструкцию в Y, в точке (x

, xy), поэтому

∈ X.Поскольку X содержит Q и является векторным пространством Q, замыкание при умножении

следует из 2uv = (u + v)

— u

— v

Для iv) пусть y ∈ Y ненулевой, x ненулевой элемент X, тогда 1 / (yx) ∈ Y согласно

i) и лемме 2.7; также y

∈ X, byi) и поэтому y / x = y

/ (yx) ∈ Y, byi). Следовательно,

1 / x = (1 / y) (y / x) isinX по i) и лемме 2.7. Таким образом, из ii) следует, что X — это поле

Для части v), если y ∈ Y ∩X ненулевое, то 1 / y ∈ Y, поэтому 1∈ Y, и, следовательно, Y = X.

Часть vi) следует непосредственно из части iv), поскольку Π = X ⊕ iX, когда X = Y.

Так как X — поле, это в точности X (i).

Если прямая, проходящая через начало координат, построена с наклоном µ, то пересечение с

вертикальной прямой, проходящей через (1, 0), дает точку с µ ∈ Y; следует обратное:

, поскольку (1, µ) конструктивно. Таким образом, набор элементов в Y ∪∞ — это просто набор из

конструктивных уклонов.

Для данного z = a + bi биссектрисы построенных отрезков принадлежат полю

, порожденному a, b и i над Q. Это легко показать индуктивно для точек

, построенных первоначально из 0, 1, z. Кроме того, любая построенная линия имеет наклон в Q (a, b).

Следовательно, координаты любой построенной точки принадлежат Q (a, b). Таким образом, для всех

нереальных z, Π [z] ⊆ Q (a, b, i). Если w и u построены, то для построения wu,

мы используем простое наблюдение, что 2wu = (w + u)

— w

— u

; таким образом, достаточно

построить w

для любого конструктивного w.Используя следствие 2.8, мы получаем, что для любого построенного

точка w = (x, y), w

= (x

— y

, 2xy) также может быть построена. Мы можем инвертировать квадрат длины

, r

= x

+ y

∈ X построенной точки (x, y) на

Следствие 2.8, а также построить комплексное сопряжение, и поэтому 1 / w =

w / r

также можно построить.Следующее следствие суммирует эти замечания.

Следствие 2.9. Для любого невещественного комплекса z = a + bi, [z] — это поле над Q, содержащее z, замкнутое относительно комплексного сопряжения и содержащееся в поле Q (a, b, i).

Следствие 2.10. Предположим, что z = a + bi, где b (вещественное) алгебраическое. Если неприводимый целочисленный многочлен

q (t), удовлетворяющий условию b, не является многочленом от t

, то X = Y. Следовательно, если

b имеет нечетную степень или z невещественное алгебраическое число нечетной степени, то X = Y.